Phương pháp giải các dạng toán chuyên đề số hữu tỉ số thực

• Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương; • So sánh các tử, phân số nào tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn... • Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số; • Viết tử và mẫu của

2. Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số Trên chục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ

được gọi là điểm x

3.Với hai số hữu tỉ bất kỳ ,x y ta luôn có hoặc x y hoặc x y hoặc x y Ta có thể sosánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó

• Nếu x y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm ; y

• Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;

• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;

• Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

B CÁC D ẠNG TOÁN

D ạng 1 SỬ DỤNG CÁC KÍ HIỆU , , , , ,      

Phương pháp giải.

Cần nắm vững ý nghĩa của từng ký hiệu:

• Kí hiệu  đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”

• Kí hiệu  đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “khồng thuộc”

• Kí hiệu  đọc là “là tập hợp con của”

• Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.

• Khi biểu diến số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số tối giản cómẫu dương Khi đó mẫu cửa phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần được chia thành baonhiêu phần bằng nhau

D ạng 3 SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ

Phương pháp giải

• Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương;

• So sánh các tử, phân số nào tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn

b) x213

300 và y ;



1825c) x 0 75 và , y3;

Nhờ tính chất cơ bản của phân số, ta luôn có thể viết một phân số có mẫu âm thành một phân số

bằng nó và có mẫu dương Vì vậy, ta chỉ cần nhận xét số hữu tỉ ( , a a b , b )

Nh ận xét: Bài toán này cho thấy hai số hữu tỉ khác nhau bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất một số

hữu tỉ nữa Do đó có vô số số hữu tỉ

b) x2

3 và y 0 ;c) x 0 125 và , y1

b nd ếu ab bc và ngược lại

1.7 Cho a b c là nh, , ững số nguyên, b 0 Hãy so sánh hai số hữu tỉ a

1.10 Cho a, , , *.b b0 n Hãy so sánh hai số hữu tỉ a

1.13 Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần:

c) y không là số dương và cũng không là số âm.

Một trong các phương pháp giải có thể là:

• Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương

• Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên

• “Tách” ra hai phân số có tử là các số nguyên vừa tìm được

D ạng 5 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU DẤU NGOẶC

Phương pháp giải

• Có thể tính giá trị của biểu thức trong ngoặc rồi tính tổng hoặc hiệu của các kết quả

• Có thể bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hơp bằng cách áp dụng tính chất giao

Hãy tính giá trị của A theo hai cách:

Cách 1: Trước hết tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc

Cách 2: Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp

2 Phần lẻ của một số hữu tỉ x, kí hiệu  x là hiệu của x x

3 ;  5 ; 1 2 , 

Gi ải

2.16 Dạng 6 Tìm phần nguyên của số hữu tỉ x, biết:

2.20 Dạng 6 Chứng minh rằng nếu x y thì    x  y Điều ngược lại có đúng không? Tại sao?

2.21 Dạng 6 Chứng minh rằng với mọi ,x y ta luôn có:     x  y   x y

-

§3 NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ

A TÓM T ẮT LÍ THUYẾT

1 Nhân, chia hai số hữu tỉ.

• Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi ápdụng quy tắc nhân, chia phân số

• Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp,nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Mỗi số hữu tỉkhác 0 đều có một số nghịch đảo

• Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số

• Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;

72

256 × -2 =

1128

D ạng 2 VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TÍCH HOẶC THƯƠNG CỦA HAI SỐ

H ỮU TỈ

Phương pháp giải

• Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số;

• Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;

• “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được;

Lập tích hoặc thương của các phân số đó

Ví d ụ 5 Tìm nhiều cách khác nhau để viết số hữu tỉ 7

30 dưới dạng tích của hai số hữu tỉ

Đố : Em hãy tìm cách “nối” các số ở những chiếc lá bằng dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia

và dấu ngoặc để được một biểu thức có giá trị đúng bằng số ở bông hoa ở hình vẽ bên

§4 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.

CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN.

A TÓM T ẮT LÍ THUYẾT

1 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x , kí hiệu | | x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0

trên trục số

x khi x x

2 Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân.

• Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số

thập phân rồi làm theo qui tắc các phép tính đã biết về phân số

Trong thực hành ta thường cộng, trừ nhân hai số thập phân theo các quy tắc về

giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự đối với số nguyên

• Khi chia số thập phân x cho số thập phân (y y 0), ta thường áp dụng qui tắc:Thương của hai số thập phân ,x y là thương của x và y với dấu “” đằng

trước nếu ,x y cùng dấu và dấu “” đằng trước nếu ,x y khác dấu

a) Bài này có thể giải theo hai cách:

Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)

3

Ví d ụ 6 Chứng minh rằng với mọi ,x y ta luôn có: x y   Dấu “x y ” xảy ra khi nào ?

Vì  x x,  với mọi ,y y x y nên x y      x y x y

Vậy với mọi ,x y ta đều có: x y   Dx y ấu “” xảy ra khi ,x y cùng dấu hoặc khi ít

a a m

b b m với m   và m  0 ;

::

b) Chú ý rằng 3

7 là phân số tối giản nên chỉ cần nhân cả tử và mẫu của nó cùng một số nguyên khác 0

D ạng 3 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ THẬP PHÂN

Phương pháp giải

• Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân

• Chú ý vận dụng các tính chất : giao hoán, kết hợp, phân phối, trong các trường hợp có

thể để việc tính toán được nhanh chóng và chính xác

Bài làm của Liên

b) Theo em nên làm cách nào ?

0 32,

16 027,

2 16

b) Hai cách làm của hai bạn đều áp dụng các tính chất giao hoán và kết hợp của phép

cộng để tính được hợp lí nhưng cách của bạn Liên có thể tính nhẩm nhanh hơn Do đónên làm theo cách của bạn Liên

D ạng 4 SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ

Phương pháp giải

Khi so sánh hai số hữu tỉ cần chú ý :

• Số hữu tỉ dương lớn hơn số

• Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số 0

• Trong hai số hữu tỉ âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn

D ạng 5 SỬ DỤNG MÁY TÌNH BỎ TÚI ĐỂ LÀM CÁC PHÉP TÍNH CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA S Ố THẬP PHÂN.  

0 42,

4.5 Dạng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B  2 x 2

4.16 Dạng 2 Viết ba phân số cùng biểu diễn số hữu tỉ 0 75 ,

4.17 Dạng 3 Tính nhanh các tổng sau đây:

4.23 Dạng 3 Tính các tích sau biết rằng a b 2 3 : ,

a) a.( ;b)

c) a.(2 ;b)

b) (a).( ;b)d) (3a).(2 b)

4.24 Dạng 3 Có thể kiểm tra rằng: 227 2 193 7,  , 33 5, Sử dụng kết quả này để tính:

4.25 Dạng 4 Cho a2 5, ; b 6 7, ; c3 1, ; d 0 3, , hãy tính và so sánh các hiệu sau:

a) a  và b a b  ;

c) b và d  b ( )d ;

e) a và b    ;b ( a)

b) b  và d b d  ;d) b  và c b c  ;

f) c và a c ( a) -

§5, § 6 LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc N của một số hữa tỉ x , kí hiệu n

x , là tích cuat n thừa số x (n là một số

tự nhiên lớn hơn 1): n 

n

x  x x x (x, n, n1) Quy ước: x1x x; 0 1 (x0 )

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng ( , a a b , b )

b   0 , ta có:

n n n

2 Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

• x x m n x m n (Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai

4 Lũy thừa của một tích

• ( )x y nx y n n (Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

5 Lũy thừa của một thương

n n n

4 ;(0 2 ; (, )2 5 3 , )0

Đáp số

Đố: Hãy chọn hai chữ số sao cho có thể viết hai chữ số đó thành một lũy thừa để được kết quả là

số nguyên dương nhỏ nhất (Chọn được càng nhiều càng tốt)

a) Viết các số 2 và 27 3 18 dưới dạng các lũy thừa có số mũ là 9.

b) Trong hai số 2 và 27 318, số nào lớn hơn?

2 8

14 8

Cho x và x  0 Viết x10 dưới dạng:

a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một số thừa số là x7

.b) Lũy thưà của x2

.c) Thường của hai lũy thừa trong đó số bị chia là x12

  0 (Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa)

Các công thức trên còn được sử dụng theo chiều từ trái sang phải:

• x y n n( )x y n (Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng số mũ)

• (y )

n n

b) 10 28: 8e) 27 252: 3

Dạng 5 TÍM SỐ MŨ CỦA MỘT LŨY THỪA

3 3

Dạng 6 TÍM CƠ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA

Nếu x 2 5, , chia hai vế cho (x2 5, )20, ta được: (x2 5, )2 1

Suy ra: x2 5 1 ,  hoặc x2 5,  1

4 4

( , )( , )

5 6

0 6

5.6 Dạng 2 Điền số thích hợp vào ô vuông:

2 2

6.21 Dạng 4 Cho số b31001.71002.131003 Tìm chữ số hàng đơn vị của số b

 4

422

B 0 8 56

0 4

• Viết các số hữa tỉ dưới dạng phân số.

• Thực hiện phép chia phân số

Ví dụ 1 (Bài 44 tr 26 SGK)

Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên

a) 1 2 3 24, : ,

b) 1 3:2

2

0 427

Hướng dẫn

a) 1 2 3 24, : , 12 324: 12 100 10

10 100 10 324 27 b) 21 3: 44 15:

• Nếu hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

• Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho, trước hết phải lập được đẳng

thức dạng ad bc Sau khi có đẳng thức này, áp dụng tính chất 2 để lập các tỉ lệthức

Câu trả lời đúng là câu C

D ạng 4 TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT CỦA MỘT TỈ LỆ THỨC

7 1 612

Ta có tỉ lệ thức: , ,

,

x x

Tên một tác phẩm nổi tiếng của Hưng Đạo Vương Trần Quốc Tuấn

Điền số thích hợp vào ô vuông dưới đây để có tỉ lệ thức Sau đó, viết các chữ số tương ứng với các số tìm được vào các ô ở hàng dưới cùng của bài em sẽ biết được tên của tác phẩm nổi tiếng của Hưng Đạo Vương Trần Quốc Tuấn 1228 1300 , v  ị anh hùng

của dân tộc ta đồng thời là danh nhân quân sự của thế giới

3

113

34

Đố: Tỉ số

16

515

ab a

7.2 Dạng 2 Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?

a) 3:

6

5 và :

48

7.3 Dạng 3 Có thể lâp được tỉ lệ thức từ các số sau không?

a) 2 5 7 5, : , x: ;3

5 b) 22:x17: , 0 2

7.9 Dạng 4 Tìm x trong tỉ lệ thức:

a) 34 :40 8 0 25, : x

6c) x: ,2 5 0 003 0 75 , : ,

§8 TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

2 Khi nói các số , ,x y z tỉ lệ với các số , ,a b c tức là ta có: x y z

Ta có: x y xy  



162

Hai lớp A 7 và B7 đi lao động trồng cây Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp A7 và

lớp B7 là ,0 8 và lớp B7 trồng nhiều hơn lớp A7 là 20 cây Tính số cây mỗi lớp đã trồng

Số học sinh khối bốn , , ,6 7 8 9 tỉ lệ với các số ; ; ;9 8 7 6 Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số

học sinh khối 7 là 70 học sinh Tính học sinh mỗi khối

D ạng 2 CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC

Ta phải chia số 44 thành ba phần tỉ lệ với ;2 4 và 5

Đáp số Số viên bi của Minh, Hùng, Dũng theo thứ tự là ;8 16 20 ;

Ví d ụ 7 Ba người thỏa thuận góp vốn để lập cơ sở sản xuất theo tỉ lệ ; ;3 5 7 Hỏi mỗi người góp

bao nhiêu, biết rằng số vốn cần huy động là 120 triệu đồng

Đáp số x16; y24; z30

D ạng 3 TÌM HAI SỐ BIẾT TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

Ví d ụ 10 Một miếng đất hình chữ nhật diện tích ,76 95m2 có chiều rộng bằng 5

19 chiều dài Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó

Hướng dẫn

Gọi chiều rộng là x , chiều dài là y thì ta có: x y 76 95 và , x

y 519

Đáp số Chiều rộng: , m4 5 ; chiều dài , m17 1

D ạng 4 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỪ MỘT TỈ LỆ THỨC CHO TRƯỚC

D ạng 5 THAY TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ HỮU TỈ BẰNG TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ NGUYÊN Phương pháp giải

• Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số

• Thực hiện phép chia phân số

8.7 Dạng 2 Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số , , 3 5 7 Tính mỗi cạnh của tam

giác đó, biết chu vi của nó là , cm40 5

8.14 Dạng 2 Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235m3 Biết rằng thời

gian để bơm được m1 3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút và 5 phút Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?

8.15 Dạng 2 Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh Số học sinh lớp B7 bằng 8

9 số học sinh lớp A7 ,

số học sinh lớp C7 bằng 17

16 số học sinh lớp B7 Tính số học sinh của mỗi lớp

8.16 Dạng 2 Tỉ số của hai số bằng :4 5 Nếu thêm ,1 2 vào số thứ nhất thì tì số của chúng sẽ

bằng :11 15 Tìm hai số đó

§9 SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN.

A TÓM T ẮT LÝ THUYẾT

1. Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

2. Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân

số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

3. Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn Ngượclại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ

B CÁC D ẠNG TOÁN

D ạng 1 NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN HỮU

H ẠN HOẶC VÔ HẠN TUẦN HOÀN

Phương pháp giải

• Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu dương

• Phân tích mẫu dương đó ra thừa số nguyên tố

• Nhận xét: nếu mẫu này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết đượcdưới dạng số thập phân hữu hạn; nếu mẫu này có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số

đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví d ụ 1 Trong hai phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phận số

nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

Trong các phân số sau đây phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số nào

viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ? Viết dạng thập phân của các phân số đó

Các phân số đã cho viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn vì chúng tối giản và các

mẫu của chúng có ước nguyên tố khác 2 và 5 :

Cho

A 3

2

Hãy điền vào ô vuông một số nguyen tố có một chứ số để A viết được dưới dạng số thập phân

hữu hạn Có thể điền mấy số như vậy ?

a) Trong các phân số sau đây, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân

số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ? Giải thích

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia :a b

Ví d ụ 7 Bài 68 tr.34 SGK

dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương ( viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn )

của các phép chia sau :

• Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số có tử là số nguyên tạo bởi phần nguyên

và phần thập phân của số đó, mẫu là một lũy thừa của 10 với số mũ bằng số chữ số ở phần

thập phân của số đã cho;

• Rút gọn phân số nói trên

Để giải dạng toán này cần có kiến thức bố sung sau đây:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0 31 ; , 

gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0 3 13 ,  

Phần thập phân đứng trước chu kỳ gọi là phần bất thường

Người ta đã chứng minh được các quy tắc sau:

a) Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta

lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của hukì

Ví dụ: 0 31,  31; ,1 3 1311

b) Muốn viết phần thập phân của số thập vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số

gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các

Đặt a0 31, 0 313131, 0 313131 ,

Suy ra: 100a a 31 313131, 0 313131 ,

a a





99 313199

Để viết 0 3 13 ,   dưới dạng phân số có thể làm như sau:

735, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân

hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ? Giải thích

9.2 Dạng 2 Viết các phân số sau đây dưới dạng số thập phân : 8 ; ; ; .17 4 5