9 mô men quán tính của vật rắn namdinh

Mô men quán tính khối -là một đại lượng vật lý với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2 đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lư

MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN

CHƯƠNG I MÔ MEN QUÁN TÍNH KHỐI

I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Mô men quán tính khối

-là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng

-Với một khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính được tính bằng: I = m r2

-Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mô men quán tính của hệ bằng tổng của mô men

quán tính từng khối lượng:I m r i i2

-Với vật thể rắn đặc, chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục, phép tổng được thay bằng tích phân toàn bộ thể tích vật thể:I r dm2

-Với dm là phần tử khối lượng trong vật và r là khoảng cách từ dm đến tâm quay Nếu khối lượng riêng của vật là ρ thì: dm = ρ dV Với dV là phần tử thể tích.

2 Định lí trục song song

Mô men quán tính của vật đối với trục quay song song với trục quay qua khối tâm của vật:

2 .

C

I  I  m d

IC -là mô men quán tính của vật đối với trục quay qua khối tâm

m -là khối lượng của vật

d -là khoảng cách giữa 2 trục quay

3 Định lí trục vuông góc

chỉ áp dụng cho các vật có dạng tấm phẳng Mô men quán tính của vật rắn phẳng quanh trục quay

Oz vuông góc với vật bằng tổng mô men quán tính đối với 2 trục quay vuông góc Oy và Oz trong mặt phẳng của vật

I  I  I

II TÍNH MÔ MEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN CÓ HÌNH DẠNG ĐƠN GIẢN

mô men quán tính khối của một vật có tính đối xứng với trục quay LO được định nghĩa

Ir dm

Bài 1 Tính mô men quán tính của ống trụ rắn khối lượng m, chiều cao h bán kính trong r1 bán kính ngoài r2 Xét các trường hợp giới hạn

a. r1=0

b. r1=0, h=0

c. h=0

d. r1=r2

Hình 1.1

Lời giải

- Mô men quán tính có trục quay OZ

2 2

2 1

2 2

2 1

2 2 2 1

2 2

4 1

4 2 2 1

2

m r

r r r r r

m r

r r

r

m











- Mô men quán tính có trục quay Ox và Oy

2 2

2 1

m

r r h







Viết theo r 2

2

2

Khoảng cách đến trục quay: r  rsin

Chú ý:

x x x C

sin2 21 sin cos

m

I

h

h























2 / 2 /

2 1

2 2 2

4 1

4 2 2

1

2

2 /

2 /

2 1

2 2

3 2 1

2 2

2 1

2 2 2

1

2

h

h

h r

r

m

I



























xx yy

h

Các trường hợp riêng:

a r1=0 hình trụ rỗng trở thành hình trụ đặc

 2 2

2

3

12

xx yy

m

b r1=0, h=0 hình trụ đặc trở thành đĩa tròn mỏng:

2 1 2

zz

2

3

xx yy

c h=0 Vật có hình dạng là 1 đĩa rỗng

 2 2

2 1

2

zz

m

2 1

3 12

xx yy

m

d r1=r2 Vật có dạng đĩa mỏng

 2

2

zz

 

2

6 12

xx yy

m

Bài 2 Tính mô men quán tính của khối hình hộp chữ nhật, khối lượng m, chiều dài w, chiều rộng

d,chiều cao h.Trục quay qua tâm hình chữ nhật Xét các trường hợp:

a. h=0 Vật có dạng hình chữ nhật

b. h=0, d=0 vật có dạng thanh thẳng dài

với

wdh

m





3 3

12

1 12

wd d

w

wd

m















Tương tự:

2 2

12

1

12

1

d h

m

I

w h

m

I

yy

xx









a h=0 Vật có dạng hình chữ nhật

3 3

12

1 12

wd d

w

wd

m















z h

a

h

a

2 2

1

12

1

12

xx

yy





b h=0, d=0 vật có dạng thanh thẳng dài 1 2

12

zz

I  mw

2

1 12 0

xx

yy

I





Bài 3 Tính mô men quán tính khối lượng của khối hình nón đặc đồng chất mật

Hình 1.3

Hình 1.4

độ  (kg/m3) quanh trục Oz

Giải

Đơn vị thể tích

dz rdrd

Giới hạn biên



























 2

0

0

0

z

h

a

r

h

z

Mô men quán tính đối với trục Oz

Nếu khối lượng riêng không đổi

h a

m V

m

2

3

1



 

Hình 1.5 Khi đó

10

3 10

2

4h a m

a

I zz   

III TÍNH MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA HÌNH ELLIPSOID

a

h

z

y x

r

z



1 Phương pháp tính mô men quán tính dựa vào đồ thị đường viền của vật rắn.

Giả sử ta biết đồ thị đường bao của một vật rắn trong mặt phẳng XY Có nghĩa là biết hình dạng

bề mặt nằm giữa 2 mặt phẳng song song với mặt XY(hình vẽ)

Hình 1.6 Giả sử với giá trị z xác định, các mặt bao quanh biểu diễn bằng các hàm theo toạ độ y là f x z1( , )

và f x z2( , ) Các hàm toạ độ x biểu diễn bằng các hàm x z0( ) và x zf( ).

Xét 1 đĩa mỏng dày dz, bề mặt biểu diễn bởi các hàm trên Ta chia đĩa trên thành các hình hộp chữ nhật có diện tích mặt là dxdy, chiều cao dz Mô men quán tính của vật đối với trục OX:

X

V

thể tích hình hộp dV=dx.dy.dz Mô men quán tính của hình hộp đối với trục Ox

X

dI  y z dm y z  x y z dxdydz

Lấy tích phân ta có:

2 thí dụ Tính mô men quán tính của hình ellipsoid có tâm ở gốc toạ độ, được mô tả bởi phương

trình:

a b c 

Giải

đặt

 

( ) 1 z ; ( ) 1 z

tâm sai

( )

( )

        

 

là một hằng số Mô men quán tính theo trục Oz

4

c Z

c



  = 4 4 (2 2) 1 2

15a c     trường hợp riêng a=b=c Khối elipsoid thành khối cầu :

(2 ) 1

15a c     =

4

8

15a c=

2 4 ( )

5 3a a =

2

2

5 m a

CHƯƠNG II THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH MÔ MEN QUÁN TÍNH PHỤ THUỘC VÀO HÀM SINH

I MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA MỘT HÀM SỐ QUANH TRỤC Ox

Trên hình vẽ biểu diễn hàm số để tạo ra một vật rắn nhờ quay hàm số đó quanh trục Ox, hàm số này gọi là hàm sinh Xét hình chữ nhật nhỏ có chiều cao f(x) và có bề dày dx sinh ra một đĩa mỏng có bề dày dx và bán kính f(x) Chúng ta sẽ tính mô men quán tính của vật rắn tạo bởi hàm f(x) quay quanh trục đối xứng Ox

Hình 2.1

Ta đã biết mô men quán tính của đĩa

mỏng đối với trục quay Ox là 1 2

2MR ,

với M là khối lượng của đĩa, R là bán kính của đĩa Vì vậy đối với đĩa mỏng của chúng ta phần tử mô men quán tính

( ) ( ) 2

X

dI  dM f x (1)

Vi phân khối lượng:

2

( )

dM dV  f x dx (2)

 là khối lượng riêng của vật, giả sử là không đổi Tích phần ta được

0

4

( )

2

f

x

X

x

I  f x dx (3)

Tính mô men quán tính của vật đối với trục quay Oy Ta đã biết mô men quán tính của đĩa mỏng

đối với trục quay Oy là 1 2

4MR Vì vậy đối với đĩa mỏng của chúng ta phần tử mô men quán

tính đối với trục Oy là:

'

2

1

( ) ( )

X Y

dI

dI  dM f x  (4)

Áp dụng lí thuyết trục song song:

2

X

dI

dI dI x dM  x dM ( 5)

Lấy tích phân ta có:

0

( ) 2

f

x

X

Y

x

I

I  x f x dx (6)

Nếu vật rắn tạo bởi 2 hàm sinh f1(x) và f2(x) quay quanh trục Ox thì

0

2( ) 1( )

2

f

x

X

x

I   f x  f x dx (7)

0

2( ) 1( ) 2

f

x

X

Y

x

I

I  x  f x  f x dx (8)

Thí dụ :Tính mô men quán tính của

vật rắn có các hàm sinh

 

 

1 0,

1( ) 0 ,

x

h

x h H

 

 

 





Hình 2.2

và f x2( ) a1 a2 x a2

H



quay quanh trục Ox

Lời giải

Thay phương trình (9) vào các phương trình (7) và (8) ta có:

 4 4 3 3 2 2 4 

10

X

I  H a a a a a a a a  R h ( 10)

H



      ( 11)

Khối lượng của vật

0

[ ( ) ( ) ]

f

x

x

M f x  f x dx (12)

Bán kính gyration

 4 4 3 3 2 2 4 

2

X

K



   (13)

2

X

Khối tâm

0

0

( ) ( )

( ) ( )

f

f

x

x

x

x







( 14)

CM

x



   (15)

K K K K  x K K  x (16)

II MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA MỘT HÀM SỐ QUANH TRỤC Oy

Xét một khối trụ mỏng, phần tử khối lượng, bỏ qua gần đúng bậc 2

 2 2

dM f x  x dx  x  xf x dx

  ( 17)

Mô men quán tính trục Oy từ 2

Y

0

3

f

x

Y

x

I  x f x dx (18)

Mô men quán tính trục Ox, trước hết tính mô

men quán tính của một vỏ hình trụ có bán kính

trong là a1, bán kính ngoài a2, chiều cao h, trục

quay đi qua khối tâm Khi đó: x0=-h/2, xf=h/2,

f2(x)=a2, f1(x)=a1

Hình 2.3

CM

X

I  a  a h  (19)

Áp dụng cho lớp hình trụ có a1=x, a2=x+dx, h=f(x)

3 3

,

( ) ( )

6

X CM

x f x dx

dI x f x dx (20)

Theo định lý trục song song

2 ,

( ) 2

f x

3

   (21)

Tích phân ta có

0

3

2

( )

2 3

f

x Y

X

x

I

I   x f x dx (22) Nếu vật rắn được sinh bởi các hàm f1(x) và f2(x)

0

3

2 [ ( ) ( )]

f

x

Y

x

I  x f x  f x dx (23)

0

2

[ ( ) ( ) ]

2 3

f

x Y

X

x

I

I   x f x  f x dx (24)

Khi hàm sinh quay quanh trục Oy, ta cũng giả sử rằng x  để tất cả các điểm thuộc hàm sinh 0 0 luôn luôn có giá trị dương, hàm f1(x) và f2(x) có thể âm Chọn hệ toạ độ trụ Giả sử vật rắn được tạo bởi 2 hàm sinh f1(x) và f2(x) thoả mãn điều kiện f x1( )f x2( )với x x x0, f Do tính đối xứng IX=IY Biểu thức khối lượng và khối tâm khi hàm sinh quay quanh Oy

2 [ ( ) ( )]

M  f x  f x dx,

[ ( ) ( ) ]

2 [ ( ) ( )]

CM

y











CHƯƠNG III THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH MÔ MEN QUÁN TÍNH PHỤ THUỘC

VÀO HÀM SINH TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

I MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA HAI HÀM SỐ QUAY QUANH TRỤC Ox

1 Mô men quán tính đối với trục Ox

Giả sử vật rắn được tạo bởi 2 hàm sinh f1(x) và f2(x) thoả mãn điều kiện 0f x1( )f x2( )với

0, f

x x x  Chọn hệ toạ độ trụ x, rx,  với rx là khoảng cách trục Ox đến phần tử khối lượng ta khảo sát  có giá trị bằng 0 khi véc tơ bán kính song song với Oy

Hình 3.1 Phần tử thể tích dV ứng với phần tử khối lượng dm

( )( x) (x ) : ( , , )x

dV  dx dr r d dm x r  dV

Phần tử mô men quán tính

dI r dm r ( , , )( )(x r x  dx dr d x)( )

Nếu  chỉ phụ thuộc x

0

2

f

x X x

2 Mô men quán tính đối với trục Oy, Oz

Bình phương khoảng cách từ phần tử dm đến trục Oy r y2 r x2sin2x2

Phần tử mô men quán tính đối với trục Oy

Tích phân toàn phần

Nếu  chỉ phụ thuộc x: I  Y 1

2I + X

0

( ) [ ( ) ( ) ]

x x

  

II MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA HAI HÀM SỐ QUAY QUANH TRỤC Oy, Oz

Giả sử x  , hàm f10 0 (x) và f2(x) có thể âm Chọn hệ toạ độ trụ Giả sử vật rắn được tạo bởi 2 hàm sinh f1(x) và f2(x) thoả mãn điều kiện

1( ) 2( )

f x f x với x x x0, f Chọn hệ toạ độ trụ y, ry,  với ry là khoảng cách trục Oy đến phần

tử khối lượng ta khảo sát  =0 khi véc tơ bán kính song song với Oz, viết hàm f1(ry) và f2(ry) thay cho f1(x) và f2(x) Tương tự như tính mô men quán tính của hàm sinh quay quanh trục Ox, ta có:

Hình 3.2

Xét trường hợp Nếu  không phụ thuôc  thì:

Trong trường hợp này do tính đối xứng nên IX=IZ Nếu Nếu  chỉ phụ thuộc y thì

0

3

2 ( )[ ( ) ( )]

f

x

x

I  r  r f r  f r dr

CHƯƠNG IV BÀI TẬP ỨNG DỤNG

I CÁC THÍ DỤ

Bài 1 Tính mô men quán tính của một hình trụ (hình vẽ) Giả sử hình trụ có chiều cao h, bán

kính b Khối lượng riêng

 2

0

( )     

  

Có hàm sinh quay quanh trục Oy là f1(x)=0, f2(x)=h

Hình 4.1 Đáp số

Khối lượng của trụ: M (  ) hb2

Mô men quán tính đối với trục Ox, Oy và Oz

2

X

 



;

2

2

Y

Mb

2

Z

 



Mô men quán tính của trục qua khối tâm

Hình 4.2 2

 



Bài 2 Tính mô men quán tính của mặt Gauss có hình dạng chiếc chuông, giả sử chiếc chuông

rỗng và đồng chất, các hàm sinh là:

1( ) x ; ( )2 x

f x Ae  f x Be 

Với ,  , A, B là các hằng số dương A<B và 

Đáp án

Y

Khối lượng của chuông

Vị trí khối tâm

1

4

Bài 3 tính khối lượng và mô men quán tính của một bản elip coi z=0.

;

; 4

Z



Bài 4 Tính mô men quán tính của một tứ giác Các hàm giới hạn là f x 1 ( ) 0

1

1 1

( 2 1) 1( 2 1) 2 1 1 1 2

2 2 ( 1 2 3) . 1 2 1 2 3

3 3

.0

2( ) h h h a a h a

h

x if x a a

 











Hình 4.3 Đáp số

Mô men quán tính

12

X

I  a h h h h h a h a 

12

Y



I I I Khối tâm

6

CM



6

CM

M



II LUYỆN TẬP

Tính mô men quán tính của các vật có hình dạng như hình vẽ

s