luận văn thạc sĩ giản đồ pha điện tử ở mô hình falicov kilball với bất trật tự tuân theo phân bố gauss

Đáng chú ý là việc tìmkiếm thông số trật tự để có thể phân biệt được trạng thái định xứ và trạng tháilan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức trong nghiên cứu hệđiện tử bất

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Trang

MỤC LỤC……… 1

MỞ ĐẦU ……… 2

CHƯƠNG 1 CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON……… 4

1.1 Bức tranh vùng năng lượng… ……… 4

1.2 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi MOTT… ………… 6

1.3 Định xứ Anderson… ……… 8

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON……… 15

2.1 Sơ lược về hàm Green ……… 15

2.1.1 Định nghĩa các hàm Green hai thời gian……… 15

2.1.2 Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian……17

2.1.3 Một ví dụ về tính hàm Green……… 18

2.2 Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson………… 20

2.2.1 Lý thuyết trường trung bình động cho hệ đồng nhất ……… 20

2.2.2 Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson…… 23

CHƯƠNG 3 GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở FKM VỚI BẤT TRẬT TỰ TUÂN THEO PHÂN BỐ GAUSS……… 29

3.1.Mô hình và hình thức luận……… 29

3.2 Kết quả tính số và thảo luận……… 35

KẾT LUẬN……… 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 41

MỞ ĐẦU

Tương tác giữa các điện tử và bất trật tự đóng một vai trò quan trọngtrong việc hình thành các tính chất của vật rắn Mặc dù tính chất truyền dẫncủa vật rắn có thể giải thích một cách cơ bản thông qua lý thuyết vùng nănglượng, nhưng tương tác của các điện tử là nguyên nhân hàng đầu gây nêntrong một số hiện tượng vật lý thú vị như điện môi Mott, siêu dẫn, siêu chảyv.v Mặt khác, bất trật tự luôn có mặt trong vật liệu thực tế như tạp chất và saihỏng mạng được thừa nhận có vai trò quyết định cho một loạt tính chất kháccủa vật rắn như thủy tinh spin, hiệu ứng Hall lượng tử, hỗn loạn lượng tử v.v

Vì thế, để có thể mô tả và hiểu được các tính chất điện tử của vật liệu cầnxem xét đồng thời hai hiệu ứng mất trật tự và tương quan điện tử

Kết quả nghiên cứu mô hình liên kết chặt mất trật tự (sau này được gọi là môhình Anderson) cho thấy bất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự khuyếch tán của hạttải Các quá trình tán xạ ngược kết hợp làm cho các hạt tải bị định xứ Đặcbiệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại –điện môi, gọi là chuyển pha Anderson Mặt khác chuyển pha kim loại – điệnmôi gây ra bởi tương quan điện tử gọi là chuyển pha Mott Sự kết hợp giữa

mô hình Anderson và mô hình Hubbard tạo nên mô hình Anderson – Hubbard(AHM), trong lúc đó sự kết hợp giữa mô hình Anderson và mô hình Falicov –Kimball gọi là mô hình Anderson – Falicov – Kimball (AFKM) Như vậy, sovới mô hình Hubbard (mô hình Falicov – Kimball) thì AHM (AFKM) được

bổ sung số hạng thứ ba mô tả thế bất trật tự i được phân bố một cách ngẫu

nhiên trên các nút mạng theo hàm phân bố xác suất nào đó Các hàmphân bố xác suất thường được xét đến là phân bố đều, phân bố Gauss, phân

bố Lorentz và phân bố nhị phân (binary distribusion) Đáng chú ý là việc tìmkiếm thông số trật tự để có thể phân biệt được trạng thái định xứ và trạng tháilan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức trong nghiên cứu hệđiện tử bất trật tự Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết môitrường điển hình (Typical Medium Theory: TMT) để nghiên cứu các hệkhông trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được xấp xỉ bằngcách lấy trung bình nhân theo các cấu hình không trật tự, thay cho mật độtrạng thái lấy trung bình cộng [1] Nhóm tác giả này chứng tỏ rằng TDOS triệt

P  i

tiêu một cách liên tục khi độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó

có thể dùng làm thông số trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha

Anderson Giản đồ pha ( ) tại đối với mô hình AFKM lấp đầy mộtnửa thu được từ lý thuyết môi trường điển hình TMT cho trường hợp tuântheo phân bố đều trên đoạn bao gồm 3 pha: kim loại, điện môiMott (có khe cấm) và điện môi Anderson (không có khe cấm) đã được công

bố trong công trình của Byczuk [2]

Ở đề tài này chúng tôi sẽ nghiên cứu giản đồ pha ở mô hình AFKM lấp đầymột nửa khi bất trật tự tuân theo phân bố Gauss bằng lý thuyết TMT và sosánh với kết quả của Byczuk nhằm đánh giá ảnh hưởng của các loại phân bốtạp lên giản đồ pha tìm được

Đề tài luận văn của tôi là: Giản đồ pha điện tử ở mô hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss

Đề tài hướng tới những kết quả sau đây:

1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson, lýthuyết trường trung bình động và lý thuyết môi trường điển hình cho định xứAnderson

2) Xây dựng giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss và so sánh với giản đồ pha ở trường hợp phân bố đều

Luận văn áp dụng lý thuyết môi trường điển hình, trong đó kết hợp giữaDMFT và việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái định xứ Để đơn giản hóaviệc tính toán DMFT tuyến tính cũng được áp dụng ở đây

Nội dung luận văn có bố cục như sau

Chương 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson

Chương 2: Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson

Chương 3: Giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bốGauss

CHƯƠNG 1: CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ

với ánh sáng nhìn thấy Khi vật liệu trải qua chuyển pha kim loại – điện môi(MIT) điện trở suất của nó thay đổi một vài bậc về độ lớn Ví dụ với V2O3 ,giản đồ điện trở suất - áp suất được trình bày trong Hình 1.2a Tại áp suấtngoài 20Kbar chuyển pha bậc nhất xảy ra, khi đó điện trở suất của V2O3 thayđổi 9 bậc Khi chưa xét đến bất trật tự, hai tham số điều khiển MIT là cường

độ tương quan điện tử và độ lấp đầy dải điện tử Cả hai tham số này đều đượcđiều khiển thông qua điện trường, từ trường ngoài, áp suất và sự pha tạp hạttải Trong các vật liệu, nơi lý thuyết vùng năng lương áp dụng tốt, điều khiểntính dẫn điện rất khó, chẳng hạn như đưa hạt tải vào kim cương Ở một sốvật liệu khác tương quan điện tử đóng vai trò chủ đạo trong việc điều khiểnMIT Ví dụ V2O3.Trạng thái điện môi của nó được gọi là điện môi Mott Sauđây là phần giới thiệu vắn tắt về bức tranh vùng năng lượng, bức tranhchuyển pha kim loại – điện môi Mott và định xứ Anderson

1.1. BỨC TRANH VÙNG NĂNG LƯỢNG

Xét một khí Fermi được đặt vào thế mạng tinh thể tuần hoàn Nếu thế

Hình.1.1 Bức tranh sơ đồ vùng năng lượng E F là năng lượng Fermi, E g là khe cấm, k là véc tơ

năng lượng hệ là kim loại Nếu

E F cắt khe cấm thì hệ là điện môi [3].

R  0.90

mạng không đổi trong không gian và thời gian, các điện tử được phân bố đềutrong không gian và tuân theo phân bố Fermi-Dirac trong không gian xung

lượng Khi thế mạng tinh thể tuần hoàn yếu được đưa vào V(r) = V(r+R), trong đó R là véc tơ mạng, các điện tử với véc tơ sóng k nhất định bị phản xạ

Bragg bởi các mặt mạng trong tinh thể, từ đó một khe năng lượng (khe cấm)

Eg = 2|V| trong vùng lân cận năng lượng Fermi được hình thành, phân táchvùng điện tử thành vùng dưới (vùng hóa tri) và vùng trên (vùng dẫn) Nếutrạng thái trống thấp nhất được tách ra khỏi trạng thái đầy cao nhất bởi khenăng lượng (khe cấm) thì hệ là điện môi Trong trường hợp này, điện trườngngoài yếu không làm thay đổi sự phân bố điện tử và do đó không thể gây radòng điện Khi số lượng điện tử trên mỗi ô cơ sở là chẵn (lẻ) vùng hóa trịluôn bị lấp đầy hoàn toàn (một phần) Nếu E g  0 và mức Fermi cắt với mộttrong các vùng năng lượng thì hệ là kim loại Khi mức Fermi nằm trong khe

cấm hệ là điện môi và E g càng lớn thì tính cách điện của vật liệu càng tốt

Lược đồ cấu trúc vùng đơn giản được trình bày ở Hình1.2 Năng lượng điển hình của khe cấm khoảng vài eV và năng lượng nhiệt k BT 1 / 40 eV không đủ

để tạo ra dòng điện tử

Sự chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra nếu một vật liệu được pha tạpbởi các hạt tải điện hoặc nếu cấu trúc mạng được sắp xếp lại do một áp lựcngoài Ở trạng thái điện môi, mức Fermi nằm trong khe cấm, sự pha tạp vừa

đủ của các điện tử làm cho mức Fermi E F dịch chuyển lên trên vùng điện tử

lấp đầy thấp nhất và hệ trở thành kim loại, hoặc ngược lại Sự tác động của áplực ngoài làm thay đổi đáng kể thế mạng hiệu dụng và dẫn tới sự thay đổi độrộng của khe cấm Khi khe cấm nằm trong vùng lân cận mức Fermi bị triệttiêu hoặc phát sinh, MIT xảy ra

Lý thuyết vùng năng lượng không tiên đoán được cách hành xử của các ôxitkim loại chuyển tiếp (V2O3, NiO, Fe3O4 …) và điện môi Mott Một số ôxít kimloại chuyển tiếp là chất cách điện mặc dù chúng có số lẻ điện tử trên mỗi ô cơ sở.Điều này không phù hợp với lý thuyết vùng Ví dụ các oxit Fe3O4 và Fe2O3 cócấu trúc mạng như nhau và có 5.5 và 5 điện tử tương ứng trên mỗi ô cơ sở Tuythế chất đầu tiên dẫn điện tốt hơn 1011 lần so với chất thứ hai Lý thuyết vùngkhông thể giải thích được pha điện môi khi vùng năng

lượng bị lấp đầy một phần, cũng như ở trường hợp sự lấp đầy không nguyên.Một ví dụ khác là V2O3 lẽ ra phải là một kim loại trong giản đồ pha, trong khi

nó lại thể hiện chế độ điện môi (xem Hình.2b) ở nhiệt độ thấp

khác nhau Sự thay đổi đột ngột của điện trở suất là hệ quả của chuyển pha

kim loại trên cả sơ đồ pha, tuy nhiên số liệu thực nghiệm chứng minh sự tồn tại của pha điện môi tại nhiệt độ thấp [4]

1.2 BỨC TRANH CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI MOTT

Các chất điện môi hình thành do tương quan điện tử được gọi là điện môiMott Xét một hệ điện tử được lấp đầy một nửa với các vùng năng lượnghẹp, được mô tả bởi Hamiltonian Hubbard sau đây:

H   t ij f i† f j  nˆ iU nˆ i nˆ i (1.2.1)

Trong đó, f i† i là toán tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin  ; tij là tham

số nhảy nút của điện tử từ nút j sang nút i xét trong lân cận gần nhất và số hạngđầu của Hamiltonian mô tả động năng của hệ điện tử;  là thế hóa học; U là tương

tác Coulomb địa phương của hai điện tử trên cùng một nút trong mạng

và số hạng sau của Hamiltonian mô tả thế năng của hệ; n i f i†f i là toán tử sốhạt tại nút i Mặc dù mô hình Hubbard rất đơn giản, nó cho phép mô tả phađiện môi Mott và chuyển pha MIT giữa pha điện môi Mott và pha kim loại.Thật vậy, hệ là kim loại hay điện môi phụ thuộc vào tỉ lệ giữa khe năng lượng

và cường độ của tương quan điện tử - điện tử, 2t /U Khi tương quan điện tử điện tử là không đáng kể , t/ U 1, điện tử nhảy giữa các nguyên tử và hệ là kimloại Trong giới hạn nguyên tử, t / U 1, tương quan điện tử - điện tử chiếm ưuthế, các điện tử được định xứ mạnh và hệ là điện môi

-Hình.1.3 a) Sơ đồ chuyển pha Mott, trong đó khi tương quan điện tử giảm phân vùng Hubbard dưới (LHB) và phân vùng Hubbard phía trên (UHB) bắt đầu phủ nhau và hệ trở thành kim loại b) Phổ phát xạ và các tính toán của lý thuyết

nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn nhiều so với dự đoán của

) và LHB được nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn nhiều so với dự đoán của mô phỏng theo lý thuyết trường trung bình động.

Sơ đồ chuyển pha Mott được trình bày trong Hình 1.3.a Chúng ta hãy

xem xét một hệ lấp đầy một nửa và xen phủ nhỏ của các quỹ đạo nguyên tử,tức là độ rộng vùng 2D U Năng lượng   E0N 1E0Ncần để tăng

thêm một điện tử được cho bởi N  LU  D (N là số điện tử và L là số nút mạng), ở đây kích thích điện tích với năng lượng U được xem là linh động, sao cho chúng tạo thành một vùng rộng D như trong trường hợp các

điện tử không tương tác Vùng này gọi là phân vùng Hubbard trên, nói chungkhông phải là vùng đơn điện tử và nó mô tả phổ kích thích điện tích khi mộtđiện tử được thêm vào trạng thái cơ bản Năng lượng cần thiết để loại bỏ mộtđiện tử là N L E0 N  E0N  1 2D Phổ tương ứng tạo thành phân

vùng Hubbard dưới Cả hai phân vùng được trình bày trong Hình.1.3a Khi

D U chúng ta chờ đợi rằng thếhóa học không liên tục và khe năng lượng

 N  L  U  D  0 , hai phân vùng tách nhau, do đó hệ là điện môi Nếu độ

xen phủ nhau của các quỹ đạo nguyên tử tăng U  D , hai phân vùng bắt đầuchạm nhau, chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra Khi U D các phân vùngphủ nhau, khe cấm biến mất và hệ là kim loại

Năng lượng khe cấm của chất điện môi vào cỡ eV, trong đó 1 eV ~ 104K, vượt quá thang năng lượng (nhiệt độ Neel) được dự đoán bởi Slater, E g  k

B T N Nếu lực đẩy trong chất điện môi là lớn so với động năng, độ ổn định của

điện môi được đảm bảo

Mặc dù lý thuyết Mott-Hubbard đã mô tả tốt các trạng thái điện môi,nhưng nó không mô tả được chính xác các trạng thái kim loại Trong các kimloại tương quan, đỉnh chuẩn hạt nằm tại mức Fermi, ngoài phân vùngHubbard dưới, được quan sát thấy trong các thí nghiệm phát quang Ví dụphổ của V2O3 được thể hiện trong Hình.1.3.b Lưu ý rằng các thí nghiệm

phát quang chỉ phân giải các trạng thái bị chiếm đóng và do đó không thểphân giải phân vùng Hubbard trên Ngoài ra, ở bức tranh MIT trên đây bất trật

tự chưa được đề cập đến Phần tiếp theo sẽ giới thiệu chuyển pha kim loại –điện môi Anderson

mật độ trạng thái khác không, hàm sóng điện tử tương ứng trải rộng trên toàn

bộ cấu trúc Trong một tinh thể thực, sự tán xạ của hàm sóng điện tử với các tạpchất làm xuất hiện điện trở và độ dẫn điện hữu hạn Theo vật lý cổ điển, điện tửlan truyền trong kim loại theo cơ chế khuếch tán và có thể mô tả nó như là sựdịch chuyển ngẫu nhiên: sau mỗi va chạm điện tử không còn ghi

nhớ chuyển động trước đó của nó, và do đó mật độ hạt n r , t tuân theo

phương trình



trong đó D là hệ số khuếch tán Mật độ nr,tcó thể được hiểu như mật độ

hạt, nhưng cũng có thể hiểu là xác suất tìm thấy một hạt ở tọa độ r tại thời điểm t Nếu điện tử bắt đầu dịch chuyển từ một điểm xác định ở thời điểm ban

đầu ( t  0 ), độ dịch chuyển bình phương trung bình tại thời điểm t, khi thời

gian đủ dài là

r t 2 2Dt, t . (1.3.2)

Từ biểu thức (1.3.2), gọi l là quãng đường tự do trung bình và  là thờigian giữa hai lần va chạm liên tiếp, ta có thể viết được hằng số khuếch tánnhư sau

Khi vật dẫn được đặt trong một điện trường E, điện tử nhận xung lượng

từ trường ngoài, và nó có tốc độ cuốn: theo mô tả cổ điển, hạt được giả định

có xung lượng hoàn toàn xác định trên quãng đường tự do trung bình l và

xung lượng của nó giảm xuống sau mỗi lần tán xạ với tạp chất Ở trạng tháicân bằng, tốc độ mà điện tử được gia tốc nhờ trường ngoài bằng tốc độ mà nó

bị tán xạ do tạp chất . Lưu ý rằng chỉ có các điện tử ở gần với mức Fermi E F

mới tham gia vào quá trình dẫn điện và biểu thức của độ dẫn điện là

 ne 2  / m , với mật độ điện tử linh động nliên hệ với mật độtrạng thái tạimứcFermi được tính theo công thức:  E F   n / E F  2 n / mv F2 Kết hợp 2 côngthức này với công thức của hằng số khuếch tán và thời gian phục hồi  ở

(1.1.3), chúng ta thu được liên hệ giữa độ dẫn điện với hằng số khuếch tán như sau:

  e 2 D  E F, (1.3.4)

trong đó e là điện tích của điện tử Theo bức tranh này, khi mất trật tự của hệ

tăng, tức là nồng độ tạp chất tăng, quãng đường tự do trung bình của điện tử

giảm, dẫn tới D giảm và độ dẫn điện giảm Với mất trật tự mạnh, tuy nhiên

chúng ta vẫn chờ đợi một độ dẫn điện  hữu hạn Tuy nhiên, trong báo cáo hộithảo năm 1958, Anderson cho rằng, khi mất trật tự vượt qua một giá trị tớihạn, thì biểu thức (1.3.4) không còn đúng nữa, điện tử bị bẫy và sự chuyểnđộng khuếch tán của nó bị dừng hoàn toàn [6] Ý tưởng này ban đầu đượcđưa ra để giải thích một số kết quả thực nghiệm của nhóm của Feher, theo đóthời gian phục hồi của các spin điện tử trong chất bán dẫn pha tạp dài mộtcách bất thường Đặc biệt, Anderson đưa ra giả thuyết rằng, khi quãng đường

tự do trung bình của điện tử nhỏ hơn chiều dài bước sóng Fermi F  2 / k F ,

thay vì cho rằng các điện tử như là các sóng lan truyền với thời gian sốngngắn, chúng có thể được xem như các sóng bị giam cầm trong không gianvới thời gian sống dài Hàm sóng  r  của điện tử được định xứ theo hàm

mũ xung quanh một tâm r0 , trên một khoảng cách  , được gọi là độ dài định

nút t Sự tương tác giữa điện tử với điện tử được bỏ qua Hamiltonian của mô

hình này có dạng [6]

H i ci†ci  t ci†cj  h.c., (1.3.6)

trong đó tham số ngẫu nhiên i được phân bố độc lập và đồng nhất, chẳng hạn

với dạng phân bố hộp (đều) sau đây:

Hình 1.4 Các hàm sóng định xứ ở vật liệu bất trật tự 2 chiều [7]

trường hợp giới hạn này căn cứ vào tỉ số W /t : nếu nó lớn, có rất ít khả năng

để điện tử tìm thấy một mức năng lượng sát nhau và không quá xa nhau trongkhông gian, và như thế sự chồng chập của hàm sóng ở các nút tương ứng là

không đáng kể Để hiểu rõ hơn điều này chúng ta xét một Hamiltonian gồm 2nút mạng, với số hạng chéo  1 ,  2 và số hạng nhảy nút t.

Dễ dàng thực hiện việc chéo hóa nó Rõ ràng trong trường hợp này độ lệchcủa các trạng thái riêng với các véc tơ trên nút ban đầu t chịu sự chi phối của

tỉ số và sự chênh lệch giữa các giá trị năng lượng riêng E 1 và E 2 được

cho bởi  1  22 t2 Bởi vậy, nếu  1  2 t , hàm riêng gần đúng bằng các

hàm sóng trên nút ban đầu, trong khi nếu  1  2 t chúng ta thu được hai

trạng thái riêng trong đó xác xuất được chia sẻ giữa các nút (cộng hưởng).Trong mô hình Anderson chúng ta có thể tưởng tượng rằng, nếu mất trật tựmạnh W t sẽ có một vài cộng hưởng cô lập và các hàm sóng gần đúng

bằng các véc tơ sóng trên nút Trong trường hợp này điện tử bị bẫy xungquanh một tâm và hàm sóng của nó được cho bởi hàm bao Ngược lại khi sốhạng nhảy nút đủ mạnh so với mất trật tự, chúng ta sẽ có nhiều cộng hưởngphủ nhau và hệ sẽ có thuộc tính kim loại

Các trạng thái riêng định xứ được chờ đợi xuất hiện trong đuôi phổ nănglượng Lý do trực quan đầu tiên là những trạng thái này có nguồn gốc từ nănglượng ngẫu nhiên lớn, và do đó, có thể trông đợi chúng bị ảnh hưởng bởi mấttrật tự nhiều hơn các trạng thái tại tâm phổ Lý do thứ hai được đề xuất bởiLifshitz: như đã đề cập ở trên, sự khuếch tán có thể xảy ra nếu bước sóngFermi F của điện tử nhỏ hơn rất nhiều quãng đường tự do trung bình Do đó,

một tiêu chuẩn trực quan cho xuất hiện định xứ là điều kiện

 1  2

t

Vì các trạng thái thuộc đuôi phổ có chiều dài bước sóng lớn hơn so với cáctrạng thái ở trung tâm, chúng ta kì vọng sự định xứ xảy ra đầu tiên ở đuôi phổ.

Đối với mỗi giá trị mất trật tự W có một năng lượng giới hạn E c, được gọi là

biên độ linh động (mobility edge), chia tách các trạng thái định xứ với các

trạng thái phi định xứ Trong trường hợp của mô hình Anderson, chúng được

Trạng thái định xứ Trạng thái định xứ

Trạng thái lan truyền

Hình.1.5 Các trạng thái định xứ xuất hiện đầu tiên ở đuôi vùng, như chờ

thay đổi mức Fermi so với đuôi vùng, chuyển pha kim loại – điện môi có thể

xảy ra trong hệ.

biên độ linh động E c1 và E c2 tách biệt, với mỗi giá trị của W các trạng thái

định xứ nằm từ phần đuôi vùng đến các trạng thái lan truyền ở phần tâm vùng

Bằng cách thay đổi mức Fermi E F so với biên độ linh động có thể thu được

quá trình chuyển pha kim loại – điện môi tại nhiệt độ bằng không (T = 0K) Đặc biệt, nếu E F > E c1 hệ vận hành như kim loại, trong trường hợp ngược lại

thì như một chất điện môi Tồn tại một giá trị tới hạn W c của bất trật tự để E c1

Hình 1.6.

E

Điện môi

Kim loại

E Hình 1.6 Giản đồ pha định tính của mô hình Anderson trên mặt phẳng W-E Với mỗi giá trị của bất trật tự W, có 2 biên vùng đối xứng và khi bất trật tự

nét chỉ các biên vùng mà phía ngoài nó mật độ trạng thái bằng không [7].

Trực giác của Anderson và khám phá cơ chế của định xứ Anderson thể hiện sựphá vỡ bức tranh khuếch tán thông thường: chất điện môi của Anderson

không liên quan đến việc lấp đầy các dải mà liên quan đến sự hình thành các bẫy điện tử trong mạng do có bất trật tự [7]

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH

XỨ ANDERSON 2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN

Vào những năm 1950 - 1960 các hàm Green lượng tử được Feynman

và Schwinger đề xuất như là các hàm truyền trong lý thuyết trường lượng tử.Ngay sau đó chúng được mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt HàmGreen vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt Khi hàmGreen được xác định thì các tính chất vật lý của hệ tương ứng cũng được xácđịnh theo Trong phần này sẽ đưa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lýlượng tử được Zubarev đưa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toántrong hệ tương quan mạnh

2.1.1 Định nghĩa các hàm Green hai thời gian.

Trong các công thức trên:

Toán tử sắp xếp thứ tự thời gian từ lớn đến nhỏ:

Ở đây là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức

là X  1Tr e H X , với H là Hamiltonian của hệ,   1 là nhiệt độ

nghịch đảo và Z  Tr e H  là hàm phân hoạch của hệ

A t  và B t' là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễnHeisenberg và tiến hóa theo quy luật A t  e iHt Ae iHt ; B t ' e iHt Be iHt

Tùy theo các hạt là Fermion (1) hoặc boson (1) mà

Từ định nghĩa ta có: Khi t < t’ thì t  t ' 0 , tức là G rt , t' 0 Khi

A t B t    1TreH AtBt 

 1Tr  e  H e iHt Ae iHt e iHt  BeiHt  (2.1.5)

 1Tr  e H e iH t t  Ae iH t tB  Nhƣ vậy hàm Green trễ (2.1.4) chỉ phụ thuộc vào hiệu tt.

Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch

2.1.2 Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian.

Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận

được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green

Xét phương trình chuyển động cho hàm Green trễ:

Với hàm Green sớm ta cũng thu được kết quả tương tự

Vậy phương trình chuyển động cho hảm Green hai thời gian có dạng:

Với   U  iii,j   ij n  t im iim,j imi,j iim,j.

Ta sử dụng gần đúng nguyên tử: tij  0 khi ij và đặt tii  k ta thu

2.2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON

2.2.1 Lý thuyết trường trung bình động cho hệ đồng nhất

Trong lý thuyết trường trung bình động, bản chất vật lý của bài toán hệnhiều hạt được quy về bài toán ở các mô hình đơn tạp được liên kết tự hợpvới một môi trường hiệu dụng Để lấy ví dụ, ta xét mô hình Hubbard cóHamiltonian được cho ở công thức (1.2.1) ở Chương 1

Hình 2.1: Hình minh họa cho hệ có sự tương tác giữa các nút

Giả sử có một hệ thỏa mãn tính bất biến tịnh tiến như trong Hình 2.1.

Xét một nút bất kì trong hệ, nếu số nút lân cận tiến tới vô cùng, theo định lýgiới hạn trung tâm những thăng giáng trong không gian là nhỏ và có thể bỏqua Điều này có nghĩa là ảnh hưởng từ các nút khác có thể được thay thếbằng một môi trường hiệu dụng, tức là tất cả các bậc tự do trên các nút khác

sẽ được tích hợp như là một bể ngoài đối với nút đã cho, được thể hiện ở

Hình 2.2 Do đó động lực học tại nút đã cho ấy (tạp) có thể được coi là sự

tương tác (sự lai hóa) của nút này với bể Hơn thế nữa, bể này tự nó không

tương tác

Bể

Hình 2.2: Hình minh họa của phương pháp

Bây giờ phương trình Hamiltonion hiệu dụng được viết lại dưới dạng:

H    c† c   f    nˆ Unˆ i nˆ i  c† f f† c, (2.2.1)

trong đó, số hạng đầu là năng lượng của điện tử dẫn; số hạng thứ hai biểuhiện năng lượng của tạp; số hạng thứ ba là thế năng tương tác Coulomb ởtạp;   là tham số lai hóa giữa tạp và bể Chỉ số  là bậc tự do của trạng tháiđiện tử của bể Do đó bài toán hệ nhiều hạt chuyển thành bài toán tạp lượng

tử Chú ý rằng đến tương tác Coulomb chỉ tồn tại ở nút tạp

Nếu năng lượng của các điện tử tương quan   và tham số lai hóa   đãbiết, chúng ta có thể thu được hàm Green G cho tạp khi lực tương tácCoulomb U  0 Hàm Green này chứa tất cả các thông tin của bể Do đó nếubiết được hàm Green thì sẽ biết được bể Sau đó chúng ta có thể tính toán vàthu được hàm Green G i với U tùy ý i biểu thị tần số trên trụcMatsubara

Ý tưởng vật lý của lý thuyết trường trung bình động dựa trên việc nhậnthấy rằng năng lượng riêng  k ,i trở thành không phụ thuộc k trong giớihạn vô hạn chiều Tức là k,inin Cách tính hai đại lượng nàynhư sau: Năng lượng riêng trong vô hạn chiều có thể được suy ra từ lý thuyếtnhiễu loạn, chỉ chứa các phần tử địa phương