Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số nguyễn tất thu

SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP.....

SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI

Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong

Giáo viên thӵc hiӋn

NGUYӈN TҨT THU

Năm hӑc: 2008 – 2009

MӨC LӨC

MӨC LӨC 1

LӠI MӢ ĈҪU 3

I SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT 4

II SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ 24

III ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP 30

BÀI TҰP ÁP DӨNG 41

KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ 45

TÀI LIӊU THAM KHҦO 46

LӠI MӢ ĈҪU

Trong chѭѫng trình toán hӑc THPT các bài toán liên quan ÿӃn dãy sӕ là mӝt phҫnquan trӑng cӫa ÿҥi sӕ và giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn khi giҧi các bài toán liên qua ÿӃn dãy sӕ và ÿһc biӋt là bài toán xác ÿӏnh công thӭc sӕ hҥng tәngquát cӫa dãy sӕ Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp bài toán khi ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc công thӭc tәngquát cӫa dãy sӕ thì nӝi dung cӫa bài toán gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt Do ÿó xác ÿӏnh công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh trong các bài toán dãy sӕ

Chuyên ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ”

nhҵm chia sҿ vӟi các bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trong quá trình hӑc tұp và giҧng dҥy

Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc :

I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây d͹ng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙

có d̩ng công thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t.

II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙

III: Ͱng dͭng cͯa bài toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ bài toán v͉ dãy s͙ - t͝ hͫp

Mӝt sӕ kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ này ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, tuy nhiên trong chuyên ÿӅ các kӃt quҧ ÿó ÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn và ÿѭӧc sҳp xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp các em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn và phát triӇn tѭ duy cho các em hӑc sinh

Trong quá trình viӃt chuyên ÿӅ, chúng tôi nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt thành cӫa BGH và quý thҫy cô tә Toán Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong Chúng tôi xin ÿѭӧc bày tӓ lòng biӃt ѫn sâu sҳc

Vì năng lӵc và thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót Rҩt mong quý Thҫy – Cô và các bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm và góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt hѫn

MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ

I SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ

DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.

Trong mөc này chúng tôi xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy

sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên

các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp Trѭӟc hӃt

chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC

1 Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng và cҩp sӕ nhân

1 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân

Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ  U có tính chҩt N U N+ =Q U ÅÅÅN ∀ ∈ ` gӑi là cҩp sӕ nhân côngN

bӝi Q

Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN  U có công bӝi Q Ta có: N U N = U Q N− (3)

Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3 N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN U có công bӝi Q Ta có: N



N N

Q

3 U

Q

= (4)

2 Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt

Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ  U N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

Ta thҩy dãy U là mӝt CSN có công bӝi N Q = Ta có: U N = N−

Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy  U N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

 



 

− = − + ? Ta có thӇ làm nhѭ sau:

Dҥng 1: Dãy sӕ  U N U = X ÅU N =AU N− + ∀ ≥ ( BÅ N  A B ≠ là các hҵng sӕ) cóCTTQ là:

Chú ý : 1) ĈӇ phân tích ÿѭӧc ÿҷng thӭc (2), ta làm nhѭ sau:

U AU − F N N

­°

® = + ∀ ≥

°¯ , trong ÿó  F N

là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N , ta xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau:

Phân tích  F N = G N −AG N − (3) vӟi   G N cNJng là mӝt ÿa thӭc theo N Khi ÿó ta

có: U N −G N =A Uª¬ N− −G N − º¼ = =A N− ª¬U −G º¼

Vұy ta có: U N = ª¬U −G º¼A N− +G N

Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh  G N nhѭ thӃ nào ?

Ta thҩy :

*NӃu A = thì   G N −AG N − là mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa   G N mӝt bұc và

không phө thuӝc vào hӋ sӕ tӵ do cӫa  G N , mà  F N là ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta

chӑn  G N là ÿa thӭc bұc K + , có hӋ sӕ tӵ do bҵng không và khi ÿó ÿӇ xác ÿӏnh   G N

thì trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N bҩt kì ta ÿѭӧc hӋ K + phѭѫng trình,giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc các hӋ sӕ cӫa  G N

* NӃu A ≠ thì   G N −AG N − là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi   G N nên ta chӑn  G N là

ÿa thӭc bұc K và trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N thì ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc



G N

Vұy ta có kӃt quҧ sau:

Dҥng 2: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:  

ÿó  F N là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N ; A là hҵng sӕ Ta làm nhѭ sau:

Ta phân tích:  F N = G N −A G N  − vӟi   G N là mӝt ÿa thӭc theo N Khi ÿó, ta ÿһt

−

Gӑi X X là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình :   X −AX + =B ÅÅÅ ( phѭѫng trình này ÿѭӧc gӑi là phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy)

• Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh  G N nhѭ thӃ nào ÿӇ có (6) ?

Vì  F N là ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn  G N sao cho  G N +AG N − + BG N − là

mӝt ÿa thӭc bұc K theo N Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K + giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁxác ÿӏnh ÿѭӧc  G N

Giҧ sӱ G N =A N M M +A M−N M− + + A N A +  A M ≠ ) là ÿa thӭc bұc M Khi ÿó hӋ

™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, thì  G N là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi  F N

™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, trong ÿó mӝt nghiӋm bҵng  thì ta chӑn

  

G N = N H N trong ÿó  H N là ÿa thӭc cùng bұc vӟi  F N

™ NӃu (1) có nghiӋm kép X = thì ta chӑn  G N = N H N   trong ÿó  H N là ÿa thӭc

Vұy ta có kӃt quҧ sau:

Dҥng 7: Cho dãy sӕ U xác ÿӏnh bӣi: N  

=+ .Å

• NӃu X = là nghiӋm kép cӫa (11) thì : α    



N N

Ta biӃn ÿәi ÿѭӧc: X N −P S X+ N− +PS QR X− N− = tӯ ÿây ta xác ÿӏnh ÿѭӧc  X , N

thay vào hӋ ÿã cho ta có ÿѭӧc Y N

Chú ý : Ta có thӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ trên theo cách sau:

Ta ÿѭa vào các tham sӕ phө λ, 'λ  

X U

Giҧi: Bài toán này không còn ÿѫn giҧi nhѭ bài toán trên vì ӣ trên tӱ sӕ còn hӋ sӕ tӵ do,

do ÿó ta tìm cách làm mҩt hӋ sӕ tӵ do ӣ trên tӱ sӕ Muӕn vұy ta ÿѭa vào dãy phө bҵng cách ÿһt U N = X N + Thay vào công thӭc truy hӗi, ta có:T

Theo kӃt quҧ bài toán trên, ta có:

X U

II SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ

NhiӅu dãy sӕ có công thӭc truy hӗi phӭc tҥp trӣ thành ÿѫn giҧn nhӡ phép thӃ lѭӧng giác Khi trong bài toán xuҩt hiӋn nhӳng yӃu tӕ gӧi cho ta nhӟ ÿӃn nhӳng công thӭc lѭӧng giác thì ta có thӇ thӱ vӟi phѭѫng pháp thӃ lѭӧng giác Ta xét các ví dө sau



N N

= Thұt vұyÅ

• Vӟi   COS  COS



N N

= + ∀ ≥ Trong ÿó A là nghiӋm (cùng dҩu

vӟi U ) cӫa phѭѫng trình :  A −U A + = Vì phѭѫng trình này có hai nghiӋm có tích bҵng  nên ta có thӇ viӃt CTTQ cӫa dãy nhѭ sau



N N

U U

 TAN



N N

N

U U

U

ππ

N

N

U

U U

X U

III ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ

BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP

Trong mөc này chúng tôi ÿѭa ra mӝt sӕ ví dө các bài toán vӅ dãy sӕ và tә hӧp mà quá trình giҧi các bài toán ÿó chúng ta vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ ӣ trên

Ví dͭ 3.1: Cho dãy sӕ (a n) :a0 =0,a1 =1,a n+1 =2a n −a n−1+1 ∀ ≥ Chӭng minh n 1rҵng ! = A A N N+ + là sӕ chính phѭѫng 

Nh̵n xét: Tӯ bài toán trên ta có kӃt quҧ tәng quát hѫn là: X P−# vӟi P là sӕ nguyên tӕ P

Gӑi K là sӕ nguyên dѭѫng nhӓ nhҩt thӓa mãn  K − # Vì    − # Ÿ  K#

Vӟi H = ta dӉ dàng chӭng minh ÿѭӧc U N H+ ≡U NMOD ÅÅ∀ ≥ N 

X X

A A

− +

* NӃu P = Ÿ X +Y =  # Ÿ =P  không thӓa yêu cҫu bài toán

* NӃu P = Ÿ X +Y = − không chia hӃt cho  Ÿ = thӓa yêu cҫu bài toán.P 

* NӃu P = ta thҩy cNJng thӓa yêu cҫu bài toán.

* NӃu P > Ÿ −   P− ≡ MOD P Ÿ X P +Y P ≡ MOD P

Vұy P =  P = là hai giá trӏ cҫn tìm 

Y Y

T T

 Å Cҫn có thêm ÿiӅu kiӋn gì ÿӕi vӟi X ÿӇ dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ? 

 Å Dãy sӕ này có tuҫn hoàn không ? Tҥi sao ? (HSG Qu͙c Gia 1990)



N

N K X

< < là ÿiӅu kiӋn cҫn phҧi tìm

 Å Dӵa vào kӃt quҧ trên ta có:

Ví dͭ 3.13: Trong mp cho N ÿѭӡng thҷng, trong ÿó không có ba ÿѭӡng nào ÿӗng quy và

ÿôi mӝt không cҳt nhau Hӓi N ÿѭӡng thҷng trên chia mһt phҷng thành bao nhiêu miӅn ?

Giҧi: Gӑi A là sӕ miӅn do N ÿѭӡng thҷng trên tҥo thành Ta có: N A = 

Ta xét ÿѭӡng thҷng thӭ N + (ta gӑi là D ), khi ÿó D cҳt N ÿѭӡng thҷng ÿã cho tҥi N

ÿiӇm và bӏ N ÿѭӡng thҷng chia thành N + phҫn, ÿӗng thӡi mӛi phҫn thuӝc mӝt miӅn cӫa A Mһt khác vӟi mӛi ÿoҥn nҵm trong miӅn cӫa N A sӁ chia miӅn ÿó thành 2 miӅn, N

nên sӕ miӅn có thêm là N + Do vұy, ta có: A N+ =A N + +N 

Ví dͭ 3.14: Trong không gian cho N mһt phҷng, trong ÿó ba mһt phҷng nào cNJng cҳt

nhau và không có bӕn mһt phҷng nào cùng ÿi qua qua mӝt ÿiӇm Hӓi N mһt phҷng trên

chia không gian thành bao nhiêu miӅn ?

Giҧi:

Gӑi B là sӕ miӅn do N mһt phҷng trên tҥo thành N

Xét mһt phҷng thӭ N + (ta gӑi là   0 ) Khi ÿó  0 chia N mһt phҷng ban ÿҫu theo N

giao tuyӃn và N giao tuyӃn này sӁ chia  0 thành   



N N ++ miӅn, mӛi miӅn này nҵmtrong mӝt miӅn cӫa B và chia miӅn ÿó làm hai phҫn.Vұy N

Ví dͭ 3.15: Trong mӝt cuӝc thi ÿҩu thӇ thao có M huy chѭѫng, ÿѭӧc phát trong N ngày

thi ÿҩu Ngày thӭ nhҩt, ngѭӡi ta phҩt mӝt huy chѭѫng và 

 sӕ huy chѭѫng còn lҥi Ngày thӭ hai, ngѭӡi ta phát hai huy chѭѫng và 

 sӕ huy chѭѫng còn lҥi Nhӳng ngày

còn lҥi ÿѭӧc tiӃp tөc và tѭѫng tӵ nhѭ vұy Ngày sau cùng còn lҥi N huy chѭѫng ÿӇ phát

Hӓi có tҩt cҧ bao nhiêu huy chѭѫng và ÿã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967)

Giҧi: Gӑi A là sӕ huy chѭѫng còn lҥi trѭӟc ngày thӭ K K ŸA = , khi ÿó ta có: M

Ví dͭ 3.16: Có bao nhiêu xâu nhӏ phân ÿӝ dài N trong ÿó không có hai bit 1 ÿӭng cҥnh

X Y ∈ sao cho ! X + =Y N + (ta gӑi tұp ! có tính chҩt 4 ) 

Gӑi A là sӕ tұp con ! cӫa tұp N {   N có tính chҩt 4}

Khi ÿó các tұp con !⊂{   N N +} ÿi mӝt ÿѫn

vӏ ta ÿѭӧc tұp [    ]N và   X Y ∈! X+Y = N + )

Hѫn nӳa vӟi mӛi tұp ! ta có ÿѭӧc ba tұp ! (bҵng cách ta chӑn ! là  ! hoһc []∪!hoһc [N +]∪!)

Do vұy: A N+ = A N +N ŸA N = N −N

Vұy sӕ tұp con thӓa mãn yêu cҫu bài toán là: N −A N = N

Bài tұp áp dөng Bài 1: Tìm CTTQ cӫa các dãy sӕ sau

Bài 5: Cho dãy X N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi  

 A N + có thӇ biӇu diӉn thành tәng bình phѭѫng cӫa

ba sӕ nguyên liên tiӃp vӟi ∀ ≥ (TH&TT T6/262) N 

Bài 8: Cho dãy sӕ{ }P N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau:  P =

X X X

+ +

∀ ≥ Hãy tìm CTTQ cӫa X (TH&TT T8/298) N

Bài 12: Cho dãy sӕ A N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: 

Bài 13: Cho dãy sӕ A N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi :

  Å   Å

A = A = A N = N N + N +  Ĉһt 3 N =A +A + + A N Chӭng minh rҵng 3 N + là sӕ chính phѭѫng 

Chӭng minh rҵng các dãy A và  N B có cùng mӝt giӟi hҥn chung khi N N → +∞

Tìm giӟi hҥn chung ÿó ( HSG Qu͙c Gia – 1993 B̫ng A ngày thͱ 2)

Bai 15: Cho các sӕ nguyên A B Xét dãy sӕ nguyên  A N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau

Bài 20: Có N tҩm thҿ ÿѭӧc ÿánh sӕ tӯ  ÿӃn N Có bao nhiêu cách chӑn ra mӝt sӕ thҿ

(ít nhҩt 1 tҩm) sao cho tҩt cҧ các sӕ viӃt trên các tҩm thҿ này ÿӅu lӟn hѫn hoһc bҵng sӕtҩm thҿ ÿѭӧc chӑn

Bài 21: Cho dãy U N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

+ + + ≥ + « − »

¬ ¼ (HSG Qu̫ng Bình 2008 – 2009 )

Bài 22: Cho dãy ÿa thӭc : 0 X = X −X + và   0 X N = 0 0   0 X N lҫn Tìm

sӕ nghiӋm cҧu 0 X và  0 X ? (D͹ tuy͋n Olympic) N

Bài 23: Xác ÿӏnh hӋ sӕ X trong khai triӇn chính quy cӫa ÿa thӭc 

3) Tҥo ÿѭӧc sӵ hӭng thú cho hӑc sinh khi hӑc vӅ bài toán dãy sӕ.

4) Là tài liӋu tham khҧo cho hӑc sinh và giáo viên

5) Qua ÿӅ tài giáo viên có thӇ xây dӵng các bài toán vӅ dãy sӕ

Bên cҥnh nhӳng kӃt quҧ thu ÿѭӧc, chuyên ÿӅ còn mӝt sӕ hҥn chӃ sau:

1) Trong chuyên ÿӅ chѭa xây dӵng ÿѭӧc phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕdãy sӕ mà các hӋ sӕ trong công thӭc truy hӗi biӃn thiên

2) Chѭa ÿѭa vào mӝt sӕ phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ dӵa vào mӝt sӕ kiӃnthӭc liên quan ÿӃn Toán cao cҩp nhѭ phѭѫng pháp hàm sinh

Hy vӑng các ÿӗng nghiӋp sӁ phát triӇn, mӣ rӝng và khҳc phөc mӝt sӕ hҥn chӃ nói trên

TÀI LIӊU THAM KHҦO

[1] Ĉҥi Sӕ và Giҧi Tích lӟp 11 Nâng Cao

[2] Các bài thi Olympic Toán THPT ViӋt Nam, Tӫ sách TH&TT – NXB GD 2007[3] Mӝt sӕ bài toán chӑn lӑc vӅ dãy sӕ , NguyӉn Văn Mұu, NXBGD – 2003

[4] Các phѭѫng pháp ÿӃm nâng cao, Trҫn Nam DNJng

không phө thu? ?c vào hӋ sӕ tӵ cӫa  G N , mà  F N ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta

chӑn  G... thҷng ÿã cho tҥi N

ÿiӇm bӏ N ÿѭӡng thҷng chia thành N + phҫn, ÿӗng thӡi mӛi phҫn thu? ?c mӝt miӅn cӫa A Mһt khác vӟi mӛi ÿoҥn nҵm miӅn cӫa N A sӁ chia miӅn ÿó thành... viên

5) Qua ÿӅ tài giáo viên có thӇ xây dӵng toán vӅ dãy sӕ

Bên cҥnh nhӳng kӃt quҧ thu ÿѭӧc, chuyên ÿӅ mӝt sӕ hҥn chӃ sau:

1) Trong chuyên ÿӅ chѭa xây dӵng ÿѭӧc phѭѫng pháp