Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy Dirichlet đối với chương trình parabolic cấp hai - Luận văn toán học

Trongo hàm riêng.. Nhng sinh viên yêu thích nó.. NhTTm góp phm góp phAAn giúp nhn giúp nhMMng ng bb..nnsinh viên và nh sinh viên và nhMMngng &3&3c c gigi77 yêu môn ph yêu môn ph' ' ng tr

   11L

L  I CI C##MM ! ! NNTrong quá trình hoàn thành lu

Trong quá trình hoàn thành lun n vv$$n, tôin, tôi &&ãã &'( &'( c c ss** ch ch++  &.&.o, o, hh'/ '/ ng ng dd11n,n,

Tin, phòng nghiên cBBu khoa hu khoa hCCc và thc và th'' vi vi==n tr n tr '9 '9 ngng &.&.i hi hCCc Tây Bc Tây BDDc Bên cc Bên c nhnh

&&ó tôi còn nhó tôi còn nhnn &'( &'( c sc s**  &3&3ng viên giúpng viên giúp &E &E  c c55a các ba các b n trong tn trong t p th p thGG l l/ /  p K47  p K47

 Ng'9 '9 i thi th**c hic hi==nn

Lê Th

Lê Th'' Li Li**uu

M C LC L CCL

L9 9 i ci c77mm ) ) n……….……… 1n……….……… 1Ph

PhAAn mn m> >   &A&Au……… 3u……… 3

1.2 M33t vài không gian ct vài không gian c55a các hàm 17a các hàm 17

1.2.2 Không gian ph1.2.2 Không gian phQQ thu thu33c thc th9 9 i gian ……… ……… 18i gian ……… ……… 18

Không Không gian gian hàm hàm LL p(0,T;X) ……… 18Không gian

Không gian hàm C(hàm C([0,T];X)………[0,T];X)……….……… 18…….……… 181.3 Các b

1.3 Các b??tt &R&Rng thng thBBc……….19c……….191.3.1 B

1.3.1 B??tt &R&Rng thng thBBc c Gronwall-Bellman………Gronwall-Bellman……….……… 19….……… 191.3.2 B

1.3.2 B??tt &R&Rng thng thBBc nc n$$ng lng l'( '( ng……….……… 19ng……….……… 19Ch

Ch') ') ng 2.Tínhng 2.Tính &N&Ntt &&úng cúng c55a bài toán Cauchy – Dirichleta bài toán Cauchy – Dirichlet &P&Pi vi v/ / i phi ph') ') ngngtrình Parabolic c

trình Parabolic c?? p hai……… p hai……….……….…… 21 212.1 M

2.1 M> >   &A&Au 21u 212.1.1 Thi

2.1.1 ThiLLt lt l p bài toán  p bài toán 21 212.1.2 Mô típ c55aa &I&Inh nghnh ngh S  S a nghia nghi==m suy r m suy r 33ng 22ng 222.1.3 Nghi

2.1.3 Nghi==m suy r m suy r 33ng 23ng 232.2 S

2.2 S** t t88n tn t i duy nhi duy nh??t ct c55a nghia nghi==m suy r m suy r 33ng 25ng 252.2.1 M

2.2.1 M33t st sPP  &&ánh giá tiên nghiánh giá tiên nghi==m 25m 252.2.2 S

2.2.2 S** t t88n tn t i nghii nghi==m suy r m suy r 33ng 28ng 282.2.3 Tính duy nh

2.2.3 Tính duy nh??t nghit nghi==m suy r m suy r 33ng 30ng 30

K 

K LLt lut lun 31n 31Tài li

Tài li==u tham khu tham kh77o:……… ………32o:……… ………32

   33

PHPH00N MN M1 1   &0&0UU

1 Lí do ch

1 Lí do ch22n khoá lun khoá lu44nn

Trong chTrong ch') ') ng trình cng trình c55a ba bcc &.&.i hi hCCc, bc, b'/ '/ cc &A&Au chúng tau chúng ta &&ãã &'( &'( c làm quenc làm quenvv/ / i môn phi môn ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng Trongo hàm riêng Trong &&ó, taó, ta &&ã ã bibiLLtt &'( &'( c các vc các v??nn &;&;  cc) )    b

 b77n liên quann liên quan &L&Ln phn ph') ') ng trình Lapace, phng trình Lapace, ph') ') ng trình truyng trình truy;;n sóng, phn sóng, ph') ') ng trìnhng trìnhtruy

truy;;n nhin nhi==t.t OOó là các phó là các ph') ') ng trìnhng trình &) &) n n gigi77n n llAAn n ll'( '( tt &.&.i i didi==n cho ba ln cho ba l/ /  p p ph

 ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng là pho hàm riêng là ph') ') ng trình long trình lo i eliptic, hypebolic và parabolic.i eliptic, hypebolic và parabolic.Khi h

Khi hCCc ta thc ta th??y r y r TTng,ng, &ⅈ;u u kiki==n n tt88n tn t i nghii nghi==m theo nghm theo ngh S  S a thông tha thông th'9 '9 ng thng th'9 '9 ngng

&&òi hòi hKKi khá nhii khá nhi;;u u yyLLu u ttPP kh khDDt khe nht khe nh'' tính tr  tính tr ) ) nn &L&Ln cn c?? p c p c55a pha ph') ') ng trình,ng trình, &ⅈ;uunày gây khó kh

này gây khó kh$$n khi xét các bài toánn khi xét các bài toán &P&Pi vi v/ / i các phi các ph') ') ng trình trên nhng trình trên nhMMng ming mi;;nn

 b??t kì hot kì hoNNcc &P&Pi vi v/ / i nhi nhMMng bài toán cng bài toán c55a các pha các ph') ') ng trình tng trình tUUng quát hng quát h) ) n.n OGOG kh khDDcc ph

 phQQcc &ⅈ;u này, thay vìu này, thay vì &&i tìm nghii tìm nghi==m cm cUU  &&iiGGn, ngn, ng'9 '9 i tai ta &&i tìm nghii tìm nghi==m suy r m suy r 33ng,ng,ttBBc là là nghic là là nghi==m “ thô” lúcm “ thô” lúc &A&Au là nghiu là nghi==m “ khá gm “ khá gAAn” vn” v/ / i nghii nghi==m hm hAAu u khkhDD p  p nn) ) iiho

hoNNc nghic nghi==m cm cUU  &&iiGGn gn gCCi chung là nghii chung là nghi==m thông thm thông th'9 '9 ng Saung Sau &&ó nhó nh9 9  các công c các công cQQ  cc55a a gigi77i tích hàm, ta làm cho nghii tích hàm, ta làm cho nghi==m m ddAAnn &L&Ln nghin nghi==m thông thm thông th'9 '9 ng Chính vìng Chính vìvvy, phy, ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng còn là vo hàm riêng còn là v??nn &;&; r  r ??t mt m/ / i mi mVV và bí và bí WWn kích thích sn kích thích s**  khám phá c

khám phá c55a a nhnhMMng sinh viên yêu thích nó Nhng sinh viên yêu thích nó NhTTm góp phm góp phAAn giúp nhn giúp nhMMng ng bb nnsinh viên và nh

sinh viên và nhMMngng &3&3c c gigi77 yêu môn ph yêu môn ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng nói chung vào hàm riêng nói chung và b77n thân tác gin thân tác gi77  nói riêng hi  nói riêng hiGGu sâu hu sâu h) ) n n vv;;  môn h  môn hCCc này và tic này và tiLL p  p ttQQc tìm hic tìm hiGGuukhám phá, tôi m

khám phá, tôi m nh nh dd n nghiên cn nghiên cBBuu &;&; tài: “Nghiên c tài: “Nghiên cBBu tínhu tính &N&Ntt &&úng cúng c55a bàia bàitoán Cauchy – Dirichlet

toán Cauchy – Dirichlet &P&Pi vi v/ / i phi ph') ') ng trình parabolic cng trình parabolic c?? p hai”. p hai”

VV??nn &;&; nghiên c nghiên cBBu trong luu trong lun vn v$$n là vn là v??nn &;&; m m/ / ii &P&Pi vi v/ / i sinh viên bi sinh viên bcc &.&.iihhCCc, vì vc, vì vy y phph') ') ng pháp nghiên cng pháp nghiên cBBu u chch55  yyLLu là nghiên cu là nghiên cBBu lí thuyu lí thuyLLt t ccQQ  ththGG  làlà ph

 ph') ') ng pháp xng pháp x?? p  p xx++ Galerkin S Galerkin S''u u ttAAm tài lim tài li==u,u, &C&Cc c hihiGGu tài liu tài li==u trên cu trên c) )   ss> >   &&óó phân

 phân tích, tích, ttUUng ng hh( (  p,  p, didiXXn n gigi77i, làm rõ và trình bày thành mi, làm rõ và trình bày thành m33t t hh==  ththPPngng &G&G  gigi77iiquy

quyLLt các vt các v??nn &;&;  &N&Nt ra ct ra c55a lua lun vn v$$n.n

2.3 Ph2.3 Ph;;m vi nghiên cm vi nghiên c< < uuPh

Ph m vi nghiên cm vi nghiên cBBu u cc55a a lulun n vv$$n là phn là ph') ') ng trình parabolic cng trình parabolic c?? p  p hai hai vàvành

nhMMng king kiLLn thn thBBc cc c) )  s s> >  liên quan liên quan &L&Ln vin vi==c nghiên cc nghiên cBBu tínhu tính &N&Ntt &&úng cúng c55a bài toána bài toánCauchy – Dirichlet

MQQcc &&ích nghiên cích nghiên cBBu u cc55a a lulun n vv$$n là tìm hin là tìm hiGGu sâu hu sâu h) ) n n vv;; môn ph môn ph') ') ngng

trình &.&.o hàm riêng, co hàm riêng, cQQ th thGG là ph là ph') ') ng trình parabolic cng trình parabolic c?? p hai. p hai

OOóng góp thêm tài lióng góp thêm tài li==u tham khu tham kh77o cho gio cho gi77ng viên, sinh viên và tng viên, sinh viên và t??t t cc77  nh

nhMMng ai quan tâng ai quan tâmm &L&Ln môn phn môn ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng.o hàm riêng

3.2 Nhi3.2 NhiAAm vm v>> c cDDa khoá lua khoá lu44nnV

V/ / i i mmQQcc &&íchích &N&Nt ra, nhit ra, nhi==m m vvQQ nghiên c nghiên cBBu u cc55a khoá lua khoá lun là nghiên cn là nghiên cBBuutính

tính &N&Ntt &&úng cúng c55a bài toán Cauchy – Dirichleta bài toán Cauchy – Dirichlet &P&Pi vi v/ / i phi ph') ') ng trình parabolic cng trình parabolic c?? p phai

3.3 Nh3.3 NhB B ngng @@óng góp cóng góp cDDa khoá lua khoá lu44nnO

Oóng góp nóng góp nUUi i bbt t cc55a khoá lua khoá lun là cung cn là cung c?? p p &'( &'( c c mm33t t hh==  ththPPng tri thng tri thBBccm

m/ / i chuyên sâu vi chuyên sâu v;; môn ph môn ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêng hio hàm riêng hi==nn &.&.i.i OOó là các kháió là các kháini

ni==m mm m/ / i nhi nh'':: &I&Inh nghnh ngh S  S aa &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng, các không gian Sobolev Ngoài rang, các không gian Sobolev Ngoài ra

   55

CHCHF! F! NG 1NG 1  M

MGGT ST SII KI KIKKN THN THM M C LIÊN QUANC LIÊN QUAN1.1 Không gian Sobolev

1.1.1 Không gian C k    Ω(( ))Ω   

Ta dùng các kí hi

Ta dùng các kí hi==u sau:u sau:

+) C (( ))  Ω Ω  là t là t p h p h( (  p t p t??t ct c77 các hàm liên t các hàm liên tQQc trênc trên Ω

+) C k    Ω(( ))Ω  là t là t p h p h( (  p các hàm xác p các hàm xác &I&Inh trênnh trên Ωsao chosao cho &.&.o hàmo hàm &L&Ln cn c?? p k t p k t88n tn t ii

và liên t

và liên tQQc trênc trên Ω

+) C ∞(( )) Ω  là t là t p h p h( (  p t p t??t ct c77 các hàm kh các hàm kh77 vi vô h vi vô h n ln lAAn trênn trên Ω

Gi77 s sYY  Ω là  là mm33t tt t p m p m> >  trong trong

 suppu

 Nh Nh'' v vy hàmy hàm u(x) = 0,u(x) = 0, x∈∈ΩΩ \\ suppu

Ta có+) C 00   Ω(( ))Ω là là tt p  p hh( (  p  p tt??t t cc77 các hàm thu các hàm thu33cc C (( ))  Ω Ω  sao cho giá c sao cho giá c55a chúnga chúngcompact và thu

compact và thu33c vàoc vào Ω

quan tr CCng là không gian Lng là không gian L p mà d mà d'/ '/ ii &&ây ta sây ta sZZ kh kh77o sát.o sát

&'

&'nh nghnh ngh N  N a.a

Cho mt không gian Ω  và và mmtt $  $ oo µ trên mtt σ −   $%i i ss'  F các t )) pcon

nhau, ngh S  S a là ba là bTTng nhau hng nhau hAAu khu khDD p n p n) ) i) là mi) là m33t không gian tuyt không gian tuyLLn tínhn tính &I&Inh chunh chuWWnnvv/ / i phép toán thông thi phép toán thông th'9 '9 ng vng v;; c c33ng hàm sng hàm sPP, nhân hàm s, nhân hàm sPP, và v, và v/ / i chui chuWWnn

11

((  p ))  p  p

Gi//  ss@    Ω l là à mmt t mimiA n trong R nn T T )) p  p hhB  p  p t t . t t cc// các hàm liên t CCc trong

Ω v7 i giá compact trù m))t trong không gian L p(( )),,Ω pp≥≥11   

&'

&'nh lí 3.(Tính khnh lí 3.(Tính khPP ly) ly)

Gi// s@  p D  1 và Ω là mt miA n thucc R nn T EEn t %%i mt t )) p con $: m $3B cccác phFFn t @  c**a không gian L p   Ω(( ),Ω), sao cho bao tuy: n tính c**a nó trù m))t trong(( ).)

 p

 L    Ω Ω   

ChCh< < ng minhng minhGi

Gi77 s sYY R là m R là m33t st sPP h hMMu tu t++ nào nào &&ó,ó, x ∈ R nn  

   77Gi

Gi77   ssYY   f f ∈ L p(( ))Ω   vàvà εε > 00 ONONtt  f f xx(( )) 00   ==   vv/ / ii  x ∉ ∉Ω Ω, và xét nh, và xét nh''   mm33tthàm thu

hàm thu33cc L p((R nn)) Ch ChCCn R là mn R là m33t st sPP nguyên nguyên &5&5 l l/ / n sao chon sao cho

 g

 g xx − −gg yy < <ε R−− xx yy U∈ ∈U RR xx yy− − <<δ   ll??yy δ == R R nn   22−−   vv/ / i N là mi N là m33t t ssPP nguyên nào nguyên nào &&óó &G&G  δ   &5&5  nhnhKK Chia hình h Chia hình h33 p p

((00,, ))

U R  thành các hình h thành các hình h33 p nh p nhKK không giao nhau có không giao nhau có &3&3 dài c dài c nh lành là R 22   −− N  và xéttt p h p h( (  p S bao g p S bao g88m các hàmm các hàm &N&Nc tr c tr ''ngng  X  X xx j j(( )) c c55a các hình ha các hình h33 p này v p này v/ / i mi mCCi N.i N

ONONtt

(( ))  R(( ))jj jj(( )),,

 j j

hh xx == ∑gg xx XX xx   trong

trong &&óó x j j là tâm c là tâm c55a các hình ha các hình h33 p nh p nhKK

Khi&&óó

(( )) (( )) (( )) (( ))

nn  p

00

 R

 g    == , h(x) = 0, h(x) = 0 &P&Pi vi v/ / ii x∈R nn \\ ((00,, ))U R  ta ta &'( &'( cc

11 11

nn

 p  p

ThTht vt vy giy gi77 s sYY  uu xx11(( )) và uu xx  là22(( )) là &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng cng c55a hàma hàm vv xx(( ))

KhiKhi &&óó

00

( (( ( ))uu xx uu xx(( )))) (( ))ψ xx ddxx 00,, ψ (( ))xx CC (( ))   

ONONc c bibi==t t nnLLu hàmu hàm vv xx(( ))  bbTTng ng hhTTng ng ssPP  ( ( hhAAu u khkhDD p  p nn) ) i) trêni) trên Ω thì có thì có &.&.o hàmo hàmsuy r 

suy r 33ng tung tu[[ ý. ý

iii)iii) TT]]  &I&Inh nghnh ngh S  S a ta suy raa ta suy ra &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng không phng không phQQ thu thu33c vào thc vào thBB t t**  ll??yy &.&.o hàm Tho hàm Tht vt vy giy gi77 s sYY   tt88n tn t ii &.&.o hàm co hàm c?? p p ^^

thì có &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng cng c?? p p ^^ nh nh''ngng &&ii;;u ngu ng'( '( c lc l i nói chung khôngi nói chung không &&úng.úng

Ví d

Ví dQQ  Xét hàm  f f xx(( ))== xx  trên (-1;1)

&

&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng trên khong trên kho77ng ( -1;1).ng ( -1;1)

v)v) M M33t hàm cót hàm có &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng cng c?? p p ^^ trong mi trong mi;;nn Ω thì nó c thì nó c ng cóng có &.&.oohàm suy r 

hàm suy r 33ng cng c?? p p ^^ trong mi trong mi;;nn Ω Ω ⊂ Ω '' ⊂ Ω

ThTht vt vyyGi

Gi77 s sYY   f f ∈ ∈ Ω L11(( )),,Ω ∈ vv C ∈ ΩC 00∞ (( ))Ω  ta có

vv C∈ ∈ Ω C∞ Ω ∈ vv C∈ ΩC∞ Ω    v v/ / ii Ω Ω ⊂ Ω '' ⊂ Ω nên

∂ ∂∂   trên Ω'.'.  

vi)vi)  Khác v  Khác v/ / ii &.&.o hàm co hàm cUU   &&iiGGn,n, &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ngng  D  D vvα

   &'( &'( c xácc xác &I&Inhnhngay v

ngay v/ / i ci c?? p p ^^ mà không c mà không cAAn gin gi77 thi thiLLt cáct các &.&.o hàm co hàm c?? p th p th?? p h p h) ) n tn t') ') ngng BBng tng t88nntt i Cáci Các &.&.o hàm co hàm c?? p th p th?? p h p h) ) n có thn có thGG không t không t88n tn t i.i

SauSau &&ây taây ta &&i xét mi xét m33tt &I&Inh lí vnh lí v;; s s** liên h liên h== gi giMMaa &.&.o hàm suy r o hàm suy r 33ng và trungng và trung bình hoá

Do 0 < h < d,  x ∈ ∈Ω Ω '' và hàm

00

(( ))  x

 x yy

C  hh

 x

 x yy  D

gian này vào giMMa tha thLL k  k ++ 20 và t 20 và t]]  &&óó &L&Ln nay nhin nay nhi;;u nhà toán hu nhà toán hCCc khácc khác &&ã tiã tiLL p t p tQQccm

m> >  r  r 33ng và phát tring và phát triGGnn &G&G nghiên c nghiên cBBu nhu nhMMng bài toán phng bài toán ph') ') ng trìnhng trình &.&.o hàm riêngo hàm riêngngày càng khó kh

 p  p

mt không gian Banach.  

 Không gian W  pm   Ω(( ))Ω  v7 i chu> n (4.1)$3B c g  i là không gian Sobolev.i là không gian Sobolev.  Chú ý

Chú ý  TT]] tính ch tính ch??tt L p   Ω(( ))Ω là không gianlà không gian &A&Ay ta cy ta c ng suy rang suy ra &'( &'( cc W  pm   Ω(( ))Ω  c c ng làng làkhông gian

không gian &A&Ay.y

W (( )) 00

ChCh< < ng minhng minhTheo

Theo &I&Inh lí 9 ta cónh lí 9 ta có

hh m

α  == T T]]  &I&Inh lí 6 suy ranh lí 6 suy ra''

(( ')') 00,, 00

m  p

hàm (( ))uu xx khikhi  j j  →  → ∞ ∞ Khi $ óó { { }}uu j j  j j   ∞∞11

==  hi t CC y: u trong không gian L p   Ω(( ))Ω   

W 

uu Ω   ≤≤ C   

  1515ChCh< < ng minhng minh

(( )) lliim m (( )) (( )) (( ))

 p

 p  p

W Ω Ω ≤ ≤ < pp < ∞ ∞   Không gian

00

(( )),, 11

m  p

&'nh lí 14 ( Friedrichs)nh lí 14 ( Friedrichs)

Gi//   ss@    Ω   là là mmt t mimiA n n bb<<   chchPPn trong R nn Khi $ ó ó t t EEn n t t %%i i mmt t hhN ng ng ss'   

(( ))C

C C = = ΩC Ω  , phCC thuc vào Ω  sao cho

11 11