Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn thông tin đến các bạn những kiến thức về công thức Niu-tơn, Tam giác Pa-xcan.

TỔ TOÁN

BÀI GIẢNG

KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu 1: Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:

!

!

!

!

k n

k n

k n

k

k n n

n n

k n k n

n k k

=

=

−

=

−

=

A C

B C

C C

A

D C

E B v� D ��ng

Câu 2: Tính chất của số là:Ck

n

­1

­1 1

A Ck n = C (0 n k n− k n) vﾵ Ck n + Ck n− = C (1 k n k < n)

­1

B Ck C (0 n k n) vﾵ Ck Ck C (1 k < n)

C Ck C (0 n k n) vﾵ Ck Ck C (1 k < n)

KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu 3: Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức đáng nhớ:

(a + b)2 = (a + b)3 =

a2

a3 +

(a + b)4 = (a + b)(a + b)3

= (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)

= (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) (a + b)n = ?

?

3a2b + 3ab2 + b3

+ 2ab + b2

Liệu có công thức để khai triển biểu thức (a + b)n

thành tổng các đơn thức?

(a + b)2 = 1a2  +  2ab  + 1b2 

(a + b)3 = 1a3  + 3a2b  + 3ab2  +  1b3 

(a + b)4 = 1a4  +  4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

Hãy tính các số (với Ck n=2,3,4):

n

n = 2: C02 = 1

2

2

,C =1

n = 3: C30 = 1

3

3

3

,C =

3

4

4

4

4

,C =

1

1

4 4

,C =

Hãy so sánh các các số (n=2,3,4) với các hệ số của các đơn thức trong khai triển của biểu thức (a +b)n ?

Ck n

Ta có thể viết lại khai triển (a + b)n (n=2,3,4) như sau:

(a + b)2 = (a + b)3 = (a + b)4 =

(a + b)n = ?

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

C a + C ab + C b

C a + C a b + C ab + C b

C a + C a b + C a b + C ab + C b

Có quy luật nào không!?

(a + b)5 = C a05 5 + 1 4

5

C a b + 2 3 2

5

C a b + 3 2 3

5

5

5

C b

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

• Công thức nhị thức Niu –Tơn:

(a b+ )n = Cn a n + Cn a b n− + + Ck n k k n a b− + + Cn n− ab n− + Cn n n b (1)

• Chú ý: Ở vế phải công thức (1):

– Số các hạng tử là n + 1;

– Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng số

mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1)

– Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử

đầu và cuối thì bằng nhau

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5

(Nhiệm vụ của tổ 2, tổ 4)

Các ví dụ:

• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x ­ 2)4

(Nhiệm vụ của tổ 1, tổ 3)

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5

Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

(x + y)5 = C0 55x + C1 45x y + C52 3 2x y + C3 2 35x y + C45xy4 + C5 55 y

x x y x y x y xy y

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x ­ 2)4

Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

3 (3 ) ( 2) (3 ) ( 2) (3 )( 2) ( 2)

x

4 216 3 216 2 96 16

= 81x − x + x − x +

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

1

2n = C0n + Cn + + Cn n

• Hệ quả:

Với a = b = 1, ta có:

Với a = 1 ; b = - 1, ta có:

0 C C ( 1)k Ck ( 1)nCn

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

(1 1)+ n = Cn1n + Cn1 1 n− + + Ck n k n1 1 − k + + Cn n− 1.1n− + Cn n n1

2n C C Ck Cn Cn

�

(1 1)n C 1n C 1 ( 1) n Ck n k1 ( 1)k Cn 1( 1)n Cn( 1)n

0 C +C ( 1) Ck( 1)k Cn ( 1)n Cn( 1)n

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

Giải: Kí hiệu

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

• Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n 4, ta có:

n + n + n + = n + n + = −

n n n

n n

B

+ + +

= + +

Theo hệ quả ta có: 2

0

n A B

A B

= +

= −

Từ đó suy ra A B= = 2n−1

II Tam giác PA-XCAN

Hãy chú ý tới hệ số của các đơn thức trong các khai triển sau:

(a + b)2 = 1 a2  +   2 ab   +   1 b2 

(a + b)3 = 1 a3  +  3 a2b  +   3 ab2  +  1 b3 

(a + b)4 = 1 a4  +  4 a3b  +   6 a2b2 + 4 ab3  +  1 b4

(a + b)1 =

(a + b)0 =

Quy luật !?

1 a   +  1 b

1

II Tam giác PA-XCAN

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

+

+

+ +

III Củng cố:

Hãy điển Đ, S vào ô trống trong bảng sau để cho biết câu

ở hàng tương ứng là đúng hay sai:

1 Số các số hạng vế phải ở công thức (1) là n + 1

2 Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn

bằng 2n

3 Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và

cuối thì đối nhau

4

5

( )n C n C n Ck n k k Cn n Cn n (1)

a b+ = a + a b− + + a b− + + − ab − + b

1

2n = C0n + Cn + + Cn n

0 = C − C + + − ( 1)k Ck + + − ( 1)n Cn

Đ

Đ Đ

S

S

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN

• Bài tập 2(sgk): Tìm hệ số của x3trong khai triển của

biểu thức:

( )n n n k n k k n n n n (1)

a b+ = C a +C a b− + +C a b− + +C ab− − +C b

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức trên

là:

6 2

2

x

x

6

k

x

−

� �

Ta phải tìm k sao cho 6 – 3k = 3, nhận được k = 1

Vậy hệ số cần tìm là: C1 162 =12

I Công thức nhị thức Niu - Tơn

• Bài tập 3 (sgk): Biết hệ số của x2 trong khai triển của

(1 - 3x)n là 90 Hãy tìm n

( )n n n k n k k n n n n (1)

a b+ = C a +C a b− + +C a b− + +C ab− − +C b

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển của (1 - 3x)n là:

Suy ra hạng tử chứa x2 trong khai triển là: C2n ( 3) − 2 2x

Theo bài ra ta có: 2 2

2

C

C

n