Các hệ thức liên quan đến điểm và đường đặc biệt trong tam giác

Lời nói đầuCác điểm đặc biệt, các đường thẳng đặc biệt của tam giác là đề tàigây hứng thú từ lâu đối với các nhà toán học bởi vì chính chúng cónhiều tính chất hình học đẹp đẽ, được phát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU HẰNG

CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU HẰNG

CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2016

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Mục lục

1 Các điểm và đường đặc biệt trong tam giác 4

1.1 Các điểm đặc biệt loại một 4

1.1.1 Điểm Gergaune 6

1.1.2 Điểm Nagel 8

1.1.3 Điểm Lemoine 9

1.1.4 Tâm Euler 10

1.2 Các điểm đặc biệt loại hai 16

1.2.1 Điểm Schiffler 16

1.2.2 Điểm Engiabech 19

1.2.3 Điểm Feuerbach 24

1.2.4 Điểm Brocard 26

1.2.5 Điểm Fermat-Torricelli 30

2 Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt 35 2.1 Các hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại một 35

2.1.1 Phương pháp Van Aubel 36

2.1.2 Phương pháp Stewart 38

2.1.3 Phương pháp Leibnitz 41

2.1.4 Phương pháp véc tơ 45

2.1.5 Phương pháp tổ hợp các hệ thức 55

2.2 Một số hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại hai 592.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach 602.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad 602.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli 622.3 Một số ứng dụng 632.3.1 Hình thành các bất đẳng thức trong tam giác 632.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r và p 662.3.3 Ứng dụng vào giải các bài toán đại số 67

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

DANH SÁCH KÝ HIỆU

Stt Ký hiệu Nội dung Trang

Lời nói đầu

Các điểm đặc biệt, các đường thẳng đặc biệt của tam giác là đề tàigây hứng thú từ lâu đối với các nhà toán học bởi vì chính chúng cónhiều tính chất hình học đẹp đẽ, được phát triển thành bộ phận quantrọng trong "Hình học tam giác" Tính đến 3/09/2015, số điểm đặc biệttrong tam giác được phát hiện đã lên tới hơn 8000 điểm, mang ký hiệuX(i), i = 1, , 8000 (theo "Bách khoa toàn thư các tâm tam giác").Luận văn chỉ hạn chế nghiên cứu một một số điểm đặc biệt và ứngdụng của chúng để có được các hệ thức Hình học mới Để tiện cho cáchtrình bày chúng tôi tạm chia thành 2 loại điểm đặc biệt: Điểm đặc biệtloại 1 gồm các điểm quen thuộc như trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp,tâm ngoại tiếp, các tâm bàng tiếp, tâm Euler, điểm Gergaune, điểmNagel, điểm Lemoine Điểm đặc biệt loại 2 gồm các điểm Schiffler, điểmEngiabech, điểm Feurbach, điểm Fermat (hay gọi là điểm Torricenlli).Theo chúng tôi với những điểm đặc biệt như vậy cũng đã đủ trình bàycác tính chất phong phú và các hệ thức Hình học mới trong tam giác.Nhiều điểm ở đây đã được nói đến trong các cuốn sách, chẳng hạn [1],[2], [9], [7] Tuy nhiên các tài liệu này trình bày vẫn chưa đầy đủ, vả lạicác phép chứng minh của chúng tôi đi theo hướng khác, cách khai tháctìm ra các hệ thức hình học được làm theo những phương pháp mới,hiệu quả Các ứng dụng của các hệ thức, các tính chất vào các bài toánbất đẳng thức, giải phương trình góp phần làm phong phú nội dung củaLuận văn Đó cũng là những điểm mới của luận văn

Mục đích của đề tài là:

1 Nhắc lại và bổ sung các điểm đặc biệt trong tam giác theo cấu trúcmỗi điểm được trình bày cơ sở định nghĩa, định nghĩa, các tính chất vàứng dụng Nội dung này được chia làm hai phần: Các điểm loại 1 và cácđiểm loại 2

2 Khai thác, phát hiện ra các hệ thức Hình học mới bằng các phươngpháp: phương pháp Van Aubel, phương pháp Stewart, phương phápLeibnitz, phương pháp tổ hợp các hệ thức

3 Bước đầu nêu một số ứng dụng của các điểm đặc biệt và các hệthức tìm được để giải các bài toán về bất đẳng thức, các đánh giá liênquan đến R, r, p và đặc biệt ứng dụng để giải các bài toán đại số

Phạm vi của đề tài là xét một số các điểm đặc biệt trong tam giác,nghiên cứu các tính chất hình học của chúng, đặc biệt chú ý đến các bàitoán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thivào Trung học phổ thông chuyên và các đề thi Đại học Ngoài phần mởđầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn được chia làmhai chương

Chương 1 dành để trình bày các điểm đặc biệt trong tam giác, chialàm hai loại điểm đặc biệt Trình bày chi tiết các tính chất của mỗi điểm.Chương 2 với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt" giớithiệu các hệ thức Hình học mới được phát hiện bằng các phương pháphiệu quả như đã nói ở trên Các bài toán bổ sung với số lượng đáng kểcũng góp phần làm cho nội dung luận văn thêm phong phú

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhậnđược sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải,Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối vớinhững điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học,quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại HọcKhoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

thức quý báu,tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình đào tạoThạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, nhữngngười đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016

Học viênNguyễn Thu Hằng

Chương 1

Các điểm và đường đặc biệt trong tam giác

1.1 Các điểm đặc biệt loại một

Ngoài các điểm đặc biệt quen biết trong tam giác như trọng tâm G làgiao 3 đường trung tuyến, trực tâm H là giao 3 đường cao, tâm đườngtròn ngoại tiếp (tâm ngoại tiếp), tâm đường tròn nội tiếp (tâm nội tiếp)

ta xét thêm các điểm đặc biệt khác: các tâm bàng tiếp OA, OB, OC, điểmGergaune J , điểm Nagel N , điểm Lemoine L và tâm Euler O9, mà ta sẽgọi chung là các điểm đặc biệt loại 1 Các đường đặc biệt sẽ được giớithiệu cùng với các điểm có liên quan

Nhắc lại về tâm các đường tròn bàng tiếp: Các phân giác của hai gócngoài một tam giác cắt nhau trên phân giác trong của góc thứ ba Giaođiểm của hai phân giác các góc ngoài và phân giác trong của góc thứ

ba là tâm đường tròn tiếp xúc một cạnh của tam giác và các đường kéodài của 2 cạnh kia Đường tròn đó gọi là đường tròn bàng tiếp Mỗi tamgiác có 3 đường tròn bàng tiếp Ta ký hiệu là các đường tròn (Oa, ρa),(Ob, ρb), (Oc, ρc) lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC = a, CA = b, AB = ccủa tam giác Ta có

SABC = SABOa + SACOa − SBCOa = c.ρa

với p là nửa chu vi tam giác ABC Vậy ρa = S

p − a Tương tự như vậy,

ρb = S

p − b, ρc =

S

p − c.Tính chất 1.1.1 (Liên hệ giữa các bán kính)

i Tích các bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp bằng bình phươngdiện tích tam giác: SABC2 = rρaρbρc

ii Tổng các nghịch đảo các bán kính đường tròn bàng tiếp bằng nghịchđảo bán kính đường tròn nội tiếp: 1

i Ta đã biết SABC = pr Theo lưu ý ở trên

SABC = ρa(p − a), SABC = ρb(p − b), SABC = ρc(p − c)

ρa, ρb là nghiệm của tam thức f (x) = x2 − cx + ab

2 .Bài toán 1.1.5 Chứng minh đẳng thức SABC = a.ρbρc

ρb + ρc.Sau đây ta sẽ nói về các điểm đặc biệt khác trong tam giác cùng cáctính chất của chúng

Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy.

Định nghĩa 1.1.1.2 Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnhtam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp được gọi là điểmGergaune, ký hiệu đó là điểm J

Mệnh đề 1.1.1.3 Điểm Gergaune thỏa mãn hệ thức sau

(p − b)(p − c)−→

J A + (p − c)(p − a)−→

J B + (p − a)(p − b)−→

J C = ~0 (1.1)Chứng minh Trước hết ta có bổ đề: Tam giác ABC, với mọi điểm M

−−→

M B + A

0BBC

SJ AB(p − c) = SJ AC(p − b) = SJ BC(p − a) = T

p−a + p−bT + p−cT =

1 p−a 1

p−a + p−b1 + p−c1 .Tương tự,

y =

1 p−b 1

p−a + p−b1 + p−c1 , z =

1 p−c 1

p−a + p−b1 + p−c1 .

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra điều phải chứng minh

1.1.2 Điểm NagelMệnh đề 1.1.2.1 Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếpđiểm của đường tròn bàng tiếp đồng quy tại một điểm

Hình 1.2: Điểm Nagel

Chứng minh Ký hiệu các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB Điểm

F0 là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài

Ta ký hiệu điểm đó là điểm N

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Định nghĩa 1.1.2.2 Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnhtam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp được gọi là điểmNagel.

Chú ý 1.1.2.3 Mỗi đường thẳng AK, BL, CF chia chu vi tam giác làmđôi Thật vậy, AC + CK = b + (p − b) = p, CB + BL = a + (p − a) =

1.1.3 Điểm Lemoine

Mệnh đề 1.1.3.1 Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm

C1, A1, B1 tương ứng sao cho

Theo định lý Céva ba đường thẳng đồng quy

Định nghĩa 1.1.3.2 Điểm L nói trong mệnh đề trên được gọi là điểmLemoine của tam giác

Điểm Lemoine chính là giao điểm của các đường đối trung nên còn

có tên gọi là điểm đối trung trong tam giác

Mệnh đề 1.1.3.3 Điểm Lemoine L thỏa mãn hệ thức

a2−→

LA + b2−→

LB + c2−→

Định lý 1.1.4.2 Chân các trung tuyến, chân các đường cao và các điểmEuler nằm trên một đường tròn Ta gọi đó là đường tròn Euler hay đườngtròn chín điểm, tâm đường tròn này gọi là tâm Euler, ký hiệu là O9.

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Hình 1.3: Tâm Euler

Chứng minh Giả sử D, E, F là trung điểm của các cạnh của tam giác,

AK và BM là hai đường cao của tam giác, H là trực tâm Ngoại tiếptam giác DEF bằng một đường tròn Ta chứng minh rằng điểm K-châncủa đường cao hạ từ A, điểm Euler L-trung điểm của đoạn BH, nằmtrên đường tròn vừa vẽ

Thật vậy, DK là trung tuyến của tam giác vuông BKA, xuất phát

từ đỉnh của góc vuông nên bằng nửa đường huyền

Nối trung điểm L của BH, với trung điểm D của AB Đường thẳng

DL k AK, đường thẳng DF k BC, vậy [LDF = π

2, vì LE k CH, nên[

LEF = π

2 Vậy có thể vẽ được đường tròn ngoại tiếp tứ giác EF DL vàđường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua K và L Cũng chứng minhtương tự rằng đường tròn đi qua 4 điểm khác mà chúng ta khảo sát

Định lý này được nhà toán học thiên tài người Thụy sĩ Léonard Euler(1707-1783) công bố năm 1765 ở Petersbourg trong tập Kỷ yếu của Việnhàn lâm Khoa học Nga

Ta gọi trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnhđến trực tâm của tam giác là các điểm Euler

Tính chất của đường tròn Euler

i Tâm của đường tròn Euler nằm ở trung điểm đoạn thẳng nối trựctâm với tâm đường tròn ngoại tiếp

ii Bán kính của đường tròn Euler bằng nửa bán kính đường tròn ngoạitiếp

iii (Định lý Haminton) Các tam giác ABC, ABH, BCH, ACH trong

đó H là trực tâm ∆ABC có chung đường tròn Euler

Chứng minh

i Thật vậy, tâm O9 của đường tròn chín điểm, nằm tại giao điểm cácđường thẳng góc dựng từ trung điểm của các đoạn thẳng KE và M F Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Tâm O9 củađường tròn cần tìm phải nằm tại trung điểm cạnh bên OH của hìnhthang M HOF và hình thang KHOE vì các đường thẳng góc vừa dựng

là các đường trung bình của các hình thang

Hình 1.4: Tính chất i (Euler)

ii Nối điểm E với tâm đường tròn chín điểm O9 Đường thẳng EO9cắt đường cao AK tại điểm L.LE là đường kính đường tròn chín điểm

Do hai tam giác O9EO và O9LH bằng nhau, nên OE = LH, và vì

LH = AL, nên OE = AL, vậy tứ giác ALEO là hình bình hành và

AO = LE, trong đó LE là đường kính đường tròn chín điểm và AO làbán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Hình 1.5: Tính chất ii (Euler)

iii Định lý Haminton có thể phát biểu là đường tròn chín điểm của mộttam giác cũng là đường tròn chín điểm của tam giác mà hai đỉnh trùngvới các đỉnh của tam giác đã cho còn đỉnh thứ ba trùng với trực tâmcủa tam giác đó Trong tam giác AHB các điểm K và M là trung điểmcủa các cạnh AH và BH (các điểm Euler của tam giác ABC) Điểm

E là chân đường cao BE (nó cũng là chân đường cao của tam giác chotrước) Đường tròn chín điểm của tam giác ABC và ABH có ba điểmchung K, M và E vậy trùng nhau

Hình 1.6: Tính chất iii (Euler)

Ta hãy chứng minh rằng A0A1.DX = XA0.XA1 Quả vậy từ tam giácđồng dạng EDC và EAC ta có ED

A0X.A0A1 − A0X2 = A0X.A0A1 − A0D.A0A1

⇒ A0X(A0A1 − A0X) = A0A1(A0X − A0D)

Từ đó,

XA0.XA1 = A0A1.DX (1.10)Dựa vào đẳng thức (1.10), biến đổi đẳng thức (1.7)

Định nghĩa 1.1.4.4 Cát tuyến đi qua trực tâm của tam giác và tâm

O của đường tròn ngoại tiếp gọi là đường thẳng Euler

Dễ chứng minh được đường thẳng Euler đi qua tâm Euler O9 và trọngtâm G của tam giác Hơn nữa ta có định lý sau

Định lý 1.1.4.5 Trọng tâm và trực tâm của tam giác chia điều hòađoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp với tâm Euler

Chứng minh Gọi O9 là tâm Euler, ta cần chứng minh tỷ số kép (GHOO9) =

O9G = −2 Vậy G và H chia điều hòa đoạn thẳng OO9.Tóm lại trong phần này ta đã nhắc lại và bổ sung các tính chất củacác điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường trònngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, các tâm đường tròn bàng tiếp, tâmEuler, điểm Gergaune, điểm Nagel, điểm Lemoine được gọi chung là cácđiểm đặc biệt loại một để phân biệt với các điểm đặc biệt loại hai đượcxét sau đây

1.2 Các điểm đặc biệt loại hai

1.2.1 Điểm Schiffler

Ta có kết quả sau

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Mệnh đề 1.2.1.1 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp.Khi đó 4 đường thẳng Euler của các tam giác IBC, IAC, IAB và ABCđồng quy tại một điểm.

Hình 1.8: Điểm Schiffler

Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm và M

là trung điểm BC Gọi G1 là trọng tâm tam giác IBC, AI cắt BC ở D,cắt đường tròn (O) ở J Đường tròn tiếp xúc cạnh BC ở K, J G1 cắt

OG ở S, cắt AM ở E

Rõ ràng, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, do đó J G làđường thẳng Euler của tam giác IBC Áp dụng định lý Menélaus chotam giác GOM và cát tuyến SEJ ta có

Do đó,EG

IK

J M =

23

Tính chất 1.2.2.2 Nếu một đường thẳng cắt các cạnh của tam giácABC tại các điểm C1, B1, A1 thì các điểm C2, B2, A2 tương ứng đẳng cựvới chúng cũng nằm trên một đường thẳng.

Do đó các điểm C2, A2, B2 nằm trên một đường thẳng.

Tính chất 1.2.2.3 Nếu AA1, BB1, CC1 đồng quy thì ba đường thẳngđẳng cự của chúng AA2, BB2, CC2 cũng đồng quy

Chứng minh Theo định lý Céva ta có

Vậy các đường thẳng AA2, BB2, CC2 cắt nhau tại một điểm

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Hình 1.11: Tính chất 1.2.2.3

Định nghĩa 1.2.2.4 Đường thẳng đẳng cự của phân giác trong gọi làđường đối phân giác trong hay đường thẳng đi qua đỉnh chia cạnh đốidiện theo tỷ lệ nghịch của các cạnh kề được gọi là đối phân giác

Dựa vào các định nghĩa và tính chất nêu trên hoặc dựa vào định lýCéva, dễ chứng minh được các tính chất sau

Tính chất 1.2.2.5 Các đối phân giác của tam giác đồng quy tại mộtđiểm Điểm đó được gọi là tâm các đối phân giác

Để giới thiệu điểm Engiabech trong tam giác ta chứng minh tính chấtsau liên quan đến tâm đối phân giác

Tính chất 1.2.2.6 Gọi P là tâm đối phân giác, AD, BE, CF là các đốiphân giác Đặt trên các đường này kể từ đỉnh các đoạn AD0, BE0, CF0lần lượt bằng các đoạn P D, P E, P F Qua các điểm D0, E0, F0 vạch cácđường thẳng HN, KL, ED song song với các cạnh đối diện Khi đó lụcgiác KLHN ED có các cạnh bằng nhau

Vẽ qua H đường thẳng Hx k AC và qua E vẽ Hy k BC Ký hiệu

E1 = Hx ∩ Hy Nối điểm E1 với đỉnh K của lục giác KLHN ED, dễthấy đoạn thẳng E1K song song và bằng cạnh HL của lục giác Nhưvậy điểm E1 có tính chất đặc biệt: Từ E1 kẻ 3 đường thẳng song songvới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác thì được 3 đoạn thẳng bằng nhau

E1K = E1E = E1H Tiếp theo, vẽ qua N đường thẳng N z k AB, vẽqua D đường thẳng Dt k AC Ký hiệu E2 = N z ∩ Dt Nối điểm E2 vớiđiểm L ta được đoạn thẳng E2L song song và bằng KD Ta được điểm

E2 có tính chất giống như điểm E1.Định nghĩa 1.2.2.7 Các điểm E1, E2 dựng như trên được gọi là cácđiểm Engiabech của tam giác

Các điểm Engiabech có các tính chất sau suy từ định nghĩa trên

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

i Mỗi điểm Engiabech là đỉnh chung của 3 hình thoi có cạnh bằngnhau, chiều dài mỗi cạnh t = abc

iii Các khoảng cách từ điểm E2 đến các cạnh tam giác bằng `0a =

t sin C, `0b = t sin A, `0c = t sin B

iv Ta có hai công thức sau

Qua các đỉnh tam giác vẽ các đường thẳng song song với cạnh đốidiện và đặt trên đó ba đoạn thẳng bằng nhau tùy ý AD, BF, CE

Hình 1.13: Chú ý 1.2.2.8

Qua D, F, E vạch các đường thẳng song song với các cạnh AC, AB, BC.Chúng tạo thành một tam giác vị tự với tam giác đã cho Tâm vị tự củacác tam giác chính là điểm E1 cần tìm

là định lý lần đầu tiên được công bố bởi Feuerbach vào năm 1822 Nhiềuphép chứng minh đã được trình bày, chẳng hạn của M’Clelland năm

1891, của Lachlan năm 1893 và của Elder năm 1960

Ta đã có định lý Feuerbach: "Đường tròn Euler tiếp xúc với đườngtròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp" Từ đó có

Định nghĩa 1.2.3.1 Các điểm tiếp xúc giữa đường tròn Euler với đườngtròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp được gọi là các điểm Feuerbach

Để vẽ điểm Feuerbach theo định nghĩa ta phải vẽ 5 đường tròn: đườngtròn Euler, đường tròn nội tiếp và 3 đường tròn bàng tiếp Tuy nhiên ta

sẽ xem xét các tính chất của điểm này để đưa ra cách vẽ đơn giản hơn.Tính chất 1.2.3.2 Từ một đầu mút A của dây cung AB của đườngtròn (O, R) ta đặt đoạn AK = 2R, từ trung điểm N của đoạn KB kẻ

N x⊥AB thì N x là tiếp tuyến của đường tròn

Chứng minh Thật vậy, vì AK = 2R và CN = CB + BN = AC + N Knên CN = R

Ta xét tam giác ABC Vì đường kính đường tròn Euler bằng bánkính đường tròn ngoại tiếp nên theo tính chất trên để vẽ tiếp tuyến củavới đường tròn Euler ta đặt vào dây cung một bán kính của đường trònngoại tiếp Các đoạn thẳng a0a, b0b, c0c của các đường cao là các dây cungcủa đường tròn Euler Do đó, nếu trên các đường thẳng a0a, b0b, c0c, từ

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Hình 1.14: Tính chất 1.2.3.2

các điểm a0, b0, c0 ta đặt các đoạn bằng bán kính đường tròn ngoại tiếpABC và ta vách các đường song song với các cạnh tam giác đi qua trungđiểm đoạn nối các điểm thu được và chân các đường cao thì ta được tamgiác A1B1C1 mà các cạnh tiếp xúc với đường tròn Euler

Tính chất 1.2.3.3 Tâm vị tự ngoài của đường tròn nội tiếp tam giác

và đường tròn Euler là điểm Feuerbach thứ nhất F

Chứng minh Theo cách dựng ∆A1B1C1 và tính chất ở trên

Tính chất 1.2.3.4 Mỗi tam giác có bốn điểm Feuerbach được ký hiệu

là F, Fa, Fb, Fc

Chứng minh Ngoài điểm F ta đi tìm ba điểm Fa, Fb, Fc Để tìm các điểmFeuerbach Fa, Fb, Fc ta quy về vẽ ∆A2B2C2 giống như đã vẽ ∆A1B1C1,chỉ khác là khi đặt đường kính đường tròn ngoại tiếp thì không đặt từ

a0, b0, c0 mà đặt từ a, b, c

Để tìm Fa ta xét hai tam giác vị tự là ∆ABC và ∆A2P2P1 (đườngtròn Euler là đường tròn bàng tiếp của ∆A2P2P1) Tâm vị tự của haitam giác trùng với tâm vị tự của hai đường tròn bàng tiếp, tức là trùngvới một điểm Feuerbach

Để tìm hai điểm còn lại ta đi dựng tâm vị tự của ∆ABC và ∆Q1B2Q2

và tâm vị tự của ∆ABC và ∆R1R2C2

1.2.4 Điểm Brocard

a Xác định điểm BrocardTrong ∆ABC hãy tìm điểm Z sao cho [ZAB = [ZBC = [ZCA

Hình 1.15: Điểm Brocard

Điểm Z tìm được gọi là điểm Brocard Điểm Broccard được công bốbởi Henri Brocard, một sĩ quan quân đội người Pháp vào năm 1825 Mặc

dù vậy, nó đã được tìm ra trước đó bởi Nhà hình học Jacobi vào năm

1816 Góc ϕ = [ZAB = [ZBC = [ZCA được gọi là góc Brocard Ta nêucách giải bài toán như sau

Giả sử đã có điểm Z thỏa mãn bài toán, ta có[

BZC = π − [ZBC − [ZCB = π − [ZCA − [ZCB = π − bC

Tương tự,

[CZA = π − bA, [AZB = π − bB

Từ đó suy ra cách dựng điểm Z:

• Trên cạnh BC dựng cung chứa góc π − bC

• Trên cạnh CA dựng cung chứa góc π − bA

• Giao điểm của hai cung trên là điểm Z cần tìm

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Cách vẽ thứ hai:

• Vẽ đường tròn đi qua A, C tiếp xúc với cạnh AB ở A

• Qua A kẻ AN k BC, đường thẳng này cắt đường tròn ở N

Thật vậy, ký hiệu [ZBC = ϕ khi đó cũng có \AN B = ϕ Góc [ZAB,tạo nên bởi tiếp tuyến và một dây có số đo bằng nửa cung AZ, nên cũngbằng ϕ

Điểm Brocard thứ hai: các đường thẳng AZ0, BZ0, CZ0 đẳng giác vớicác đường thẳng AZ, BZ, CZ cắt nhau tại một điểm gọi là điểm Brocardthứ hai: \BAZ0 = \CBZ0 = \ACZ0

Bài toán 1.2.4.1 Điểm Brocard thứ hai có thể dựng được bằng cáchsau: Dựng trên các cạnh BC và AC các cung chứa góc π − B và π − C.Giao điểm hai cung chứa góc đó là điểm Brocard thứ hai

Bài toán 1.2.4.2 Nêu cách vẽ tương tự như vẽ điểm Brocard thứ nhất

b Các tính chất của điểm Brocard

i Hai góc ϕ và ϕ0 bằng nhau

ii Hai điểm Z và Z0 là hai điểm đẳng giác

iii Hai điểm Z và Z0 thỏa mãn

OZ = OZ0 = R

s

a4 + b4 + c4

a2b2 + a2c2 + b2c2 − 1, ZOZ\0 = 2ϕ

iv Nếu L là điểm Lemoine, G là trọng tâm của tam giác ABC thì

ba đường thẳng AZ, BG, CL đồng quy tại P , ba đường thẳng

AZ0, BG, CL đồng quy tại Q Hơn nữa , P và Q lại là hai điểmđẳng giác

v Nếu L là điểm Lemoine của tam giác thì LZ = LZ0, Bốn điểm

O, Z, L, Z0 nằm trên đường tròn đường kính OL (đường tròn card) Hơn nữa ZZ0⊥LO Đường LO được gọi là đường thẳng Bro-card (không trùng với trục Brocard)

và tương tự,

SCZA

SABC =

sin2ϕsin2C,

SAZB

SABC =

sin2ϕsin2A.Cộng các diện tích ta được

1 = SBZC + SCZA + SAZB

sin2ϕsin2A +

sin2ϕsin2B +

sin2ϕsin2C,hay

1sin2ϕ =

1sin2A +

1sin2B +

1sin2C. (1.16)Tính tương tự ta cũng được

1sin2ϕ0 =

1sin2A +

1sin2B +

1sin2C. (1.17)

Từ (1.16), (1.17) ta suy ra ϕ = ϕ0

Ta đặt ϕ = [ZAB = [ZBC = [ZCA = \Z0AC = \Z0CB = \Z0BA

ii Tính chất đẳng giác của Z và Z0 suy từ tính chất i

iii Để chứng minh iii., ta xét bổ đề: Gọi (O, R) là đường tròn ngoại tiếp

∆ABC Xét điểm M tùy ý trong tam giác Ký hiệu A1, B1, C1 là hìnhchiếu của M lên các cạnh tam giác Khi đó SA1 B 1 C 1

SABC

= |R2 − OM2|

4R2 Chứng minh bổ đề Các tứ giác AB1M C1, BC1M A1, CA1M B1 đều nộitiếp được Áp dụng định lý sin mở rộng vào tam giác AB1C1 ta được

B1C1 = AM sin α Tương tự, A1C1 = BM sin β, B1C1 = CM sin γ Từ

đó suy ra

B1C1

BC =

AM2R ,

A1C1

AC =

BM2R ,

A1B1

AB =

CM2R .

Ký hiệu giao của AM, BM, CM với (O, R) lần lượt tại X, Y, Z Ta có

\

A1B1C1 = \A1B1M + \M B1C1 = \A1CM + \M AC1 = [ZY B+\BY X = \ZY X

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

M B2R =

|R2 − OM2|4R2

Ta thấy biểu thức trên không phụ thuộc vị trí của M (trong hay ngoàitam giác) Tam giác A1B1C1 được gọi là tam giác pedal (hay tam giácthùy túc) của điểm M đối với tam giác ABC Bổ đề được chứng minh.Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu của Z lên các cạnh BC, CA, AB

Sử dụng định lý sin mở rộng ta được A1C1 = BZ sin b vì BZ là đườngkính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BA1ZC1 Cũng áp dụng định lý sinvào tam giác ABZ, ta được BZ

sin ϕ =

csin b Dẫn đến A1C1 = BZ sin b =

c sin ϕ

Tương tự, ta có B1C1 = b sin ϕ, A − 1B1 = a sin ϕ, suy ra ∆A1B1C1

đồng dạng ∆ABC theo tỷ số sin ϕ Vì ϕ = ϕ0 ta thu được các tamgiác pedal A1B1C1 và A01B10C10 của Z và Z0 có cùng diện tích Từ đó

BE = BF + F D + F CChia 2 vế cho N E với chú ý là BE

3, nhưthế ϕ ≤ 300.

Bài toán 1.2.4.3 Chứng minh rằng trong tam giác vuông có ϕ là gócBrocard thì tan ϕ = sin 2A

2 .1.2.5 Điểm Fermat-TorricelliĐịnh nghĩa 1.2.5.1 Điểm Fermat của tam giác ABC hay còn gọi làđiểm Torricenlli hoặc điểm Fermat-Torricenlli là điểm X sao cho tổng

Để định nghĩa có nghĩa ta cần chứng minh sự tồn tại của điểm Fermatđối với tam giác ABC

Trường hợp 1 bA, bB, bC < 1200 Ta dựng ra phía ngoài ∆ABC cáctam giác đều ABC1, BCA1, CAB1 Lấy một điểm P bất kỳ, phép quay

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

tâm A, góc quay +600 tam giác AP B biến thành tam giác AQC1 Suy

ra ∆AP B = ∆AQC1 và ∆AP Q là tam giác đều, bởi vậy nhận được

P B = QC1, P A = P Q Khi đó P A+P B +BC −CP +CQ+QC1 ≥ CC1,bởi vậy tổng P A + P B + P C sẽ nhỏ nhất nếu tổng đó bằng CC1, tức làkhi đó các điểm C, P, Q, C1 nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tựnày Để ba điểm C, P, Q thẳng hàng cần có [CP A = 1800− [AP Q = 1200.Tương tự như vậy, để ba điểm P, Q, C1 thẳng hàng cần có \AQC1 =

1800− [P QA = 1200 Vì vậy [AP B = \AQC1 = 1200 Góc [AP Q = 600 nênkhi các điểm C, P, Q, C1 thẳng hàng thì P chính là giao điểm của CC1với đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC1

Ngược lại, nếu ta dựng được điểm X sao cho \CXA = \AXB =

đã chỉ ra được điểm X có tính chất \CXA = \AXB = \BXC = 1200 và

XA + XB + XC = CC1 Vậy X là điểm cần tìm Lý luận tương tự thì

X cũng nằm trên AA1, BB1 và AA1 = BB1 = CC1 Ngoài ra các đườngtròn ngoại tiếp các tam giác đều ABC1, BCA1, CAB1 đồng quy tại X.Lưu ý rằng điều kiện bA, bB, bC < 1200 ở trên là cần thiết để các điểm

C, X, Y, C1 thẳng hàng theo thứ tự đó Nếu một trong các góc của tamgiác ABC lớn hơn 1200 thì các điểm C, X, Y, C1 thẳng hàng nhưng không

Tóm lại lời giải của bài toán do Fermat đặt ra là:

Hình 1.17: Điểm Fermat-Torricenlli

• Nếu max{ bA, bB, bC} < 1200 thì X là điểm sao cho \BXC = \CXA =

\AXB = 1200

Cách 2 Dựng ra ngoài (hoặc vào phía trong) tam giác ABC các tam giácđều BCA1, CAB1, ABC1 Khi đó các đường tròn (BCA1), (CAB1), (ABC1)đồng quy tại điểm Fermat trong (hoặc ngoài) tam giác ABC

Bài toán 1.2.5.2 Cho hình vuông ABCD Tìm trên bốn cạnh của hìnhvuông bốn điểm X, Y, Z, T sao cho XY + Y Z + ZT + T X là nhỏ nhất

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Điểm Fermat có nhiều tính chất rất đặc biệt Ta ký hiệu X là điểmFerma t(trong) và X0 là điểm Fermat (ngoài).

b Tính chất

i Ba đường thẳng đối xứng với AX qua BC, đối xứng với BX qua

CA, đối xứng với CX qua AB đồng qui

ii Ba đường thẳng Euler của ∆ABX, ∆BCX, ∆CAX đồng qui.iii Ba trung điểm ba cạnh tam giác và trung điểm của XX0 nằm trênmột đường tròn hay trung điểm của XX0 nằm trên đường trònEuler của ∆ABC

Chứng minh

i Lấy A0, B0, C0 là đối xứng của X lần lượt qua BC, CA, AB Ta sẽ chứngminh đường thẳng a đối xứng với AX qua BC, đường thẳng b đối xứngvới BX qua CA và đường thẳng c đối xứng với CX qua AB, đồng quitại O0 là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆A0B0C0

Thật vậy, giả sử b và c cắt nhau tại E Do tính chất đối xứng qua

BC nên \EB0A = 1800 − \AXB = 600 Tương tự, \EC0B = 600 Mà

ii Gọi G là trọng tâm ∆ABC Dựng tam giác đều ACD (ra phía ngoài

∆ABC)và gọi O1 là tâm tam giác đều Ký hiệu M là trung điểm AC, J

là trọng tâm ∆AXC Dễ thấy BX đi qua D và tứ giác AXCD nội tiếpđường tròn (O1) Theo cách xác định thì J O1 chính là đường thẳng Eulercủa tam giác AXC

Vì J và O1 chia M X và M D theo tỷ số 1 : 2 nên J O1 đi qua G Nghĩa

là đường thẳng Euler của ∆AXC đi qua trọng tâm G của ∆ABC Hoàntoàn tương tự, các đường thẳng Euler của ∆BXC, ∆BXA cũng đi qua

G Ta có điều cần chứng minh