Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y... Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n * N .. aTìm chữ số tận cùng của M... Chứng minh rằng
Trang 13 1
2
3 1 1
2
3 1
−
−
− + + + +
Câu 2 Thực hiện phép tính:
a)
2 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
− +
−
− +
=
A
b) B=
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
c) Tính giá trị
2 2
1
139
19
5
15
1
1
++
++
++
++
Câu 4 Tính giá trị của tổng
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
122
Trang 2Câu 7 (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
4 80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
+ + + +
+ +
+ +
Câu 8 Tính giá trị biểu thức:
( 3 2 )2006
2 8
5 6 14 5
38 5 17
3
− +
−
=
Câu 9 (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy − 2
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
3 3
3 3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; ab.Chứng minh
rằng
03
3
2)
(
)(
3 3
=
−
++
−
+
−+
−
a b
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
1 3
1 6 27 3
1
+ +
− + + + + +
4 2 2 3 1
1
− +
Trang 3Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức
1 1
2 1
1 : 1
=
x x x x
x x
x
x P
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q= P− x nguyên
Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức :
1 2
1
1 1
1 1 1
−
− +
− +
−
− +
x x
x x
x
x P
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
−
−+
+
−
3
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,xy
Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
3
3 2
3 2 3
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
+ +
−
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức
y x xy
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
+
+ +
Trang 42 2
2 2 2
2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
−++
−
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 21 Cho biểu thức (x + x2 + 2006 ( y + y2 + 2006 ) = 2006
a a
a a a
a a
a a
−+
−+
2
24)
1(3
24)
1(3
2 2
2 2
Câu 25 (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức
157
;
1:
−+
+
+
x x
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
Trang 5)(
:
2
b a ab
a
a ab
b
b b
a
b a b a
b a
+
khác b
a) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
=
x x x
x x
x x
x
3
1 :
9
2 3
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
Trang 6a b b a
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a Q
−
−+
+
++
22
3 1
2
3 1 1
2
3 1
−
−
− + + + +
2
3 1 2
1 3 4
3 2 4
3 1 4
3 2 4
4 2 4 10 17 5 17 5
− +
−
− +
=
A
b) B=
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
+
c) Tính giá trị
2 2
Trang 7(10 4 2) 0 17
5 17
5
2 4 10 17 5 17 5 2 4 10 17 5 17
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ +
3 2 4 3 2
- Tương tự
2
) 1 3 ( 3 2
) 1 3 ( 2
6 2
2
) 1 3
=
− + +
= +
−
− +
+ + +
Vậy B= 2
c) Tính giá trị
2 2
Trang 8139
19
5
15
1
1
++
++
++
++
P =
20012005
1
913
15
9
11
5
1
++
++
++
+
=+
−
−+
++
−
−+
+
−
−+
+
−
−
)20012005
)(
20012005
(
20012005
)913)(
913(
913)
59)(
59(
59)
15
20012005
4
9134
594
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
) 1 (
1 1
1
+ + +
a
a a > 0
2 2 2
2 2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
1 1
1
+
+ + + +
= + + +
=
a a
a a
a a a
a A
= 2 2
2 2
2 2
2 2
4
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2
+
+ +
= +
+ + + +
a a
a a a
a
a a
a a
Trang 9Vì a > 0, A > 0 nên A =
1
1 1 1 ) 1 (
1
2
+
− +
= +
+ +
a a a
a
a a
Áp dụng ta có
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1 99
1 1 (
) 3
1 2
1 1 ( )
1 1
2 2
2 2
2 2
x x
y
y
x x
x x
y y
− +
+ +
+
Tương tự −(x+ 1 + x2 ) (= y− 1 + y2 )( 2 )
Cộng (1) và (2) Ta có
01
11
122
432
14
232
14
28
12.4
132
14
2
8
122
18
28
122
18
28
28
12
2
1
2 2
2
2 2
=
−+
+
=++
+
=+
−+
=
a a
a a
a
a
a a
a
2.Theo phần 1
Trang 102 2
4
2 4 2
2
22
31
8
121
8
124
)1(20
22
−
=+
a a a
a
a a a
a a
1
6 5
1 4
3
1 2
1
+ + + +
+ +
+
+
80 79
2
6 5
2 4
3
2 2
1
2
2
80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
1
+ +
+ +
+ +
+ +
=
+ +
+ +
+ +
+ +
=
A
A
) (
4
8 1 81 80 81
3 4 2 3 1
2
2
) 80 81 )(
80 81 (
80 81
) 3 4 )(
3 4 (
3 4 )
2 3 )(
2 3 (
2 3 )
1 2 )(
1
2
(
1 2
2
81 80
1 80
79
1
4 3
1 3
2
1 2
− +
− +
−
− +
− +
+
− +
− +
− +
− +
− +
−
+
+ + + + +
+ +
+ +
5 6 14 5
38 5 17
3
− +
Câu 9 (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy − 2
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Trang 113 3
3 3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Hướng dẫn
0 2 2
) 2 )(
2 (
) 2 ( 2 2
2 ) 2 )(
2 (
2
4 2 2 2
4
2 2
2 ) 2 ( 2
2 )
2 )((
2
(
2 2
2 2
2 2 2 2
2 4
2
2
3 3
3 3
2 3 3
3 3
3
3 3 2 2
3
3 3
3 3 3
3
3
3 3
3 3 3
− +
+
=
−
− +
− +
+
− +
=
−
− +
− +
=
−
− +
−
=
xy
xy xy
xy xy
xy
xy xy
xy xy
xy xy
xy
xy y
xy xy
xy xy
xy
xy P
xy
xy xy
xy xy
xy y
(
)(
3 3
=
−
++
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
3 2
3 3
3
2 )
(
3 3
2 )
(
) (
3
3 3
3 3
ĐPCM b
ab a
b a
a b b a a a a b b a a
a
Q
b a
a b
ab a
b a
a a b b b b a b b a a
a
Q
b a b a
b a a b
ab a
b a
a a b b b
a
b a b a
Q
a b
ab a
b b a a
a a b b b a
b
a
Q
= +
+
=
−
− +
+
−
+
− +
+ +
Trang 121 3
1 6 27 3
1
; 3
1 6 27 3
1
+ +
− +
= +
+ +
C2: phân tích các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức
Câu 12 Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
3 3
4 2 2 3 1
1
− +
=
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2 – ab – bc – ca)
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân tử số và mẫu số của A với
(a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta có:
59
2 5 4 11 13 )
4 2 (
2 3 1 3 ) 4 2 ( ) 2 3 ( 1
1 ).
4 2 ( ) 4 2 ( 2 3 2 3 1 ) 4 2 ( ) 2
3
(
3 3
3 3 3 3 3
3 3
3 3 2 3 2 3
−
−
− +
=
A
Câu 13 Tính A = 4+ 5 3+5 48−10 7+4 3
Trang 131 :
+ +
P
Trang 141 1
1 1
) 1 (
1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
) 1 (
: 1
1 1
) 1 )(
1 (
2 1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
2 1
1 : 1
+ +
=
− +
− +
− +
+ +
=
x
x x
x x
x x x
x x
x
x
P
x x
x x
x x x
x
x x
x x
311
21
21
2
−+
x x
x x
x x x
x x
1
1 1
1 1 1
−
− +
− +
−
− +
x x
x x
x
x P
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
Trang 15:,01
1,
0
1,011
01
1
01
−
+
−+
x x
x
x x x x
x x
x x
2 2
2 2
12
21
2
12
)1)(
1(21
1
12
)1)(
1(.)1)(
1
(
)11
(
12
)1)(
1(.1
11
1
12
1
)11
(1
11)
11
(1
11
x
x P
x x x
x
P
x x x
x
x x
P
x x x
x P
x x
x
x x
x
x P
−
−++
−
−
−+
−
−+
+
−
−
−+
=
Vậy với -1<x< 0 và 0<x<1 thì 2
1 x
P= − 2)
2
22
12
11
2
21
2
2
2 2
x
x P
x
x
Kết hợp với điều kiện -1<x< 0 và 0<x<1 ta có
Trang 161 2
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
−
−+
)(
2
2
).(
2)
.(
2
2
).(
).(
2
3
=
−
−+
+
−
=
y x
y y
x
x y x
y x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y xy x
y x xy
y xy x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y x y
x xy
y x P
y x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
3
3 2
3 2 3
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
+ +
−
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
x x
x
A
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
A
x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x x
A
= +
+ +
+ +
+ +
+ +
−
=
2 2
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
4
2 2
) 2
4 )(
2
(
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
2 4 : 2
) 2
4 )(
3 3
3
3 3
3 2
3 2 3
3 3
3 2 3
3
3 3
3 3
3
3 3
3 2 3
3 2 3
3
3 2 3
3
Trang 17Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức
y x xy
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
+
+ +
y x xy xy
y x A
y x xy
y x xy y
xy x y x xy
y x y x xy
y x A
+
= + +
+ +
=
+
+ +
+
− +
+
=
.
) (
:
2
2
2)
6
5 5
1
;3
1
;4
2 2 2
2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
−++
Trang 18( ) ( )
b
b a b a
b a b
b a P
b a
b a b
a b a
b a b a b a b a b a b a P
b a
b a b a b a
b a b
a b a
b a P
a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
.
)
− +
− + +
− +
−
− +
− +
− + +
−
=
b)Thay a=b+1 ta có
2 2 2 2
1 2 1 2 2 )
1
+
+
= + +
=
b
b b
b b b
b b
=
212
212
22
)
(
b
a P
2006 (
+
y
x y
x
=> xy < 0
Vậy
2 2 2
x
= +
+
=> 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2
Trang 19Theo công thức (*) thì U3 = 10U2 − U1 mà U1, U2 Z suy ra U3 Z
Lại theo (*) U4 = 10U3 − U2 cũng có giá trị nguyên
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n *
N
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên
a)Tìm chữ số tận cùng của M (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra Un 2+ + Un = 10Un 1+ 10
=> S = x + y = 0
Trang 201004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2
Trang 21a a
a a
a a a
a a
a a
−+
−+
2
24)
1(3
24)
1(3
2 2
2 2
Giải
Biến đổi vế trái
)(
22
)(
2)(
1(
)22
)(
2)(
1(
"
"
2
2
)2)(
2()1()2)(
1(
)2)(
2()1()2)(
1(
"
"
2
2
4)
1()23(
4)
1()23(
"
"
2
2
24)
1(3
24)
1(3
"
"
2 2
2 2
2 2
2 2
dpcm VP
a
a VT
a
a a
a a
a
a a
a a
VYT
a
a a
a a
a a
a a
a a
a VT
a
a a
a a
a
a a
a a VT
a
a a
a a a
a a
a a VT
=+
−+
−++
−+
−++
+
−
−
−+
−
=
−
++
−+
−+
+
+
x x
x x x x
1 )(
1 (
) 1 (
1
) 1 (
) 1 (
1 1
− +
+
+
=
− +
+
+
=
− +
+
+
=
x x
x x
x x
x x
x P
x x x
x x
x x
x x x x x
x P
Q-4P=x4-7x2+15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 − 1
Min(Q-4P)=-1 khi x=2
Trang 22Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
2
)(
:
2
b a ab
a
a ab
b
b b
a
b a b a
b a
Trang 232 2
10 ( 100 20
) 8 ( 92 20 64
16 92
20
2 2
2 2 2
4
+
= +
= +
+
=
+ +
+
= + +
+ +
=
a a
a a
A
a a
a a
Trang 24Câu 29 (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:
)3(
.)3
)(
3
(
)3
(
)3(
)3(
2)1(
:)3
)(
3
(
2)3
x x x x
x x
P
x x
x x
x x
x x x
P
2)
DKXD x
x x
x x
x x
x x
x P
=
=+
−
=
−+
−
=
−+
)103
)(
2
(
02010
630204
33
453
4
Câu 30 (Chuyên ĐH SP 2013 V1) Cho biểu thức
a b b a
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a
Q
−
−+
+
++
22
3
với a>0 ; b>0 ab
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b