Tìm hiểu quan hệ và ứng dụng

Các mối quan hệ giữa những phần tử của các tập hợp được biểu diễn bằng một cấu trúc được gọi là Quan Hệ.. Cách trực tiếp nhất để biểu diễn mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HUẾ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TIỂU LUẬN

CƠ SỞ TOÁN TIN HỌC

ĐỀ TÀI:

TÌM HIỂU QUAN HỆ VÀ ỨNG DỤNG

LỚP CAO HỌC: NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH

GVHD: PGS TS: TRƯƠNG CÔNG TUẤN Lớp: Cao học KHMT-GIA LAI 2018

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

PHẦN I: CỞ SỞ KHOA HỌC 2

I QUAN HỆ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 2

1.1 ĐỊNH NGHĨA 2

1.2 ÁNH XÃ CŨNG NHƯ MỘT QUAN HỆ (HÀM CŨNG LÀ MỘT QUAN HỆ) 3

1.3 CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP HỢP 3

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ 4

1.5 TỔ HỢP CÁC QUAN HỆ 5

II QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 5

2.1 ĐỊNH NGHĨA 6

2.2 CÁC LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG 6

2.2.2 MỆNH ĐỀ: 7

2.2.3 Định nghĩa: Tập thương của A theo quan hệ R 7

2.3 PHÂN HOẠCH 8

2.3.2 Mệnh đề: 8

III QUAN HỆ THỨ TỰ 9

3.1 Định nghĩa 1: QUAN HỆ THỨ TỰ 9

3.2 Định nghĩa 2: QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN 10

3.3 Định nghĩa 3: PHẦN TỬ LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) 10

3.4 Định nghĩa 4: CHẶN TRÊN (CHẶN DƯỚI) 11

3.5 Định nghĩa 5: CÂN TRÊN, CẬN DƯỚI 12

3.6 Định nghĩa 6: PHẦN TỬ TỐI ĐẠI (TỐI TIỂU) 13

3.7 Mệnh đề: 13

3.12 Bổ đề Zore: 14

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 15

I BÀI TẬP MINH HỌA CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ 15

II MÔT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 18

III MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ THỨ TỰ 20

IV MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TUẦN TỰ - DÀN 23

PHẦN III: ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ 25

Tạo bao đóng phản xạ 25

Tạo bao đóng đối xứng 25

Tạo bao đóng bắc cầu 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

LỜI NÓI ĐẦU

Các mối quan hệ giữa những phần tử của tập hợp xuất hiện trong nhiều bối cảnh Thường ngày ta vẫn gặp những mối quan hệ này, chẳng hạn mối quan hệ giữa một trường học với số điện thoại của nó, mối quan hệ giữa một giáo viên với lương của người đó, mối quan hệ của một người với người thân của anh ta Trong toán học, ta nghiên cứu mối quan hệ như mối quan hệ giữa một số nguyên dương

và một ước số của nó, mối quan hệ giữa một số nguyên và một số nguyên khác

đồng dư với nó theo môđulô n, mối quan hệ giữa một số thực và một số thực khác

lớn hơn nó Các mối quan hệ như quan hệ giữa một chương trình và một biến mà chương trình đó sử dụng và quan hệ giữa một ngôn ngữ máy tính với một mệnh đề đúng trong ngôn ngữ đó cũng thường xuất hiện trong tin học

Các quan hệ có thể được dùng để giải các bài toán như xác định các cặp thành phố nào được nối bằng các chuyến bay trong một mạng, tìm trật tự khả dĩ thành công cho các pha khác nhau của một dữ án phức tạp, hoặc tạo một cách tiện ích để lưu trữ thông tin trong các cơ sở dữ liệu của máy tính Các mối quan hệ giữa

những phần tử của các tập hợp được biểu diễn bằng một cấu trúc được gọi là Quan

Hệ Đây là nội dung chính trong đề tài tiểu luận của nhóm em: TÌM HIỂU VỀ QUAN HỆ VÀ ỨNG DỤNG

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng tiểu luận này không tránh khỏi những sai sót Nhóm chúng em rất mong nhận được các ý kiến góp ý của thầy hướng dẫn và các bạn

Xin chân thành cảm ơn PGS.TS TRƯƠNG CÔNG TUẤN đã tận tình

hướng dẫn và tạo điều kiện cho chúng em hoàn thành môn học này

Gia Lai, ngày 10 tháng 08 năm 2018

Học viên thực hiện NHÓM 2

PHẦN I: CỞ SỞ KHOA HỌC

I QUAN HỆ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ

Cách trực tiếp nhất để biểu diễn mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp là dùng các cặp được sắp tạo bởi hai phần tử có quan hệ Vì lí do đó, tập các cặp được sắp được gọi là quan hệ hai ngôi Sau đó chúng ta sẽ dùng các quan hệ để giải các bài toán có liên quan với các mạng thông tin, nhận dạng các phần tử của các tâp hợp có những tính chất chung

1.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho hai tập A và B Một quan hệ hai ngôi từ A đến B là một tập con của tích Descartes A x B Ta nói phần tử a A có quan hệ với phần tử b B nếu (a, b) và ký hiệu là a b

Ví dụ 1: Cho A là tập các sinh viên của Đại học Huế và B là tập hợp các môn học cho R là quan hệ bao hàm gồm các tập (a, b) trong đó a là sinh viên học môn b Chẳng hạn, bạn An và bạn Tùng là sinh viên của Đại học Huế đều học môn đại số có mã là NMDSO, thì các cặp (An, NMDSO) và (Tùng, NMDSO) thuộc R Nếu An còn học môn Giải tích 1 có mã số GTICH1 thì cặp (Tùng, GTICH1) không thuộc R

Ví dụ 2: Cho A là tập hợp các quận, huyện và B là tập hợp các tỉnh thành phố của Việt Nam Ta định nghĩa quan hệ R bằng cách chỉ rõ rằng (a, b) thuộc R nếu quận hay huyện a thuộc tỉnh hay thành phố b Chẳng hạn (Phú Lộc, Thừa Thiên Huế), (Ba Đình, Hà Nội), (Phú quốc, Kiên Giang), (Nam Đàn, Nghệ An), đều thuộc R

Ví dụ 3: Cho A = {0, 1, 2} và B {a, b} Khi đó {(0, a), (0, b),(1,a), (2, b)} là một quan hệ từ A đến B Điều này có nghĩa là, chẳn hạn 0Ra nhưng 1Rb (1 không quan hệ với b)

1.2 ÁNH XÃ CŨNG NHƢ MỘT QUAN HỆ (HÀM CŨNG LÀ MỘT QUAN HỆ)

Hãy nhớ rằng một ánh xạ f từ tập hợp A đến tập hợp B gán cho mỗi phần tử của A một phần tử duy nhất của B Đồ thị của f là tập các cặp (a, b) sao cho b = f(a) Vì đồ thị của f là một tập con của A x B, nên nó là một quan hệ từ A đến B

Ngược lại, nếu là một qu an hệ từ A đến B sao cho mỗi phần tử của A là phần tử đầu tiên của đúng một cặp của , thì có thể định nghĩa được một ánh xạ với là đồ thị của nó Điều này được làm bằng cách gán cho mỗi phần tử a A một phần tử duy nhất b B sao cho (a, b)

Một quan hệ cũng có thể được dùng để biểu diễn các mối quan hệ một - nhiều giữa các phần tử của hai tập hợp A và B, trong đó một phần tử của A có thể

có quan hệ với hơn một phần tử của B Trong khi đó, một ánh xạ biểu diễn một quan hệ trong đó mỗi phần tử của A có quan hệ với đúng một phần tử của B

Quan hệ là sự tổng quát hóa khái niệm hàm; chúng có thể được dùng để biểu diễn một lớp rộng lớn của các mối quan hệ giữa các tập hợp

1.3 CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP HỢP

Định nghĩa: Một quan hệ trên tập A là một quan hệ từ A đến A Nói một

cách khác, một quan hệ trên tập A là một tập con của tập A × A

iiiii) Quan hệ "cùng tuổi" là một quan hệ trên tập hợp các con người trên trái đất

Ví dụ 2: Cho A là tập các phần tử {1, 2, 3, 4} Hỏi các tập được sắp nào thuộc quan hệ R = {(a,b) | b chia hết cho a}?

Giải Vì (a, b) thuộc R nếu và chỉ nếu a và b là các số nguyên dương không

vượt quá 4 sao cho b chia hết cho a, ta có:

R = {(1, 1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}

Ví dụ 3: Có bao nhiêu quan hệ trên tập có n phần tử?

Giải: Một quan hệ trên tập A là một tập con của A x A Vì A x A có n2

phần

tử khi A có n phần tử và một tập gồm m phần tử có 2m

tập con, nên A x A có 2

2n tập con Vì cậy có 2

2n quan hệ trên tập n phần tử Víu dụ 32

2 = 29 = 512 quan hệ trên tập {a, b, c}

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ

14.1 Định nghĩa: Quan hệ R được gọi là có tính phản xạ nếu với mọi a ∈ A,

(a, a)∈R với mọi a ∈ A

1.4.2 Định nghĩa: Quan hệ R trên tập A gọi là đối xứng nếu với mọi a, b ∈

A, a R b thì b R a

1.4.3 Định nghĩa: Quan hệ R trên tập A đuợc gọi là có tính phản đối xứng

hay phản xứng nếu với mọi a, b ∈ A, (a, b)∈R và (b, a)∈R thì a = b

1.4.4 Định nghĩa: Một quan hệ R trên tập A được gọi là có tính bắc cầu nếu

iiiii) Quan hệ bao hàm ( ) trên tập hợp P(X) tất cả các tập con của tập hợp

X tùy ý có 3 tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu

1.5 TỔ HỢP CÁC QUAN HỆ

Vì các quan hệ từ A đến B là tậ p con của tập A×B, nên hai quan hệ từ A đến

B cũng có thể đuợc tổ hợp như hai tập hợp Chẳng hạn, với R1 và R2 là hai quan hệ

từ A đến B thì ta có những quan hệ R1 R2, R1 R2, R1\ R2 R2 từ A đến B

1.5.1 Định nghĩa: Cho R là một quan hệ từ tập A đến tập B S là quan hệ từ

tập B đến tập C Hợp thành của R và S là một quan hệ chứa các cặp được sắp (a, c)

trong đó a∈A và c∈C và đối với chúng tồn tại một phần tử b∈B sao cho (a,

b)∈R và (b, c)∈ S Ta ký hiệu hợp thành của R và S là SoR, xác định bởi

SoR = {(a,c) ∈ A x C| ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ S}

Đặc biệt, khi R là đồ thị của ánh xạ f và S là đồ thị của ánh xạ g thì S o R là

Như vậy, (a, b) ∈ Rn

khi và chỉ khi tồn tại x1, x2, , xn-1 ∈ A sao cho (a, x1), (x1, x2), , (xn-1, b) ∈ R

1.5 3 Mệnh đề: Quan hệ R trên tập A có tính chất bắc cầu khi va chỉ khi

R

R n  với mọi n

II QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Các số nguyên a và b quan hệ với nhau bằng phép “đồng dư theo môdun 4” khi a – b chia hết cho 4 Dưới đây ta sẽ chỉ ra răng quan hệ này cũng là phản xạ, đối xứng và bắc cầu Dễ dàng thấy rằng a quan hệ với b nếu và chỉ nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 4 Từ đây suy ra rằng quan hệ này tách tập hợp các số nguyên thành 4 lớp khác nhau Khi đó ta chỉ cần quan tâm một số nguyên khi chia cho 4 cho số dư nào, chỉ cần biết nó thuộc lớp nào chứ không cần biết giá trị nó là bao nhiêu

Quan hệ R và phép đồng dư theo môdun 4 là ví dụ về quan hệ tương đương,

cụ thể là quan hệ có tính chất phản xã, đối xứng và bắc cầu Trong mục này chúng

ta chỉ ra rằng các quan hệ như vậy sẽ tách các tác tập thành những lớp rời nhau gồm các phần tử tương đương Khi đó ta chỉ quan tâm một phần tử của tập thuộc lớp nào chứ không cần quan tâm tới các đặc điểm của nó

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu các quan hệ với một tổ hợp đặc biệt các tính chất cho phép cúng được dùng để liên hệ các đối tượng tương đương nhau theo một định nghĩa nào đó

2.1 ĐỊNH NGHĨA

Quan hệ cho trên tập A được gọi là tương đương nếu nó là phản xạ, đối

xứng và bắc cầu

Ví dụ 1 Quan hệ đồng dư "modn" trên tập hợp là một quan hệ tương đương

Ví dụ 2 Quan hệ "đồng dạng" trên tập hợp các tam giác là một quan hệ tương đương

Ví dụ 3 Quan hệ "cùng phương" (song song hoặc trùng nhau) trên tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng là một quan hệ tương đương

Ví dụ 4: = {(m, n)  x | m – n chẵn} là quan hệ tương đương

2.2 CÁC LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG

Cho A là tập tất cả các sinh viên ở trường đã tốt nghiệp phổ thông Xét quan

hệ R trên A gồm tất cả các cặp (x, y), trong đó x và y tốt nghiệp ở cùng một trường phổ thông Vơi sinh viên x đã cho, ta có thể lấy một tập các sinh viên tương đương với x đối với R Tập này gồm tất cả các sinh viên đã tốt nghiệp phổ thông ở cùng trường với x Tâp con này của A được gọi là một lớp tương đương của quan hệ đó

2.2.1 Định nghĩa: Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A và a ∈

A Tập hợp {x ∈ A | xRa} được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu là hoặc [a] hoặc C(a)

Nói cách khác, nếu R là một quan hệ tương đương trên tậ Athì lớp tương đương của các phần tử a là [a] = {s | (a, s)  R}

Nếu b  [a] thì b được gọi là đại diện của lớp tương đương

Ví dụ: Xác định lớp tương đương của 0 và 1 đối với quan hệ đồng dư môdun 4 Lớp tương đương của 0 chứa tất cả các số a sao cho a  0(mod 4)

Các số nguyên thuộc lớp này chính là các sô nguyên chia hết cho 4, lớp tương đương của 0 đối với quan hệ này là:

[0] = {…, -8, - 8, 0, 4, 8, 12,… }

Tương tự, lớp tương đương của 1 chứa tất cả các số a sao cho a  1(mod 4),

đó là các số nguyên a chia cho 4 dư 1 Vì vậy lớp tương đương này là:

2.2.3 Định nghĩa: Tập thương của A theo quan hệ R

Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A Khi đó A được chia thành các lớp tương đương khác rỗng, rời nhau đôi một Tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương của A theo quan hệ tương đương R và ký hiệu là A/R Như vậy, A/R = { | a ∈ A}

Ví dụ 1: Xét quan hệ tương đương "cùng phương" trên tập hợp D tất cả các đường trong mặt phẳng Khi đó với đường thẳng a ∈ D, lớp tương đương là tập hợp gồm a và các đường thẳng trong D song song với a Trong toán học, người ta coi mỗi lớp tương đương nói trên là một phương trên mặt phẳng Vì vậy có thể coi tập thương là tập hợp các phương của mặt phẳng

Ví dụ 2: Cho X= {1, 2, 3, 4} Trên P(X), xét quan hệ R như sau:

C3= {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (các tập con của X có 3 phần tử),

C4= {{X}} (tập con của X có 4 phần tử)

Tập thương của X theo quan hệ R là P(X)/R= {C0, C1, C2, C3, C4}

2.3 PHÂN HOẠCH

Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A Hợp các lớp tương đương của

R là toàn bộ tập A, vì một phần tử a  A sẽ thuộc một lớp tương đương riêng của

nó, cụ thể là lớp [a]k Nói một cách khác,

[a]

a A

R = A Thêm vào đó, theo mệnh đề suy ra rằng các lớp tương đương này hoặc là bằng nhau hoặc là rời nhau, nghĩa là: [a]R  [b]R =  khi [a]R  [b]R

Nhận xét trên chứng tỏ rằng các lớp tương đương tạo nên một phân hoạch của tập A, vì nó tách tập A thành các tập con rời nhau Nói một cách khác hơn một phân hoạch của tập S là một tập hợp các tập con không rỗng rời nhau của S và có S như là hợp của chúng Nói một cách khác, tập các tập con Ai , i  I (ở đây I là tập chỉ số) tạo nên một phân hoạch của S nếu và chỉ nếu:

3.1 Định nghĩa 1: QUAN HỆ THỨ TỰ

Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Người ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi ký hiệu

Nếu trên tập hợp A có một quan hệ thứ tự thì ta nói A là một tập hợp được sắp xếp thứ tự

Với hai phần tử a, b A (trong đó A được sắp xếp thứ tự bởi quan hệ thứ tự ), nếu ta có a b thì ta còn viết b a

Khi có quan hệ thứ tự trên A, ta có thể xác định quan hệ < như sau:

a, b A, a < b a b và a ≠ b

Nếu có a < b, ta còn viết b > a

Ta có thể mô tả việc sắp xếp thứ tự một tập hữu hạn A (với quan hệ thứ tự ) bằng một biểu đồ gọi là biểu đồ Hasse Đó là biểu đồ biểu diễn các phần tử của A bởi các dấu chấm và nếu có a b (a, b A) thì nối a với b bởi một đoạn thẳng từ dưới lên trên

Ví dụ 1 Quan hệ thông thường trên các tập hợp số , , , là quan hệ thứ

tự

Ví dụ 2 Quan hệ "chia hết" trên tập hợp * là một quan hệ thứ tự

Ví dụ 3 Quan hệ "bao hàm" trên tập hợp P(X) các tập con của tập hợp X là một quan hệ thứ tự

3.2 Định nghĩa 2: QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN

Cho A là tập hợp được sắp xếp thứ tự (bởi quan hệ ) Với hai phần tử a, b

A, nếu ta có a b hoặc b a thì ta nói a và b so sánh được với nhau, còn nếu ta không có cả a b lẫn b a thì ta nói a và b không so sánh được với nhau

Tập hợp được sắp thứ tự A gọi là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nếu hai phần tử bất kỳ a, b A luôn có thể so sánh được với nhau Khi đó ta cũng gọi quan hệ thứ tự là một quan hệ thứ tự toàn phần

Trong trường hợp ngược lại, tức là nếu tồn tại hai phần tử a, b A không so sánh được với nhau thì ta gọi A là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và quan hệ thứ tự là một quan hệ bộ phận

Ví dụ 1: Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số tự nhiên là một quan hệ thứ thự toàn phần

Ví dụ 2: Tập hợp * các số tự nhiên khác không với quan hệ thứ tự "chia hết" là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận, vì chẳng hạn, ta không có 2|3 và cũng không có 3|2

Ví dụ 3: Quan hệ "bao hàm" trong tập hợp P(X) các tập con của tập hợp X, trong đó |X| > 1, là một quan hệ thứ tự bộ phận, vì chẳng hạn, với x, y X, x y,

ta có hai phần tử {x} và {y} của P(X) không so sánh được với nhau

Với X= hoặc X= {x}, ta dễ nhận thấy P(X) được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ

3.3 Định nghĩa 3: PHẦN TỬ LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT)

Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ và X là một tập con khác rỗng của A Phần tử a X được gọi là phần tử lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) của X nếu với mọi x X ta có x a (t.ư x a)

Phân tử lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) của X nếu tồn tại duy nhất Thật vậy nếu a và

b là hai phần tử lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) của X thì theo định nghĩa ta có a b, b a; theo tính chất phản đối xứng của , ta có a = b

ii) Xét tập hợp * các số tự nhiên khác không được sắp thứ tự bởi quan hệ

"chia hết" Khi đó 1 là phần tử nhỏ nhất (vì 1|a, a N*) và không có phần tử lớn nhất

Xét X= {2, 3, 6, 8, 12, 24} * Khi đó X có phần tử lớn nhất là 24 và không có phần tử nhỏ nhất

iii) Cho X là một tập hợp Xét tập hợp P(X) gồm các tập con của X được sắp thứ tự bởi quan hệ "bao hàm" Khi đó P(X) có phần tử nhỏ nhất là và phần tử lớn nhất là X

3.4 Định nghĩa 4: CHẶN TRÊN (CHẶN DƯỚI)

Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ và X là một tập con khác rỗng của A Phần tử c A được gọi là một chặn trên (t.ư chặn dưới) của X nếu với mọi

x X ta có x c (t.ư x c) Nếu X có ít nhất một chặn trên (t.ư chặn dưới) thì ta nói X là tập con bị chặn trên (t.ư bị chặn dưới)

Một tập con X của tập hợp được sắp thứ tự A có thể không có chặn trên (t.ư chặn dưới), cũng có thể có một hay nhiều chặn trên (t.ư chặn dưới)

Với X là một tập con của tập hợp được sắp thứ tự A và a X Phần tử a là phần tử lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là một đoạn chặn trên (t.ư chăn dưới) của X

Ví dụ :

i) Xét tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ thông thường và X= {6, 8, 4, 9,

45, 10, 7, 12} Khi đó các số 0, 1, 2, 3 là các chặn dưới của X và các số tự nhiên x 45 là các chặn trên của X

ii) Xét tập hợp các số hữu tỉ không âm với quan hệ thứ tự thông thường X= {1/n n *} Khi đó 0 là chặn dưới duy nhất của X mà không là phần

tử nhỏ nhất của X và các số hữu tỉ x 1 là các chặn trên của X mà 1 là phần tử lớn nhất của X

iii) Xét tập hợp * được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" và X= {2, 4, 6, 8, 12} * Khi đó các số 1, 2 là các chặn dưới của X và các số x * sao cho x

là bội chung của 2, 4, 6, 8, 12 là các chặn trên của X

3.5 Định nghĩa 5: CÂN TRÊN, CẬN DƯỚI

Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ và X là một tập con khác rỗng của A Phần tử nhỏ nhất (t.ư lớn nhất) của tập hợp các chặn trên (t.ư chặn dưới) của X được gọi là cận trên (t.ư cận dưới) của X trong A, ký hiệu (t.ư ) Như vậy phần tử a A là cận trên (t.ư cận dưới) của tập con X của A khi và chỉ khi a là một chặn trên (t.ư chạn dưới) của A và a c (t.ư a c) với mọi chặn trên (t.ư chạn dưới) c của X

Cận trên (t.ư cận dưới) của mỗi tập con X của tập hợp được sắp thứ tự A nếu tồn tại là duy nhất Ngoài ra, cận trên (t.ư cận dưới) của X là thuộc X khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) của X

iii) Xét tập hợp P(X) được sắp thứ tự bởi quan hệ "bao hàm" và X= {A1, A2,