Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU HIỀN TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA TRÊN MIỀN HÌNH DẢI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

TRÊN MIỀN HÌNH DẢI

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ NGÂN

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Thị Ngân Nội dung trong luận văn là trungthực, không sao chép Tôi cam đoan rằng các nguồn tài liệu tham khảo đãđược trích dẫn đầy đủ, mọi sự giúp đỡ để thực hiện luận văn đã được cảmơn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp và kết thúc khóa học, tôi xin bày tỏlòng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo chochúng tôi có một môi trường học tập, nghiên cứu tuyệt vời

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Ngân, đã trực tiếphướng dẫn, truyền đạt kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trìnhthực hiện luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn đến tập thể giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học

Sư Phạm Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học

đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện cho chúng tôi trong quá trìnhhọc và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Do thời gian và kiến thức chuyên môn của bản thân còn hạn chế nênluận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiệnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

Mục lục

Chương 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 3

1.2 Biến đổi Fourier 4

1.3 Không gian hàm 4

1.3.1 Không gian Hs(R), Hs(Ω), Hos(Ω) 4

1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ 5

1.4 Toán tử giả vi phân 7

Chương 2 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải 11 2.1 Đặt bài toán 11

2.2 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân 16

2.3 Biến đổi về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 23 2.3.1 Biến đổi về hệ phương trình tích phân với hạch logarit 24 2.3.2 Biến đổi về hệ phương trình vô hạn đại số tuyến tính 26

Lời nói đầu

Bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải đã đượcnhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu đến V B Zelentsov đã trình bàynhững vấn đề về đĩa Kirchhoff - Love chưa thực hiện được trên một miềnhình dải, dưới dấu hiệu của một bao hàm cứng nối với một trong các biêncủa đĩa khi biên khác của đĩa được cố định Bài toán đưa về bài toán tìmnghiệm tích - chập của phương trình tích phân loại một trên khoảng hữuhạn với hạch đều Từ tính chất về hạch của phương trình tích phân ta cóthể suy ra nghiệm của phương trình không kì dị khả tích A I Fridman và

S D Eidelman đã xét một số bài toán biên cho phương trình song điều hòatrên miền hình dải Gần đây, định lý về tính duy nhất cho nghiệm không

âm của bài toán đã được chứng minh

Mục đích của đề tài là nghiên cứu bài toán biên cho phương trình songđiều hòa trên miền hình dải Bài toán biên trên miền hình dải với giả thiếtđược giới hạn bởi y = 0, y = h với điều kiện ngàm được cho trên khoảng

|x| 6 a và điều kiện gối tựa |x| > a Sử dụng phép biến đổi Fourier đưa bàitoán biên của phương trình song điều hòa trên miền hình dải về hệ phươngtrình cặp tích phân Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệphương trình cặp tích phân được thiết lập trong không gian Sobolev Ngoài

ra luận văn cũng đưa ra phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tíchphân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận và Tài liệutham khảo

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian hàm và toán

tử giả vi phân, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Chương 2: Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài

toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải Đưa ra phươngpháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân về hệ vô hạn các phương trìnhđại số tuyến tính.

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở là hệ vô hạncác phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier, các không gian hàm

và toán tử giả vi phân

1.1 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

hệ (1.1) được gọi là tựa tựa chính quy (hoặc tựa hoàn toàn chính quy)

1.2 Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.3 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) là không gian các hàm cơ bản,

F là phép biến đổi Fourier được xác định bởi

Định nghĩa 1.4 [4],[5] Kí hiệuS0 = S(R) là không gian các hàm suy rộng,

F−1 là phép biến đổi Fourier ngược được xác định bởi

˘g(ζ) = F−1[g](ζ) = 1

Định nghĩa 1.7 [5] Giả sử h ∈ Hs(R) Hạn chế của h trên Ω được kí hiệu

là hΩ, ta có

hhΩ, λi = hh, λi với mọi λ ∈ C0∞(Ω)

Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc Hs(R) trên Ω kí hiệu là Hs(Ω)

Chuẩn trong Hs(Ω) được xác định bởi công thức

||h||Hs(Ω) = inf

l ||lh||s,

trong đó cận dưới đúng có thể lấy theo các thác triển lh ∈ Hs(R), h ∈

Hs(Ω)

1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính Ta kí hiệu X và X2 là tích trựctiếp của hai không gian Tôpô trong X2 được xác định là tôpô thường củatích trực tiếp Ta sẽ dùng chữ in đậm để biểu thị các hàm véc tơ và ma trận

o (Ω), Hsi(Ω) là những không gian Sobolev, trong đó

i = 1, 2, Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R Tađặt

~

s = (s1, s2)T,H~ = Hs1 × Hs2,

H~o(Ω) = Hos1(Ω) × Hos2(Ω),

H~(Ω) = Hs1(Ω) × Hs2(Ω)

Tích vô hướng và chuẩn trong H~ và Ho~(Ω) được xác định bởi công thức

(u,v)~ =

2

X

i=1(ui, vi)si, ||v||~ =

Chứng minh Lấy l’g là một thác triển khác của hàm g Khi đó ta có

Từ (lg,v) không phụ thuộc vào cách chọn của lg, chúng ta có

1.4 Toán tử giả vi phân

Định nghĩa 1.8 [1] Xét toán tử giả vi phân của dạng sau

(Av)(x) := F−1[A(ζ)vb(ζ)](x),

trong đó A(ζ) = ||aij(ζ)||2×2 là một ma trận vuông cấp hai, v = (v1, v2)T

là một véc tơ chuyển vị của véc tơ dòng (v1, v2), và vb(ζ) := F [v] =(F [v1], F [v2])T được gọi là toán tử giả vi phân, ma trận A(ζ) được gọi

là biểu trưng của toán tử A

Định nghĩa 1.9 [1] Cho µ ∈ R Ta nói rằng hàm a(ζ) thuộc lớp σµ(R),

trong đó D1 là hằng số dương Cuối cùng ta có ma trận A(ζ) ∈ P~ α(R)

thuộc lớp Pαo~(R), nếu nó xác định dương với mọi ζ ∈ R

Bổ đề 1.3 [3] Giả sử ma trận A(ζ) thuộc vào lớp P~ α

+(R) Khi đó, tích vôhướng và chuẩn trong Hα/2~ (R) lần lượt được định nghĩa bởi công thức sau

Chứng minh Dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz có thể chỉ ra được

z(ζ)TAz(ζ) 6 D2

2

X

i=1(1 + |ζ|)αi|wi(ζ)|2, (1.12)

Định lý 1.2 [3] Giả sử A(ζ) ∈Pα(R),u ∈ H~(R), trong đó

~s = ~α/2 ± ~ε, ~ε = (ε, ε)T, ε > 0 (1.14)Khi đó toán tử giả vi phân Au được định nghĩa bởi công thức

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz vào đẳng thức (1.17) ta được

khi đó, u = (Av)(x) ∈ H~s−~α(R) Định lý đã được chứng minh

Định lý 1.3 [3] Giả sử Ω là tập con bị chặn trong một khoảng trên R

Khi đó phép nhúng H~(Ω) lên H~s−~(Ω) là hoàn toàn liên tục, trong đó

~ = (, )T > 0 ⇔  > 0

Chương 2

Tính giải được của hệ phương

trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

Trong chương này, chúng tôi trình bày tính giải được của hệ phương trìnhcặp tích phân và phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ vôhạn các phương trình đại số tuyến tính

Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}

Gọi R là trục thực, (−a, a) là khoảng bị chặn

Xét bài toán biên sau đây:

Tìm nghiệm Φ(x, y) của phương trình (2.1) trong miền hình dải Π thoảmãn điều kiện biên

y=0= g1(x), x ∈ (−a, a),

M [Φ]

y=0= 0, x ∈ R\(−a, a),

y=h= g2(x), x ∈ (−a, a),

M [Φ]

y=h= 0, x ∈ R\(−a, a),

M [Φ] là mômen lực uốn với trục Oy

Sử dụng biến đổi Fourier với biến số x của phương trình song điều hoà(2.1), ta đạt được

Φ(x, y) Lời giải tổng quát của phương trình vi phân (2.7) với ζ 6= 0 đượcbiểu diễn

b

Φ(ζ, y) = G1(ζ) cosh(|ζ|y) + G2(ζ)y cosh(|ζ|y) + G3(ζ) sinh(|ζ|y)

+ G4(ζ)y sinh(|ζ|y), (2.8)trong đó G1(ζ), G2(ζ), G3(ζ), G4(ζ) là hàm tuỳ ý với biến số ζ Giá trịb

Φ(0, y) được biểu diễn

Sử dụng đổi Fourier đối với điều kiện (2.9), (2.2) và (2.8) ta có

v2(ζ) = M [Φ](ζ, h) =c Φbyy(ζ, h) − θζ2Φ(ζ, h) = (1 − θ)ζb 2cosh(|ζ|h)G1(ζ)+ [2|ζ| sinh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ2h cosh(|ζ|h)]G2(ζ) + (1 − θ)ζ2sinh(|ζ|h)G3(ζ)+ [2|ζ| cosh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ2h sinh(|ζ|h)]G4(ζ) (2.12)

Từ những biểu thức (2.10) - (2.12) ta biểu diễn các hàm chưa biết

G1(ζ), G2(ζ), G3(ζ), G4(ζ) theo các giới hạn ub1(ζ),ub2(ζ),pb1(ζ),pb2(ζ) Với

ζ 6= 0, sau một số bước biến đổi, ta có

+vb2(ζ) y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)

2|ζ| sinh2(|ζ|h)+pb1(ζ)

v(ζ) = F [v(x)](ζ),eg(x) = (eg1(x),eg2(x))T, (2.27)e

g1(x) = −g1(x) − F−1[a1(ζ)pb1(ζ)](x) + F−1[a2(ζ)pb2(ζ)](x), (2.28)e

2.2 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích

Chúng ta đưa các kết quả sau cho vết Φ(x, y) trên biên y = 0 và y = h

của hình dải Π :

p1(x) := Φ(x, 0) và p2(x) := Φ(x, h) ∈ H32(R), (2.34)

v1(x) := M [Φ](x, 0) và v2(x) := M [Φ](x, h) ∈ H−12(R) (2.35)

Từ (2.32) và Bổ đề 1.2 nên ta có điều sau

Định lý 2.1 [3] Với các điều kiện (2.34) và (2.35) thỏa mãn, nên ta có

hệ phương trình cặp (2.31) có nhiều nhất một nghiệm v ∈ H−~oα/2(−a, a)

Chứng minh Giả sử v ∈ H~ α/2(−a, a) là nghiệm thuần nhất của hệ (2.31)

ta viết lại (2.31) thành

(Av)(x) = g(x), x ∈ (−a, a) (2.39)Bây giờ, chúng ta xác định sự tồn tại nghiệm của hệ (2.39) trong khônggian H−~oα/2(−a, a), ~α = (1, 1)T

số dương D, sao cho

trong đó ma trận A+(ζ) được xác định bởi công thức (2.40)

Định lý 2.3 [3](Sự tồn tại) Giả sử các biểu thức (2.36) và (2.37) đúng, khi

đó hệ phương trình cặp tích phân (2.31) có nghiệm duy nhất v = F−1[bv] ∈

A+v(x) =f(x), v(x) ∈ H−~oα/2(−a, a), (2.47)trong đó, g(x) ∈ H~α/2(−a, a) là một hàm véc tơ đã biết Từ (1.7), (1.10),(2.44) chúng ta có

với các hàm véc tơ tùy ý u và v thuộc H−~oα/2(−a, a).

Do đó, nếu v ∈ H~α/2o (−a.a) thỏa mãn (2.47), ta có

(u,v)A+,−~α/2 = [f,u], ∀u ∈ H−~oα/2(−a, a) (2.48)Với[f,v]là một hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H−~oα/2(−a, a),

từ định lý Riesz, tồn tại duy nhất vo ∈ H−~oα/2(−a, a) sao cho

[f,v] = (vo,u)A+,−~α/2, v ∈ H−~oα/2(−a, a) (2.49)

Từ (2.48) và (2.49) chúng ta được v = vo Hơn nữa, ta lại có

||vo||A+,~α/2 = ||A−1f||A+,~α/2 6 D||f||H~ α/2 (−a,a), (2.50)đúng, trong đó D là một hằng số dương Sau đó, ta biến đổi hệ (2.31) thành

A+v+ Bv = eg

Từ đó ta có

v + A−1+ Bv = A−1+ eg (2.51)Theo tính chất của Định lý 1.3, toán tử Bv được xác định bởi (2.46) đầy

đủ và liên tục từ H−~oα/2(−a, a) vào H~α/2(−a, a), do (2.50) toán tử A−1+ bịchặn Do đó toán tử A−1+ B là hoàn toàn bị chặn Nên hệ phương trình (2.51)

là Fredholm Vì tính duy nhất nghiệm, ( Định lý 2.2) nên hệ này cũng cónghiệm duy nhất v ∈ H−~oα/2(−a, a)

Định lý 2.4 Giả sử (2.36) và (2.37) đúng Khi đó, có nghiệm duy nhất Φ

của Bài toán (2.1) - (2.5) thuộc vào không gian SobolevH1(Π), Hn(Π)(∀n >

2, ∀ > 0), trong đó

Π := {(x, y) : −∞ < x < ∞,  < y < h − }

Chứng minh Biểu diễn Φ(x, y) := F−1[Φ(ζ, y)](x)b trong đó bΦ(x, y) xácđịnh bởi (2.17) Đầu tiên, ta chứng minh hàm Φ(x, y) thỏa mãn phương

trình (2.1) trong miền hình dải Π.

Thật vậy, trong (2.17) hàm bv1(ζ),bv2(ζ),pb1(ζ),và pb2(ζ) là các hàm xácđịnh, do (2.18) và (2.7) cùng với điều kiện |x| < ∞, 0 < y < h chúng tađược

hệ phương trình (2.25) có nghiệm duy nhất v = (v1, v2) ∈ Ho−1/2(−a, a) ×

Ho−1/2(−a, a) Từ đó, nếu điều kiện (2.36) và (2.37) thỏa mãn, thì nghiệmduy nhất Φ(x, y) = F−1[Φ(ζ, y)](x)b của bài toán (2.1) - (2.5), là bΦ(x, y)

h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y))

2|ζ| sinh2(|ζ|h)

Tj(η(y))ρ(y) = βjTj[η(x)], (j = 0, 1, 2 ), (2.57)

trong đó δji là kí hiệu Kronecker

k, j = 1, 2, ,η(x) = x

2.3.1 Biến đổi về hệ phương trình tích phân với hạch logarit

Bây giờ, ta biến đổi về hệ (2.25) và viết lại dưới dạng

Định lý 2.5 [3] Hệ phương trình cặp tích phân (2.59) đối với bv1(ζ),vb2(ζ)

tương đương với hệ phương trình tích phân trên (−a, a) :

x coth πx

4h

+ 12π

a∗nn(x) = O



tanh(|ζ|h)2



(ζ → 0, ζ → +∞)

4β)

4h)

+ 12π

... tính giải hệ phương trình cặp tích phân đối vớibài tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải

3 Trình bày phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ vơhạn phương trình đại... tơi trình bày kết sau:

1 Hệ thống khái niệm hệ phương trình cặp tích phân, khái niệm khơng gian hàm ,hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, tốn tử giả vi phân

2 Trình bày tính giải. .. x

2.3.1 Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit

Bây giờ, ta biến đổi hệ (2.25) viết lại dạng

Định lý 2.5 [3] Hệ phương trình cặp tích phân (2.59) bv1(ζ),vb2(ζ)