Lun văn chưađưc công b trên bt kì tp chí, phương tin thông tin nào... Trong đóchú trng đn lp bài toán CP2.. Nghiên cu lý thuyNghiên cu lý thuyt gii thc suy rng cho phương
Trang 1B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO
TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI 2
——————————————–
NGUYN VĂN ĐIN
LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC
HÀ NI, 2012
Trang 2B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI 2
——————– * ———————
NGUYN VĂN ĐIN
BÀI TOÁN CÔ-SI VI BAO HÀM THC TIN HÓA BC CAO
LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC
Ngưi hưng dn khoa hc: TS Trn Đình K
Hà Ni, 2012
Trang 3Li cm ơn
Đình K đã tn tình hưng dn, giúp đ, ch bo tôi trong sut quátrình làm lun văn
Cũng qua lun văn này, tôi xin đưc gi li cm ơn đn các thy
cô giáo trong t Gii tích - khoa Toán - trưng Đi hc Sư phm Hàni 2, gia đình, bn bè và các bn hc viên lp K14 Toán gii tích đt
2, nhng ngưi đã đng viên, giúp đ tôi trong sut quá trình hc tp
Trang 4Li cam đoan
Tôi xin cam đoan lun văn này là do tôi t làm dưi s hưng dn
liu và kt qu nghiên cu trong lun văn này là trung thc và khôngtrùng lp vi các đ tài khác Các thông tin trích dn, các tài liutham kho trong lun văn đã đưc ch rõ ngun gc Lun văn chưađưc công b trên bt kì tp chí, phương tin thông tin nào
Hà Ni, tháng 9 năm 2012
Tác gi
Nguyn Văn Đin
Trang 5Mc lc
1
11 1 1 HH ggiii i tthhc c 9911 2 2 KKhhôônng g ggiiaan n pphha a 113311.3 3 ĐĐ đo đo khkhônông g cocompmpaacct t vvà à áánh nh x x đa đa ttrr nénén n 1144
Trang 6ii đơn đơn v v o o trontrong g tp tp s s phcphc
∆ toán toán t t LaplaceLaplaceM
M N N C C đ đo đ đo không không compcompactact
(( u.s.c )) na lina liên tc ên tc trêntrên
Trang 7M ĐU
Lý do chn đ tài
Lý thuyt na nhóm là mt công c mnh cho vic nghiên cu tínhđt đúng ca các lp bài toán liên quan đn phương trình vi tích phân.C th, tính đt đúng ca bài toán Cô-si đi vi phương trình vi phâncp mt
(( C CP P 1) u(( tt ) ) = = Au Au (( tt )) ,, t t > > 0
u (0) = ξ
đây hàm trng thái u u ly giá tr trong mt không gian Banach X X nàonào
đó Đ nghiên cu tính đt đúng ca các bài toán vi phương trình viphân bc cao, ví d
(( C CP P 2) u(( tt ) + Au(( tt ) + B Bu u (( tt ) ) = = 00 ,, t t > > 0
u (0) = ξ, ξ, u u(0) = η η ,,
ngưi ta tìm cách đưa nó v h phương trình bc nht đ có th ápdng các kt qu ca lý thuyt na nhóm Tuy nhiên công vic nàykhông phi bao gi cũng thc hin đưc bi sau khi chuyn v hbc nht, toán t ma trn không có các tính cht đ tt đ sinh rana nhóm Do vy ngưi ta đt vn đ xây dng mt gii thc suyrng cho các phương trình bc cao, tương t như na nhóm đi viphương trình bc nht đ nghiên cu tính gii đưc ca các bài toánliên quan Các kt qu đi vi bài toán tuyn tính tng quát có thtìm thy trong các tài liu [38]
Cho đn nay, vì lý do k thut, các kt qu đi vi bài toán natuyn tính còn ít đưc bit đn, nht là đi vi bài toán Cô-si vi baohàm thc vi phân bc cao Vi kỳ vng tip cn mt vn đ nghiêncu ca toán hc hin đi, tôi chn đ tài:
"Bài toán Cô-si đi vi bao hàm thc tin hóa bc cao"
Mc tiêu ca lun văn là nghiên cu mt lp bài toán Cô-si tng quátvi bao hàm thc vi phân bc cao có tr vô hn da trên các kt quv gii thc suy rng đã đưc thit lp cho phương trình tuyn tính
Trang 8Mc đích nghiên cu
Áp dng lý thuyt gii thc suy rng đ tìm điu kin tn ti nghimcho các bài toán Cô-si vi bao hàm thc vi phân bc cao Trong đóchú trng đn lp bài toán (CP2)
Nhim v nghiên cu
1
1 Nghiên cu lý thuyNghiên cu lý thuyt gii thc suy rng cho phương trình vi phânt gii thc suy rng cho phương trình vi phântuyn tính bc cao
2 Nghiên cu lý thuyt đim bt đng cho ánh x đa tr
3 Tìm điu kin gii đưc cho các bài toán Cô-si na tuyn tính
Đi tưng và phm vi nghiên cu
bc cao
ca bài toán Cô-si đi vi phương trình và bao hàm thc vi phânbc cao
Phương pháp nghiên cu
S dng các công c và các kt qu ca gii tích đa tr, lý thuyt nanhóm, gii thc suy rng và đ đo không compact (MNC)
D kin đóng góp mi và hưng nghiên cu tip theo
Xác lp các điu kin đ cho tính gii đưc ca mt lp bài toán đivi bao hàm thc vi phân bc cao Mt s vn đ đt ra cho nhngnghiên cu tip theo:
1 S tn nghim tun hoàn ca bài toán: nghim có tính cht
Trang 93 Dáng điu tim cn ca nghim khi tt → → + +∞
Trang 10Chương 1 Kin thc chun b
Bài toán tng quát
Xét bài toán Cô-si vi phương trình vi phân bc cao:
cách tip cn ph bin là đưa phương trình (1.1) v h phương trìnhbc nht trong không gian hàm thích hp và nghiên cu h này bngcông c lý thuyt na nhóm Tuy nhiên, như đã ch ra trong các tàiliu [13, 34, 38], phương pháp này khó thc hin khi mà không giannghim không th xây dng đưc mt cách tưng minh hoc là khônggian nghim đưc xây dng rt khó ng dng trong thc t Ngoài ra,như đã đ cp trong các công trình [13, 39], vic nghiên cu trc tipphương trình bc cao có th nhn đưc các kt qu tng quát hơn
rãi bng cách tip cn na nhóm Phương pháp này đưc trình bàychi tit trong các tài liu [12, 25, 34, 37] Tip theo, ngưi ra tng
Trang 11quát hóa khái nim na nhóm liên tc bng cách xây dng khái nimna nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và na nhóm chínhquy hóa (xem [8, 38]), đ nghiên cu nhiu lp bài toán tng quát liênquan đn phương trình vi phân bc nht và bc hai, trong đó các toán
nhóm liên tc) Chúng tôi xin gii thiu các công trình có liên quanđn lun văn bao gm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39] Sau đó, mt kháinim tng quát hóa ca na nhóm tích phân và na nhóm chính quy
m rng ca nó đưc xây dng trong [40] Trong [10], tác gi đưa ramt ví d đ minh chng s hn ch ca c hai khái nim na nhómtích phân và na nhóm chính quy hóa C th, vi mt s lp phương
các toán t Lý do là na nhóm tích phân đòi hi toán t sinh phi
có tp gii khác rng, trong khi na nhóm chính quy hóa đòi hi mts tính cht giao hoán mà toán t dng ma trn không th đáp ng.S dng khái nim h gii thc trong [40], ta s chng minh tínhgii đưc ca bài toán (1.1)-(1.3) vi các điu kin thích hp áp đt
tip cn ca chúng tôi là s dng lý thuyt đim bt đng cho ánhx đa tr nén K thut này đưc phát trin trong [22] Ngoài ra, ngdng ca gii tích đa tr cho vic nghiên cu các bao hàm thc viphân có th tham kho trong các tài liu [4, 5, 7, 16, 20, 24]
Có th nói rng bài toán vi phương trình vi phân có tr vô hnnhn đưc s quan tâm nghiên cu ca nhiu nhà toán hc (xem[19, 26, 14, 15, 28, 29, 32] và các tài liu liên quan) Thông thưng,trng thái lch s ca h đưc xem xét trong không gian pha, xác đnhbi h tiên đ đ xut bi Hale và Kato (xem [17])
Trang 12 x [[R((BB)])] = inf = inf { { y : : By By = = x }}
Vi hng s dương ω ω, ta nói G G ∈ L LT T ω− L (( X )) nu G G : : (( ω, ∞ ∞)) → → L L (( X ))
và tn ti hàm liên tc H H : : [0 [0 ,, ∞ ∞)) → → L L (( X )) ,, H (( tt )) = = O O (( eeωt)) sao chovi mi λ λ > > ω ω, ta có
nu toán t ngưc tn ti
Gi s E E 00 ∈ ∈ L L (( X )) là mt đơn ánh Ta nhc li khái nim E E 00-hgii thc đã trình bày trong [40]
Đnh nghĩa 1.1. Mt h các toán t tuyn tính liên tc {{ E (( tt ))}}tt 00 ⊂ ⊂
L (( X )) đưc gi là mt E E 00-h gii thc đi vi tp các toán t (( Aii))N ii=0=0−11
nu vi mi x ∈ X X,, tt 00 , ta có E ((··)) x ∈ C N −11((0 ,, ∞ ∞); ); X )) ,, E ((ii−1)(( tt )) x ∈ D
D(( Aii)) ,, A AiiE ((ii − 1) ((··)) x ∈ C ((0 ,, ∞ ∞); ); X )) ,, ii = = 00 , ,N − − 11 , , và và
(( tt − ss )) j−11(( j − − 1)! 1)! E E ((ss))xds, j ∈ ∈ N \{ \{00}}
Trang 13Ví d v h gii thc có th xem trong [40] đây, ta nhc limi liên quan gia h gii thc vi na nhóm tích phân và na nhómchính quy hóa trong trưng hp N N = = 11 (xem [10]).
Gi s C C ∈ ∈ L L (( X )) là mt đơn ánh, A A là toán t tuyn tính đóngtrên X sao cho C CA A ⊂ AC AC Khi đó Khi đó ta đnh nghĩata đnh nghĩa C -tp gii ca A như sau
ρC (( A ) ) = = { λ ∈ C : : (( λI − A )) là đơn ánh,
R R(( C )) ⊂ ⊂ R R(( λI − A )) và (( λI − A ))−11C ∈ ∈ L (( X ))}}
Đnh nghĩa 1.2. Cho Cho ω, ω, rr ∈ ∈ R R ,, rr 00 Nu (( ω, +∞ ∞)) ⊂ ⊂ ρ ρC (( A )) và và tn ti S S rr((··) ) :: R R+ → L L (( X )) tha mãn tt → → S S rr(( tt )) u ∈ ∈ C C (( R+;; X )) vi mi
rr ) ) và và A A đưc gi là phn t sinh ca {{ S rr(( tt ))}}tt 00
th xem trong [10, 38] Chú ý rng, nu rr ∈ ∈ N N ,, λ λ00 ∈ ∈ ρ ρI (( A )), thì A A làlà
1.6.7]) Khng đnh sau đây cho ta mi liên h gia h gii thc vàna nhóm chính quy hóa
Đnh lý 1.1 ([10]) Gi s {{ W (( tt ))}}tt 00 là mt na nhóm C C -chính quy hóa, sinh bi A A Nu tt
00 W W (( ss )) xds ∈ ∈ D D(( A )) vi vi tt 00 ,, x x ∈ ∈ X X thì thì
{{ W (( tt ))}}tt 00 là mt C C -h gii thc ca A A
t (( Aii))N ii=0=0−11 đưc trình bàđưc trình bày trong đy trong đnh lý sau.nh lý sau
Trang 14Đnh lý 1.2 ([40]) Gi s các toán t A Aii,, ii = = 00 , ,N − − 11 , là đóng
và P P λ là đơn ánh vi λ λ > > ω ω Khi đó tp các toán t (( Aii))N ii=0=0−11 có mt
E 00-h gii thc {{ E (( tt ))}}tt 00 ⊂ ⊂ L L (( X )) tha mãn
E ((N N −1)(( tt )) ,, AiiE ((ii−1)(( ss )) M M eeωt, , ii = = 00 , ,N − − 11 ,,
nu và ch nu R R(( E 00)) ⊂ ⊂ R R(( P λ)) và và
λN −11RλE 00,, λ λii−11AiiRλE 00 ∈ ∈ L LT T ω − L (( X )) , , ii = = 11 , ,N − − 11 (1.4)V
Vii 00 k k N N − − 11, ta kí hiu
ta có kt qu sau v tính gii đưc ca nghim c đin, tc là hàm
u ((··)) ∈ ∈ C C N ((0 ,, ∞ ∞); ); X )) sao cho u u((ii))(( tt )) ∈ ∈ D D(( Aii)) ,, tt 00 ,, 00 ii N N − − 11,,tha mãn (1.6)-(1.7)
Đnh lý 1.3 ([40]) Gi s tn ti mt E E 00-h gii thc {{ E (( tt ))}}tt00 đi vi tp toán t (( Aii))N ii=0=0−11 , khi đó vi u u00 ∈ ∈ D D00 , ,uN −11 ∈ ∈ D DN N − 11 , bài toán
Trang 151.2 2 Kh Khôông ng ggia ian n ppha ha
Cho B B là mt không gian tuyn tính, vi na chun | | · · ||B , bao gmcác hàm s t ((−∞ −∞ ,, 0] vào E E - không gian Banach Khái nim không
Kato (xem [19]), bao gm các tiên đ: Nu v v : : ((−∞ ,, T T ]] → E E sao cho
Sau đây là các ví d v không gian pha tha mãn các tiên đ nêutrên
(1) Vi η η > > 00, ký hiu B B = = C C ηη là không gian các hàm liên tc
ψ : : ((−∞ −∞;; 0] 0] → E tha mãn lim lim
|| ψ || B = = ssu up p
eeηθ ψ (( θθ ))
(2) (Không gian "gim nh" ) Gi s 1 p p < < + +∞ ∞,, 0 r r < < + +∞ ∞ và
gg : : ((−∞ −∞ ,, − rr ]] → → R là hàm không âm, đo đưc xác đnh trên ( (−∞ −∞ ,, − rr ))
Ký hiu C CL L pgg là h các hàm s ϕ ϕ : : ((−∞ ,, 0] → → X X sao cho ϕ ϕ liên tctrên [ [− − r, 0] và gg (( θθ )) ϕ (( θθ )) p
Trang 161.3 3 Đ đ Đ đo kh o khôn ông co g comp mpac act v t và án à ánh x đ h x đa tr a tr né nénn
Trong mc này, ta nhc li mt s khái nim và kt qu ca gii tích
đa tr s s dng Có th xem chi tit trong các công trình [4, 5, 7,
16, 20, 22, 24].Gi s Y Y là mt không gian Banach Ký hiu
•
• P P (( Y ) ) = = { { A ⊂ Y Y :: A = = ∅} ∅},,
•• P P v v (( Y ) ) = = { A ∈ ∈ P P (( Y ) ) :: A A là li}},,
•• K K (( Y ) ) = = { A ∈ ∈ P P (( Y ) ) :: A A là compact}},,
•• K Kv v (( Y ) ) = = K (( Y )) ∩ ∩ P P v v (( Y )),,
•• C C (( Y ) ) = = { A ∈ ∈ P P (( Y ) ) :: A A là đóng}},,
•• P P bb (( Y ) ) = = { { A ∈ ∈ P P (( Y ) ) :: A A b chn}}
Ta s dng đnh nghĩa sau đây v đ đo không compact (xem [22])
Đnh nghĩa 1.3. Cho Cho ((A ,, )) là mt tp sp th t b phân Hàm
β :: P P (( E )) → → A A đưc gi là đ đo không compact (MNC) trong E E nu nu
β (( co Ω) Ω) = = β (Ω) vi mi Ω Ω ∈ ∈ P P (( E )) ,,
trong đó co co Ω là bao li đóng ca Ω Ω Mt MNC β β đưc gi là
i) đơn điu, nu Ω00,, Ω11 ∈ ∈ P P (( E )) ,, Ω Ω00 ⊂ ⊂ Ω Ω11 kéo theo β (Ω00)) β β (Ω11)) ;;
ii) không kỳ d, nu β β (({{ a }} ∪ ∪Ω) Ω) = = β (Ω) vi mi a a ∈ E E ,, Ω Ω ∈ ∈ P P (( E )) ;; iii) bt bin đi vi nhiu compact, nu β β (( K ∪ ∪ Ω) Ω) = = β β (Ω) vi mi tp compact tương đi K K ⊂ ⊂ E và và Ω Ω ∈ ∈ P P E )) ;;
Nu A A là mt nón trong không gian đnh chun, ta nói rng β β là là iv) na cng tính đi s, nu β β (Ω00 + + Ω Ω11)) β β (Ω00) ) + + β (Ω11)) vi vi mi Ω Ω00,, Ω11 ∈ ∈ P P (( E )) ;;
v) chính quy, nu β β (Ω) = 0 khi và ch khi Ω Ω là tp compact tuơng đi.
Trang 17Mt ví d quan trng v MNC là đ đo không compact Hausdorff ,,tha mãn tt c các tính cht nêu trên:
χ (Ω) = inf {{ εε : : Ω Ω có lưi εε hu hn}}
Đ đo không compact Hausdorff tha mãn tt c các tính cht trongđnh nghĩa nêu trên, đng thi, nó có thêm các tính cht sau:
•• nunu L L là mt toán t tuyn tính b chn trong E E,, thìthì χ χ (( L Ω)
đó {E {E m}} là h các không gian con hu hn chiu ca E E sao cho
E m ⊂ ⊂ E E mm+1+1,, m m = = 11 ,, 22 , và
Gi s X X là mt không gian metric
Đnh nghĩa 1.4. Ánh x đa tr F F :: X → → P P (( E )) đưc gi là:
i) na liên tc trên (u.s.c) nu F F −11(( V ) ) = = {{ x ∈ ∈ X X :: F F (( x )) ⊂ ⊂ V V }}
là tp m ca X X vi mi tp m V V ⊂ ⊂ E E ;;
ii) đóng nu đ th ca nó Γ ΓF = = {{(( x, x, y y ) ) :: y y ∈ ∈ F F (( x ))}} là tp con đóng ca X X × × E ;;
(iii) compact nu tp nh F F (( X )) là compact tương đi trong E E ;; (iv) ta compact nu hn ch ca nó trên các tp compact A A ⊂ X X
là compact.
Đnh nghĩa 1.5. Ánh x đa tr F F :: X X ⊂ ⊂ E E → → K K (( E )) đưc gi là nén ng vi MNC β β ( ( β -nén) nu vi mi tp b chn Ω Ω ⊂ ⊂ X X không compact, ta có
β ((F F (Ω)) (Ω)) β β (Ω)
Gi s D D ⊂ ⊂ E E là mt tp con li, đóng ca E E vvàà U U D là mt tp
ca U U D theo tô-pô trong D D
khái nim bc tô-pô cho ánh x nén (xem [22]) cho ta các đnh lý đimbt đng sau đây
Trang 18Đnh lý 1.4 ([22, Corollary 3.3.1]) Gi s M M là mt tp li, đóng, b chn trong E E và và F F :: M M → → K K v v ((M M)) là ánh x đa tr u.s.c và β β -nén Khi đó tp các đim bt đng ca F F ,, Fix Fix F F := := { x : : x x ∈ ∈ F F (( x ))}} là khác rng và compact.
Đnh lý sau đây là mt phiên bn ca đnh lý Leray-Schauder cđin
Đnh lý 1.5 ([22, Corollary 3.3.3]) Gi s U U D là mt lân cn m, b
chn ca đim a a ∈ D và và F F :: U U D → → K K v v (( D )) là ánh x u.s.c và β β -nén, tha mãn điu kin biên
•• L L p-b chn, nu có hàm ξ ξ ∈ ∈ L L p([0 ,, T T ]) sao cho
G (( tt )) := sup := sup{ gg E :: gg ∈ ∈ G (( tt ))}} ξ ξ (( tt )) vi hu khp t ∈ ∈ [0 [0 ,, T T ]]
Tp các hàm chn kh tích bc p p ca G G đưc ký hiu là S S pG
Hàm đa tr G G gi là đo đưc nunu G G−11(( V )) đo đưc (ng vi đ
đo Lebesgue trên J J := [0 ,, T T ]]) vi mi tp m V V caca E E Ta nói G G
là đo đưc mnh nu có mt dãy các hàm bc thang G Gn : : [0 [0 ,, T T ]] → →
K (( E )) , , n n = = 11 ,, 22 , sao cho
lim
n →∞ H H(( Gn(( tt )) ,, G G (( tt )) = 0 vi vi hu hu khpkhp t ∈ ∈ [0 [0 ,, T T ]] ,,trong đó H H là khong cách Hausdorff trên K K (( E ))
sau tương đương (xem [22]):
1. G G là đo đưc;
Trang 19Ngoài ra, nu G G đo đưc và L L p-b chn, thì nó L L p-kh tích Nu G G
là L L p-kh tích trên [0 [0 ,, d d ]] vi p p ≥ ≥ 1 1, thì G G cũng L L11-kh tích Khi đó, ta
Đnh nghĩa 1.7. Ta nói rng hàm đa tr G G : : [0 [0 ,, T T ]] × X × × B B → → K K (( X ))
tha mãn điu kin Carathéodory nu
1 hàm G G (( , η , ζ ) : [0 ,, T T ]] → K K (( X )) là đo đưc mnh vi mi (( η, η, ζ ζ )) ∈
G (( t , η , ζ )) = sup = sup{ z X :: z z ∈ ∈ G G (( t , η , ζ ))}} ω ωrr(( tt )) vi vi hu hu khp khp tt ∈ ∈ [0 [0 ,, T T ]]
vi mi (( η, η, ζ ζ )) ∈ ∈ X × × B B tha mãn η X + + || ζ || B rr
Gi s hàm G G : : [0 [0 ,, T T ]] × × X X × × B B → → K K (( X )) tha mãn điu kinCarathéodory và b chn tíc
Carathéodory và b chn tích phân cc h phân cc b, khi b, khi đó viđó vi u : : ((−∞ −∞ ,, T T ]] → → X X sao cho u u ||[0[0,T ,T ]] ∈ ∈ C C ([0 ,, T T ]; X )) và u u00 ∈ ∈ B B , xét hàm hp
Φ : [0 ,, T T ]] → K (( X )) ,, Φ( Φ( tt ) ) = = G (( t, t, u u (( tt )) ,, u utt))
Trang 20Theo đnh nghĩa không gian pha, ta có tt → → u utt ∈ ∈ B B là mt hàm liên
C X ((−∞ ,, τ τ )) hi t v u u∗∗ ∈ ∈ C C X ((−∞ ,, τ τ )) Gi s dãy {{ φn} } ⊂ ⊂ L11(0 ,, τ τ ;; X )) ,,
φn ∈ ∈ P P G(( un)) hi t yu v φ φ∗∗, khi đó φ φ∗∗ ∈ ∈ P P G(( u∗∗))
Trang 21Chương 2 Bài toán tng quát
Ký hiu X X 00 = = [[R R(( E 00)] ⊂ ⊂ X X Xét hàm đa tr F F : : [0 [0 ,, T T ]] × X × × B B → →
là mô-đun không compact theo phân th caca Q Q
Nhn xét 2.1. Trong trưng hp X X = = R Rm, điu kin (( F 3) suy ra t
(( F 2) Tht vy, điu kin b chn tích phân suy ra tp F F 00(( t, Ω ,, Q Q)) b b chn trong R Rm vi hu khp tt ∈ ∈ [0 [0 ,, T T ]] và do đó nó là tin compact Nu dim( X ) ) = = + +∞ , thì mt trưng hp riêng đm bo cho (( F 3)
đưc tha mãn là:
F 00(( t,., ) ) :: X × × B B → → K K v v (( X ))
liên tc tuyt đi vi hu khp tt ∈ ∈ [0 [0 ,, T T ]] ,, tc là, F F 00 (( t,., )) bin các tp b chn trong X X × × B B thành tp compact tương đi trong X X