Bộ đề thi toán vào 10 - chuyên Vĩnh Phúc

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F.. Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại các

b) Tìm tất cả các số nguyên dương , ,p m n thỏa mãn 2m p2 1 n5, trong đó p là số nguyên tố

Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:

32

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các

cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng ID và EF Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm

Q, P Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng EF tại điểm K

a) Chứng minh các tứ giác INQF, INEP nội tiếp đường tròn và tam giác IPQ cân

b) Chứng minh IAMFKI

c) Chứng minh hai đường thẳng IM, DK vuông góc với nhau

Câu 5 (0,5 điểm) Bạn Bình có 19 viên bi màu xanh, 21 viên bi màu đỏ và 23 viên bi màu vàng Bình thực hiện

một trò chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bình chọn 2 viên bi có màu khác nhau, rồi sơn chúng bởi màu thứ ba (Ví

dụ: Nếu Bình chọn 2 viên bi gồm 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ thì Bình sơn 2 viên bi này thành màu vàng) Hỏi sau một số hữu hạn lần thực hiện trò chơi theo quy tắc trên, bạn Bình có thể thu được tất cả các viên bi cùng một màu hay không ? Tại sao ?

-Hết - Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019 – 2020

Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin

Th ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019 – 2020

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh

Th ời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức     

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình x22m1x m  4 0 (1)(x là ẩn, m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m  2 

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện

Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi K là điểm chính giữa cung AB, M là điểm

di động trên cung AK (M không trùng với A và K) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng BM sao cho AM = BN Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và OK

a) Chứng minh MK là đường phân giác của góc DMB

b) Chứng minh AMKBNK

c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cung AK thì đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi

qua một điểm E cố định Xác định vị trí của M để đường thẳng DE song song với đường thẳng AB

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b b c c a      8 Tìm giá trị nhỏ nhất

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x y z; ; thỏa mãn (1) thì x y z, , đều chia hết cho 4

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y z, , thỏa mãn (1)

Câu 3 Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng  LOK =LBO và 2

BL DK =OB

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt AB tại M khác L và đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt AD tại N khác K Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N nằm trên một đường tròn c) Lấy các điểm P, Q tương ứng trên FC, CG sao cho LP song song với KQ Chứng minh rằng

KQ tiếp xúc với (O)

Câu 5 Một bảng hình vuông gồm n hàng và n cột (n nguyên dương) Các hàng và cột đánh số từ 1 đến

n ( từ trên xuống dưới, từ trái qua phải) Ô vuông nằm trên hàng i, cột j (i j; =1; 2;3; n)của bảng gọi

là ô ( )i j T; ại mỗi ô của bảng điền 1 số 0 hoặc 1 sao cho nếu ô ( )i j; điền số 0 thì a i +b j ≥n, trong đó

a) Ta có: phương trình hoành độ giao điểm :

2 2

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

1 2

21

2

2; 15

( )5

10

u tm v

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Ch ứng minh rằng không tồn tại…

9 nên ta có điều vô lý

Vậy ta có điều phải chứng minh

OLK =OLB(do LB, LK là các tiếp tuyến)

Khi đó: tam giác OLK và BLO đồng dạng

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: ∆ OLK  ∆ DOK g g ( ) ⇒ ∆ DOK  ∆ BLO

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Đường tròn ngoại tiếp …

BM BL = BC BF = BO = BL DK ⇒ BM = DK

Do vậy BMDK là hình thang cân nên KM // BD

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: LN//BD

Do vậy KMLN là hình thang cân nên hiểu nhiên nội tiếp một đường tròn

Ta có điều phải chứng minh

c) L ấy các điểm P, Q…

Ta có: Kẻ PQ'tiếp xúc với (O) và Q’ thuộc CD

Tương tự phần a, chứng minh như vậy ta có:

Gọi hàng i là hàng loại 1 nếu ( )i;1 =1

Gọi hàng j là hàng loại 0 nếu ( )j;1 =1

Vậy có k hàng loại 1 và n−khàng loại 0

Khi đó tổng các số ở hàng loại 1≥kvà loại 0≥ −n k

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC

Năm học 2017– 2018

Câu 1 (2.0 điểm) Cho phương trình x2 2m1x 2m23m 1 0, trong đó m là tham số và

x là ẩn số

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là x x Ch1, 2 ứng minh rằng 1 2 1 2 9

a) Giải hệ phương trình với m 7

b) Tìm tất cả các giá trị của AEM MAK EMK để hệ phương trình có nghiệm

Câu 3 (3.0 điểm) Cho hình thang ABCD với AD và BC là hai cạnh đáy trong đó BC AD,

MI MH HI KH HO MK MH HK I KH HO , AB AC ,

1

CD  , BAC BDC 1800, E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và BEC 2AEC b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm K, đường thẳng 1 2 3

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng x y y ; ; của phương trình (1)

b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương a b c ; ;  của phương trình (1) và thỏa mãn điều kiện min ; ; a b c 2017 Trong đó kí hiệu min ; ; a b c là số nhỏ nhất trong ba số , ,a b c

Câu 5 (1.0 điểm) Cho số tự nhiên n 1 và n  2 số nguyên dương a a1, , ,2 a n2 thỏa mãn điều kiện 1a1 a2  a n2 3n Chứng minh rằng tồn tại hai số ,a a i j (1   j i n 2; ,i j  )sao cho n  a i a j 2n

Hướng dẫn giải Câu 1 Cho phương trình x22m1x 2m2 3m 1 0, trong đó m là tham số, x là ẩn số a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm

 Lời giải Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

1

m m

m m

m

m m

Vậy với 0m1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là x x1, 2 Chứng minh rằng 1 2 1 2 9

 Lời giải Với m 7, hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm   x y   ; 1; 1 , 1;1   

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm

 Lời giải Ta có x 0 hệ phương trình không thỏa mãn nên suy ra x  0

Rút y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai ta có phương trình

Đặt t x2 0 Thay vào phương trình trên ta được 8t2 mt 1 0 Như vậy yêu cầu bài toán xẩy

ra khi phương trình 8t2 mt 1 0 có nghiệm dương

Dễ thấy phương trình 8t2mt 1 0 luôn có 2 nghiệm trái dấu do ac   8 0 Do đó phương trình luôn có một nghiệm dương Do đó với mọi số thực m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm

Câu 3 Cho hình thang ABCD với AD và BC là hai cạnh đáy trong đó BC AD,

MI MH HI KH HO MK MH HK I KH HO , AB AC ,

1

CD  , BAC BDC 1800, E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và BEC 2AEC b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm K, đường thẳng 1 2 3

a) Chứng minh bốn điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và BEC 2.AEC

 Lời giải Do E đối xứng D qua BC nên luôn có BDC BEC

Ta có BAC BDC 1800 BAC BEC 1800 suy ra bốn điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn

Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB, kết hợp với tứ giác ACEB nội tiếp nên ta được

ABC AEC ACB BEA Từ đó suy ra AEC BEA BEC 2.AEC

b) Chứng minh FAFD và đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

 Lời giải Ta có DE BC và AD song song với BC nên tam giác ADE vuông tại D và có

FD FE FA

Mặt khác BAC BDC 1800 BAC BDK nên tứ giác AKDL nội tiếp

Lại có ADB DBC (do AD // BC) và tứ giác ACEB nội tiếp suy ra CAECBE Do BC là trung trực của BE nên DBC CBE Từ đó ta được ADB CAE, suy ra FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Kết hợp với FAFD suy ra FD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

Ta có tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFE nên ta được AC BE

Vậy độ dài đoạn CD là 21

Câu 4 Cho phương trình x2 y2 z2 3xyz (1) Mỗi bộ số x y z ; ;  trong đó x y z, , là các số nguyên dương thỏa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1)

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng x y y ; ;  của phương trình (1)

 Lời giải Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là x y y; ;  Khi đó thay vào phương trình ta được

x y y  xy x  y  xy suy ra x y2 2 x y  x ty t N* Thay trở lại phương trình trên ta được

2 2 2 2 3 2 2 2 3

t y  y  t y y t   ty

Từ phương trình này ta được 2t  t  1,2

Với t     1 y 1 x 1 và với t     2 y 1 x 2

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương dạng x y y là ; ;  1;1;1 , 2;1;1   

b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương a b c ; ;  của phương trình (1) và thỏa mãn điều kiện

 

min ; ;a b c 2017 Trong đó kí hiệu min ; ; a b c là số nhỏ nhất trong ba số , ,a b c

 Lời giải Ta có x 1;y 2;z  là một nghiệm của phương trình đã cho 5

Giả sử a min ; ;a b c với a  b c thỏa mãn a2 b2 c2 3abc

ad b c  ad bc  ad d  bcd

Do đó suy ra d 3bc2a N*

Từ đó dẫn đến phương trình (1) có nghiệm a b c '; ;  với 'a   a d

Do a  b c, suy ra mina b c'; ; min ; ;a b c a

Lặp lại quá trình trên sau không quá 2017 lần ta được min ; ;a b c  2017

Câu 5 (1.0 điểm) Cho số tự nhiên n 1 và n  2 số nguyên dương a a1, , ,2 a n2 thỏa mãn điều kiện 1a1 a2  a n2 3n Chứng minh rằng tồn tại hai số ,a a i j (1   j i n 2; ,i j  )sao cho n  a i a j 2n

 Lời giải Với mọi k đặt b i a i  k a i a j a i ka j k  b i b j (2) Do đó ta có thể chọn k sao cho b n2 3n và chuyển về xét dãy số 1 b1 b2  b n2 3n Khi đó ta chỉ cần chứng minh tồn tại hai số b b i, j1   j i n 2; ,i j  sao cho  n   b i b j 2n

Ta đi xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1 Nếu tồn tại j1;2; ;n1 sao cho n b j 2n thì ta có n b n2 b j 2n

+ Trường hợp 2 Nếu với mọi j 1;2; ;n 1 ta có b j  n 1; 2n1

Do đó trong n  1 số b b1, , ,2 b n1, tồn tại 2 số ,b b j i j (  thuộc cùng một cặp, chẳng hạn cặp số i)

t n; 2   hay t 1 n   b i b j 2n    t 1 t 2n 1 2n Theo (2) từ cặp số ,b b i j thỏa mãn

2

n   b b n thì tồn tại cặp số ,a a i jthỏa mãn n  a i a j 2n

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin

Th ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho phương trình 4 3 2

x + x −mx + x+ = (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m= −2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O với AB < AC Gọi M là trung

điểm BC, AM cắt ( )O tại điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDCcắt đường thẳng

AC tại E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B

a) Chứng minh rằng hai tam giác BDF CDE, đồng dạng và ba điểm E M F, , thẳng hàng

b) Chứng minh rằng OA ⊥ EF

c) Phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N Phân giác của các góc CEN và BFN lần lượt cắt ,

CN BN tại P và Q Chứng minh rằng PQ song song với BC

Câu 5 (1,0 điểm) Tập hợp A={1;2;3; ;3n−1;3n} (n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân

đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con A A1, 2, ,A n và thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) Mỗi tập hợp A i 1,2, ,(i= n) gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại

ii) Các tập hợp A A1, 2, ,A n đôi một không có phần tử chung

a) Chứng minh rằng tập A={1;2;3; ;92;93} không là tập hợp cân đối

b) Chứng minh rằng tập A={1;2;3; ;830;831} là tập hợp cân đối

—— H ết——

Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm, bài học sinh có

thể làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

Vậy BĐT (1) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1.

(Chú ý: H ọc sinh được sử dụng BĐT AM-GM với 6 số hoặc BĐT Schur’s để chứng minh)

0,25

4

3,0

a Do các tứ giác MECD MBFD n, ội tiếp nên    (1)DEC=DMC=DFB 0,25

Tứ giác ABDC nội tiếp nên   DCE=DCA=DBF (2) 0,25

Từ ∆BDF ∆CDE⇒EDC .=BDF Mà EMC=EDC và  BMF=BDF 0,5

b Từ hai tứ giác MECD MBFD n, ội tiếp nên AB AF = AM AD = AE AC , suy ra tứ giác

Vẽ tiếp tuyến Axcủa ( )O thì  ACB=BAx Do đó  BAx= AFE, suy ra Ax EF ||

Ta có

2 2

a Giả sử A={1;2;3; ;93} là tập hợp cân đối , khi đó mỗi tập A i 1,31(i= ) có dạng

{x y x i; ;i i+y i}, như vậy tổng ba phần tử trong A là s i ố chẵn Do đó tổng các phần tử của

Rõ ràng các tập con này đều thỏa mãn có một phần tử bằng tổng hai phần tử còn lại

Còn lại các số sau trong tập S là 4n 2, 4,6, , 2n Tuy nhiên vì tập S n cân đối nên tập

{2;4;6; ;2n } cũng cân đối Vậy S là t 4n ập cân đối

Tương tự từ tập S4n+3 ta chọn ra các tập con ba phần tử sau:

đối theo quy trình sau: {1;2;3} {→ 1;2; ;12} {→ 1;2; ;51} {→ 1;2; ;207} {→ 1;2; ;831 }

Do đó tập A={1;2;3; ;831} là tập hợp cân đối (đpcm)

0,25

-H ết -

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

a) Giải hệ phương trình đã cho với m=1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm ( )x y th; ỏa mãn điều kiện 3x− + = y 1 0

Câu 2 (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )d có phương trình y = − + (m là 3x m

tham số) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:

a) Đường thẳng ( )d đi qua điểm 1; 1

Cho BC là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O, bán kính R>0

Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD, BE,

CF của tam giác ABC đồng qui tại H (D, E, F là các chân đường cao)

a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b) Gọi 'A là trung điểm BC, A 1 là trung điểm EF , K là điểm đối xứng với B qua O Chứng

minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R AA 1 =OA AA' '

c) Xác định vị trí của A để DE EF FD+ + đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n! 1.2.3 = n (tích của n số nguyên dương đầu

tiên) Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được

thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều

là ước số của n!

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

x y

195

52

m x

m x

m x

a Đường thẳng ( )d đi qua điểm 1; 1

52

E

D

H

C B

A

Liên h ệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LI ỆU TOÁN HỌC

a Do   90o

 

AEF ABC

⇒ = (cùng bù với góc CEF ) và  BAC=FAE

AB AA

là trung tuyến ∆AEF

2

AE AB AE AB AE OA KBC

c Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB

Ta có: OB'⊥AC OC, '⊥ AB⇒OA OB OC', ', ' lần lượt là đường cao của các tam

giác OBC, OCA, OAB

AA là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam

giác đồng dạng AEF và ABC nên 1

'

AA EF

AA = BC Tương tự có: OB' R.FD;OC' R.ED

Liên h ệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LI ỆU TOÁN HỌC

d n d d

=

< ⇒ =∑ trong đó d i(1≤ ≤i m)là các số tự nhiên khác nhau từng đôi một, và là ước của n!

Đồng thời m≤n Khi đó: a=d n1( + + +1) d m(n+ + và tổng này có không 1) r

quá n+ số khác nhau từng đôi một và đều là ước của 1 (n+1 !) (đpcm) 0,5

-Hết -

Liên h ệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LI ỆU TOÁN HỌC

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————

ĐỀ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào l ớp chuyên Toán

Th ời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB<AC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ

A, B, C G ọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF lần

lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp

b) PB DB

PC = DC và D là trung điểm của QS

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

Câu 5 (1,0 điểm) Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ

số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào l ớp chuyên Toán

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó