Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác (luận văn thạc sĩ)

LỜI CÁM ƠN Luận văn Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” kết quả quá trình nghiên cứu của tác giả sau một quá trì

VŨ THỊ THANH TÂM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 10 TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC”

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã ngành: 81401111

Phú Thọ, năm 2019

LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Vũ Thị Thanh Tâm học viên lớp cao học chuyên ngành Lí luận

và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học Hùng Vương khóa học 2017-2019

Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu này là của riêng tôi, được thực hiện

LỜI CÁM ƠN

Luận văn Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh lớp 10 trong

dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” kết quả quá trình nghiên cứu của

tác giả sau một quá trình học tập và nghiên cứu chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán tại Trường Đại học Hùng Vương

Để có được kết quả trong luận văn, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân, trong quá trình tiến hành nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong khoa KHTN, và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên

cứu

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Đỗ Tùng đã tận tình hướng

dẫn và giúp đỡ tôi trong suất quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn và giúp

đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn!

Phú Thọ, ngày… tháng… năm 2019

Tác giả

MỤC LỤC

Phần 1: MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 3

6.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn 3

6.3 Phương pháp chuyên gia 3

6.4 Phương pháp thống kê toán học 3

6.5 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 3

7 Giả thuyết khoa học 4

8 Những đóng góp mới của đề tài nghiên cứu 4

9 Bố cục của luận văn 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 6

1.2 Năng lực 8

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực 8

1.2.2 Khái niệm về năng lực 8

1.2.3 Các hình thức cơ bản của năng lực 9

1.3 Năng lực tư duy toán học 10

1.3.1 Khái niệm về tư duy 10

1.3.2 Đặc điểm của tư duy 11

1.3.3 Năng lực tư duy 13

1.3.4 Năng lực tư duy toán học 13

1.3.5 Các thao tác tư duy toán học 15

1.3.6 Các loại hình tư duy toán học 17

1.3.7 Các hình thức tư duy trong toán học 20

1.4 Một số nguyên tắc để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán 21

1.4.1 Một số nguyên tắc tư duy cơ bản cần hình thành cho học sinh Error! Bookmark not defined 1.4.2 Một số nguyên tắc cơ bản của việc phát triển tư duy cho học sinh Error! Bookmark not defined 1.5 Thực tiễn dạy học nội dung hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT 22

1.5.1 Nội dung kiến thức về “Hệ thức lượng trong tam giác”trong chương trình hình học lớp 10 22

1.5.2 Những mục tiêu cần đạt được trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” trong hình học lớp 10 23

1.5.3 Thực tiễn dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” trong chương trình Hình học lớp 10 26

1.6 Kết luận chương 1 30

Chương 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC” 32

2.1 Một số định hướng về phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” 32

2.1.1 Định hướng 1 32

2.1.2 Định hướng 2 32

2.1.3 Định hướng 3 32

2.1.4 Định hướng 4 32

2.2 Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” Error! Bookmark not defined 2.2.1 Rèn luyện một số thao tác trí tuệ cho HS trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” 32

2.2.2 Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” 58

2.2.3 Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh thông qua việc phát hiện sai lầm trong quá trình tìm lời bài toán chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” 69

2.3 Kết luận chương 2 75

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 77

3.1 Mục đích, yêu cầu thực nghiệm 77

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 77

3.1.2 Yêu cầu thực nghiệm sư phạm 77

3.2 Tổ chức thực nghiệm 77

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm sư nghiệm 77

3.2.2 Hình thức thực nghiệm 78

3.2.3 Quy trình tổ chức thực nghiệm 79

3.2.4 Thiết kế dạy học thực nghiệm 79

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.3.1 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 80

3.4 Kết luận chương 3 84

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

PHỤ LỤC 1

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Đội ngũ giáo viên Toán của trường THPT Đoan Hùng 27

Bảng 1.2 Đánh giá về nội dung “Hệ thức lượng trong tam giác”

Bảng 1.3 Đánh giá về môn Toán và nội dung chủ đề “Hệ thức

Bảng 3.1 Điểm kiểm tra khảo sát môn Toán lớp 10A1 và 10A2

năm học 2018-2019 của trường THPT Đoan Hùng 77 Bảng 3.2 Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra sau thực nghiệm

DANH MỤC CÁC HÌNH

Biểu đồ 3.1 So sánh tỉ lệ HS khá giỏi của lớp thực nghiệm và lớp

Biểu đồ 3.1 So sánh tỉ lệ HS khá giỏi của lớp thực nghiệm và lớp

đối chứng sau thực nghiệm

DANH MỤC CÁC TỪ VIÊT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo được nguồn nhân lực có trình độ cao phục vụ cho nhu cầu của đất nước Chính vì vậy, phát triển giáo dục và đào tạo được coi là quốc sách hàng đầu để thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Để có thể đào tạo được nguồn nhân lực dồi dào, phát triển toàn diện, thì giáo dục của chúng ta hiện nay không ngừng được cải cách cho phù hợp nhất với yêu cầu được đặt ra Cần có những đổi mới về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học Một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, làm sao cho thông qua quá trình học tập người học không chỉ học được kiến thức mà còn phát triển được tư duy và phát triển được khả năng vận dụng các kiến thức đã học vào trong thực tiễn cuộc sống

Luật giáo dục Việt Nam số 38/2005/QH11 khẳng định “Phương pháp giáo

dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS” 1 Cho nên, mục tiêu của dạy học bộ môn Toán là: hình thành cho HS những tri thức, kỹ năng và phương pháp toán học cơ bản, quan trọng từ đó góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho HS

Kiến thức về toán học là mênh mông, học không biết bao nhiêu cho đủ Nội dung kiến thức khá là nhiều mà số giờ dạy và thực hành có hạn, điều đó đã tạo ra sức ép cho cả người học và người dạy Hiện nay, các GV trong quá trình dạy học còn nặng về việc thông báo kiến thức, các em HS còn thụ động, chỉ biết làm các dạng bài tập đã được thầy cô hướng dẫn, khi gặp các dạng bài tập mới, lạ còn lúng túng, thiếu kĩ năng giải hoặc thậm chí là không biết phải giải như thế nào, bắt đầu từ đâu

Mặt khác, ngay cả giáo viên và HS đều cho rằng dạy toán là dạy quy tắc và dạy kĩ năng giải bài tập, nên học yếu kém về khả năng vận dụng những kiến thức

cũng như kĩ năng vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn cuộc sống Nhiệm vụ của một người giáo viên không chỉ là cung cấp cho HS những kiến thức mà còn giúp cho HS phát triển được năng lực tư duy của bản thân, tích cực, tự giác và chủ động trong việc học tập của mình.Chính vì vậy, giáo viên cần dạy cho HS biện pháp tư duy giải quyết vấn đề và đưa ra những biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS trong quá trình giảng dạy trên lớp

Chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác là phần nội dung cơ bản và khá quan trọng trong chương trình phổ thông Dạng bài tập này không phải quá khó và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế cuộc sống Hệ thống bài tập ở trong cả SGK và SBT chủ yếu là vận dụng trực tiếp công thức Song nhiều bài toán trong các kì thi lại không dễ với đa số HS Vì những bài toán đó lại yêu cầu cao hơn là HS phải biết

tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…nhiều kiến thức

Xuất phát từ những nội dung trên, để góp phần nâng cao hiệu quả và chất

lượng dạy học, tôi đã quyết định chọn vấn đề: Phát triển năng lực tư duy toán học

cho HS lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” làm đề tài

nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn tư duy, năng lực tư duy, năng lực tư duy toán học để đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho

HS lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn này tập trung chủ yếu vào việc giải quyết một số nhiệm vụ cơ bản

sau đây:

- Nghiên cứu lý luận về năng lực, năng lực tư duy toán học

- Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề: “Hệ thức lượng trong tam giác” theo hướng nghiên cứu của đề tài

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho HS lớp 10 trong dạy học chủ đề: “Hệ thức lượng trong tam giác”

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy toán

học cho HS lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn Toán; các sách báo, các bài viết về toán học phục vụ cho đề tài; các công trình

nghiên cứu có các vấn đề liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài

6.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

Điều tra bằng phiếu hỏi và phỏng vấn GV, HS về thực trạng dạy học chủ đề

“Hệ thức lượng trong tam giác” cũng như hướng tiếp cận để phát triển năng lực tư

duy toán học cho học sinh khi dạy chủ đề này ở trường THPT

6.3 Phương pháp chuyên gia

Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, GV dạy giỏi môn Toán nhằm giúp cho việc triển khai nghiên cứu đề tài có thêm cơ sở vững chắc, hoàn thiện cách thức

tiến hành nghiên cứu

6.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý các số liệu điều tra thực

trạng, các dữ liệu thu được trong thực nghiệm

6.5 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Bước đầu kiểm nghiệm các biện pháp sư phạm mà đề tài đề xuất ở trường

THPT, từ đó có kết luận về giả thuyết khoa học

7 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp thích hợp trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” thì có thể góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho

HS lớp 10, từ đó nâng cao được hiệu quả và chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

8 Những đóng góp mới của đề tài nghiên cứu

- Tổng quan cơ sở lí luận về những biểu hiện của năng lực tư duy của HS trong dạy học môn Toán THPT

- Góp phần nghiên cứu lí luận về năng lực, những dạng biểu hiện của năng lực tư duy, thực trạng phát triển năng lực tư duy Toán học cho HS lớp 10 trong dạy học chủ đề “ Hệ thức lượng trong tam giác”

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho HS lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT

- Nghiên cứu thực tiễn dạy học hình học ở trường THPT hiện nay Thiết kế các hoạt động dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy cho HS ở trường THPT

- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trong

quá trình giảng dạy nội dung hệ thức lượng trong tam giác

9 Bố cục của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp phát triển năng lực tư duy toán học cho HS trong dạy học chủ

đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Vấn đề về năng lực tư duy toán học và phát triển năng lực tư duy toán học cho HS đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm

Các tác giả nước ngoài nghiên cứu về tư duy toán học và phát triên tư duy cho HS có thể kể đến như:

V.A Krutecxki trong các công trình nghiên cứu của mình đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của HS và đề xuất các cách thức để bồi dưỡng năng lực toán học cho HS [14 ], [15]

Mogens Niss với các nghiên cứu về năng lực toán học của HS cũng như hoạt động đào tạo giáo viên để thực hiện yêu cầu phát triển năng lực toán học của người học [23], [24]

J Piaget (1896 -1980), nhà tâm lý học người Thụy Sỹ đã nghiên cứu hoàn chỉnh về lý thuyết bản chất và sự phát triển trí tuệ, được biết đến như lý thuyết về các giai đoạn phát triển nhận thức [17]

L.X Vưgôtxki (1896 - 1934), nhà tâm lý học người Nga cho rằng mọi đứa trẻ đều có khả năng tiềm tàng dưới dạng vùng phát triển gần (ZPD, Zone of Proximal Development) Khi được trợ giúp cần thiết, khả năng giải quyết vấn đề của trẻ được tăng lên Ông tin rằng những gì trẻ có thể làm với sự giúp đỡ của người lớn hôm nay trẻ sẽ có thể tự làm được trong tương lai [6]

Nghiên cứu về quá trình tư duy, Benjamin Bloom và các đồng nghiệp đã xây dựng thành công thang phân loại tư duy bao gồm 6 bậc sắp xếp theo trình tự từ thấp

đến cao: Biết, Hiểu, Vận dụng, Phân tích, Tổng hợp, Đánh giá được sử dụng rộng

rãi trên thế giới [16]

Ở Việt Nam, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục có các nghiên cứu về việc rèn

luyện, phát triển tư duy cho HS như: tác giả Trần Thúc Trình với tài liệu “Rèn luyện

tư duy trong dạy học toán” dùng cho học viên cao học (Viện KHGD) năm 2003; Lê

Đức Ngọc với “Dạy và Học tư duy” đăng trên Tạp chí phát triển giáo dục, số 12 (2004); “Tư duy và việc dạy tư duy cho học sinh” của tác giả Phan Thị Hạnh Mai,

Tạp chí giáo dục số 79 (2004) Đã có một số luận án tiến sĩ bảo vệ thành công nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học của HS có thể kể đến như:

Vũ Quốc Chung (1995) về “Góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp dạy

học yếu tố hình học theo hướng bồi dưỡng một số năng lực tư duy cho học sinh tiểu học”; Tôn Thân (1995) về “Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông cơ sở Việt Nam”; Trần Luận (1996) về“Vận dụng tư tưởng sư phạm của

G Pôlya xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II”;

Trần Đức Chiển (2007) về “Rèn luyện năng lực tư duy thống kê cho học sinh trong

dạy học thống kê – xác suất ở môn Toán Trung học phổ thông”; Nguyễn Văn Thuận

(2004) về “Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn

ngữ Toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học đại số”; Chu

Cẩm Thơ (2010) về “Vận dụng phương pháp kích thích tư duy của học sinh trong

dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông”; Phan Thị Luyến (2008) về “Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình”; Nguyễn Thị Tươi (2015) về“Phát triển một số năng lực tư duy toán học cho HS trung học phổ thông thông qua dạy học Phương trình vô tỉ”; Trần Phương Giang (2016) về “Phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7”,… đã nghiên cứu, đề

xuất các biện pháp để bồi dưỡng, phát triển năng lực tư duy, năng lực tư duy sáng tạo, tư duy phê phán, tư duy lôgic, tư duy biện chứng, cho HS thông qua các nội dung dạy học môn Toán ở các cấp học

Như vậy, có thể nói trên thế giới và tại Việt Nam, các nghiên cứu về tư duy, năng lực tư duy, và tác động đến HS trong quá trình học tập để phát triển, nâng cao năng lực tư duy cho HS đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, để giúp các em HS phát triển được năng lực tư duy sẵn có của mình thông qua dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” trong chương trình Hình học lớp 10 của

nước ta hiện nay, tôi lựa chọn đề tài: Phát triển năng lực tư duy toán học cho HS

lớp 10 trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” Hướng nghiên cứu

chính của đề tài này đó là: Là cơ sở lí luận và biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển một số năng lực tư duy toán học cho HS THPT thông qua dạy học chủ đề

hệ thức lượng trong tam giác

1.2 Năng lực

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực

Có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất cũng như nguồn gốc của năng lực Tuy nhiên, hiện nay cả về mặt lý luận và thực tiễn, các nhà nghiên cứu cơ bản thống nhất một số quan điểm về nguồn gốc của năng lực:

- Năng lực của con người có nguồn gốc bẩm sinh, di truyền: Có thể thấy những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng lực nhưng đó là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ

- Năng lực của con người có nguồn gốc từ xã hội, lịch sử: Con người từ khi sinh ra có thể có sẵn một số tố chất, năng lực bẩm sinh nhưng nếu như không có môi trường xã hội thì những năng lực này cũng không phát triển được

- Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động: Sống trong môi trường tự nhiên – xã hội do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó nhưng con người của thế hệ sau không chỉ biết sử dụng, thích ứng với những thành tựu để lại mà còn phải biết cải tạo và phát huy hơn nữa cho các hoạt động tiếp theo

1.2.2 Khái niệm về năng lực

Năng lực là một khái niệm khá phức tạp và trừu tượng của tâm lí học Nó được coi là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó là là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó

Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là sự kết hợp của kiến thức, của kĩ

năng và của thái độ có thể sẵn có hoặc đang ở dạng tiềm năng, là tổng hợp những

đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt

động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao Năng lực là thuộc

tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể Như vậy, có thể thấy:

- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, ý chí, niềm tin,

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

Người ta đưa ra các mức độ khác nhau của trình độ năng lực đó là: Năng lực,

tài năng, thiên tài

- Năng lực là sự kết hợp hài hòa của các kĩ năng, kĩ xảo vào việc thực hiện

một hoạt động nhất định nào đó

- Tài năng là sự kết hợp của nhiều năng lực lại với nhau tạo điều kiện cho

hoạt động diễn ra đạt được kết quả cao Những kết quả của hoạt động này vẫn nằm trong khuân khổ những kết quả đã đạt được của xã hội

- Thiên tài là sự kết hợp đặc biệt của nhiều năng lực Thiên tài được hiểu là

điều gì đó hoặc ai đó thông minh một cách xuất sắc, làm việc một cách xuất sắc hoặc đạt được thành tựu vĩ đại, chưa từng thấy bao giờ Thiên tài không phải là người có đầu óc sáng tạo và thông minh bình thường

1.2.3 Các hình thức cơ bản của năng lực

Trong thực tế, việc phân loại năng lực khá khó khăn và phức tạp Tùy thuộc vào quan điểm tiếp cận, góc nhìn mà người ta phân chia năng lực thành các dạng khác nhau và cũng vì thế mà có nhiều các hiểu khác nhau về năng lực Tuy nhiên,

cách phân chia phổ biến nhất vẫn là cách phân loại năng lực thành năng lực chung

và năng lực riêng (còn được gọi là năng lực chuyên biệt) Theo nghiên cứu và tìm hiểu chương trình ở nhiều nước trên thế giới ta thấy hầu hết các nhà giáo dục đều lựa chọn cách phân biệt này

Năng lực chung là năng lực cơ bản và năng lực thiết yếu cần có của con

người để thực hiện hoạt động sống và làm việc trong nhiều lĩnh vực có kết quả Năng lực được hình thành và phát triển do nhiều môn học và liên quan đến nhiều môn học

Năng lực riêng là năng lực cụ thể, được hình thành và phát triển do một lĩnh

vực và môn học nào đó Năng lực riêng thể hiện một cách độc đáo các sản phẩm riêng biệt có tính chuyên môn nhằm đáp ứng một yêu cầu của một lĩnh vực, hoạt động chuyên biệt với kết quả cao

Năng lực chung và năng lực riêng có mối quan hệ mật thiết với nhau Năng lực chung là cơ sở tạo tiền đề hình thành năng lực riêng, nếu như năng lực chung được phát triển thì năng lực riêng, năng lực chuyên môn dễ dàng có được Ngược lại, trong một điều kiện hay hoàn cảnh nhất định năng lực riêng càng phát triển thì

sẽ có những ảnh hưởng tích cực đến năng lực chung Như vậy, trong mọi lĩnh vực của đời sống, muốn đạt được kết quả cao thì con người nên có những năng lực chung nhất định và phải có một vài năng lực riêng cần thiết, tương ứng với lĩnh vực, công việc mình đang làm

1.3 Năng lực tƣ duy Toán học

1.3.1 Khái niệm về tư duy

Trong quá trình nhận thức thế giới, con người có thể phản ánh hiện thực một cách trực tiếp, đó là giai đoạn nhận thức cảm tính Tuy nhiên, trong thực tế có những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được Chính vì vậy, con người phải chuyển sang quá trình nhận thức cao hơn, phản ánh hiện thực một cách gián tiếp và khái quát, đó chính là giai đoạn nhận thức lí tính (Phản ánh hiện thực bằng tư duy) Tư duy là quá trình tâm lí thuộc nhận thức lí tính

và là một mức độ nhận thức mới về chất so với nhận thức cảm tính (Cảm giác, tri giác, )

Theo Từ điển tiếng Việt thì Tư duy là “Giai đoạn cao của quá trình nhận

thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lí”[22]

Theo Từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ

chức một cách đặc biệt của bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, Tư duy xuất hiện trong hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp với thực tại Tư duy chỉ tồn tại trong mối quan hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người nên tư duy của con người được thực hiện trong mối quan hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho quá trình tư duy là những quá trình như: trừu tượng hóa, phân tích tổng hợp…”[21]

Theo quan điểm của tâm lí học: “Tư duy là một quá trình tâm lí thuộc nhận

thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”[20]

Có thể hiểu một cách thông thường: Tư duy là suy nghĩ để nhận thức và giải quyết một vấn đề nào đó được đặt ra

1.3.2 Đặc điểm của tư duy

a) Tính có vấn đề của tư duy

Tư duy được nảy sinh trong những tình huống có vấn đề, những phương pháp giải quyết cũ đã biết không còn phù hợp với yêu cầu đặt ra Khi đó chúng ta cần phải cố gắng vượt qua để tìm ra cái mới hay nói chính xác hơn là chúng ta phải

tư duy Để kích thích tư duy thì tình huống phải có vấn đề và phải được cá nhân nhận thức tìm hiểu đầy đủ Cá nhân người giải quyết tình huống phải chỉ ra được những cái đã biết, những cái chưa biết, những cái cần phải tìm, những cái cốt lõi của vấn đề

b) Tính khái quát hóa và tính trừu tượng hóa của tư duy

Tư duy có thể phản ánh những thuộc tính chung, những mối liên hệ, quan hệ

có tính quy luật của sự vật hiện tượng Như vậy, tư duy có tính khái quát hóa Tư duy còn có khả năng tách trừu tượng ra khỏi các sự vật hiện tượng, tư duy tách những thuộc tính, những dấu hiệu đặc biệt của cá thể và chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất nhất nhất trên cơ sở đó khái quát cho nhiều sự vật hiện tượng khác nhau Hay nói cách khác tư duy mang tính khái quát hóa và tính trừu tượng hóa

c) Tính độc lập tương đối của tư duy

Để có thể phát triển tư duy con người phải không ngừng giao tiếp với nhau, như vậy tư duy của mỗi cá nhân vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của mình

và vừa chịu sự tác động thay đổi của tư duy nhân loại Chính vì vậy, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá nhân mà còn gắn liền với sự tiến bộ của xã hội Mặc

dù, được tạo ra từ thành quả của hoạt động thực tiễn nhưng tư duy vẫn có tính độc lập tương đối Tư duy chịu ảnh hưởng từ những tri thức mà nhân loại đã tích lũy được, lại chịu những ảnh hưởng, những tác động của các lí thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó nhưng tư duy cũng có logic phát triển của riêng nó đó là phản ánh logic khách quan theo cách hiểu riêng của mỗi cá nhân Đó chính là tính độc lập tương đối của tư duy

d) Mối quan hệ giữa tư duy với ngôn ngữ

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau Ngôn ngữ được xem như là phương tiện của tư duy, nó cũng được coi là cái vỏ của tư duy Nhu cầu được giao tiếp là điều kiện để phát sinh ngôn ngữ Kết quả của quá trình tư duy được ngôn ngữ ghi chép lại Tư duy của con người không thể tồn tại nếu không có ngôn ngữ và ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không nhờ vào hoạt động tư duy Sự

ra đời của ngôn ngữ là bước nhảy vọt cho sự phát triển tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ

e) Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức

Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, trên cở sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh ra những

tình huống có vấn đề Trong quá trình hoạt động, tư duy phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức đem lại, kết quả của tư duy được thực tiễn khách quan kiểm chứng Nói chung, kết quả và tư duy ảnh hưởng đến quá trình nhận thức của con người

f) Tính gián tiếp của tư duy

Tư duy đã phản ánh các sự vật và hiện tượng một cách gián tiếp thông qua ngôn ngữ Tư duy biểu hiện bằng ngôn ngữ

1.3.3 Năng lực tư duy

Năng lực tư duy là khả năng vận dụng tổng hợp các tri thức đã có để tạo ra những tri thức mới, tìm ra được những giải pháp đúng đắn và thích hợp cho việc giải quyết những vấn đề đang được đặt ra của thực tiễn cuộc sống Để cho tư duy phát triển con người buộc phải sử dụng bộ máy các khái niệm, phạm trù, các tri thức nằm trong hệ thống các khái niệm, phạm trù đó Năng lực tư duy phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau nhưng quan trọng nhất vẫn là hệ thống các tri thức, trong

đó đặc biệt là các tri thức tổng thể và khái quát

Năng lực tư duy của mỗi cá nhân và cộng đồng được hình thành trong quá trình hoạt động và phát triển của họ Nó thể hiện qua việc kịp thời, nhanh nhạy với những thay đổi của hoạt động Để nâng cao được năng lực tư duy con nguời phải thường xuyên đổi mới các công cụ tư duy, tức là đổi mới tri thức nằm trong hệ thống các khái niệm, phạm trù đã có

Năng lực tư duy là tổng hợp của sự ghi nhớ, sự tái hiện, sự so sánh, sự trừu tượng hóa, khái quát hóa,… trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng tri thức vào hoạt động thực tiễn Năng lực tư duy của con người có yếu tố bẩm sinh, rất quan trọng nhưng không hoàn toàn là yếu tố quyết định Chính vì vậy, con người cần tự giác rèn luyện và tự nâng cao những năng lực tư duy cho mình

1.3.4 Năng lực tư duy Toán học

Theo V.A.Krutecxki năng lực Toán học được hiểu theo hai góc độ đó là năng lực học tập toán và năng lực tự nghiên cứu Toán học Năng lực học tập toán được

nắm chắc các kiến thức, kĩ năng để vận dụng vào thực tiễn cuộc sống Năng lực nghiên cứu toán học là khả năng tìm tòi, sáng tạo ra những kết quả mới về toán học,

có tính khách quan và có ý nghĩa đối với sự phát triển của loài người [14]

Theo nhà toán học T.A.Khinchin năng lực Toán học thể hiện những nét sau: suy luận theo sơ đồ logic, khuynh hướng đi tìm một con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích, phân chia chính xác các kí hiệu… [dẫn theo 15]

Theo M Niss năng lực Toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học Năng lực toán học bao gồm 8 thành tố và được chia thành hai cụm

Cụm thứ nhất bao gồm: Năng lực tư duy Toán học (mathematical thinking competency); năng lực giải quyết vấn đề toán học (problems tackling competency); năng lực mô hình hóa toán học (modelling competency); năng lực suy luận toán học (reasoningcompetency)

Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn (representing competency); năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức (symbolsandformalismcompetency); năng lực giao tiếp toán học (communicatingcompetency); năng lực sử dụng công

cụ, phương tiện toán học (aids and tools competency) [23]

(Nguồn: M Niss, Competencies and Mathematical Learning)

Trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (chương trình phổ thông mới) xác định một trong những mục tiêu cần phải đạt được là giúp HS hình thành

và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và

lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Trong đó, đối với thành tố năng lực tư duy và lập luận toán học cần giúp cho HS thực hiện được các hành động: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch; chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận; giải thích hoặc điều chính cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học [2]

1.3.5 Các thao tác tư duy Toán học

a) Quá trình tư duy

Mỗi một hành động tư duy là một quá trình ta đi giải quyết một yêu cầu nào

đó, được phát sinh trong quá trình nhận thức và hoạt động của con người Tư duy là một hoạt động trí tuệ, với một quá trình bao gồm các bước sau:

(1) Xác định vấn đề và biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy

(2) Huy động các vốn tri thức, kinh nghiệm từ đó dần hình thành cách giải quyết vấn đề

(3) Xác minh các giả thuyết trong thực tiễn từ đó hình thành các giả thuyết khoa học mới

(4) Kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết

(5) Giải quyết vấn đề được đặt ra

Quá trình tư duy được hình thành và diễn ra bằng cách chủ thể nghiên cứu tiến hành các thao tác trí tuệ như: Khái quát hóa - trừu tượng hóa, phân tích – tổng hợp, so sánh – tương tự,…

b) Các thao tác của tư duy Toán học

Các thao tác tư duy cơ bản được các nhà nghiên cứu thống nhất đưa ra, đó là:

i) Phân tích – tổng hợp

Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể ra thành từng mặt, từng bộ phận, từng yếu tố khác nhau đề nghiên cứu Tổng hợp là phương pháp dựa vào những phân tích và liên kết thống nhất các bộ phận, yếu tố để được cái toàn diện

Theo Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống

thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống” [10]

Phân tích – tổng hợp là hai quá trình có mối quan hệ hữu cơ với nhau, là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng là một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo cách tổng hợp còn tổng hợp được tiến hành theo kết quả có được của quá trình phân tích Phân tích để tổng hợp cho có cơ sở, có căn cứ và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất Áp dụng vào trong quá trình học tập bộ môn Toán, thao tác phân tích – tổng hợp có mặt trong tất cả các hoạt động trí tuệ và nó là một trong những thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn những vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự việc, hiện tượng

Tương tự là một thao tác tư duy dựa trên những đặc điểm giống nhau về tính chất của những đối tượng khác nhau Nhờ vào sự tương tự, mà con người có thể dự đoán những đặc điểm tính chất trên đối tượng này áp dụng vào một đối tượng nghiên cứu khác

Khi phải đối mặt với nhiều bài toán khác nhau, nhiều dạng bài tập khác nhau nhưng chúng giống nhau ở một số giả thiết thì các yêu cầu của kết luận đòi hỏi HS phải biết liên kết logic với nhau thông qua thao tác so sánh và tương tự Từ đó HS

rèn được cho mình khả năng phân tích, nhận biết các dạng toán từ đó có hướng giải nhanh các dạng bài tập đó

So sánh gồm hai quá trình đó là phát hiện đặc điểm chung và riêng từ đó có thể phát hiện ra nhiều bài toán, dạng toán có cách giải hoặc hướng đi tương tự Mặt khác nó còn phát triển cho HS nhiều dạng toán khác nhau để đi đến giải bài toán ở dạng tổng quát, rồi từ bài toán tổng quát HS giải được bài toán trong trường hợp riêng, giúp cho HS hiểu sâu hơn về các dạng toán Chẳng hạn như so sánh tính chất của hình bình hành với hình vuông

iii) Khái quát hóa – đặc biệt hóa

Khái quát hóa là chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đến việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng có quy mô lớn hơn và chứa tập hợp ban đầu, bằng cách đưa ra một số đặc điểm chung nhất của các phần tử trong tập hợp xuất phát Hay có thể hiểu khái quát hóa là quá trình ta đi tìm hiểu từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ cái tổng quát đến những cái tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lí, bài toán… thành những kết quả tổng quát Khái quát hóa là một trong những thành phần cơ bản của năng lực toán học

Đặc biệt hóa là một quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chúng ta khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp chứa trong tập hợp ban đầu, là yêu cầu đi tìm hiểu từ những cái chung đến những cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong quá trình tìm tòi và giải quyết bài toán

iv) Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là ta đi tách riêng trong tư duy một đặc tính, một quan hệ nào đó ra khỏi những thuộc tính, quan hệ khác để có thể nhận thức nó một cách hoàn chỉnh hơn, sâu sắc hơn Trừu tượng hóa thường được gắn liền với cụ thể hóa

1.3.6 Các loại hình tư duy toán học

Cái đích của quá trình học tập là giúp HS nắm bắt được phương pháp tư duy

mục đích mà mình cần đạt được, đồng thời tìm ra con đường tối ưu để đạt được mục đích đó Khi có được phương pháp tư duy đúng đắn thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu trên nhiều đối tượng khác nhau Điều cần thiết trong hoạt động

tư duy đó là người học phải nắm bắt được cái bản chất của vấn đề, sự vật, hiện tượng từ đó có thể vận dụng vào những tình huống khác một cách sáng tạo Các nhà nghiên cứu đã phân chia thành nhiều loại hình tư duy như là tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy kinh nghiệm,… sự phân chia như vậy giúp chúng ta hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong mọi hoạt động

HS có thể tự mình trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy như:

a) Tư duy logic

Tư duy logic là quá trình tư duy chính xác theo một quy luật tất yếu và hình thức nào đó Vì vậy các yếu tố và đối tượng trong tư duy logic bắt buộc phải có mối quan hệ với nhau Do đặc thù của bộ môn toán nên chúng ta có thể khai thác và rèn luyện cho HS khả năng tư duy logic

b) Tư duy độc lập

Mỗi HS muốn tự khẳng định năng lực của mình thì cần rèn cho mình cách tư duy độc lập HS có thể rèn cách tư duy độc lập là tự mình làm những nhiệm vụ vừa với năng lực, từ đó có thể tạo được hứng thú cho mình và cũng có thể nắm bắt sâu vấn đề theo quy luật của quá trình nhận thức Tính độc lập của tư duy được thể hiện

ở khả năng tự phát hiện ra vấn đề, tự giải quyết vấn đề, tự tìm ra những hướng giải quyết tối ưu và tự kiểm chứng lại những kết quả mà mình nghiên cứu được

c) Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo đòi hỏi phải tích lũy được kinh nghiệm hay tích lũy được tri thức Có thể nói tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất của quá trình tư duy Tư duy sáng tạo là tìm ra những hướng giải quyết mới không theo khuân mẫu hay một cách thức nào sẵn có Tư duy sáng tạo tạo nên những kinh nghiệm mới trên các kinh nghiệm đã cũ và từ đó làm phong phú thêm kinh nghiệm Biểu hiện của tư duy sáng tạo là sự thông minh, giảm thay đổi kinh nghiệm đã cũ

d) Tư duy phê phán

Tư duy phê phán sẽ giúp người học luôn tìm được hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh dập khuôn, máy móc Loại hình tư duy này được đặc trưng bởi việc tạo lập các tiêu chuẩn và chi đưa ra những phán đoán, kết luận khi có đầy

đủ thông tin về dữ liệu đó

e) Tư duy trừu tượng

Tư duy trừu tượng là tư duy đặc trưng bởi kỹ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể của đối tượng mà ta đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất chung nhất cần nghiên cứu Là tư duy giải quyết các vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ logic gắn liền với ngôn ngữ và lấy ngôn ngữ làm phương tiện Trong quá trình dạy toán, tư duy trừu tượng được thể hiện trong dạng

rõ rệt và trong dạng không rõ rệt

f) Tư duy thuật toán

Thuật toán là khái niệm mà trong ta thường bắt gặp trong bộ môn Toán học

và Tin học Khái niệm thuật toán được ra đời từ rất sớm Trong quá trình hoạt động của con người nói chung, các hoạt động học tập nói riêng và đặc biệt là hoạt động học toán ta thường phải:

+ Thực hiện các thao tác theo một trình tự hợp lí

+ Phân tích các quá trình thực hiện thành những thao tác

+ Khái quát hóa quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tượng

+ Mô tả lại chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

+ Phát hiện một thuật toán để giải quyết hoạt động

Có thể hiểu thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy tắc một số hữu hạn những thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho khi thực hiện một hữu hạn các thao tác đó thì ta có thể đạt được kết quả mong muốn

Thuật toán có những tính chất cơ bản như sau:

- Tính đơn trị: Tính đơn trị đòi hỏi các thao tác trong thuật toán phải đơn trị

Tính chất này nói lên tính hình thức hóa của thuật toán nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con người

- Tính dừng: Tính chất này yêu cầu sau một hữu hạn các thao tác được thực

hiện thì thuật toán phải kết thúc, thu được kết quả Tính dừng không quy định rằng mỗi thuật toán bạn phải thực hiện bao nhiêu bước mà nó phụ thuộc vào tính chất và mức độ phức tạp của bài toán

- Tính đúng đắn: Tính đúng đắn phải đảm bảo là giải quyết đúng vấn đề

được đặt ra, đạt được mục đích mong muốn, thuật toán không cho phép có sự sai kết quả, bỏ sót trường hợp

- Tính phổ dụng: Thuật toán được áp dụng được cho một lớp các bài toán có

Trong mỗi khái niệm, nội hàm và ngoại diên của khái niệm luôn thống nhất với nhau và gắn bó mật thiết với nhau Mỗi một nội hàm tương ứng với một ngoại diên xác định Tuy nhiên, sự tương quan giữa nội hàm và ngoại diên của khái niệm

có tính chất tỉ lệ nghịch với nhau nghĩa là nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng

bị thu hẹp và ngược lại

b) Phán đoán

Phán đoán là một hình thức cơ bản của tư duy trừu tượng

Phán đoán là sự phản ánh những thuộc tính, những mối liên hệ của sự vật, hiện tượng, sự phán đoán đó có thể đúng hoặc sai và nhất thiết phải xảy ra một trong hai trường hợp đó Khác với khái niệm phản ánh những thuộc tính chung, bản chất của sự vật, hiện tượng, phán đoán phản ánh những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện tượng và giữa các mặt của chúng Cho nên phán đoán là hình thức biểu đạt các quy luật khách quan

Trong tư duy, phán đoán được hình thành qua hai hình thức chủ yếu đó là trực tiếp và gián tiếp Phán đoán trực tiếp diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn phán đoán gián tiếp được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Theo các nhà nghiên cứu khoa học, Toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán đòi hỏi người học cần xác định tính đúng sai của bài toán

c) Suy luận

Suy luận (còn gọi là suy diễn logic) là một hình thức của tư duy, trong đó từ một số tri thức đã ta có thể rút ra tri thức mới Suy luận là quá trình tư duy có quy luật và quy tắc nhất định Muốn đưa ra được một suy luận đúng thì cần phải tuân thủ theo các quy luật và quy tắc đó

Có hai hình thức suy luận đó là suy luận và quy nạp Suy luận hay suy luận diễn dịch gồm có hai thuộc tính cơ bản là xuất phát từ tiền đề khái quát và kết luận rút ra từ cái tất yếu Suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

1.4 Một số nguyên tắc để phát triển năng lực tƣ duy toán học cho học sinh trong dạy học toán

Cần tập trung suy nghĩ vào mục đích: HS cần phải xác định mục đích của vấn đề là gì và cần phải tập trung suy nghĩ vào mục đích ấy

Cần biết đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi: Khi cần tìm hiểu một vấn đề hay khi giải một bài toán, HS nên biết rèn luyện cho mình cách đặt ra những câu hỏi

và suy nghĩ để tìm ra câu trả lời cho chúng

Cần đánh giá khả năng của phương án giải quyết: Khi giải quyết một vấn đề đặt ra, có thể có nhiều phương án giải quyết HS cần suy nghĩ thấu đáo trong việc lựa chọn phương án nào có nhiều khả năng, phương án nào tốt hơn

Cần phải biết thăm dò, dự đoán: Đối với bài toán tổng quát cần phải biết cách thử các trường hợp riêng Đối với bài toán hay vấn đề có nhiều cách giải quyết, nếu chưa khẳng định được cách nào có nhiều triển vọng thì cần biết cách thăm dò

để phát hiện khả năng thuận lợi cũng như những trở ngại gặp phải

Cần phải biết nghi ngờ: HS nên biết cách nghi ngờ trong quá trình giải quyết vấn đề nào đó bằng cách lật ngược vấn đề hay đặt ra các câu hỏi như: Cách làm này

đã tối ưu chưa? Có phương án nào tốt hơn không? Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không?

Cần phải vừa kiên trì, vừa mềm dẻo: Vừa kiên trì, vừa mềm dẻo là các phẩm chất của người có tư duy

Nắm vững quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề:

Theo đó, cái dễ đi trước cái khó; cái quen biết đi trước cái xa lạ; cái toàn bộ

đi trước cái bộ phận

Hiểu thấu và nắm vững kiến thức là nền tảng của tư duy trong học tập và giải toán cũng như là cơ sở để tiếp nhận tri thức mới, phát triển tư duy cho học sinh

Phát triển tư duy dựa trên việc thực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên

Tích lũy kinh nghiệm để phát triển tư duy

Huy động kiến thức, vận dụng kiến thức và kinh nghiệm vào việc phát triển

Theo phân phối chương trình của sách giáo khoa cơ bản thì nội dung “Hệ thức lượng trong tam giác” được học ở đầu kì 2 của Hình học lớp 10 Thời lượng của nội dung này khá ít, chỉ có 5 tiết trong đó có 3 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập Trong ba tiết đầu chủ yếu các em được làm quen với định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác để có thể áp dụng vào các bài tập về giải tam giác Hai tiết còn lại là thời gian để GV có thể củng cố, đưa ra các dạng bài tập từ đó rèn cho HS kĩ năng giải tam giác

Nội dung hệ thức lượng trong tam giác các em HS đã được tiếp cận trong chương trình Hình học lớp 9 nhưng trong trường hợp cụ thể đó là “Hệ thức lượng trong tam giác vuông” Lên cấp THPT, HS lại gặp lại nội dung này nhưng ở phạm

vi áp dụng rộng hơn đó là cho tam giác thường Như vậy nội dung phần kiến thức này được xây dựng theo mức đô tư duy logic tăng dần độ khó về cả lượng kiến thức

và hệ thống bài tập Chính vì vậy HS vừa phải ghi nhớ các công thức đã học lớp 9 lại vừa phải ghi nhớ các công thức mới nên việc áp dụng vào giải một số bài toán đôi khi còn khó khăn

1.5.2 Những mục tiêu cần đạt được trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” trong hình học lớp 10

Có thể nói nội dung kiến thức của chủ đề này không quá nhiều nên việc làm được bài tập, ghi nhớ công thức cũng không khó khăn lắm Sau khi học xong nội dung “Hệ thức lượng trong tam giác” trong hình học lớp 10 đòi hỏi HS phải đạt được những mục tiêu sau đây:

cạnh, góc, đường trung tuyến

3 Tư duy, thái độ:

+ HS tư duy linh hoạt trong việc tính toán biến

đổi công thức

+ HS nắm được công thức từ đó biết liên hệ toán học vào trong thực tiễn

4 Năng lực hướng tới:

- Năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực giải quyết vấn đề

2 Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính số đo cạnh,

góc, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác khi biết một số yếu tố cho trước

3 Tư duy, thái độ:

+ HS tư duy linh hoạt trong việc vận dụng công thức

+ Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày

khoa học Nghiêm túc khi học tập

4 Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng

lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực hợp

tác

25 Các hệ thức lượng trong

tam giác và giải tam

giác (tiết 3/4)

1 Kiến thức: Giúp cho HS nắm được các công

thức về tính diện tích tam giác

2 Kỹ năng: Rèn luyện tính diện tích tam giác,

đường cao trong tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác khi biết một số yếu tố cho trước

3 Tư duy, thái độ: HS tư duy linh hoạt trong

việc biến đổi công thức

4 Năng lực hướng tới: Năng lực tư duy sáng

tạo, năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực hợp tác

26 Các hệ thức lượng trong

tam giác và giải tam

giác (tiết 4/4)

1 Kiến thức: Giúp HS biết cách vận dụng định

lý cosin, định lý sin để tính độ dài các cạnh và các góc của tam giác, tính diện tích tam giác

2 Kỹ năng: Rèn cho HS biết cách tính toán và

ứng dụng vào giải quyết một số bài toán thực tiễn

3 Tư duy, thái độ: Rèn cho HS khả năng tư duy

logic, linh hoạt trong việc lựa chọn công thức phù hợp, có thái độ nghiêm túc học tập, tính toán cẩn thận và chính xác

4 Năng lực hướng tới: Năng lực giải quyết vấn

đề, năng lực tư duy logic sáng tạo, năng lực sử

dụng công nghệ thông tin

27 Bài tập 1 Kiến thức: Củng cố định lý côsin, định lý sin,

công thức về độ dài đường trung tuyến, các công

thức về tính diện tích tam giác

toán học trong thực tiễn toán học, đo đạc Liên

hệ được với các kiến thức đã học Rèn luyện tư duy logic, cẩn thận chính xác trong tính toán, rèn luyện kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay

4 Năng lực hướng tới: Năng lực tư duy sáng

tạo, năng lực tư duy logic, năng lực hợp tác, năng lực tính toán

1.5.3 Thực trạng dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” trong chương trình Hình học lớp 10

Phần nội dung kiến thức của chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” là một trong những nội dung khá thú vị và được ứng dụng nhiều trong thực tiễn cuộc sống Tuy nhiên, đây cũng là một trong những nội dung khá khó với cả người dạy và người học Để phục vụ cho nghiên cứu các nội dung của luận văn, chúng tôi đã tiến hành điều tra và thu thập ý kiến cũng như tìm hiểu thực trạng dạy, học toán của một

số GV và HS tại trường THPT Đoan Hùng Để trên cơ sở đó có những hiểu biết và cái nhìn chính xác hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển tư duy của HS, đề

ra được các biện pháp phù hợp với cả GV và HS mục đích để nâng cao chất lượng học và dạy nội dung chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

Kết quả khảo sát thực tế cho thấy:

a) Về phía giáo viên

Bảng 1.1 Đội ngũ giáo viên Toán của trường THPT Đoan Hùng

Dự giờ của GV giảng dạy môn Toán nói chung, dạy học Hình học 10 nói riêng, chúng tôi nhận thấy hầu hết giáo viên thường sử dụng phương pháp dạy học quen thuộc như thuyết trình, diễn giải, đàm thoại Giờ học diễn ra gần như là giống nhau, GV đưa ra những kiến thức mới cho HS chứ không phải là những cái HS phát hiện được GV chủ yếu là cho HS tự đọc và nghiên cứu nội dung SGK và sau đó làm bài tập trong SGK và sách bài tập Chưa rèn cho HS khả năng tự nghiên, tự tìm hiểu và phát hiện vấn đề

Qua thăm dò về công tác dạy và học nội dung hệ thức lượng trong tam giác của GV trường THPT Đoan Hùng tôi đã thu được một số kết quả như sau:

Bảng 1.2 Đánh giá về nội dung “Hệ thức lượng trong tam giác”

độ nhận thức về nội dung này tương đối phù hợp với HS

Trong vấn đề kiểm tra đánh giá: GV kiểm tra đánh giá năng lực của HS chủ yếu thông qua hình thức là trả lời miệng, những bài kiểm tra 15 phút, những bài kiểm tra 1 tiết hay những câu kiểm tra trắc nghiệm khách quan Qua đó GV một phần nào kiểm tra được năng lực, kĩ năng thực của HS Tuy nhiên, quá trình kiểm tra cũng chỉ đúng với những HS tích cực vì vẫn còn những HS chưa trung thực trong học tập, học bài tủ, học đối phó

Như vậy, có thể nói nguyên nhân chính của việc dạy học chưa phát triển được năng lực tư duy cho HS là do GV ngại nghiên cứu, ngại đổi mới phương pháp, giờ dạythì khá ít nên không có thời gian đào sâu, thời lượng một tiết học không đủ

để trao đổi Phương pháp dạy học như trên còn gặp ở nhiều GV kể cả những GV lâu năm và những GV mới vào nghề

* Khả năng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

Dựa vào kết quả điều tra qua các phiếu thăm dò ý kiến của cả GV và HS, kết hợp với kết quả trao đổi với các cán bộ chuyên môn, kết quả thu về thực trạng của việc dạy học phát triển tư duy cho HS lớp 10 chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” cho thấy:

- Về phía lãnh đạo: Nhiều GV còn chưa tiếp cận với phương pháp dạy học

phát triển tư duy, chưa thấy được việc dạy học phát triển tư duy cho HS trong Toán học hay qua dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” là quan trọng Trong các buổi họp, sinh hoạt chuyên môn có đề cập đến nhưng chỉ mới dừng lại ở mức nhận xét, đánh giá hay tham gia vào các buổi dạy mang tính hình thức, chưa mang tính đào sâu

- Đối với GV: Khi đặt câu hỏi cho các GV thì 100% GV được hỏi đã đổi mới

phương pháp dạy học phát triển tư duy cho HS vào dạy học môn Toán, thì có tới 48% GV chưa áp dụng (Do chưa đổi mới phương pháp, chưa biết cách dạy hoặc chưa có cách nhìn đúng thế là nào dạy học phát triển tư duy, do năng lực HS còn hạn chế nên rất khó áp dụng ) Một số GV khác họ lại nói rằng, do không có thời gian để tìm hiểu và nâng cao phương pháp Một số GV khi đã áp dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy cho HS họ nhận định rằng đây là một phương pháp quan trọng, nâng cao được chất lượng, HS thì say mê, hứng thú, và có khả năng tự mình

giải quyết vấn đề đồng thời linh hoạt hơn trong mọi tình huống

b) Đối với HS

Đa số các em đều đã có đầy đủ SGK và SBT, số HS có các loại sách tham khảo phục vụ cho việc học còn rất hạn chế, số lượng sách tham khảo chỉ tập chung

có ở những HS khá giỏi của ban tự nhiên và ban xã hội

Phần lớn các HS đều học một cách thụ động, trên lớp nghe giảng, ghi chép sau đó về nhà học thuộc lòng nội dung kiến thức theo vở ghi hoặc theo SGK Trong giờ còn có HS không chú ý, ghi chép mà không hiểu bản chất vấn đề Số các em HS tích cực tham gia hoạt động, tích cực xây dựng bài còn hạn chế chỉ chiếm khoảng

25% Một số em HS còn học và làm bài tập với mục đích để chống đối, để kiểm tra, một số sử dụng sách tham khảo để chép bài tập, các em hoàn toàn không chịu tư duy, không chịu suy nghĩ, tìm tòi ra cách làm

Do đặc thù của bộ môn toán là kiến thức của Toán học được xuyên suốt từ THCS lên tới THPT nếu như HS bị mất gốc thì rất khó có thể theo tiếp Nhiều kiến thức lại phức tạp, trừu tượng đòi hỏi phải có trí tưởng tượng tốt và nhiều kiến thức

HS được học nhưng không áp dụng vào trong thực tiễn Và một trong những nguyên nhân làm cho HS không có hứng thú học bộ môn Toán là GV chưa có phương pháp dạy học thích hợp, chưa kích thích được sự hứng thú cho HS, trong quá trình tiếp nhận tri thức HS còn bị thụ động, máy móc, thiếu sự sáng tạo thay vào đó là chỉ học một cách máy móc, sao chép, học thuộc lòng

Để thấy được tình hình học tập của HS tôi đã tiến hành khảo sát điều tra về

HS lớp 10, trường THPT Đoan Hùng, huyện Đoan Hùng Kết quả thu được được thể hiện thông qua biểu đồ điều tra sau:

Bảng 1.3 Đánh giá về môn Toán và nội dung chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”