Kiến thức về phép biến hình

4.1 Ki n th c v phép bi n hình ế ứ ề ế

4.1.1 Đ i c ạ ươ ng v phép bi n hình ề ế

a. Khái ni m “hình” ệ

- “Hình” là m t t p h p đi m.ộ ậ ợ ể

- Toàn th không gian hay toàn th m t ph ng, m t để ể ặ ẳ ộ ường th ng, m t n aẳ ộ ử

đường th ng,…cũng là m t hình.ẳ ộ

 Có th s d ng các khái ni m (giao, h p các hình) ho c các kí hi u (ể ử ụ ệ ợ ặ ệ

…),… c a lí thuy t t p h p khi l p lu n và trình bày ch ng minh.ủ ế ậ ợ ậ ậ ứ

Vi c m t “hình” đ c tr ng b i “v trí, hình d ng và s đo” đ ệ ộ ặ ư ở ị ạ ố ượ c xem

là m t “t p h p đi m” là m t b ộ ậ ợ ể ộ ướ c ti n dài trong l ch s phát tri n ế ị ử ể

c a toán h c v các phép bi n hình ủ ọ ề ế

S d ch chuy n ph n “phép bi n hình” t cu i l p 10 sang đ u l p ự ị ể ầ ế ừ ố ớ ầ ớ

11 sau khi đã h c v “ph ọ ề ươ ng pháp t a đ trong m t ph ng” ọ ộ ặ ẳ

Ph ươ ng pháp c a Descartes và Fermat đã đem l i m t s thay đ i ủ ạ ộ ự ổ

r t quan tr ng trong quan ni m v hình, nó cho phép chuy n t ấ ọ ệ ề ể ừ cách nhìn các hình trong t ng th vào cách nhìn t ng đi m Nói m t ổ ể ừ ể ộ cách c th h n, vi c thi t l p m i liên h gi i tích gi a đi m v i ụ ể ơ ệ ế ậ ố ệ ả ữ ể ớ

t a đ t t y u d n đ n ọ ộ ấ ế ẫ ế ch ph i hi u hình là m t t p h p đi m.” ỗ ả ể ộ ậ ợ ể (Lê Th Hoài Châu, 2004) ị

- Kí hi u: t p h p các đi m c a đệ ậ ợ ể ủ ường th ng là , t p h p các đi m c a m tẳ ậ ợ ể ủ ặ

ph ng là , t p h p đi m c a không gian là ẳ ậ ợ ể ủ

b. Khái ni m phép bi n hình ệ ế

 Đ nh nghĩa phép bi n hình ị ế : Cho là m t t p h p đi m, m t song ánhộ ậ ợ ể ộ

t vào là m t phép bi n hình trong ừ ộ ế

- V i m i đi m M thu c , M’ = (M) đớ ỗ ể ộ ược g i là nh (hay đi m tọ ả ể ương ngứ hay hình bi n đ i) c a M qua phép bi n hình M đế ổ ủ ế ược g i là t o nh hayọ ạ ả hình nguyên c a M’.ủ

- Khi là , ho c tặ ương ng ta có m t phép bi n hình trên đứ ộ ế ường th ng,ẳ trong m t ph ng hay trong không gian.ặ ẳ

 C th h n, ta có đ nh nghĩa m t phép bi n hình trong m t ph ng: ụ ể ơ ị ộ ế ặ ẳ

M t phép bi n hình trong m t ph ng : là m t quy t c đ v i m i đi m Mộ ế ặ ẳ ộ ắ ể ớ ọ ể thu c , ta tìm độ ược m t đi m M’ = (M) hoàn toàn xác đ nh, th a mãn haiộ ể ị ỏ

đi u ki n:ề ệ

i) N u M và N thu c , M N thì (M), (N) thu c và (M) (N).ế ộ ộ

ii) V i m i M’ thu c , t n t i duy nh t M thu c sao cho (M) = M’.ớ ọ ộ ồ ạ ấ ộ

 N u là m t hình trong , thì = = là m t hình, đế ộ ộ ược g i là nh c aọ ả ủ hình qua phép bi n hình ế

 Hai phép bi n hình và đế ược g i là tọ ương đương n u v i m i Mế ớ ọ thu c ta đ u cĩ , ta vi t = ộ ề ế

c. Thí d v phép bi n hình ụ ề ế

1) Phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép t nh ti n, phép quay,ố ứ ụ ố ứ ị ế phép v t là các phép bi n hình.ị ự ế

2) Phép đ ng nh t Iồ ấ d là m t phép bi n hình.ộ ế

3) Trong m t ph ng, cho hai đặ ẳ ường th ng a và b c t nhau t i O nh ngẳ ắ ạ ư khơng vuơng gĩc P là m t đi m cĩ hình chi u vuơng gĩc xu ng a là O.ộ ể ế ố

V i m i đi m M thu c b, d ng đớ ỗ ể ộ ự ường trịn (POM) c t l i a C, sau đĩắ ạ ở

d ng đự ường trịn tâm C đi qua M c t l i b N H i, ánh x bi n đ i Mắ ạ ở ỏ ạ ế ổ thành N cĩ ph i là m t phép bi n hình trên đả ộ ế ường th ng b hay khơng?ẳ

N u ph i, g i tên phép bi n hình đĩ.ế ả ọ ế

b a

a ∠ CN'O = ∠ CNO = ∠ CMN = 180 0 - ∠ CMO = ∠ CPO Suy ra N' thuộc đường tròn (CPO)

Khi đó , vớ i N thuộc b, điểm M xá c định được, là giao điểm củ a b và đường tròn

(N'PO) do đó f là toàn á nh

-rõ ràng f là đơn á nh do đó f là phé p biến hình

b gọi (a, b) = α , Q là hình chiếu củ a P lên b Ta có OQ = PO sin α Theo định lí sin: CN' = sin α CP = CM Vớ i CI = CO sin α ;

IM 2 = CM 2 - CI 2 = sin 2 α (CP 2 -CO 2 ) = PO 2 sin 2 α Suy ra MN = 2QO ⇒ N = T

2QO (M)

I

Q N'

N

C

O

P

M

4) G i Aọ 0, B0, C0 l n lầ ượt là trung đi m các c nh BC, CA, AB c a tam giácể ạ ủ ABC P là m t đi m b t kì n m trong m t ph ng ch a tam giác ABC.ộ ể ấ ằ ặ ẳ ứ

G i A’, B’, C’ là đ i x ng c a P l n lọ ố ứ ủ ầ ượt qua A0, B0, C0.

a. Ch ng t AA’, BB’ và CC’ đ ng quy t i m t đi m Q nào đĩ.ứ ỏ ồ ạ ộ ể

b. Ánh x : P Q t m t ph ng (ABC) vào chính nĩ cĩ ph i là m t phépạ ừ ặ ẳ ả ộ

bi n hình? N u ph i, g i tên phép bi n hình đĩ?ế ế ả ọ ế

a AA', BB', CC' từ ng cặ p là 2 đườ ng ché o củ a 3 hình bình hà nh ABA'B'; BCB'C', ACA'C' nê n chú ng đồ ng quy tại Q.

b rõ rà ng f là đơn á nh vớ i mọi Q trong mặ t phẳ ng, gọi A', B', C' là đố i xứ ng củ a A, B, C qua Q khi đó C'C 0 , B'B 0 , A'A 0

cắ t nhau tại mộ t điể m P, do đó f là toà n á nh Nê n f là phé p biế n hình.

ta có AA 0 , PQ là 2 trung tuyế n củ a tam giá c APA' cắ t nhau tại trọng tâ m G, do đó G cố định Ta có

GQ = -1

2GP nên f là phép vị tự tâm G tỉ số

-1 2

G

A' C'

B0 C0

A0

A

C B

P

d. Các ph n t b t bi n trong m t phép bi n hình ầ ử ấ ế ộ ế

- Đi m M để ược g i là đi m b t đ ng (đi m b t bi n hay đi m kép) quaọ ể ấ ộ ể ấ ế ể phép bi n hình n u (M) = M.ế ế

- Phép bi n hình đ ng nh t là phép bi n hình mà m i đi m c a khơng gianế ồ ấ ế ọ ể ủ (hay m t ph ng, hay đặ ẳ ường th ng) đ u b t đ ngẳ ề ấ ộ

- Hình được g i là hình b t bi n n u () = Khi đĩ, n u m i đi m thu cọ ấ ế ế ế ọ ể ộ

đ u là đi m kép thì ta cĩ hình là b t bi n t ng đi m, và n u các đi m c aề ể ấ ế ừ ể ế ể ủ

cĩ th bi n thành nh ng đi m khác nhau thì ta cĩ hình b t bi n tồn th ể ế ữ ể ấ ế ể

A

H H

bấ t biế n toà n thể

bấ t biế n từ ng

điể m

A

? Tìm b t bi n c a phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép quay, phép ấ ế ủ ố ứ ụ ố ứ

v t , phép t nh ti n ị ự ị ế

V n đ s p x p các tính ch t b t bi n c a phép bi n hình đã d n ấ ề ắ ế ấ ấ ế ủ ế ẫ

đ n khái ni m nhĩm các phép bi n hình Nhà tốn h c Klein (Đ c, ế ệ ế ọ ứ

1849 – 1925) đã nghiên c u m t cách h th ng m i quan h gi a ứ ộ ệ ố ố ệ ữ hình h c v i lý thuy t nhĩm Ơng đã phân lo i các tính ch t hình h c ọ ớ ế ạ ấ ọ theo nh ng phép bi n hình b o tồn các tính ch t đĩ V i các cơng ữ ế ả ấ ớ trình c a ơng, m i hình h c đ ủ ỗ ọ ượ c đ c tr ng b i các b t bi n c a ặ ư ở ấ ế ủ

m t ki u các phép bi n hình xác đ nh ộ ể ế ị

e. Phép bi n hình đ o ng ế ả ượ c và tích các phép bi n hình ế

 Vì phép bi n hình t t p h p đi m vào chính nĩ là m t song ánhế ừ ậ ợ ể ộ nên t n t i phép bi n hình đ o ngồ ạ ế ả ược : và

M’ = (M) M =

 Phép bi n hình trong t p h p đi m đế ậ ợ ể ược g i là ọ đ i h p ố ợ n u m iế ọ

đi m M c a đ u trùng v i nh c a đi m tể ủ ề ớ ả ủ ể ương ng M’ = (M) c aứ ủ

nó

Hay

 Gi s , là hai phép bi n hình c a t p đi m , ả ử ế ủ ậ ể

- V i m i đi m M c a T, t n t i duy nh t Mớ ỗ ể ủ ồ ạ ấ 1 và M’ thu c T sao cho Mộ 1 = (M)

và M’ = (M1) Khi đó ánh x : bi n M thành M’ cũng là m t song ánh và doạ ế ộ

đó cũng là m t phép bi n hình trong Ta g i đó là tích c a hai phép bi nộ ế ọ ủ ế hìnhvà , vi t là = ế

Và M’ = (M) = (M) = , v i m i M thu c T.ớ ọ ộ

- Tích c a hai phép bi n hình là k t qu c a vi c th c hi n liên ti p haiủ ế ế ả ủ ệ ự ệ ế phép bi n hình, th nh t là , th hai là ế ứ ấ ứ

? Tích c a 2 phép t nh ti n, 2 phép đ i x ng tr c ủ ị ế ố ứ ụ

- Tương t cho tích n phép bi n hình trong t p đi m T:ự ế ậ ể

, , …

 Tính ch t c a tích các phép bi n hìnhấ ủ ế

- Tính k t h pế ợ

- Nói chung, không có tính giao hoán

- Ph n t trung hòa là phép đ ng nh t.ầ ử ồ ấ

- Tích c a hai phép bi n hình đ o ngủ ế ả ượ ủc c a nhau là phép đ ng nh t ồ ấ

- Phép bi n hình đ o ngế ả ượ ủc c a tích hai phép bi n hìnhế

 Nhóm các phép bi n hìnhế

- T p các phép bi n hình trong không gian hay m t ph ng, có m t c u trúcậ ế ặ ẳ ộ ấ nhóm đ i v i phép toán tích các phép bi n hình (có tính ch t k t h p) khiố ớ ế ấ ế ợ

và ch khi:ỉ

i)

ii) Phép đ ng nh t thu c ồ ấ ộ

iii) V i m i thu c , t n t i thu c sao cho ớ ọ ộ ồ ạ ộ

f. Phép d i hình (đ ng c ) ờ ẳ ự

1. Đ nh nghĩa phép d i hình ị ờ

Cho là t p h p đi m, là t p con ho c là toàn b đậ ợ ể ậ ặ ộ ường th ng (m t ph ngẳ ặ ẳ hay không gian)

 Đ nh nghĩa:ị

M t phép bi n hình độ ế ược g i là m t phép d i hình trong n u v iọ ộ ờ ế ớ

b t kì hai đi m M, N nào c a và các nh M’ = (M), N’ = (N) c aấ ể ủ ả ủ chúng, ta luôn có M’N’ = MN

- Hay ng n g n: phép d i hình trong là phép bi n hình b o toàn kho ngắ ọ ờ ế ả ả cách gi a hai đi m b t kì nào c a nên còn đữ ể ấ ủ ược g i là ọ phép bi n hình ế

đ ng c ẳ ự

- Các phép d i hình: phép đ ng nh t, phép bi n hình đ o ngờ ồ ấ ế ả ược c a m tủ ộ phép d i hình, phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép t nh ti n,ờ ố ứ ụ ố ứ ị ế phép quay

a. Tính ch t phép d i hìnhấ ờ

 Đ nh lí 1 Phép d i hình b o toàn s th ng hàng c a ba đi m và thị ờ ả ự ẳ ủ ể ứ

t c a chúng trên đự ủ ường th ng ch a ba đi m đó.ẳ ứ ể

? Cách ch ng minh? ứ

 H qu 1 Phép d i hình bi n m t đệ ả ờ ế ộ ường th ng thành m t đẳ ộ ường

th ng, bi n m t tia thành m t tia, bi n m t đo n th ng thành m tẳ ế ộ ộ ế ộ ạ ẳ ộ

đo n th ng b ng nóạ ẳ ằ

 H qu 2 Phép d i hình bi n m t tam giác thành m t tam giácệ ả ờ ế ộ ộ

b ng nó, bi n m t góc thành m t góc b ng nó, bi n m t đằ ế ộ ộ ằ ế ộ ường tròn thành m t độ ường tròn có cùng bán kính

 Các phép d i hình trong không gian cũng có tính ch t tờ ấ ương tự

 Đ nh lí 2 Phép d i hình trong không gian b o toàn s đ ng ph ngị ờ ả ự ồ ẳ

c a b n đi mủ ố ể

 H qu 3 Phép d i hình trong không gian bi n m t m t ph ngệ ả ờ ế ộ ặ ẳ thành m t m t ph ng, bi n m t n a m t ph ng thành m t n aộ ặ ẳ ế ộ ử ặ ẳ ộ ử

m t ph ng, bi n đặ ẳ ế ường th ng thành đẳ ường th ng Phép d i hìnhẳ ờ trong không gian b o toàn tả ương quan liên thu c gi a các đi m,ộ ữ ể

đường th ng và m t ph ng.ẳ ặ ẳ

 H qu 4 Phép d i hình trong không gian bi n m t góc nh di nệ ả ờ ế ộ ị ệ thành m t góc nh di n b ng nó, bi n m t góc tam di n thành m tộ ị ệ ằ ế ộ ệ ộ góc tam di n có các góc ph ng đ nh tệ ẳ ở ỉ ương ng b ng nhau, các nhứ ằ ị

di n tệ ương ng b ng nhau (do đó , góc tam di n nh b ng ho cứ ằ ệ ả ằ ặ

đ i x ng v i nó), bi n m t t di n thành m t t di n có các c nhố ứ ớ ế ộ ứ ệ ộ ứ ệ ạ

tương ng b ng nhau, các m t tứ ằ ặ ương ng b ng nhau, các nh di nứ ằ ị ệ

tương ng b ng nhau, các tam di n tứ ằ ệ ương ng b ng nhau ho c đ iứ ằ ạ ố

x ng (và do đó bi n m t t di n thành m t t di n b ng ho c đ iứ ế ộ ứ ệ ộ ứ ệ ằ ặ ố

x ng v i nó tùy theo t di n nh cùng hứ ớ ứ ệ ả ướng hay khác hướng v iớ

t di n t o nh), bi n m t m t c u thành m t m t c u b ng nó,ự ệ ạ ả ế ộ ặ ầ ộ ặ ầ ằ

bi n đế ường tròn thành đường tròn

 Đ nh lí 3 M t phép d i hình ph ng có ba đi m b t đ ng khôngị ộ ờ ẳ ể ấ ộ

th ng hàng thì đó là phép đ ng nh t M t phép d i hình không gianẳ ồ ấ ộ ờ

có b n đi m b t đ ng không đ ng ph ng là phép bi n hình đ ngố ể ấ ộ ồ ẳ ế ồ

nh t.ấ

Ch ng minh ứ :

- V i bi n A thành A, B thành B, C thành C Khi đó bi n đớ ế ế ường th ng AB,ẳ

BC, CA chính nó Theo đ nh lí 1, ta có m i đi m trên đị ọ ể ường th ng AB, BC,ẳ

CA cũng là đi m b t đ ng Và do đó m i đi m thu c m t ph ng ABC đ uể ấ ộ ọ ể ộ ặ ẳ ề

b t đ ng hay là phép đ ng nh t.ấ ộ ồ ấ

- V i Theo ch ng minh trên, v i 4 đi m A, B, C, D b t đ ng ta có m i đi mớ ứ ớ ể ấ ộ ọ ể thu c 4 m t ph ng (ABC), (BCD), đ u b t đ ng suy ra m i đi m c aộ ặ ẳ ề ấ ộ ọ ể ủ không gian đ u b t đ ng hay là phép đ ng nh t.ề ấ ộ ồ ấ

 H qu 5 M t phép d i hình ph ng khác phép đ ng nh t có khôngệ ả ộ ờ ẳ ồ ấ quá m t đi m b t đ ngộ ể ấ ộ

Ch ng minh ứ : theo đ nh lí 3 và n u có 2 đi m b t đ ng thì theo đ nhị ế ể ấ ộ ị

lí 1 sẽ có vô s đi m b t đ ng.ố ể ấ ộ

 H qu 6 M t phép đ ng c trong không gian không ph i phépệ ả ộ ẳ ự ả

đ ng nh t thì ho c không có đi m b t đ ng nào ho c có m t đi mồ ấ ặ ể ấ ộ ặ ộ ể

b t đ ng duy nh t ho c có m t đấ ộ ấ ặ ộ ường th ng mà m i đi m đ u b tẳ ọ ể ề ấ

đ ng ho c có m t m t ph ng mà m i đi m thu c nó đ u b t đ ng.ộ ặ ộ ặ ẳ ọ ể ộ ề ấ ộ

 Ví d ch ng minh các m nh đ sauụ ứ ệ ề

1) M t phép đ ng c ph ng n u đã có hai đi m b t đ ng P, Q thì m iộ ẳ ự ẳ ế ể ấ ộ ọ

đi m trên để ường th ng PQ đ u là đi m b t đ ng và phép đ ng c đóẳ ề ể ấ ộ ẳ ự

là phép đ i x ng tr c, tr c là đố ứ ụ ụ ường th ng PQẳ

Ch ng minh ứ : bi n P, Q thành P,Q; bi n M thành M’ ta có PM = PM’, QM =ế ế QM’, suy ra PQ là trung tr c MM’ hay là phép đ i x ng tr c PQự ố ứ ụ

2) Phép đ ng c trong m t ph ng có m t đi m b t đ ng O duy nh t làẳ ự ặ ẳ ộ ể ấ ộ ấ

m t phép quay xung quanh tâm O m t góc (sai khác 2k).ộ ộ

Ch ng minh ứ bi n O thành O, M thành M’ suy ra OM’ = OM, g i = (OM,ế ọ OM’) Khi đó ta có =

2. M t s phép d i hình ph ng và thí d ộ ố ờ ẳ ụ

A. Phép t nh ti n ị ế

1) Đ nh nghĩa và tính ch tị ấ

 Phép t nh ti n theo véc t là phép bi n hình bi n M thành M’ị ế ơ ế ế sao cho = Kí hi u ệ

 Khi là véc t không thì là ơ

- không có đi m kép, không đ i h p n u khác ể ố ợ ế

- M i đọ ường th ng có phẳ ương đ u là b t đ ng toàn th qua ề ấ ộ ể

- Phép bi n hình đ o ngế ả ượ ủc c a là

- Tích c a hai phép t nh ti n và là ủ ị ế

- Tích c a hai phép đ i x ng tr c có tr c song song a và b là m t phép t nhủ ố ứ ụ ụ ộ ị

ti n theo véc t có phế ơ ương vuông góc v i 2 đớ ường th ng và đ l n g pẳ ộ ớ ấ hai l n đ l n véc t (vuông góc v i hai đầ ộ ớ ơ ớ ường th ng) c a phép t nh ti nẳ ủ ị ế

bi n a thành b ế

- M i phép t nh ti n đ u có th phân tích thành tích c a hai phép đ i x ngọ ị ế ề ể ủ ố ứ

tr c có tr c vuông góc v i véc t t nh ti n và tr c th hai đụ ụ ớ ơ ị ế ụ ứ ược suy ra từ

tr c th nh t qua phép t nh ti n theo véc t , b ng vô s cách.ụ ứ ấ ị ế ơ ằ ố

- Phép t nh ti n là m t phép d i hình có góc d i hình b ng 0.ị ế ộ ờ ờ ằ

- M i phép bi n hình c a m t ph ng bi n m t véc t b t kì thành m t vécọ ế ủ ặ ẳ ế ộ ơ ấ ộ

t b ng nó là m t phép t nh ti n.ơ ằ ộ ị ế

- M i phép d i hình có góc d i hình b ng 0 đ u là phép t nh ti nọ ờ ờ ằ ề ị ế