Chuyên Đề Ôn Thi dạy kèm Môn Toán Hình Học Vào Lớp 10

Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục Bộ đề thi toán tuyển sinh vào lớp 10 hay Bộ tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn: Toán,. được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm hai phần: một phần ôn thi vào lớp 10 THPT, một phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa trên cấu trúc đề thi của Sở. Mỗi đề thi đều có lời giải tóm tắt và kèm theo một số lời bình. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn.

CHUYÊN ĐỀ 2 DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ

I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.

1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:

a Kiến thức liên quan.

- Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông

AH và cạnh huyền AB thì AH  AB Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng B

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuônggóc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơnkhi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 )

Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) là đườngtròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M

và tiếp xúc với AC tại C Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùngvới M)

1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông

2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2)

3) BO1 cắt CO2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đườngtròn

Gọi O là hình chiếu của E trên BC thì EO =

AB MinO O MinEM EO

khi M là trung điểm BC

Bài 2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 )

Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P

M, P N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng

MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K

1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn

K

I

Q P





Vậy Max(NK.MQ) = Max(PH.MN) =

2 2

MN

đạt được khi P là điểm chính giữa nửađường tròn

Bài 3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 )

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn

đó (E khác A và B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K

1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA

2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng

AB tại F

3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,

BE với đường tròn (I)

4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK

a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

Xét (O) có  AEK   KEB (EK là phân giác Ê)

  AK  KB  (hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)

  E1   A1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

KAF đồng dạng với KEA (g-g)

b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O tại E

Ta có O, I, E thẳng hàng và OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O)

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB tại F:

Dễ dàng chứng minh được EIF cân tại I và EOK cân tại O

 IFE OKE ( OEK)     

Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị

 IF // OK (dấu hiệu nhận biết)

 EIN cân tại I

Mà EOB cân tại O  ENI OBE ( IEN)     

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị  MN//AB

d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ là tam giác vuông cân tại Q

Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ mà PK = FQ (PFQK là hình chữ nhật)

FQ = QB (BFQ vuông cân tại Q)  PK = QB

PQ = FK (PFQK là hình chữ nhật)

 Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK

Vì (O) cố định, K cố định ( vì EK là phân giác góc AEB nên K là điểm chính giữa cung AB không chứa E )

FK  FO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB

Ta có FO = R

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK = R 2

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = R + R 2  R  2 1  

Bài 4 ( Thi HSG Toán 9 Quảng Ngãi 2013-2014 ).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF là dây cung di động

trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB

a) Tính số đo

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di

động trên nửa đường tròn

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

Giải :

a) Tính số đo

Tứ giác BFHI nội tiếp => (tam giác OEF đều)

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động

trên nửa đường tròn

Ta có : AE.AC = AC(AC –CE) = AC2 – AC.AE

I H C

Suy ra : AE.AC+BF.BC = 2CO2 +

2 AB

4 – CO2 + R2 – CO2 + R2 = 3R2AE.AC+BF.BC= 3R2 Cố định

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

Ta có SABEF = SAOF + SFOE + SEOB

+

= R.PQ (PQ là đường trung bình của hình thang

4 khi Q trùng với O hay EF // AB

Bài 5 ( Thi HSG Bình Thuận 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc (O) Gọi N, P, Qlần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB

B A

O

C

P

N B

A

2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc.

a Kiến thức liên quan.

- Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có haiđầu là A và B

- Với ba điểm bất kỳ A, B, C trong mặt phẳng ta có bất đẳng thức ba điểm :

AC CB AB  Dấu đẳng thức xảy ra khi C thuộc đoạn thẳng AB

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi vào THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nhọn có A 30  0 gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên BC và M, N lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB, AC Tìm vị trí điểm M, N

để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất

Giải :

Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của

H qua AB, AC

Dấu đẳng thức xảy ra khi M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác HMN là AH với M, N lần lượt là giaođiểm của PQ với AB và AC

Bài 2

Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox,

điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất

Giải:

Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOm xOA Trêntia Om lấy điểm D sao cho OD = OA Các điểm D và A cốđịnh

OD =OA, OC = OB ,COD BOA 

Mà AC +CD ≥ AD

AC +AB ≥ AD

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD

Vậy min(AC+AB) =AD Khi đó C là

giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia

Ox sao cho OB = OC

Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các

điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giácEFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải :

Gọi I ,K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , HG

AEF vuông tại A có AI

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng

Khi đó ta có EH//AC, FG//AC, AEI EAI ADB   nên EF//DB , tương tựGH//DB Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các

đường chéo của hình chữ nhật ABCD

3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.

a Kiến thức liên quan.

- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâmlớn hơn

M

K

I E

G

A

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căngdây lớn hơn.

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2009 - 2010 )

Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm

M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MKvuông góc với AN KAN

1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn

2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK

3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất

Giải :

1) Từ giả thiết: AKM 900, AHM 900

Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đường tròn

 MN lớn nhất (Vì AB= const )  M là chính giữa AB

Bài 2 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2006-2007 )

O

N K

H

E B A

M

Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với

OA tại C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp

c) Dễ thấy tam giác MNB đều

Trên KN lấy E sao cho KE = KM

Suy ra MEK đều

điểm đối xứng của N qua O

Bài 3 ( Thi vào THPT Hùng Vương - Phú Thọ 2013-2014 )

Cho điểm A cố định trên (O;R) Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O)thỏa mãn AB AC. R 3 Xác định vị trí của B và C trên

(O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất

A

=> BC  OA => tam giác ABC đều.

Vậy khi B, C thuộc (O) và tam giác ABC đều thì diện tích tam giác ABC lớn nhất

Bài 4 ( Thi HSG Toán 9 Hải Dương 2013-2014 )

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là một điểm di độngtrên đoạn OA (H khác A) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cungnhỏ AB tại M Gọi K là hình chiếu của M trên OB

a) Chứng minh HKM 2AMH 

b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lầnlượt tại D và E OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G

Chứng minh OD.GF = OG.DE

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R

1

H

K O A

M

Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA)  A 1 M (2) 1

Tứ giác MHOK nội tiếp  O 1 K (cùng chắn  1 MH ) (3)

OD DE hay OD.GF = OG.DE

c) Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho

MA’ = MA  AMA' đều

 A1 A2 600 BAA'

 MABA 'AC MBA'C

 MAMBMC

Chu vi tam giác MAB là MAMBABMCAB2RAB

Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O)

=> M là điểm chính giữa cung AM

=> H là trung điểm đoạn AO

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB

Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = (2 3)R

Bài 5 ( Thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2013-2014 )

Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định Ax và Ay là hai tia thay đổi luôntạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và

D

H O A

M

2 1

A' I

H O A

M

N Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F Gọi K là trungđiểm của đoạn thẳng EF.

1 Chứng minh rằng

EF

3

AB

2 Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp

3 Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN

(C A, C N)   Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D Xácđịnh vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất

 NEFNAB (cùng phụ với góc NFE)

 vuông NEF vuông NAB (g.g)



 tan

    OMKN là tứ giác nội tiếp.

3) Gọi I là giao điểm của AC và MD Ta có

MCA NCM   ACD

 Tam giác MCD có CI vừa là đường cao vừa

là phân giác MCD cân tại C.

N M

B A

y x

O

D

N M

C

B A

4 Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai.

a Kiến thức liên quan.

Bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :

* " biến " trong hình học được hiểu là yếu tố biến đổi : điểm, đường

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2003-2004 )

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt

là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD

1) Chứng minh :  MIC =  HMK

2) Chứng minh : CM vuông góc với HK

3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

1) Sau khi chỉ ra H, M, P thẳng hàng và K, M, I thẳng hàng thì dễ dàng chứngminh được 1)

2) Gọi N là giao điểm của CM và HK

B A

Bài 3

Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC =

8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đườngvuông góc kẻ từ M đến AB và AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME

Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm2 , khi đó D là trung điểm của

AB , M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC

5 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM và một số bất đẳng thức đại số khác.

a Kiến thức liên quan.

a1 Bất đẳng thức AM - GM là bất đẳng thức nêu mối quan hệ giữa trung bình

cộng và trung bình nhân của các số thực không âm ai ( i = 1,2, ,n )

AM - GM viết tắt cho cụm từ : arithmetic mean - geometric mean

- Bất đẳng thức AM - GM :

E

C M

B

D A

Với n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta có:



 Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất

đẳng thức AM-GM như sau:

a a

b Các bài tập minh họa.

Bài 1

Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các tia Ax , Byvuông góc với AB Qua M kẻ hai đường thẳng thay đổi nhưng luôn vuông góc vớinhau cắt Ax tại C, cắt By tại D

Xác định vị trí của C và D sao cho tam

giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Giải :

Ta có :

1 2

Vậy MinSMCD = ab khi C và D được xác định sao cho AM = MC ; BM = BD

Bài 2 ( Thi THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2008-2009 )

Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định khác O (OP < R) Hai dây AB và

CD thay đổi sao cho AB vuông góc với CD tại P Gọi E, F lần lượt là trung điểmcủa AC, AD Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC lần lượt tại M, N

1) Chứng minh rằng : Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh rằng : BD = 2.EO

3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tứ giác ACBD

y x

D C

B M

M F

N

Do EF là đường trung bình của  ACD nên EF // CD và CD = 2EF

 AFEADC ABC

1 AB.CD 2

16R  16R PO không đổi nên AB2.CD2 nhỏ nhất khi 2 2

HO KO

nhỏ nhất  H  O hoặc K  O  AB đi qua O hoặc CD đi qua O

Vậy diện tích tứ giác ACBD nhỏ nhất bằng :

1

16R 16R PO 2R R PO



 AB và CD cách đều O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng

1

16R 16R PO 4.PO 2R PO

Bài 3 ( Thi vào THPT Quảng Ninh 2011-2012 )

Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C cố định trên bán kính OA (Ckhác A và O) , điểm M di động trên đường tròn (M khác A,B) Qua M kẻ đườngthẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B củađường tròn (O) lần lượt tại D và E

a) Chứng minh ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh DCEC

c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất

Giải :

a) b) Dễ chứng minh

c) Tứ giác ABED là hình thang vuông

nên diện tích của nó là :

Dễ thấy ADC# BCE g g(  )AD BE. AC BC k. 

không đổi ( do A,C,B cố định )

M

C

E D

B O

A

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM : AD BE 2 k Dấu đẳng thức xảy ra khi

AD = BE

Vậy MinSADEB = AB k khi và chỉ khi AD = BE,

khi đó ABED là hình chữ nhật nên MC vuông góc AB => M là giao của đường thẳng qua C và vuông góc AB

Bài 4 ( Thi vào THPT Tp Hồ Chí Minh 2010-2011 )

Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộcđường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ

MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)

a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hìnhchữ nhật

b) Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng

c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO vàMPB đồng dạng Suy ra K là trung điểm của MP

d) Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữnhật APMQ có diện tích lớn nhất

AO EA PB

Q

P

E M

A O

B

Có : SMPAQ = AP.MP =

2 3

x

R x x

R

khi M thuộc đường trònsao cho P là trung điểm OB

Bài 5 ( Thi vào THPT Nguyễn Bình - Quảng Ninh 2013-2014 )

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K làmột điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM Gọi H là chân đường vuông góc của M xuốngAK

a) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếp

b) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?

c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK

d) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB Xác định vị trí của K để chu vitam giác OPK lớn nhất

Giải :

a) Vì M là điểm chính giữa của cung AB,

nên sđAM 900 => AOM ˆ 900

Do đó đỉnh O và H luôn nhìn đoạn Am dưới

một góc 900, nên AOHM là tứ giác nội tiếp

P H

K

B

M

O A