Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi "ngôn ngữ" biệt thức ∆ thì các bạn có thể dùng kỹ thuật "tách bình phương" như lời giải trên... Vậy cần thiết lập một tam thức bậc hai fx có nghiệm và
Trang 1ĐẠI SỐ - BÀI 18
SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
y Các định lý được sử dụng (với f (x) ax = 2+ bx c + ; a ≠ 0)
1 af(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ =x b2− 4ac 0 <
2 af(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ ∆ =x b2− 4ac 0 ≤ Nếu af(x) ≥ 0 với mọi x thì f(x) = 0
9 b x 2a
∆ =
= −
3 Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm , thỏa mãn
1
x x2
x < α < x
4 Nếu tồn tại α, β (α < β) sao cho f ( ).f ( ) 0 α β < thì f(x) có một nghiệm thuộc (α
; β) và một nghiệm ngoài [α ; β]
Thí dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
với mọi x ta có : b x2 2+ (b2+ c2 − a )x c2 + 2 > 0
Phân tích : Vế trái là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của x2 là b2> 0 nên có ngay lời giải
2+ c2− a
2bc) 0
− <
⇔[(b + c)2− a )][(b c)2 − 2− a ] 02 <
⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < 0
⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > 0
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng
Chú ý : Ngược lại, các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a, b, c
thỏa mãn f(x) > 0 với mọi x thì a, b, c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Thí dụ 2 : Cho a3> 3 6 và abc = 1
Trang 2Chứng minh :
2
2 2 a
3 + + > + + a (*)
bc a
= nên bất đẳng thức cần chứng minh vì đối xứng với b và c nên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đối với b + c
+ − + + − >
(b
⇔
2 3
−
Với a3> 3 6 thì bất đẳng thức trên luôn đúng
Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi "ngôn ngữ" biệt thức ∆ thì các bạn có thể dùng kỹ thuật "tách bình phương" như lời giải trên
Thí dụ 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có :
3 cos A cos B cos C
2
cosB 2cos
2
+
cosA
2 và cosC =
2C sin 2
−
1 2 nên có thể làm xuất hiện tam thức bậc hai đối với C
sin
2
2
−
2
2
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
A B
−
Trang 3Lưu ý A B
;
− ∈ − π
π
và C
0;
π
∈
thì hệ trên tương đương với A = B =
C tức là tam giác ABC đều
Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Với x, y, z > 0 thì trong tam giác ABC
bất kỳ ta có :
Các bạn có thể dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" hoặc công cụ véc-tơ để giải quyết Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể
Bài tập tương tự
1 Chứng minh với mọi x và mọi α ta có :
2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
sin A sin B sin C
4
8
0
2
3 Tìm x, y thỏa mãn : (x2+ y )(x2 2+ = 1) 4x y2
y Một dạng ứng dụng của tam thức bậc hai khác thú vị mà nhiều bạn không để ý :
Thí dụ 4 : Cho a, b, c, d, p, q thỏa mãn :
Chứng minh rằng : (p2− a2− b )(q2 2− − c2 d ) (pq ac bd)2 ≤ − −
Phân tích : Bất đẳng thức này trông "ngược" với bất đẳng thức Bunhiacôpski và
có dạng như ∆' ≥ 0 (!) Vậy cần thiết lập một tam thức bậc hai f(x) có nghiệm và
vậy hệ số của sẽ chọn là hoặc q c Giả thiết sẽ cho
ta điều gì ? Điều đó quyết định sự lựa chọn trên
2 x
Trang 4Giải : Vì nên trong hai biểu thức
và có ít nhất một biểu thức dương Do vai trò bình đẳng của hai bộ số (p, a, b) và (q, c, d) nên giả sử
2 b
− − q2− − c2 d2
=
2 0
Xét f (x) (p = 2− a2− b )x2 2− 2(pq ac bd)x q − − + 2− − c2 d2
Vì p2− a2− b2 > nên p ≠ 0 Ta có f q
p
≤
0 suy ra
p
(p ≤ 0 nên f(x) có nghiệm Do đó ∆ ≥ 'x 0
⇒ đpcm
p
α = thỏa mãn q
p
≤
Thí dụ 5 : Cho b < c < d chứng minh :
2
Phân tích : Có 2 cách nhìn để có 2 cách giải khác nhau Cách thứ nhất là nhìn
bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > 0 Cách thứ hai là đưa bất đẳng thức
về dạng f(a) > 0 với mọi a và b < c < d Xin giải theo cách nhìn thứ nhất
Giải : Xét tam thức bậc hai :
2
Vì b < c < d nên f(c) < 0 suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt tức là ∆ > 0 ⇒ đpcm
Các bài tập khác :
1 Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức
2 Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng : sinA + sinB + cos(A + b) = 1,5
3 Biết rằng : 4x2+ y2+ 2x y 4xy 2 + + ≤
Trang 51 1 1
12 5* Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức :
2
2