Solution manual for college mathematics for business economics life sciences and social sciences 13th edition by barnett

Τηε ταβλε σπεχιφιεσ α φυνχτιον, σινχε φορ εαχη δοmαιν ϖαλυε τηερε χορρεσπονδσ ονε ανδ ονλψ ονε ρανγε ϖαλυε.. Τηε γραπη σπεχιφιεσ α φυνχτιον; εαχη ϖερτιχαλ λινε ιν τηε πλανε ιντερσεχτσ τ

1 ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ

ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−1

10 Τηε ταβλε σπεχιφιεσ α φυνχτιον, σινχε φορ εαχη δοmαιν ϖαλυε τηερε χορρεσπονδσ ονε ανδ ονλψ ονε ρανγε

ϖαλυε

12 Τηε ταβλε δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον, σινχε mορε τηαν ονε ρανγε ϖαλυε χορρεσπονδσ το α γιϖεν δοmαιν

ϖαλυε

(Ρανγε ϖαλυεσ 1, 2 χορρεσπονδ το δοmαιν ϖαλυε 9.)

14 Τηισ ισ α φυνχτιον

16 Τηε γραπη σπεχιφιεσ α φυνχτιον; εαχη ϖερτιχαλ λινε ιν τηε πλανε ιντερσεχτσ τηε γραπη ιν ατ mοστ ονε ποιντ

18 Τηε γραπη δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον Τηερε αρε ϖερτιχαλ λινεσ ωηιχη ιντερσεχτ τηε γραπη ιν mορε τηαν ονε

ποιντ Φορ εξαmπλε, τηε ψ−αξισ ιντερσεχτσ τηε γραπη ιν τωο ποιντσ

20 Τηε γραπη δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον

22 ψ10 3 ξισ λινεαρ 24 ξ2 ψ 8ισ νειτηερ λινεαρ νορ χονσταντ

ωηιχη ισ χονστα

4

ν



28 9ξ2ψ 6 0ισ λινεαρ

30 32

38 φ(ξ) =

2 2 3 2

ξ

ξ  Σινχε τηε δενοmινατορ ισ βιγγερ τηαν 1, ωε νοτε τηατ τηε ϖαλυεσ οφ φ αρε βετωεεν 0 ανδ 3

Φυρτηερmορε, τηε φυνχτιον φ ηασ τηε προπερτψ τηατ φ(–ξ) = φ(ξ) Σο, αδδινγ ποιντσ ξ = 3, ξ = 4,

ξ = 5, ωε ηαϖε:

ξ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Φ(ξ) 2.78 2.67 2.45 2 1 0 1 2 2.45 2.67 2.78

Τηε σκετχη ισ:

44 φ(ξ) = 3, ξ < 0 ατ ξ = –4, –2 46 φ(ξ) = 4 ατ ξ = 5

48 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ 50 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ εξχεπτ ξ = 2

52 Dοmαιν: ξ 5 ορ [ 5, ). 

54 Γιϖεν 6ξ7ψ21 Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: 7 21 6 ανδ 6 3

7

Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ Ρ, τηε σετ οφ ρεαλ νυmβερσ

56 Γιϖεν (ξ ξψ) Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: 4

2

ξ



Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ αλλ ρεαλ νυmβερσ εξχεπτ 0

58 Γιϖεν ξ2 ψ2 9. Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: ψ2  9 ξ2 ανδ ψ  9ξ2

Τηισ εθυατιον δοεσ νοτ δεφινε ψ ασ α φυνχτιον οφ ξ Φορ εξαmπλε, ωηεν ξ = 0, ψ =  3

60 Γιϖεν ξ ψ3  Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: 0. 3 1/6

ψ  ξ ψξ

Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ αλλ νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ, ι.ε., ξ0

62 φ( 5)  ( 5)2 4 25 4 21 64 φ ξ( 2)(ξ2)2 4 ξ2 4ξ  4 4 ξ24ξ

66 φ(10 )ξ (10 )ξ 2 4 100ξ24 68  2

φ ξ  ξ   ξ

70 φ( 3)  φ η( ) ( 3)2 4 η2  4 5 η2 4 η21

72 φ( 3    η) ( 3 η)2  4 9 6ηη2  4 5 6ηη2

74 φ( 3      η) φ( 3) ( 3 η)2  4  ( 3)24 (9 6ηη2     4) (9 4) 6η η2

76 (Α) (φ ξ  η) 3(ξ    η) 9 3ξ 3η9

(Β) φ ξ(  η) φ ξ( )   3ξ 3η     9  3ξ 9 3η

(Χ) φ ξ( η) φ ξ( ) 3η 3

2

(Χ)

2

φ ξ η φ ξ ξη η η

ξ η

80 (Α) φ(ξ + η) = ξ2 + 2ξη + η2 + 40ξ + 40η

(Β) φ(ξ + η) – φ(ξ) = 2ξη + η2 + 40η

(Χ) φ ξ( η) φ ξ( )

η

 

= 2ξ + η + 40

82 Γιϖεν Α =  ω = 81

Τηυσ, ω = 81

 Νοω Π = 2  + 2ω = 2 + 2

81

 

  = 2 + 162

 Τηε δοmαιν ισ  > 0

84 Γιϖεν Π = 2  + 2ω = 160 ορ  + ω = 80 ανδ  = 80 – ω

Νοω Α =  ω = (80 – ω)ω ανδ Α = 80ω – ω2

Τηε δοmαιν ισ 0 ≤ ω ≤ 80 [Νοτε: ω ≤ 80 σινχε ω > 80 ιmπλιεσ  0.]

π(18) = 920 δολλαρσ περ χοmπυτερ

88 (Α) Ρ(ξ) = ξπ(ξ)

= ξ(2,000 – 60ξ) τηουσανδσ οφ δολλαρσ

Dοmαιν: 1 ≤ ξ ≤ 25

(Β) Ταβλε 11 Ρεϖενυε

ξ(τηουσανδσ) Ρ(ξ)(τηουσανδσ)

(Χ)

90 (Α) Π(ξ) = Ρ(ξ) – Χ(ξ)

= ξ(2,000 – 60ξ) – (4,000 + 500ξ) τηουσανδ δολλαρσ

= 1,500ξ – 60ξ2 – 4,000

Dοmαιν: 1 ≤ ξ ≤ 25

(Β) Ταβλε 13 Προφιτ

ξ (τηουσανδσ) Π(ξ) (τηουσανδσ)

(Χ)

92 (Α) 1.2 ινχηεσ

(Β) Εϖαλυατε τηε ϖολυmε φυνχτιον φορ ξ =

1.21, 1.22, …, ανδ χηοοσε τηε ϖαλυε οφ ξ

ωηοσε ϖολυmε ισ χλοσεστ το 65

(Χ) ξ = 1.23 το τωο δεχιmαλ πλαχεσ

94 (Α) ς(ξ) = ξ2(108 4 ) ξ

(Β) 0 ≤ ξ ≤ 27

(Χ) Ταβλε 16 ςολυmε

ξ ς(ξ)

5 2,200

10 6,800

15 10,800

20 11,200

25 5,000

(D)

96 (Α) Γιϖεν 5ϖ – 2σ = 1.4 Σολϖινγ φορ ϖ, ωε ηαϖε:

ϖ = 0.4σ + 0.28

Ιφ σ = 0.51, τηεν ϖ = 0.4(0.51) + 0.28 = 0.484 ορ 48.4%

(Β) Σολϖινγ τηε εθυατιον φορ σ, ωε ηαϖε:

σ = 2.5ϖ – 0.7

Ιφ ϖ = 0.51, τηεν σ = 2.5(0.51) – 0.7 = 0.575 ορ 57.5%

ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−2

2 φ ξ( )  4ξ 12 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: αλλ ρεαλ νυmβερσ

4 φ ξ( ) 3 ξ Dοmαιν: [0, ) ; ρανγε: [3, )

6 φ ξ( ) 5 ξ 2 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: (, 2].

8 φ ξ( )20 10 ξ 3 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: αλλ ρεαλ νυmβερσ

16

22

18.

24.

20.

26 Τηε γραπη οφ η(ξ) = –|ξ – 5| ισ τηε γραπη

οφ ψ = |ξ| ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ

σηιφτεδ 5 υνιτσ το τηε ριγητ

28 Τηε γραπη οφ m(ξ) = (ξ + 3)2 + 4 ισ τηε γραπη οφ ψ = ξ2 σηιφτεδ 3 υνιτσ το τηε λεφτ ανδ 4 υνιτσ υπ

30 Τηε γραπη οφ γ(ξ) = –6 + 3ξ ισ τηε γραπη οφ

ψ = 3ξ σηιφτεδ 6 υνιτσ δοων

32 Τηε γραπη οφ m(ξ) = –0.4ξ2 ισ τηε γραπη οφ ψ = ξ2 ρεφλεχτεδ ιν τηε

ξ αξισ ανδ ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.4

34 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ σηιφτεδ 3 υνιτσ το τηε ριγητ ανδ 2 υνιτσ υπ ψ = |ξ – 3| + 2

36 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ, σηιφτεδ 2 υνιτσ το τηε λεφτ ανδ 3 υνιτσ υπ

Εθυατιον: ψ = 3 – |ξ + 2|

38 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον 3ξ ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ σηιφτεδ υπ 2 υνιτσ Εθυατιον: ψ = 2 – 3ξ

40 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ, σηιφτεδ το τηε ριγητ 3 υνιτσ ανδ υπ 1 υνιτ

Εθυατιον: ψ = 1 – (ξ – 3)3

48 γ(ξ) = 1 ιφ 1

2 2 ιφ 1

ξ ξ





50 η(ξ) = 10 2 ιφ 0 20





52 η(ξ) =







54 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ 2

Εθυατιον: ψ = –2ξ

56 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ 4 Εθυατιον: ψ = 4|ξ|

58 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.25 Εθυατιον: ψ = 0.25ξ3

60 ςερτιχαλ σηιφτ, ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ

Ρεϖερσινγ τηε ορδερ δοεσ νοτ χηανγε τηε ρεσυλτ Χονσιδερ α ποιντ

(α, β) ιν τηε πλανε Α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ mοϖεσ (α, β) το (α, β + κ)

ανδ τηεν το (–α, β + κ) Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ

mοϖεσ (α, β) το (–α, β) ανδ τηεν το (–α, β + κ) Τηε ρεσυλτσ αρε τηε σαmε

62 ςερτιχαλ σηιφτ, ϖερτιχαλ εξπανσιον

Ρεϖερσινγ τηε ορδερ χαν χηανγε τηε ρεσυλτ Φορ εξαmπλε, λετ (α, β) βε α ποιντ ιν τηε πλανε Α ϖερτιχαλ σηιφτ

οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ εξπανσιον οφ η (η > 1) mοϖεσ (α, β) το (α, β + κ) ανδ τηεν το (α, βη + κη)

Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ϖερτιχαλ εξπανσιον οφ η φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ mοϖεσ (α, β) το (α, βη)

ανδ τηεν το (α, βη + κ); (α, βη + κη) ≠ (α, βη + κ)

64 Ηοριζονταλ σηιφτ, ϖερτιχαλ χοντραχτιον

Ρεϖερσινγ τηε ορδερ δοεσ νοτ χηανγε τηε ρεσυλτ Χονσιδερ α ποιντ

(α, β) ιν τηε πλανε Α ηοριζονταλ σηιφτ οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ χοντραχτιον οφ η (0 < η < 1) mοϖεσ

(α, β) το (α + κ, β) ανδ τηεν το (α + κ, βη) Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ϖερτιχαλ χοντραχτιον οφ η φολλοωεδ βψ α

ηοριζονταλ σηιφτ οφ κ υνιτσ mοϖεσ (α, β) το (α, βη) ανδ τηεν το (α + κ, βη) Τηε ρεσυλτσ αρε τηε σαmε

66. (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ

ισ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ

α φαχτορ οφ 4

68. (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ2 ισ ρεφλεχτεδ ιν

τηε ξ αξισ, ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.013,

ανδ σηιφτεδ 10 υνιτσ το τηε ριγητ ανδ 190 υνιτσ υπ

70 (Α) Λετ ξ = νυmβερ οφ κωη υσεδ ιν α ωιντερ mοντη Φορ 0 ≤ ξ ≤ 700, τηε

χηαργε ισ 8.5 + 065ξ Ατ ξ = 700, τηε χηαργε ισ ∃54 Φορ ξ > 700,

τηε χηαργε ισ

54 + 053(ξ – 700) = 16.9 + 0.053ξ

Τηυσ,

W(ξ) = 8.5 065 ιφ 0 700

16.9 0.053 ιφ 700

ξ ξ





(Β)

72 (Α) Λετ ξ = ταξαβλε ινχοmε

Ιφ 0 ≤ ξ ≤ 15,000, τηε ταξ δυε ισ ∃.035ξ Ατ ξ = 15,000, τηε ταξ

δυε ισ ∃525 Φορ 15,000 < ξ ≤ 30,000, τηε ταξ δυε ισ

525 + 0625(ξ – 15,000) = 0625ξ – 412.5 Φορ ξ > 30,000,

τηε ταξ δυε ισ 1,462.5 + 0645(ξ – 30,000) = 0645ξ – 472.5

Τηυσ,

(Β)

Τ(ξ) =

0.035 ιφ 0 15, 000 0.0625 412.5 ιφ 15, 000 30, 000 0.0645 472.5 ιφ 30, 000

 





 (Χ) Τ(20,000) = ∃837.50

Τ(35,000) = ∃1,785

74 (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ϖερτιχαλλψ

εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ 463

76 (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = 3ξ ισ ρεφλεχτεδ

ιν τηε ξ αξισ ανδ σηιφτεδ υπ 10 υνιτσ

ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−3

2 ψ =

2

ξ

+ 1

0 1

2 2

4 3

ξ ψ

4 8ξ – 3ψ = 24

ξ ψ



3

m 

ψ− ιντερχεπτ: β = 2 ψ− ιντερχεπτ: β = 4

14 ξ− ιντερχεπτ: 1; ψ− ιντερχεπτ: 3; ψ   3ξ 3 16 ξ− ιντερχεπτ: 2, ψ− ιντερχεπτ: – 1; 1 1

2

ψ ξ

18 (Α) γ (Β) m (Χ) ν (D) φ

20 (Α) ξ−ιντερχεπτσ: – 5, – 1; ψ− ιντερχεπτ: – 5 (Β) ςερτεξ: ( – 3, 4)

(Χ) Μαξιmυm: 4 (D) Ρανγε: ψ ≤ 4 ορ ( – ∞, 4]

22 (Α) ξ− ιντερχεπτσ: 1, 5; ψ− ιντερχεπτ: 5 (Β) ςερτεξ: (3, – 4)

(Χ) Μινιmυm: – 4 (D) Ρανγε: ψ ≥ – 4 ορ [ – 4, ∞)

24 γ(ξ) = – (ξ + 2)2 + 3

(Α) ξ− ιντερχεπτσ: – (ξ + 2)2 + 3 = 0

(ξ + 2)2 = 3

ξ + 2 = ± 3

ξ = – 2 – 3 , – 2 + 3

ψ− ιντερχεπτ: – 1

(Β) ςερτεξ: ( – 2, 3) (Χ) Μαξιmυm: 3 (D) Ρανγε: ψ ≤ 3 ορ ( – ∞, 3]

26 ν(ξ) = (ξ – 4)2 – 3

(Α) ξ− ιντερχεπτσ: (ξ – 4)2 – 3 = 0

(ξ – 4)2 = 3

ξ – 4 = ± 3

ξ = 4 – 3 , 4 + 3

ψ− ιντερχεπτ: 13

28 (Α) Σλοπε: 5 2 3

3 1 2

3

2

(Χ) Σλοπε−ιντερχεπτ φορm: 3 1

ψ ξ (D) Στανδαρδ φορm: 3ξ2ψ 1

4

5

ψ   ξ

(Χ) Σλοπε−ιντερχεπτ φορm: 4 23

ψ  ξ (D) Στανδαρδ φορm: 4ξ5ψ23

32 (Α) Σλοπε: 4 4

0

0 1

 (Β) Ποιντ−σλοπε φορm: ψ 4 0 (Χ) Σλοπε−ιντερχεπτ φορm: ψ4 (D) Στανδαρδ φορm: ψ4

34 (Α) Σλοπε: 3

0

νοτ δεφινεδ (Β) Ποιντ−σλοπε φορm: νονε

(Χ) Σλοπε−ιντερχεπτ φορm: νονε (D) Στανδαρδ φορm: ξ2

36 γ(ξ) = ξ2 – 6ξ + 5 = ξ2 – 6ξ + 9 – 4 = (ξ – 3)2 – 4

(Α) ξ− ιντερχεπτσ: (ξ – 3)2 – 4 = 0

(ξ – 3)2 = 4

ξ – 3 = ±2

ξ = 1, 5

ψ− ιντερχεπτ: 5

(Β) ςερτεξ: (3, – 4) (Χ) Μινιmυm: – 4 (D) Ρανγε: ψ ≥ – 4 ορ [ – 4, ∞)

38 σ(ξ) = – 4ξ2 – 8ξ – 3 = – 4 2 2 3

4

4

2 1 ( 1)

4

ξ

= – 4(ξ + 1)2 + 1 (Α) ξ− ιντερχεπτσ: – 4(ξ + 1)2 + 1 = 0

4(ξ + 1)2 = 1

(ξ + 1)2 = 1

4

ξ + 1 = ±1

2

ξ = – 3

2, –

1 2

ψ− ιντερχεπτ: – 3

(Β) ςερτεξ: ( – 1, 1) (Χ) Μαξιmυm: 1 (D) Ρανγε: ψ ≤ 1 ορ ( – ∞, 1]

40 ϖ(ξ) = 0.5ξ2 + 4ξ + 10 = 0.5[ξ2 + 8ξ + 20] = 0.5[ξ2 + 8ξ + 16 + 4] = 0.5[(ξ + 4)2 + 4] = 0.5(ξ + 4)2 + 2 (Α) ξ− ιντερχεπτσ: νονε

ψ− ιντερχεπτ: 10

(Β) ςερτεξ: ( – 4, 2) (Χ) Μινιmυm: 2 (D) Ρανγε: ψ ≥ 2 ορ [2, ∞)