BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

 Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đế Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đế m.. minh r ằằng tạại mộột thời điểm bấất k ỳỳ củủa cuộộc thi bao giờ cũng có ít nhất 2 t

Người hướ Người hướ ng dng dẫẫn khoa hn khoa họọc: PGS -c: PGS - TS Dương QuốTS Dương Quốc Vic Việệtt

HÀ N

HÀ NỘỘI - 2011I - 2011

MỤ ỤC C L LỤ ỤC C

LỜI MỞ ĐẦU 4 4   

CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 6 6    1.1    Nguyên lý Dirichlet:   6 6   

1.2   Mộột sốố ví dụụ::  6   

1.2.1    Nhữững bài toán khi giảải phảải nhận ra “lồng”:   6 6  

1.2.2    Nhữững bài toán khi giảải phảải nhậận ra cảả thỏỏ và lồồng: ng: 8 8  

1.3   Mộột sốố bài tậậ p   9 9    1.3.1   Đề bài 9  

1.3.2   Lờ i giảải 11  

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM  16   

2.1    Nguyên lý đếm:  16   

2.1.1    Nguyên lý cộộng: 16  

2.1.2    Nguyên lý nhân:  Nguyên lý nhân: 1616   2.1.3   Hoán vịị - Chỉỉnh hợ  p - Tổổ hợ  p:  p: 1616   2.1.4    Nguyên lý bù tr ừừ: 17  

2.2   Mộột sốố ví dụụ::  18   

2.2.1   Các bài toán sửử dụụng nguyên lý cộng và nhân để giảải: 18  

2.2.2   Các bài toán sửử dụụng hoán vịị - chỉỉnh hợ  p - tổổ hợp để giảải: i: 2020   2.2.3   Các bài toán sửử dụụng nguyên lý bù tr ừừ để giảải: 21  

2.2.4   Sửử dụụng ng phép phép song song ánh: ánh: 21 21  

2.3   Mộột sốố bài tậậ p   23 23    2.3.1   Đề bài 23  

2.3.2   Lờ i giảải 28  

CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰ C TR ỊỊ R ỜI R ẠC  53   

3.1    Nguyên lý cựực tr ịị r ờ i r ạạc:  53   

3.2   Mộột sốố ví dụụ::  53   

3.2.1   Áp dụng nguyên lý để giảải toán hình họọc: c: 53 53  

3.2.2   Áp dụng ụng nguyên nguyên lý lý để để giảải các bài toán sốố học và đại sốố: : 5757  

3.2.3   Tìm cựực tr ịị r ờ i r ạạc: 59  

3.2.4   Thiếết lậậ p thứứ t tựự trên các yếếu tốố  bình đẳng 60  

3.3   Mộột sốố bài tậậ p: 63   

3.3.1   Đề   bài bài 6363   3.3.2   Lờ i giảải 64  

CHƯƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐ NG THANG  68   

4.1    Nguyên lý xuốống thang:  68   

4.2   Mộột sốố ví dụụ::  68   

4.2.1    Nguyên lý xuốống thang với phương trình nghiệm m nguyên nguyên 68 68  

4.2.2    Nguyên lý xuốống thang trong hình họọc 69  

4.3   Mộột sốố bài tậậ p   70 70    4.3.1   Đề bài 70  

4.3.2   Lờ i giảải 71  

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH   78 78   

5.1   Phương pháp hàm sinh  78   

5.2   Mộột sốố ví dụụ::  78   

5.2.1   Xác định sốố hạạng tổổng quát củủa dãy sốố truy hồồi i 78 78  

5.2.2   Phương pháp hàm sinh cho các bài toán chứng minh, rút gọọn n 8080   5.2.3   Phương pháp hàm sinh cho bài toán đếm sốố nghiệệm 81  

5.3   Mộột sốố bài tậậ p   84 84    5.3.1   Đề bài 84  

5.3.2   Lờ i giảải 85  

K ẾT LUẬ N 91 91    TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 92   

LỜ Ờ I MI MỞ Ở   ĐẦĐẦUU

 Nguyên

 pháp hàm sinh và

    Chương I: Nguyên lý Dirichlet  Chương I: Nguyên lý Dirichlet  Chương này gồ m 3 ph ầầ n chính: Phát

bi ểể u u v v ềề   nguyên lý Dirichlet, các ví d ụ    điển hình đượ c chia làm 2 lo ạạ ii (nh ữ ng bài toán khi gi ảả i i ph ph ảả i i nh nh ậậ n ra th ỏ  và nh ữ ng bài toán khi gi ảả ii

ph ảả i nh ậậ n ra c ảả  l ồ ng và th ỏ ) Cu ố i cùng là h ệệ  th ố ng bài t  ậậ p ch ọ n l ọ c có

ll ờ i gi ảả i i.  

    Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đế  Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đế  m Trướ c c h h ếế tt chúng tôi nh ắắ c l ạạ i nguyên lý c ộ ng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù tr ừ ,,

các d ạng toán đượ c trình bày l ờ i i gi gi ảả i i m m ộ t cách chi ti ếế t theo các cách khác nhau Cu ố i cùng là h ệệ  th ố ng bài t  ậậ p v ớ i l ờ i gi ảả i chi ti ếế t.

    Chương III: Chương III:  Nguyên lý c ự c c tr tr ịị   rr ờ i i rr ạ c Chương này gồ m các v ấn đề :: Phát bi ểể u nguyên lý c ự c c tr tr ịị   rr ờ i i rr ạạ c; Các ví d ụ    điể n hình, phân d ạạ ng v ềề   

và s ố  h ọ c, tìm c ự c tr ịị  r ờ i r ạạ c, thi ếế t l ậậ p th ứ  t  ự  trên các y ếế u t  ố    bình đẳ ng Sau cùng là m ộ t s ố  bài t  ậậ p ch ọ n l ọ c v ớ i l ờ i gi ảả i chi ti ếế t t.  

    Chương IV: Nguyên lý xuố Chương IV: Nguyên lý xuố ng thang Chương này gồ m ba ph ầầ n chính:

hình h ọ c Cu ố i cùng là h ệệ  th ố ng bài t  ậậ p ch ọ n l ọ c có l ờ i gi ảả i chi ti ếế t.

    Chương V: Phương pháp hàm sinhChương V: Phương pháp hàm sinh Chương này cũng bao gồm 3 phầần:

toán đếm sốố nghiệệm Phầần 3 là hệệ thốống bài tậậ p có lờ i giảải.i.  

ngườ i thầy đã tận tình hướ ng ng ddẫẫn và tạạo mọi điều u kikiệện thuậận lợ i giúp tác giảả  

Hà nộội, i, ngày 15 tháng ngày 15 tháng 99 năm 2011  

Tác giảả  

CHƯƠNG I

vvớ i mộột nguyên lí r ấất nổổi tiếếng vềề sựự t tồồn tại, đó là nguyên lí Dirichlet hay vẫnn

Phát biểểu 1: Không thểể   nhnhốốt 5 chú thỏỏ  vào 2 chiếếc c llồồng, sao cho mỗỗi i llồồngkhông quá 2 chú

101 con thỏỏ thì có ít nhấất 1 con thỏỏ ở  ngoài lồồng.ng.  

Phát biểểu 3u 3:: N Nếếu k u k llồồng chứứa kn+1 thỏỏ, thì tồồn tạại mộột trong các lồồng chứứa ít

nhấất n+1 thỏỏ

…  

vvẫẫn là chỉỉ  rara s ự   t t ồồn n t t ạạii Nguyên lí không xác định được chính xác đối tượ ng

 L ờ i giảải:  Chia các sChia các sốố t từừ 1 đến 2n thành n tậậ p hợ  p **++ ;{3;4};…;{2n-1;2n}

Trong lờ i giải này ta đã sáng tạo ra n lồng,đó chính là n tậ p hợ  p.

Ví

 L ờ i i gigiảải: Nếếu u mmột đườ ng thẳẳng chia mộột hình vuông thành 2 tứứ giác có tỉỉ  ssốố  

 L ờ  i gi ảả i: Mỗỗi miềền nghiệệm củủa mộột hệệ tương ứng vớ i mộột miềền mở  trong mặặtt

 phẳẳng, bịị giớ i hạạn bởi ba đườ ng thẳng có phương trình là A = 0; B ẳng có phương trình là A = 0; B = 0; C = 0 = 0; C = 0.

cho có ít nhấất mộột hệệ vô nghiệệm

Ví d

hình vuông có diệện tích 100m22 ChChứứng minh r ằằng ng ttồồn n ttạại 3 viên thẳẳng hàng

 ba v

22

Trong lờ i i gigiải bài toán này ta đã phải sáng tạạo ra 100 cái lồng, đó là 100 ô

vuông

Ví d

1.2.2   NhNhữ ữ ng bài toán khi ging bài toán khi giảải phi phảải nhi nhậận ra cn ra cảả th thỏỏ và l và lồồng:ng:

Ví

Ví ddụụ  11: : ChChứứng minh r ằằng luôn tồồn n ttạại i mmộột t ssốố nguyên dương n, không vượ tt

 L ờ  i i gi gi ảả ii:: Xét dãy aXét dãy aii  = = 22ii,, i = 1,2,3,…,2011 Nhận n ththấấy các sốố trong dãy đềuu

các sốố dư của nó chỉỉ nằằm trong tậậ p 2010  p 2010 ssốố { 1,2,3,…,2010} Do có 2011 số  nên phảải có 2 sốố att > ahh khi chia cho 2011có cùng sốố dư Đặt n = t –  h, khi đó

n < 2011 và att   –   aahh  = = aahh(2nn   –  1) chia hếết cho 2011, nên 2nn –  1 chia hếết cho2011

 L ờ  i gi ảả ii:: G Gọọi các sốố đã cho là a11,a22,…,an+1 Bây giờ  ta phân tích các sốố này ở   

ddạạng tiêu chuẩẩn: aii =   .bii vớ i bii là  là ssốố t tựự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1 Như vậyy

ắắt t phphảải có hai sốố như nhau, chẳng ng hhạạn n bb j j  = = bbm  = b Khi đó a j j  ==    b  và và aam=

   b sẽẽ có mộột sốố là bộội củủa sốố kia

nnằằm trong các sốố không vượ t quá 2n, sáng tạạo ra n + 1 thỏỏ b11,, b   22,…,bn+1

Ví d

Ví dụụ 3 3: Người ta sơn tất cảả các cạnh và đườ ng chéo củủa mộột hình lụục giác lồồii

1.3   MMộột st sốố bài t bài tậậpp

1.3.1   Đề  bài

Bài 1:

Bài 1: Trong mTrong mặặt phẳẳng tọa độ cho đa giác lồi có sốố cạạnh không nhỏỏ hơn 5 và

nnữữa

Bài 2:

Bài 2: Trong mTrong mặặt phẳng cho 25 điểm sao cho từừ 3 điểm bấất k ỳỳ trong sốố chúng

minh r ằằng tạại mộột thời điểm bấất k ỳỳ củủa cuộộc thi bao giờ  cũng có ít nhất 2 thí

Bài 8:

ssốố ngày liên tiếp nào đó cửa hàng đã bán đượ c tổổng sốố 20 chiếếc quạạt.t

Bài 9:

Bài 9: Cho dãy sCho dãy sốố u11,u22,…,unn  trong đó uii bằằng 0 hoặặc bằằng 1 thỏa mãn điềuu

kiệện sau: Bấất t k k ỳỳ   2 2 bbộộ   5 5 ssốố liên tiếế p  p nào nào ttừừ  dãy sốố đã cho đều không trùng

Bài 10:

Bài 10: Cho mCho mộột dãy gồồm 4n sốố dương có tính chất: 4 sốố khác nhau bấất t k k ỳỳ  

ccủủa dãy lậậ p thành mộột cấấ p sốố nhân Chứứng minh r ằằng dãy sốố đó phải có ít nhấấtt

n sốố bằằng nhau

Bài 11:

Bài 11: SSốố hạạng thứứ nhất và công sai d ≠ 0 của mộột cấấ p sốố cộộng có vô hạạn sốố  

hhạạng là các sốố nguyên Chứứng minh r ằằng tồồn tạại mộột sốố hạạng củủa dãy mà biểểuu

Bài 14:   Người  Người ta ta sơn sơn đen đen mộ một t ssốố cung của đườ ng tròn vớ i i ttổng độ dài các

Bài 15:

khoảảng cách giữa hai điểm m bbấất t k k ỳỳ đều không nhỏỏ hơn 1 Chứng minh r ằằng

1.3.2   L ờ i gi ả i

Bài 1:

Bài 1: TTừừ đề bài suy ra sốố đỉnh của đa giác lớn hơn hoặc bằằng 5 Mỗỗi cặặ p sốố  nguyên (xii ,yii) chỉỉ có thểể rơi vào 1 trong 4 trườ ng hợ  p sau: xii chẵẵn và yii chẵẵn;

xxii chẵẵn và yii l lẻẻ; xii l lẻẻ và yii chẵẵn; xii l lẻẻ và  và yyii l lẻẻ Vì ta có nhiều hơn hoặc bàng 5

Bài 2:

Bài 2: N Nếu 2 điểm m bbấất t k k ỳỳ trong sốố 25 điểm đã cho đều có khoảảng cách nhỏỏ  

 bán

llại có điểm m C nC nằằm ngoài (C11)và (C22), rõ ràng khi đó AB ≥ 1, AC ≥ 1, CB ≥ 1

mâu thuẫẫn n vvớ i i gigiảả   thithiết Như vậy có ít nhấất t mmột trong hai đườ ng tròn (C11))

Bài 3:

Bài 3: DDễễ  ththấấy y xxnn= = axaxn-1+b

   xxn-1+b >xn-1  vvớ i i mmọọi i ssốố  ttựự nhiên n ≠ 0 Do đó

xx00,x11,x22,…,,xxnn,…lậ p  p thành thành mmộột dãy sốố tăng.Và Và xx11= = axax00+b>a nên các sốố   hhạạng

ccủủa dãy k ểể t từừ x11  đều lớn hơn a Đặt d = ớn hơn a Đặt d = ƯCLN(a,b) ƯCLN(a,b).

kk



xxqq = a(x p-1-xq-1) và (a,N) = 1, suy ra x p-1-xq-1 chia hếết cho N Tiếế p tụục quá trình

xx p-q+k   chia hết cho N Do đó x p-q+k    là là hhợ  p  p ssố Như vậy trong dãy xk ,xk+1,…,  

xxk+N có chứứa hợ  p sốố là x p-q+k .Thay thếế xk  bở i x p-q+k+1 ta lạại có trong dãy xhh, xh+1,,

…,,    (  h = p-q+k+1) cũng chứa a mmộột t hhợ  p  p ssốố TTừừ đó suy ra các hợ  p  p ssốố  trong dãy **  ++  là vô hạạn

Bài 4:

Bài 4: GiGiảả sửử trong 12 sốố x11, x22,, …, x12, là nghiệệm củủa hệệ bất phương trình đã

trong hệệ, ta có: xi-1- xii +  + xxi+1 > 0, xii- xi+1 +  + xxi+2 > 0 Từừ đó suy ra xi-1 +  + xxi+2 >

0 Điều này mâu thuẫẫn n vvớ i i gigiảả   thithiếết t xxi-1   và và xxi+2  đều âm Vì vậậy y ssốố  các sốố  

Bài 5: Xét 6 điểm trong đườ ng trng tròn òn tâm tâm O O Ta sTa sẽẽ  chchứứng minh r ằằng trong 6

̂̂ ̂̂ =  =  = 606000 NNếếu trong hình quạạt AOB có chứứa a mmột điểm khác P11, ta

ggọọi là P22, thì dễễ thấấy P11P22  ≤ 1 Tương tự, nếếu trong hình quạạt AOC chứứa mộộtt

góc ở   tâm củủa a mmỗỗi hình quạạt t bbằằng 60

00

Ta Ta có có 5 5 điể điểm còn lạại trong 4 hình

quạạt, vì vậậy có ít nhấất t mmộột hình quạạt t chchứa 2 điểm đang xét, suy ra khoảngcách giữa hai điểm đó ≤ 1 ữa hai điểm đó ≤ 1 Từ Từ đó ta có điều phảải chứứng minh

Bài 6:

Bài 6: GGọọi S là tậậ p  p các các ttổổng có dạạng ng aaii   + + bb j j   vvới 1≤ i ≤ 19, 1≤ j ≤ 21, khi

đó   ||||  = 19.21 = 399 Từừ giảả thiếết suy ra các phầần tửử củủa S chỉỉ nhậận các giá tr ịị  

Bài 8:

Bài 8: Xét 21 ngày liên tiXét 21 ngày liên tiếế p bấất k ỳỳ Gọọi S(n) là sốố q quuạạt mà cửa hàng đó bán

S(i) < 36 nên ta phảải có S(j) –  S(i) = 20 Vậậy k ểể t từừ ngày thứứ i+1 đến ngày thứứ  

Bài 9:

Bài 9: GiGiảả sửử n ≥ 37 Ta biết r ằằng,từừ mộột dãy có n sốố (n ≥ 5) thì có n –  4 cách

chọọn bộộ gồồm 5 sốố liên tiếế p củủa dãy Vì n ≥ 37 nên n - 4 ≥ 33 > 255 Hơn nữa, ta

khác nhau là a,b,c,d,e Không mấất tính tổổng quát, giảả sửử a < b < c < d < e Khi

   nnên e = d Điều này mâu thuẫẫn n vvớ i i gigiảả   thithiết e ≠ d Vậy ta có điều u phphảảii

Bài 11:

Bài 11: SSốố  hhạạng thứứ  s s ccủủa a ccấấ p  p ssốố  ccộộng tính bở i công thứức c uuss  = = uu11 +(s -1).d,

ssửử d > 0 Theo nguyên lý  d > 0 Theo nguyên lý Dirichlet, trong d + 1 sDirichlet, trong d + 1 sốố sau: 9, 99, 999 ,…,  ⏟⏟    

có hai sốố  có cùng sốố dƣ khi chia cho d Tức là luôn tồồn n ttạại i ssốố   có có ddạạng

      là  là ssốố 0) Điều đó có nghĩa là số       )  )

       chia hếết cho n Suy ra       chia hếếttcho n

Bài 13:

Bài 13: GiGiảả  ssửử  ttồồn n ttạại dãy thỏỏa mãn yêu cầầu bài toán Chọọn n là sốố  ttựự nhiên

llớn hơn u22 Khi đó u2n =  = uunn + u22 < unn  + n Điều này chứứng tỏỏ các sốố un+1, un+2,,

ggồồm n –  1 sốố nguyên phân biệệt, nên giảả sửử sai ⟹⟹ điều phảải chứứng minh

Bài 14:

đườ ng tròn Từừ  gigiảả  thithiếết suy ra tổng độ dài tấất t ccảả các cung đã bị sơn bé hơn

Bài 15:

Chương II:

2.1   Nguyên lý đếNguyên lý đếm:m:

Bài toán đếm sốố  phphầần n ttửử  ccủủa a mmộột t ttậậ p  p hhợ  p  p xuxuấất hiệện khá phổổ  bibiếến trong khoa

 phầần n ttửử   ccủủa nó bằằng cách liệệt kê Tuy nhiên nếếu u ssốố   phphầần n ttửử   ccủủa nó lớ n thì

cách đếm m tr tr ựực c titiếế p  p là là không không khkhảả thi Ba nguyên lý cơ bản n nhnhấất cho các bài

Giảả  ssửử  mmộột công việệc c A A ggồm k công đoạn n AA11, , AA22,, …,  AAk   Công đoạnn

A11  có thểể   ththựực c hihiệện theo n11  cách, công đoạn n AA22  có thểể   ththựực c hihiệện theo n22  

thểể thựực hiệện theo n11.n22…nk  cách

2.1.3   Hoán vHoán vịị - Ch - Chỉỉnh hnh hợ ợ p - Tp - Tổổ h hợ ợ p:p:

Hoán vHoán vịị  :: Cho tCho tậậ p  p A gA gồồm n phầần n ttửử (n ≥ 1) Mỗỗi cách sắắ p  p ththứứ  ttựự   n n phphầần n ttửử  

ccủủa tậậ p hợp A đượ c gọọi là mộột hoán vịị củủa n phầần tửử đó.  

Sốố hoán vịị củủa n phầần tửử là: Pnn = n! =1.2.3 n.(n ≥ 1).  

ChChỉỉnh hnh hợ ợ p:p: Cho tCho tậậ p hợ  p A gồồm n phầần tửử (n ≥ 1) Mỗỗi bộộ gồồm k phầần tửử (1

TTổổ h hợ ợ p:p: Cho tCho tậậ p hợ  p A gồồm n phầần tửử (n ≥ 1) Mỗỗi tậậ p hợ  p con củủa A gồồm k

bi  ểu  ểu nguyên nguyên lý lý đế  đế  m này b  ằ ng ngôn ng ữ    tt ậậ p p h h ợ p Cho A1, , A A2 là hai t ậậ p p h h ữ u

Bây gi ờ    ta đồ ng nh  ấ  t t ậậ p Am(1 ≤ m    ≤ k) vớ i tính ch  ấ  t Am cho trên t ậậ p h ữ u h ạạ n

b  ấ  t k ỳỳ  m ộ t tính ch  ấ  t Am  nào nào G G ọ i N là s  ố  ph  ầ n t ử  c ủ a U,   là s  ố  c  ần đế  m Ta có:

qua các Nm  trong trườ ng hợ  p các sốố này dễễ tính toán hơn.  

Ngoài các nguyên lý trên ta còn có th  ể  s ử  d ụ ng phép song ánh, p hương pháp

 b)  Mỗỗi sốố t tựự nhiên chẵẵn có 4 chữữ sốố khác nhau có mộột trong các dạạng:   

1    D ạạ ng



 có 9.8.7 = 504 s ố ,,

2    D ạạ ng  (d ϵϵ  {2,4,6,8}) có 4.8.8.7 = 1792 s ố

Trong câu a) củủa ví dụụ 1 ta chỉỉ cầần sửử dụụng quy tắắc nhân, trong câu b) củủaa

ví dụụ 1 ta sửử dụụng quy tắắc cộộng k ếết hợ  p quy tắắc nhân

Ví

Ví ddụụ  2:2: Trong 6 chTrong 6 chữữ sốố 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thểể l lập đƣợ c bao nhiêu sốố gồồm

 bốốn chữữ sốố khác nhau và trong bốốn chữữ sốố nhấất thiếết phảải có chữữ sốố 1

 L ờ  i gi ảả i:

Công đoạn

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả      = 439084800 sốố thỏỏa mãn yêu cầầu bàitoán

2.2.3   Các bài toán sCác bài toán sử ử  d dụụng nguyên lý bù trng nguyên lý bù trừ ừ    đểđể gi giảải:i:

Ví d

Ví dụụ 1: 1: MMộột lớ  p có 4  p có 4 hhọọc sinh giỏỏi toán, 5 họọc sinh giỏi văn, 2 học sinh giỏỏii

cho học ọc sinh sinh đó đó phả phải giỏỏi toán hoặc văn?  

 L ờ  i gi ảả i: Sốố cách chọọn thỏỏa mãn yêu cầầu bài toán là: 4 + 5 –  2 = 7 cách

Tương tự: : |A|A22| | ==; ; |A|A33|= ; ; |A|A44| | == ; ; |A|A11∩A22| | == ; ; |A|A11∩A33| | == ;;

|A11∩A44| = ; |A22∩A33| = ; |A22∩ A44| = ; |A33∩A44| = ; |A11∩A22∩ A33| = ;;

|A11∩A22∩A44| = ; |A11∩A33∩A44|= ; |A22∩A33∩A44| = A11∩A22∩A33∩A44| = 

Ví dụụ 1 1: Có th: Có thểể l lập đượ c bao nhiêu sốố t tựự nhiên có 4 chữữ sốố khác nhau sau cho

 L ờ  i gi ảả ii: Mỗỗi tậậ p hợ  p gồồm 4 chữữ sốố t tựự nhiên khác nhau đều lập đượ c duy nhấấtt

mộột sốố t tựự nhiên thỏỏa mãn yêu cầu bài toán, ngượ c lạại, từừ mỗỗi sốố t tựự nhiên thỏỏaa

mãn yêu cầu bài ầu bài toán toán ta cũng ta cũng đượ  đượ c lậậ p từừ mộột tậậ p hợ  p duy nhấất gồồm 4 chữữ sốố  

5 ssốố nguyên dương khác nhau b11, b22, , bb33, , bb44, , bb55 trong sốố  14 14 ssốố nguyên dương

đầu tiên (không mấất tính tổổng quát, giảả sửử b11< b22 < b33 < b44 < b55 ) ta xây dựựng

đượ c bộộ (a11, a22, a33, a44, a55) = (b11, b22 +1, b33 + 2, b44 + 3, b55 + 4) là bộộ năm số thoảả  

ssốố thỏỏa mãn bài toán vớ i tậậ p các  p các cách chcách chọn năm số khác nhau từừ mườ i bốốn sốố  

Ví

trong hệệ  ththậậ p  p phân phân có có n n chchữữ   ssốố 1, n chữữ  ssốố  2 và không có mộột t chchữữ  ssốố  nàokhác Gọọi N là tậậ p tấất cảả các sốố viếết trong hệệ thậậ p phân  p phân có n có n chchữữ sốố, chỉỉ chứứaa

các sốố 1, 2, 3, 4 và sốố các chữữ  ssốố  1 1 bbằằng ng ssốố các chữữ  ssốố 2 Chứứng minh r ằằng

 L ờ  i gi ảả i: Ta sẽẽ xây dựựng mộột song ánh giữữaa M và N như sau:  

Vớ i mỗỗi sốố có n chữữ sốố thuộc N cho tương ứng vớ i mộột sốố có 2n chữữ sốố thuộộcc

có 2n chữữ  ssố Sau đó, các chữữ  ssốố  33 ở   n n chchữữ  ssốố đầu được đổi thành chữữ  ssốố  1,1,

chữữ sốố 3 ở  n chữữ sốố sau được đổi thành chữữ sốố 2

Tương tự, chữữ sốố 4 ở  n  n chchữữ sốố đầu được đổi thành chữữ sốố 2, còn chữữ sốố 4 ở  n

2.3   MMộột st sốố bài t bài tậậpp

2.3.1   Đề  bài

Bài 1:

Bài 5: X Xếế p ngẫẫu nhiên n quảả cầầu phân biệệt vào N cái hộộ p phân biệệt.t

a Có bao nhiêu cách sắắ p  p xxếế p  p sao cho sao cho hhộộ p  p ththứứ  nhnhất đƣợ c c nn11  ququảả, , hhộộ p  p ththứứ hai

đƣợ c n22 quả, …, hộ p thứứ  N đƣợ c n N quảả? (n = n11 + n22  + … + n N)

Bài 6:

Bài 7:

Bài 7: Trong m Trong mộột version củủa ngôn ngữữ BASIC tên củủa mộột biếến là mộột chuỗỗii

ggồồm 1 hoặặc 2 ký tựự, mỗỗi ký tựự là chữữ cái (trong bảảng chữữ cái tiếếng Anh) hoặặcc

chữữ  ssốố  ththậậ p  p phân phân và và không không phân phân bibiệệt t chchữữ hoa và chữữ  ththƣờng Hơn nữa, a, mmộộtt

tên biếến n phphảải i bbắt đầu u bbở i i mmộột t chchữữ cái và mộột tên biếến n phphảải khác vớ i 5 chuỗỗii

Bài 8:

ttừừ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tựự là  là mmộột chữữ  in in hoa hoa hohoặặc mộột chữữ sốố thậậ p phân

 phân MMỗi “password” phải có ít nhấất t mmộột t chchữữ   ssốố Hãy tính sốố “password”

Bài 9:

Bài 10:

Bài 10:  MMộột t ssốố điện thoạại i dd11dd22dd33dd44dd55dd66dd77  đƣợ c c ggọọi là dễễ  nhnhớ   nnếếu dãy d11dd22dd33  

giốống hoặặc c dd44dd55dd66  hohoặặc c dd55dd66dd77  (ho(hoặặc c ccảả hai) Mỗỗi i ddii  (1 ≤ i ≤ 7) là là mmộột trongcác giá tr ịị t từừ 0, 1, 2, …., 9, tính số các sốố điện thoạại dễễ nhớ 

ggồồm 5 m 5 hhọọc sinh lớ  p A, 4  p A, 4 hhọọc sinh lớ  p B  p B và 3 và 3 hhọọc sinh lớ  p C  p C CCầần chọọn 4 n 4 hhọọcc

Bài 16:

Bài 16:  TTừừ  7 7 chchữữ  ssốố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tạo đượ c bao nhiêu sốố  llẻẻ có 5 chữữ  ssốố  

Bài 17:

3 màu

Bài 18:

Bài 19:

đườ ng gấấ p khúc  p khúc có có n cn cạạnh không khép kín, không tựự cắt có đỉnh là các điểm

Bài 20:

đó.  

Bài 21:

cùng

Bài 22:

Bài 23:

Bài 25:

cho tổổng củủa bốốn sốố liên tiếế p bấất kì chia hếết cho 3

Bài 28: Có thCó thểể l lập đượ c bao nhiêu sốố t tựự nhiên có 4 chữữ sốố khác nhau sau cho

Bài 32: Cho tam giác ABC, xét t Cho tam giác ABC, xét tậậ p  p hhợ  p  p ggồm 4 đườ ng thẳẳng song song vớ ii

quy

Bài 33:

nnữữ  ttừừ đội i ddựự  tuytuyểển trên Hỏỏi có bao nhiêu cách lập sao cho trong đội tuyểểnn

quốốc gia chỉỉ có mộột trong hai cầầu thủủ M hoặặc N

Bài 34:

Bài 38: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} h Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} hỏỏi lập đƣợ c bao nhiêu sốố t tựự nhiên N gồồm

Bài 41: Cho n > 4 s Cho n > 4 sốố phân biệệt t aa1,aa22,…, ann HHỏỏi có tấất t ccảả bao nhiêu hoán vịị  

ccủủa n a n ssốố đó, mà trong mỗi hoán vịị không có 3 sốố nào trong 4 sốố a11, a22, a33, a44  

nnằằm ở  ba vịị trí liên tiếế p

Bài 42:

Bài 42: Cho t Cho tậậ p  p hhợp E = {1, 2, …, 2n} Một hoán vịị  (x(x11, , xx22, …,x2n) ) ccủủa a ttậậ p

hhợp E đƣợ c c ggọọi là có tính chấất P, nếu nhƣ tồn n ttạại i, 1 ≤ i ≤ 2n-1 sao cho

||    || Chứứng minh r ằằng sốố hoán vịị có tính chấất P t P llớn hơn số hoán

vvịị không có tính chấất P

Bài 43:

Bài 43: Cho n là s Cho n là sốố nguyên dương và là bội củủa 6 Gọọi ann là  là ssốố các bộộ gồồm 3

Bài 44:

Bài 45:

Bài 46:

dương lẻ và b lớ n n hhơ n n hohoặặc c bbằằng 3 Mỗỗi giám khảảo o ssẽẽ đánh giá mỗi thí sinh

nhiềều nhấất là cho k thí t là cho k thí sinh Chsinh Chứứng minh r ằằng:

Loạại i: Gồồm các tậậ p con  p con chchứứa i phầần tửử củủa tậậ p B, k p B, k-i ph-i phầần tửử đượ c lấấyy

ttừừ t tậậ p C Sốố t tậậ p con loạại này là:     với 1 ≤ i ≤ m

Bài 3: G Gọọi l =       (a11  ≠ 0) là số có 7 chữữ sốố thỏa mãn đề bài Xét sốố   dd

=       (a11  ≠ 0), ta kí hiệu S(d) = a11   + + aa22+ + … … ++   aa66 Có thểể   xxảảy ra hai

trườ ng hợ  p:

Trườ ng ng hhợ  p  p 1: 1: NNếếu S(d) chẵẵn thì chọọn n aa77 là chữữ  ssốố  llẻẻ (có 5 cách chọọnn

aa77) Khi đó tổng các chữữ sốố củủa l là lẻẻ

Trườ ng ng hhợ  p  p 2: 2: NNếếu S(d) lẻẻ thì chọọn n aa77 là chữữ  ssốố  chchẵẵn (có 5 cách chọọnnaa

ta nhậận xét r ằằng chữữ  ssốố  aa11   ≠ ≠ 00  nên có 9 cách chnên có 9 cách chọọn, 5 chữữ  ssốố còn lạại có thểể  

 bằằng 0 và bằằng nhau nên mỗỗi i chchữữ  ssốố có 10 cách chọọn n VVậậy theo nguyên lý

hai chữữ sốố a22 và  và aa33 mỗỗi chữữ sốố có 7 cách chọọn. Nhƣ vậy theo nguyên lý nhân

Vớ i i mmỗỗi cách chọọn này thì 5.4 cách chọọn 2 chữữ  ssốố  aa22, a33  ttừừ  5 5 chchữữ  ssốố còn lạại.i

Bài 5:

Bài 5: Ta th Ta thấấy mỗỗi cách sắắ p xếế p là mộột bộộ (a11, a22, …, ann) trong đó ak  là sốố thứứ  

ttựự củủa hộộ p mà ta phân phốối quảả thứứ k vào

a.   Giảả sửử A là tậậ p nhữững cách sắắ p xếế p sao cho hộộ p thứứ nhất đƣợ c n11 quảả, hộộ p

thứứ hai đƣợ c n22 quả, …, hộ p thứứ  N đƣợ c n N quảả Ta có:

||  ||                              

Công đoạn 2: Cho n –  m quảả cầầu còn lạại vào N –  1  1 hhộộ p còn  p còn llạại, có (N –  1)n-m  

Bài 7:

 biếến gồồm mộột ký tựự, V22 là sốố biếến gồồm hai ký tựự Theo quy tắắc cộộng ta có V =

V11   + + VV22 Vì biếến n ggồồm m mmộột ký tựự  phphảải là mộột t chchữữ cái nên V11= 26 Ngoài ra

ký tựự k ếế là chữữ cái hoặặc chữữ sốố thậậ p phân Tuy nhiên, có 5 chuỗỗi bịị loạại ra nên

các chữữ in hoa hay chữữ  ssốố  ththậậ p  p phân, phân, k k ểể  ccảả các chuỗỗi không có chữữ  ssốố  ththậậ p

ttắắc nhân, sốố  chuchuỗỗi i ggồồm 6 ký tựự là 3666  và và ssốố  chuchuỗỗi không có ký tựự  ssốố là 2666

ứứng duy nhấất t vvờ i i mmộột t ttứứ giác lồi có các đỉnh là đỉnh nh ccủa đa giác Do đó  ssốố  

Bài 10:

Bài 10: Kí hi Kí hiệệu A là tậậ p các sốố điện thoạại dễễ nhớ  mà d11dd22dd33 giốống d44dd55dd66 và B

là tậậ p các sốố điện thoạại dễễ nhớ  mà d11dd22dd33 giốống d55dd66dd77 Khi đó  A B là tậậ p tấấtt

ccảả các sốố điện thoạại dễễ  nhnhớ  Ngoài ra mộột t ssốố điện thoạại thuộộc vào A∩ B khi

và chỉỉ khi d11 = d22 = d33 = d44 = d55 = d66 = d77 Do đó theo nguyên lý bù trừ ta có:

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả 6.   .1 = 720 sốố thỏỏa mãn yêu cầầu bài toán

 D ạạ ng 3: Tạạo bở i mộột 5 –  vòng xích Sốố hoán vịị có đƣợ c là C5566(5 –  1)! = 144.

Bài 13:

Bài 13: Ta có 11236680 = 2 Ta có 11236680 = 233.322.511.744.1311 Từừ đó ta suy ra vớ i mỗỗi cách chọọnn

Cách 1 :: Giảả sửử l lập đƣợ c sốố             là slà sốố l lẻẻ có 5 chữữ sốố thỏa mãn đề bài.

Sốố cách lấy ra 6 viên bi mà không có viên bi màu đỏ là    cách.

 

  cách

vvậậy có   cách lấấy Vậậy sốố cách lấy ra 6 viên bi có đủ 3 màu là:

               = 13845 cách

Bài 18:

Bài 18: N Nếếu lấấy ra 5 họọc sinh bấất kì thì có   cách Nếếu lấấy ra 5 họọc sinh mà

Bài 20: S Sốố giao điểm tối đa của 10 đườ ng thẳẳng là    Sốố gia điểm tốốii

+120 = 195

Bài 21:

Bài 21: Có 10 lon bia nên có t Có 10 lon bia nên có tấất t ccảả  PPnn = 10! cách sắắ p  p xxếế p,  p, ttứức là có thểể  bbầầyy

ngày trong bốn năm là ốn năm là 365 4 +1 365 4 +1 = = 1461 Ta có 1461 Ta có 36288000 = 2483.1461 36288000 = 2483.1461 ++

năm + 24 ngày, do đó 36288000 ngày = 2483 4 + 1161 ngày = 9935 năm +

S –    (A(A11∪∪A22∪∪A33) là tậậ p  p hhợ  p  p ssốố nguyên dương cần tìm, hơn nữaa ||  || = ||||  –   

|A11∪∪A22∪∪A33| hay ||  ||  =    –       |A|A11∪∪A22∪∪A33| Ta có ||    ||

 ,,  ||    ||  ,,  ||    ||, , mmặặt khác         

||    

1, 2,0, 1, 2,0 Giảả sửử a11, a22,…,a77 là mộột cách sắắ p xếế p thoảả mãn điều kiệện.

Tương tự ta chứng minh đượ c r ằằng a55 ,  , aa66, a77  xác định duy nhấất bở i a11, a22, a33

Sắắ p  p xxếế p  p theo theo modun modun 3 3 phphảải có dạạng a,b,c,0,a,b,c(a,b,c phân biệt) Do đó số  

Bài 26:

Bài 26:  TTừừ  mmộột t ssốố  hhữữu u ttỷỷ đượ c c viviết dướ i dạạng phân sốố  ttốối gi giiảản nên tửử  ssốố  vàvà

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Mỗỗi mộột sốố nguyên tốố này chỉỉ đượ c chọọn thuộộc hoặặc tửử  

ssốố hoặặc mẫẫu sốố Có tấất cảả 288  = 256 cách như vậy

Tuy nhiên không phảải i ttấất t ccảả 256 phân sốố này đều u nhnhỏỏ hơn 1 Thực c vvậậy, y, vvớ ii

mỗỗi phân sốố ta ghép cặặ p  p vvớ i phân sốố nghịch đảo o ccủủa nó, có 128 cặp như thế,,

Bài 27:

Bài 27: Kí hiKí hiệệuu X = {2, 4,…., 2n}là tậậ p các sốố chẵẵn củủa A,Y = {1, 3, …., 2n 1}: tậậ p các  p các ssốố l lẻẻ củủa A, C là tậậ p tấất cảả các tậậ p cân củủa A, D là tậậ p các tậậ p con

có n phầần tửử củủa A

tương ứng là tậậ p các sốố chẵẵn và tậậ p các sốố l lẻẻ củủa B Do B cân nên||  ||||  ||

có n phân tửử Kí hiệệu M11, M22  tương ứng là tậậ p tấất cảả các sốố chẵẵn và tậậ p các sốố  

llẻẻ   ccủa M Đặt t BB11   = = MM11, , BB22  = Y \ M22, B = B11∪∪B22  Ta có: ||  ||||  ||  

||  ||||||||  ||||  ||||||||  ||||  || Suy ra |B11│ =│B22│,

Vậậy tồồn tạại song ánh giữa C và ữa C và D, suy r D, suy ra |C│ a |C│ = │D│= = │D│=







Bài 28:

Bài 28: MMỗỗi tậậ p hợ  p gồồm 4 chữữ sốố t tựự nhiên khác nhau và khác 0 đều lập đƣợ ccduy nhấất t mmộột sốố t tựự nhiên thỏỏa mãn yêu cầu bài toán, ngƣợ c lạại, từừ mỗỗi sốố t tựự  nhiên thỏỏa mãn yêu cầu ầu bài bài toán toán ta ta cũng cũng đƣợ  đƣợ c c llậậ p  p ttừừ  mmộột t ttậậ p  p hhợ  p  p duy duy nhnhấấtt

ccầầu bài toán là   = 126 sốố

Bài 29:

Bài 29: Xét 4 ô tr Xét 4 ô tr ốống:

Ta

Ta ccần đặt các chữữ  ssốố  ttựự nhiên vào các ô để đƣợ c c mmộột t ssốố  ttựự nhiên thỏỏa mãn

Công đoạn 2: Đặt chữữ sốố 1 và 2 vào cùng mộột ô tr ốống, có ng, có 3.2! 3.2! = 6 = 6 cách.cách

mộột chữữ sốố), có      cách

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả 3.6.    = 576 sốố dạạng này

4.2! = 8 cách

mộột chữữ sốố), có      cách

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả 8.    = 1680 sốố dạạng này

nhấất thiếết có mặặt các chữữ  ssốố 1 và 2, đồng thờ i các chữữ  ssốố 1 và 2 đứng ng ccạạnh

Bài 30:

    Xét 4 ô tr ốống:

Ta cần đặt các chữữ sốố t tựự nhiên vào các ô để đƣợ c mộột sốố t tựự nhiên có 5 chữữ sốố  

Công đoạn 2: Đặt chữữ sốố 1 và 2 vào cùng mộột ô tr ốống, có ng, có 3.2! 3.2! = 6 = 6 cáchcách

mộột chữữ sốố), có      cách

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả 3.6.    = 576 sốố dạạng này

4.2! = 8 cách

mộột chữữ sốố), có      cách

Theo quy tắắc nhân có tấất cảả 8.    = 1680 sốố dạạng này

nhấất thiếết có mặặt các chữữ  ssốố 1 và 2, đồng thờ i các chữữ  ssốố 1 và 2 đứng ng ccạạnhnhau là:

   

 = 20 cách