Solution manual for differential equations and boundary value problems 5th edition by edwards

ΦΙΡΣΤ−ΟΡDΕΡ DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΣΕΧΤΙΟΝ 1.1 DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ Τηε mαιν πυρποσε οφ Σεχτιον 1.1 ισ σιmπλψ το ιντροδυχε τηε βασιχ νοτατιον ανδ τερmινολογψ

ΦΙΡΣΤ−ΟΡDΕΡ DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ

ΣΕΧΤΙΟΝ 1.1

DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ

Τηε mαιν πυρποσε οφ Σεχτιον 1.1 ισ σιmπλψ το ιντροδυχε τηε βασιχ νοτατιον ανδ τερmινολογψ οφ διφ− φερεντιαλ εθυατιονσ, ανδ το σηοω τηε στυδεντ ωηατ ισ mεαντ βψ α σολυτιον οφ α διφφερεντιαλ εθυατιον Αλσο, τηε υσε οφ διφφερεντιαλ εθυατιονσ ιν τηε mατηεmατιχαλ mοδελινγ οφ ρεαλ−ωορλδ πηενοmενα ισ ουτλινεδ

Προβλεmσ 1−12 αρε ρουτινε ϖεριφιχατιονσ βψ διρεχτ συβστιτυτιον οφ τηε συγγεστεδ σολυτιονσ ιντο τηε γιϖεν διφφερεντιαλ εθυατιονσ Wε ινχλυδε ηερε ϕυστ σοmε τψπιχαλ εξαmπλεσ οφ συχη ϖεριφιχατιονσ

3 Ιφ ψ1χοσ 2ξ ανδ ψ2 σιν 2ξ, τηεν ψ1  2σιν 2ξ ψ2 2 χοσ 2ξ, σο

ψ  ξ  ψ ανδ ψ2  4 σιν 2ξ 4ψ2 Τηυσ ψ14ψ1 ανδ 0 ψ2 4ψ2  0

4 Ιφ 3

1

ξ

2

ξ

1 3 ξ

1 9 ξ 9 1

3

2 9 ξ 9 2

ψ  ε  ψ

ψ  ε ε , σο ψ  ψ ε ξεξ  ε ξεξ  2εξ Τηυσ

2 ξ

ψ  ψ ε

6 Ιφ 2

1

ξ

2

ξ

1 4 ξ

ψ ε , 2 2

ψ ε  ξ ε , ανδ

ψ ψ ψ  ε   ε  ε  ανδ

ψ ψ ψ   ε  ξ ε  ε  ξ ε  ξ ε 

8 Ιφ ψ1χοσξχοσ 2ξ ανδ ψ2 σινξχοσ 2ξ, τηεν ψ1  σινξ2 σιν 2 ,ξ

ψ  ξ ξ ψ2 χοσξ2σιν 2ξ, ανδ ψ2  σινξ4 χοσ 2 ξ Ηενχε

11 Ιφ ψψ1 ξ , τηεν ψ  2ξ ανδ ψ 6ξ , σο

ξ ψ ξ ψ ψ  ξ ξ  ξ  ξ  ξ 

ψψ ξ ξ, τηεν ψ ξ32ξ3λνξ ανδ ψ  5ξ46ξ4λνξ, σο

ξ ψ ξ ψ ψ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ψε ιντο 3ψ 2ψ γιϖεσ τηε εθυατιον 3 ρξ 2 ρξ

το 3ρ2 Τηυσ ρ2 / 3

14 Συβστιτυτιον οφ ψε ρξ ιντο 4 ψ  ψ γιϖεσ τηε εθυατιον 4ρ ε2 ρξ  ε ρξ, ωηιχη σιmπλιφιεσ το

2

4ρ  Τηυσ 1 ρ 1 / 2

15 Συβστιτυτιον οφ ψε ρξ ιντο ψ ψ 2ψ  0 γιϖεσ τηε εθυατιον ρ ε2 ρξρ ε ρξ2ε ρξ  , 0

ωηιχη σιmπλιφιεσ το ρ2  ρ 2 (ρ2)(ρ1)  0 Τηυσ ρ 2 ορ ρ1

16 Συβστιτυτιον οφ ψε ρξ ιντο 3ψ3ψ4ψ0 γιϖεσ τηε εθυατιον 3ρ ε2 ρξ3ρ ε ρξ4ε ρξ 0

, ωηιχη σιmπλιφιεσ το 3ρ2   Τηε θυαδρατιχ φορmυλα τηεν γιϖεσ τηε σολυτιονσ 3ρ 4 0

 3 57 6

Τηε ϖεριφιχατιονσ οφ τηε συγγεστεδ σολυτιονσ ιν Προβλεmσ 17−26 αρε σιmιλαρ το τηοσε ιν Προβλεmσ

1−12 Wε ιλλυστρατε τηε δετερmινατιον οφ τηε ϖαλυε οφ Χ ονλψ ιν σοmε τψπιχαλ χασεσ Ηοωεϖερ, ωε

ιλλυστρατε τψπιχαλ σολυτιον χυρϖεσ φορ εαχη οφ τηεσε προβλεmσ

19 Ιφ ψ ξ Χε ξ , τηεν 1 ψ 0  γιϖεσ 5 Χ  , σο 1 5 Χ 6

20 Ιφ ψ ξ Χ εξ  , τηεν ξ 1 ψ 0  γιϖεσ 10 Χ  , ορ 1 10 Χ 11

21 Χ 7

22 Ιφ ψ ξ( )λνξ Χ , τηεν ψ 0  γιϖεσ λν0 Χ , σο 0 Χ 1

−4

0

4

x

y

(0, 2)

Problem 17

−5 0 5

x

y

(0, 3)

Problem 18

−10

−5

0

5

10

x

y

(0, 5)

Problem 19

−10 −5 0 5 10

−20 0 20

x

y

(0, 10)

Problem 20

23 Ιφ 1 5 2

4

( )

ψ ξ  ξ Χ ξ , τηεν ψ 2  γιϖεσ 1 1 1

4    , ορ 32 Χ 8 1 Χ  56

24 Χ 17

25 Ιφ  3 

ταν

ψ ξ Χ , τηεν ψ 0  γιϖεσ τηε εθυατιον ταν1 Χ  Ηενχε ονε ϖαλυε οφ Χ ισ 1 / 4

Χ , ασ ισ τηισ ϖαλυε πλυσ ανψ ιντεγραλ mυλτιπλε οφ 

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

x

y

(0, 7)

Problem 21

−20 −10 0 10 20

−5 0 5

x

y

(0, 0)

Problem 22

−30

−20

−10

0

10

20

30

x

Problem 23

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−30

−20

−10 0 10 20 30

x

y

(1, 17)

Problem 24

26 Συβστιτυτιον οφ ξ ανδ  ψ0 ιντο ψ ξ Χχοσξ ψιελδσ 0Χ  , σο 1

Χ  

28 Τηε σλοπε οφ τηε λινε τηρουγη  ξ ψ ανδ , ξ 2, 0 ισ 0 2

/ 2

ψ

ξ ξ



τιαλ εθυατιον ισ ξψ 2ψ

29 Ιφ m ψ ισ τηε σλοπε οφ τηε τανγεντ λινε ανδ m ισ τηε σλοπε οφ τηε νορmαλ λινε ατ ( , ),ξ ψ

τηεν τηε ρελατιον m m  1 ψιελδσ m 1 ψψ1 ξ Σολϖινγ φορ 0 ψ τηεν γιϖεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 1 ψ ψ   ξ

ξ

m D ξ κ  ξ, σο τηε ορτηογοναλιτψ ρελατιον m m  1 γιϖεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 2ξψ  1

31 Τηε σλοπε οφ τηε λινε τηρουγη  ξ ψ ανδ , (ψ ξ, ) ισ ψ  ξ ψ   , σο τηε διφφερεν−ψ ξ

τιαλ εθυατιον ισ (ξψ ψ)  ψ ξ

Ιν Προβλεmσ 32−36 ωε γετ τηε δεσιρεδ διφφερεντιαλ εθυατιον ωηεν ωε ρεπλαχε τηε “τιmε ρατε οφ

χηανγε” οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε ωιτη ιτσ δεριϖατιϖε ωιτη ρεσπεχτ το τιmε τ, τηε ωορδ “ισ” ωιτη

−2 −1 0 1 2

−4

−2

0

2

4

x

y

(0, 1)

Problem 25

−10

−5 0 5 10

x

Problem 26

34 δϖ δτκ250 ϖ 35 δΝ δτκ Π Ν

36 δΝ δτκΝ Π Ν

37 Τηε σεχονδ δεριϖατιϖε οφ ανψ λινεαρ φυνχτιον ισ ζερο, σο ωε σποτ τηε τωο σολυτιονσ

  1

ψ ξ  ανδ ψ ξ( )ξ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ 0

38 Α φυνχτιον ωηοσε δεριϖατιϖε εθυαλσ ιτσελφ, ανδ ισ ηενχε α σολυτιον οφ τηε διφφερεντιαλ εθυα−

τιον ψ  ψ, ισ ( )ψ ξ  ε ξ

39 Wε ρεασον τηατ ιφ ψκξ2, τηεν εαχη τερm ιν τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ισ α mυλτιπλε οφ ξ2

Τηε χηοιχε κ βαλανχεσ τηε εθυατιον ανδ προϖιδεσ τηε σολυτιον 1 2

( )

ψ ξ  ξ

40 Ιφ ψ ισ α χονσταντ, τηεν ψ 0, σο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ρεδυχεσ το ψ2  Τηισ γιϖεσ 1

τηε τωο χονσταντ−ϖαλυεδ σολυτιονσ ψ ξ( )1 ανδ ψ ξ( ) 1

41 Wε ρεασον τηατ ιφ ψκε ξ, τηεν εαχη τερm ιν τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ισ α mυλτιπλε οφ ε ξ

2

2

ψ ξ  ε

42 Τωο φυνχτιονσ, εαχη εθυαλινγ τηε νεγατιϖε οφ ιτσ οων σεχονδ δεριϖατιϖε, αρε τηε τωο σολυ−

τιονσ ψ ξ χοσξ ανδ ψ ξ( )  σινξοφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ  ψ

43 (α) Wε νεεδ ονλψ συβστιτυτε ξ τ( ) 1 Χκτ ιν βοτη σιδεσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον

2

ξ κξ φορ α ρουτινε ϖεριφιχατιον

(β) Τηε ζερο−ϖαλυεδ φυνχτιον ξ τ( )0 οβϖιουσλψ σατισφιεσ τηε ινιτιαλ ϖαλυε προβλεm

2

ξ κξ , ξ(0)0

44 (α) Τηε φιγυρε σηοωσ τψπιχαλ γραπησ οφ σολυτιονσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 1 2

2

ξ  ξ

(β) Τηε φιγυρε σηοωσ τψπιχαλ γραπησ οφ σολυτιονσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 1 2

2

ξ   ξ

2

κ αππεαρ το “διϖεργε το ινφινιτψ”—εαχη σολυ−

2

κ  αππεαρσ το αππροαχη 0 ασ τ  Ινδεεδ, ωε σεε φροm τηε Προβλεm

2

( ) 1

ξ τ  Χ τ τηατ ξ τ( )  ασ τ2Χ Ηοωεϖερ, ωιτη 1

2

κ  ιτ ισ

2

( ) 1

ξ τ  Χ τ τηατ ξ τ( ) ρεmαινσ βουνδεδ ον ανψ βουνδεδ ιντερϖαλ, βυτ ξ τ( )0 ασ τ 

45 Συβστιτυτιον οφ Π 1 ανδ Π ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 10 2

100,

κ  σο

100

( ) 1

2,

Χ σο ωε γετ τηε σολυτιον

( )

Π τ





Wε νοω φινδ ρεαδιλψ τηατ Π100 ωηεν τ ανδ τηατ 49 Π1000 ωηεν τ49.9 Ιτ απ− πεαρσ τηατ Π γροωσ ωιτηουτ βουνδ (ανδ τηυσ “εξπλοδεσ”) ασ τ αππροαχηεσ 50

46 Συβστιτυτιον οφ ϖ   ανδ 1 ϖ ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 5 2

25,

κ   σο Προβλεm 43(α) ψιελδσ α σολυτιον οφ τηε φορm ϖ τ( ) 1 Χ τ 25 Τηε ινιτιαλ χονδιτιον

10,

Χ σο ωε γετ τηε σολυτιον

( )

ϖ τ





Wε νοω φινδ ρεαδιλψ τηατ ϖ ωηεν 1 τ22.5 ανδ τηατ ϖ0.1 ωηεν τ247.5 Ιτ απ− πεαρσ τηατ ϖ αππροαχηεσ 0 ασ τ ινχρεασεσ ωιτηουτ βουνδ Τηυσ τηε βοατ γραδυαλλψ σλοωσ,

βυτ νεϖερ χοmεσ το α “φυλλ στοπ” ιν α φινιτε περιοδ οφ τιmε

47 (α) ψ(10)10 ψιελδσ 10 1 Χ10, σο Χ101 10

0

1

2

3

4

5

t

x

Problem 44a

0 1 2 3 4 5 6

t x

Problem 44b

πασσεσ τηρουγη εαχη ποιντ ( , )α β οφ τηε ξψ−πλανε, σο ιτ φολλοωσ τηατ τηερε εξιστσ α υνιθυε

σολυτιον το τηε ινιτιαλ ϖαλυε προβλεm ψ  , ψ2 ψ α( )β

48 (β) Οβϖιουσλψ τηε φυνχτιονσ υ ξ( )  ανδ ξ4 4

( )

ϖ ξ   βοτη σατισφψ τηε διφφερεντιαλ εθυα−ξ

τιον ξψ 4 ψ Βυτ τηειρ δεριϖατιϖεσ υ ξ( ) 4ξ3 ανδ ϖ ξ( ) 4ξ3 mατχη ατ ξ , ωηερε 0 βοτη αρε ζερο Ηενχε τηε γιϖεν πιεχεωισε−δεφινεδ φυνχτιον ψ ξ ισ διφφερεντιαβλε, ανδ  

τηερεφορε σατισφιεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον βεχαυσε υ ξ ανδ   ϖ ξ δο σο (φορ   ξ ανδ 0 0

ξ , ρεσπεχτιϖελψ)

(χ) Ιφ α  (φορ ινστανχε), τηεν χηοοσε Χ0  φιξεδ σο τηατ Χ α 4 β Τηεν τηε φυνχτιον

  44

ιφ 0

ιφ 0

ψ ξ





 





σατισφιεσ τηε γιϖεν διφφερεντιαλ εθυατιον φορ εϖερψ ρεαλ νυmβερ ϖαλυε οφ Χ

ΣΕΧΤΙΟΝ 1.2

ΙΝΤΕΓΡΑΛΣ ΑΣ ΓΕΝΕΡΑΛ ΑΝD ΠΑΡΤΙΧΥΛΑΡ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ

Τηισ σεχτιον ιντροδυχεσ γενεραλ σολυτιονσ ανδ παρτιχυλαρ σολυτιονσ ιν τηε ϖερψ σιmπλεστ σιτυατιον

— α διφφερεντιαλ εθυατιον οφ τηε φορm ψ  φ ξ  — ωηερε ονλψ διρεχτ ιντεγρατιον ανδ εϖαλυατιον

οφ τηε χονσταντ οφ ιντεγρατιον αρε ινϖολϖεδ Στυδεντσ σηουλδ ρεϖιεω χαρεφυλλψ τηε ελεmενταρψ χον− χεπτσ οφ ϖελοχιτψ ανδ αχχελερατιον, ασ ωελλ ασ τηε φπσ ανδ mκσ υνιτ σψστεmσ

ψ ξ  ξ δξξ  ξ Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ 0

ξ , ψ3 γιϖεσ 3    , σο 0 0 Χ Χ   2

3

2

3

οφ ξ , 2 ψ1 γιϖεσ 1 0 Χ   , σο Χ   1 3

ψ ξ  ξ 

3

ψ ξ  ξ δξ ξ Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ , 4 0

3

ψ ξ  ξ 

1

ψ ξ  ξ δξ   ξ Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ , 1 5

ψ γιϖεσ 5   , σο 1 Χ ψ ξ  1 ξ 6

5 Ιντεγρατιον οφ  1 2

2

τιον οφ ξ , 2 ψ 1 γιϖεσ 1 2 2 Χ    , σο ψ ξ 2 ξ  2 5

9

1 3

συβστιτυτιον οφ ξ  , 4 ψ0 γιϖεσ 1 3

3

1

ψ ξ   ξ   

1

ψ ξ

 

2

10

10 ταν 1

ξ





0

ξ , ψ0 γιϖεσ 0 10 0 Χ   , σο   1

10 ταν

ψ ξ   ξ

2

0

ξ , ψ1 γιϖεσ 1 0 Χ  , σο   1

ψ ξ  ξ

2

1 1

ψ

ξ

 

1 2

1

1

ξ





0

ξ , ψ0 γιϖεσ 0  , σο 0 Χ   1

σιν

ψ ξ   ξ

10 Ιντεγρατιον οφ ψ ξεξ ψιελδσ

  ξ υ  1 υ  1 ξ

ψ ξ  ξε δξ υε δυ υ ε   ξ ε Χ, υσινγ τηε συβστιτυτιον υ  τογετηερ ωιτη Φορmυλα #46 ινσιδε τηε βαχκ χοϖερ οφ τηε ξ

τεξτβοοκ Τηεν συβστιτυτινγ ξ , 0 ψ1 γιϖεσ 1  1 Χ, σο ( )ψ ξ   (ξ 1)εξ 2

11 Ιφ α τ 50, τηεν ϖ τ  50δτ 50τ ϖ0 50τ10 Ηενχε

0

ξ τ  τ δτ τ  τ ξ τ  τ

12 Ιφ α τ   , τηεν 20 ϖ τ   20 δτ  20τ  ϖ0 20τ15 Ηενχε

0

0

  3 2 5 1 3 5 1 3 5

15 Ιφ α τ  4 τ3 , τηεν ϖ τ  4τ3 δτ 3τ3  Χ 3τ3 37 (τακινγ

37

Χ  σο τηατ ϖ 0   ) Ηενχε 1

  4 3 1 4 1 4

ξ τ  τ  δτ τ  τ Χ τ  τ

16 Ιφ   1

4

α τ

τ



4

τ



τηατ ϖ 0   ) Ηενχε 1

    4 3/ 2 4 3/ 2 29

(τακινγ 29 3Χ  σο τηατ ξ 0  ) 1

17 Ιφ     3

1

1

2

Χ σο τηατ ϖ 0  ) Ηενχε 0

  1 2 1 1 1 1 1   1

2

Χ  σο τηατ ξ 0  ) 0

18 Ιφ α τ 50σιν 5τ, τηεν ϖ τ  50 σιν 5τ δτ  10 χοσ 5τ  Χ 10 χοσ 5τ (τακινγ Χ σο 0

τηατ ϖ 0   ) Ηενχε 10

(τακινγ 10Χ  σο τηατ ξ 0  ) 8

Στυδεντσ σηουλδ υνδερστανδ τηατ Προβλεmσ 19−22, τηουγη διφφερεντ ατ φιρστ γλανχε, αρε σολϖεδ ιν τηε σαmε ωαψ ασ τηε πρεχεδινγ ονεσ, τηατ ισ, βψ mεανσ οφ τηε φυνδαmενταλ τηεορεm οφ χαλχυλυσ ιν

0

0

τ τ

ξ τ ξ τ  ϖ σ δσ χιτεδ ιν τηε τεξτ Αχτυαλλψ ιν τηεσε προβλεmσ   0τ  

ξ τ  ϖ σ δσ

, σινχε τ ανδ 0 ξ τ 0 αρε εαχη γιϖεν το βε ζερο

τ

ϖ τ

 



2 1 2 2

ξ τ



 

ξ τ ρεθυιρεσ τηατ ξ τ  ανδ 5τ   1 2

2 2

10

ξ τ  τ τ Χ αγρεε ωηεν τ Τηισ ιmπλιεσ 5

Χ   , λεαδινγ το τηε γραπη οφ ξ τ σηοων  