Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Môn toán là một trong những bộ môn văn hóa cơ bản trong nhà trường phổthông, phần nhiều học sinh học tốt môn toán thì sẽ học tốt các môn học khác,bởi lẽ các em đã có khả năng tư duy toán học tốt thì cũng có thể đủ khả năngtiếp thu các môn học khác Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùngphong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mêsay, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này

Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, thời lượngdành cho phương trình vô tỉ là rất ít Các ví dụ, bài tập đưa ra còn đơn giản vàhạn chế, nên học sinh chưa nắm được nhiều kiến thức, các dạng phương trình vàphương pháp giải Do đó kĩ năng về giải phương trình vô tỉ của các em học sinhcòn rất hạn chế và thường mắc phải những sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

Vì vậy, việc hệ thống các dạng và cách giải các dạng phương trình vô tỉ là rấtcần thiết Muốn vậy, trong các tiết học, các tiết luyện tập giáo viên cần có phần

hệ thống các dạng và cách giải đối với từng dạng phương trình vô tỉ, sẽ giúp chohọc sinh không còn mơ hồ và có cái nhìn tổng quát, có tư duy hợp lí và đưa rađược phương pháp giải các bài tập phương trình vô tỉ cụ thể

Với những lí do trên cùng với mong muốn của bản thân về việc nâng caochất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS , đặc biệt là trong công tác

bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi viết đề tài: ‘‘ Phương pháp giải phương trình vô tỉ

và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ ’’ Với hy vọng sẽ

góp phần giúp các em học sinh có được kiến thức và kết quả cao trong học tập

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Phần 1 Thực trạng của vấn đề

Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình vô tỉ được đềcập đến nhưng không nhiều, nhưng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rấtquan trọng Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụngthật nhuần nhuyễn, có hệ thống, một số kiến thức khác như: phương trình bậcnhất một ẩn, phương trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức Nó nâng caokhả năng vận dụng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh, ngoài ra nó còn làmột trong những kiến thức được sử dụng thi đầu vào khối THPT dưới dạng bàitập khó, hoặc trong các đề thi học sinh giỏi

Trên thực tế, với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấyhọc sinh thường mắc một số khuyết điểm sau khi giải phương trình vô tỉ:

- Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phương trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức)

- Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK

- Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất căn bậc hai thường các

em không tìm điều kiện để cả hai vế đều dương

- Ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ nănggiải rất hạn chế, các em thường không có cơ sở kiến thức để phát triển phươngpháp giải

- Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng phương trình này

- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức vềphương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó

Cụ thể với hai lớp 9B, 9C do bản thân tôi trực tiếp giảng dạy, tôi thấy kiếnthức về môn toán của các em chưa chắc, nhận thức không nhanh và ý thức họctập chưa cao Việc hệ thống kiến thức sẽ tạo điều kiện giúp các em học tập tốt vàtạo được hứng thú trong học tập cho học sinh

Bên cạnh đó thời lượng về phương trình vô tỉ trong chương trình sách giáo khoa rất ít Số lượng bài tập về phương trình vô tỉ không nhiều và có phần đơn giản và xa vời với các đề thi Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên cho học sinh nắm vững lý

thuyết về phương trình tương đương, phương trình vô tỉ, từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn

Hiện nay có nhiều tài liệu, chuyên đề viết về phương trình của khối THCSnhưng với phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều Để giúp các em học sinh nắmđúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết

sáng kiến kinh nghiệm‘‘ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ ’’ áp dụng cho khối THCS với hy vọng

phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em học sinh khi gặp dạng phươngtrình này, và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồngnghiệp Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều,sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Do vậy tôi rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp vàbạn đọc để sáng kiến này có thể được áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩychất lượng học tập của các em học sinh

Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu về một số phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp

- Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phươngtrình bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trìnhchứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, phương trình thương,phương trình bậc cao

- Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2,phương trình vô tỉ

- Làm các bài tập, ví dụ minh hoạ

Phần 2 Các biện pháp để giải quyết vấn đề

Để giải quyết tốt các vấn đề về phương trình vô tỉ thì học sinh cần nắm chắcmột số kiến thức cơ bản sau:

+) Một số phép biến đổi phương trình tương đương:

*Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

*Nhân hay chia hai vế với cùng một số khác 0 howcj với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0

+) Phương trình hệ quả: Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f 1 (x) = g 1 (x) thì phương trình f 1 (x) = g 1 (x) được gọi

là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).

Ký hiệu: f(x) = g(x)  f 1 (x) = g 1 (x).

- Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, ĐKXĐ của phươngtrình

- Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương

- Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn,phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn

ở mẫu, phương trình bậc hai một ẩn số,

- Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số

Ngoài ra học sinh cần ôn tập:

- Định nghĩa phương trình vô tỉ

- Các bài giải phương trình vô tỉ nói chung

- Các kiến thức cơ bản về căn thức

- Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

- Các dạng phương trình vô tỉ, cách giải từng dạng

- Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

Bên cạnh đó, từ những kiến thức các em đã nắm được giáo viên có thể đưa ramột số bài tập cho học sinh vận dụng, qua đó giáo viên nắm được khả năng biếnđổi để giải phương trình, và những sai sót để sửa chữa cho học sinh đồng thờihình thành kỹ năng xử lý tình huống khắc phục sai sót của học sinh

2.1 Một số khái niệm

2.1.1 Khái niệm về phương trình một ẩn

Cho A x  , B x  là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A x  B x  gọi là phươngtrình một ẩn Trong đó:

+) x được gọi là ẩn.

+) A x , B x  gọi là hai vế của phương trình

+) Quá trình tìm x gọi là giải phương trình.

+) Giá trị tìm được của x gọi là nghiệm của phương trình.

+) S: Tập hợp nghiệm của phương trình.

+) Tập xác định: Tập xác định của phương trình (thường viết tắt là TXĐ)

Tập xác định của phương trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọibiểu thức trong phương trình có nghĩa

Khái niệm về hai phương trình tương đương: Là hai phương trình có cùngmột tập hợp nghiệm Hoặc nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm củaphương trình kia và ngược lại

- Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học

- Giải phương trình vừa tìm được

- So sánh kết quả với tập xác định và kết luận

2.2.3 Các kiến thức cơ bản về căn thức

- Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứatrong dấu căn bậc chẵn là một số không âm

- Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phương trình đảmbảo nhận được phương trình tương đương

A2 A (với mọi biểu thức A)

2.2 Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải

x 5 x2  14x 49  x2  15x 54 0   x 6 x 9   0 x 6 hoặc x 9Đối chiếu với điều kiện (2) ta thấy x 9 thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 9

3 1 2 3 1 4 3 1 0 1

x   x x  x   x  x   x hoặc x 3

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều (*)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 3 hoặc x 1

x  ; x 2 8 đều thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1

44 5

Giải: Điều kiện:

Từ (*) và (**) ta có x 1 là nghiệm của phương trình

Cả hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1; x 3

g) Dạng 6 x a 2  b 2a x b  x a 2  b 2a x b cx m (1)

*) Sơ đồ cách giải:

và đối chiếu với điều kiện t 0 để nhận nghiệm từ đó suy ra 2

x t b là nghiệmcủa phương trình (1)

6

x

x x  x x   (1)Giải: Điều kiện: x 9 0   x 9 (*)



   

 

2 3Giải phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là t 8 hoặc t 4 Nếu t  8 x 8 2   9 73

Nếu t  4 x 4 2   9 25

Giải phương trình (3) ta được nghiệm của phương trình là t   2 x 2 2   9 13Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 73; x 25; x 13

2.2.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

Không phải bất cứ một phương trình vô tỉ nào cũng có thể đưa về được mộttrong năm dạng trên do đó người giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm cácphương pháp giải phương trình vô tỉ

a Phương pháp luỹ thừa

Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n Nếu chẵn thì chỉ thực

hiện được khi hai vế của phương trình là không âm

Ví dụ 1 Giải phương trình x x 1 7  (1)

Giải: Phương trình (1) có dạng x 1 7   x (2)

Điều kiện: 1 0 1 7

x

x x

Ta có:   25    5 nên có hai nghiệm phân biệt là x 1 10; x 2 5

Ta thấy x 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phương trình là x 5

Ví dụ 2 Giải phương trình x 1  5x 1  3x 2 (1)

Giải: Điều kiện: x 1 (*)

Chuyển vế phương trình (1), ta có: x 1  3x 2  5x 1

 x 1 5  x  1 3x 2 2 5  x 1 3x 2  2 7  x 2 5x 1 3x 2 (2) Phương trình (2) có điều kiện 2 7 0 7

2

    (**) Khi đó phương trình (2) có dạng:

2 7  x2  4 15 x2  13x 2  4 28  x 49x2  60x2  52x 8  11x2  24x  4 0

Ta có    100     10 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2 11

x  ; x 2 2 đều là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 1

2 11

x x

x

(*)Phương trình (2) có dạng x   1 x 3 4   x 3 thoả mãn (*)

x x

x

(**)Phương trình (2) có dạng x   1 3 x  4 0x 0 có vô số nghiệm thoả mãn (**)

3

1 0

x x

x

(***)

Phương trình (2) có dạng x  1 x    3 4 2x  2 x 1, thoả mãn (***).Kết hợp nghiệm phương trình đã cho có nghiệm    1 x 3

Giải: Điều kiện: x 1

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng:

2 1 1 2 1 1

1 2

1         

 x 1 1   x 1 1 2    x 1 1 1    x 1  2Cũng lập luận tương tự như trên ta có  x 1 1    x 1 1   0

Với điều kiện x 1 ta luôn có x   1 1 0 và x   1 1 0  x   1 1 x 2

Vậy nghiệm của phương trình là 1  x 2

c Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x 2  2x 5  x 2  3 2x 5  7 2 (1)

Giải: Điều kiện: x 2,5

Biến đổi phương trình (1) 2 (x 2  2x 5 )  2 (x 2  3 2x 5 )  14 (2) Đặt 2x 5 y (y 0) 2x 5 y2  2xy2  5

Với điều kiện x 2,5, cả hai vế của phương trình không âm bình phương hai vế ta có

2x 5 25   2x 30  x 15 (thoả mãn điều kiện x 2,5)

Ta thấy b 0 vì nếu b 0 thì x 2 khi đó (1) không thoả mãn

Chia hai vế của (2) cho b ta có: 1 3 3 1 0

b  b  b b  

Đặt a Y

b  (Y 0) ta có phương trình:

2 3

1 0 2

Y  Y   2Y2 3Y 2 0  (3)

Phương trình (3) ta có   25    5, phương trình (3) có hai nghiệm 1

1 2

Y 

(không thoả mãn); Y 2 2 (thoả mãn)

Theo cách đặt ta có a 2 a 4b x2 2x 4 4x 2 x2 6x 4 0

b             (4)Giải phương trình (4) ta có x  1 3 13; x  2 3 13

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  1 3 13; x  2 3 13

d Phương pháp đưa về hệ phương trình.

Ví dụ Giải phương trình x2  x 1000 1 8000  x 1000 (1)

Giải: Đặt 1 8000  x  1 2y Kết hợp với (1) ta được hệ

2 2

2000 2000

Phương pháp dùng bất đẳng thức được dùng ở nhiều dạng khác nhau

*) Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1 Giải phương trình x 2  x 2  8

Giải: Điều kiện: x 2

Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên phương trình là vônghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3 Giải phương trình x 1  5x 1  3x 2

Giải: Điều kiện: x 1

Với điều kiện này thì x 5x do đó x 1  5x 1  x 1  5x 1 0 

Vế trái luôn âm còn vế phải không âm nên phương trình đã cho vô nghiệm

Thay x 4 vào (3) thoả mãn, đồng thời x 4 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 4

Ví dụ 5 Giải phương trình 3x2  6x  7 5x2  10x 14 4 2   x x 2

Giải: Ta viết phương trình dưới dạng 3(x 1) 2   4 5(x 1) 2  9 5   x 12

Vì 3x 12  0 và 5x 12  0 nên 3(x 1) 2  4  4 2  ; 5(x 1) 2   9 9 3 

Do đó 3(x 1) 2   4 5(x 1) 2   9 5 mà 5  x 12 5

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi hai vế đều bằng 5 x 12   0 x 1

Nghiệm của phương trình cho là x 1

*) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 6 Giải phương trình x  1 x  8 7 (1)

Giải: Ta thấy x 8 là nghiệm của phương trình (1)

Nếu x 8 thì x  1 3; x  8 4

Vậy vế trái nhỏ hơn 7 nên x 8 không là nghiệm của phương trình (1).

Nếu x 8 thì x  1 3; x  8 4

Vậy vế trái lớn hơn 7 nên x 8 không là nghiệm của phương trình (1)

Vậy x 8 là nghiệm của phương trình (1)

*) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ = ” ở bất đẳng thức không chặt

Ta có bất đẳng thức Côsi với a b , 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Với điều kiện (*) thì (1) 2    

x x  x  x   x x   x hoặc

2

x  thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm của phương trình là x 1; x 2

+) Sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, của căn bậc hai

0 2 3

0 1 2 - x

5

4 3

1 2

z y x z

y x

Vậy phương trình (1) có nghiệm x y z ; ;  3;7;14

2.2.4 Một số sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

Thường học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phương trình vô tỉ mà căn làbậc chẵn là:

- Quên không tìm ĐKXĐ khi giải

- Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tương đương: Khi biến đổi ta thường nhậnđược phương trình có thể tương đương, có thể không tương đương Nếu biến đổiphương trình (1) ta được một phương trình (2) nhưng chưa chắc phương trình(2) đã tương đương với phương trình (1) nên khi giải, học sinh thường quên tìmđiều kiện của phương trình (2) để tương đương với phương trình (1) hoặc ngộnhận phương trình (2) luôn tương đương với phương trình (1)

*) Sai lầm trong cách giải là:

- Khi biến đổi tương đương học sinh chưa đặt điều kiện cho x   2 0 x 2 để

*) Sai lầm trong cách giải là:

- Không tìm điều kiện của (1) là x 3

- Khi biến đổi tương đương đến phương trình (2) học sinh chưa đặt điều kiệncho 4  x  0 x 4 để có thể bình phương tiếp

- Khi kết luận nghiệm là chưa thoả mãn các điều kiện nên nghiệm chưa chính xác