Tổng hợp công thức Toán 11 - 12 luyện thi THPT

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC xứng qua đường a là phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng M qua a hình Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox biến điểm Mx;y thành M’x’;y’ ta có: B

MỤC LỤC

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN THI THPT QUỐC GIA 4

I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 17

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 18

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 19

IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 19

V. BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 20

VI. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 20

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 20

VII. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 21

MŨ VÀ LÔGARIT 21

I LŨY THỪA 21

II HÀM SỐ LŨY THỪA 22

III LÔGARIT 22

IV HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 22

1) Hàm số mũ y a x (a > 0, a  1) 22

2) Hàm số logarit yloga x (a > 0, a  1) 23

3) Giới hạn đặc biệt 23

4) Đạo hàm 23

V PHƯƠNG TRÌNH MŨ 23

1 Phương trình logarit cơ bản 23

VI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 24

VII HỆ MŨ-LÔGARIT 24

VIII CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ 24

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 24

1) Bài toán lãi suất 24

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi T sau n tháng? 24

Tháng n (n = n): A = a(1 + r) n – 1 + a(1 + r) n – 1 r = a(1 + r) n 24

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng 24

b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng là m% Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền? 24

I. ĐA DIỆN 27

II ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU 27

III THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 28

1

IV. TỈ SỐ THỂ TÍCH 28

V. KHOẢNG CÁCH 28

VI. GÓC 29

VIII HÌNH NÓN - KHỐI NÓN 30

IX. HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 30

X MẶT CẦU – KHỐI CẦU 31

HÌNH OXYZ 33

I TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ 33

II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 33

III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 33

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 34

V KHOẢNG CÁCH 34

VI GÓC 34

VII VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐIỂM, MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU 34

TỔNG HỢP CÔNG THỨC VẬT LÍ 36

THI THPT QUỐC GIA 36

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÓA HỌC 54

THI THPT QUỐC G 54

TỔNG HỢP KIẾN THỨC SINH HỌC 130

THI THPT QUỐC GIA 130

TỔNG HỢP 144

NGỮ PHÁP TIẾNG ANH 144

THI THPT QUỐC GIA. 144

2

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN THI THPT QUỐC GIA

4

- dấu “=” xảy ra khi a = b

- dấu “=” xảy ra khi a = b = c

thực):

Dấu “=” xảy ra khi ad = bc

Dấu “=” xảy ra khi

Cách giải: Chia hai vế cho và sau đó đưa

về phương trình lượng giác cơ bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx

và giải phương trình bậc hai theo t

6

2 Định lý hàm số sin:

3 Công thức tính độ dài trung tuyến:

4 Công thức độ dài đường phân giác trong:

trong đó: r: bán kính đường tròn nội tiếp

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp

- Viết phương trình các đường giới hạn hình phằng

 Phép biến hình : phép biến hình ( trong mặtphẳng ) là một quy tắc đặt tương ứng với mọiđiểm M thuộc mặt phẳng, xác được một điểmduy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’ gọi

là ảnh của điểm M qua phép biến hình

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH

 Định nghĩa phép tĩnh tiến : Phép tịnh tiến

theo vecto là một phép biến hình biến MthànhT M’ sao cho = Phép tịnh tiến theovevto u thường được ký hiệu là T hoặc

Vecto u được gọi là vecto tịnh tiến.

7

 Tính chất của phép tịnh tiến :

Định lí 1 : Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và

N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’

= MN

Định lí 2 : Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng

thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự ba điểm đó

 Hệ quả : Phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán

kính, biến góc thành góc bằng nó

mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, chô phép

tịnh tiến theo vecto

Biết tọa độ của u là (a,b) Giả sử điểm M

(x;y) biến thành điểm M’(x’;y’) Khi đó ta có :

không làm thay đổi khoảng cách giữa hai

điểm bất kì

hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường

thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán

kính, biến góc thành góc bằng nó

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

xứng qua đường a là phép biến hình mỗi điểm

M thành điểm M’ đối xứng M qua a

hình

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox

biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) ta có:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oybiến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) ta có:

gọi là trục đối xứng của hình H nếu là phépđối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H)=H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

điểm O cố định và góc lượng giác  khôngđổi.Phép biến hình biến điểm O thành điểm O,biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ saocho OM=OM’ và (OM,OM’)= được gọi làphép quay tâm O góc quay 

O là một phép biến hình biến mỗi điểm Mthành điểm M’ đối xứng M qua O, có nghĩa là

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, chocác phép xứng tâm I(a;b) Gỉa sử điểm M(x;y)biến thành điểm M’(x’;y’) Khi đó ta có:

tâm đối xứng của một hình H nếu phép đốixứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức

là Đo(H)=H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:

 Định lý: Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giácbằng nhau thì có phép dời hình biến tam giácABC thành tam giác A’B’C’

 Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tamgiác bằng nhau khi có phép dời hình biến tamgiác này thành tam giác kia

Tọa độ điểm I được xác định bởi:

I

Tọa độ điểm G được xác định bởi:

- Hai điểm M(x1;y1) và M’(x2;y2) nằm khác phía

- Phương trình tiếp tuyến của (E ) tại

- Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x o ;y o )

(Δ):Ax+By+C=0

2AC = B2p

II.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN:

1 Tích có hướng của hai vecto:

a Định nghĩa: cho hai vecto

CÁC ỨNG DỤNG:

-b Mặt phẳng

Dạng 1: Ax+By+Cz+D=0 Dạng 2:

tuyến của 2 mặt phẳng khác:

(Ax+By+Cz+D)+(A’x+B’y+C’z+D’)=0Trong đó

=

0

z z c

4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt

phẳng trong không gian: trong không gian cho :

M

M M u d

nhau:

6 Góc:

Gọi là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta

có:

: ( ; ; )' : ' ( '; '; ')

Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

: ( ; ; )( ) : ( ; ; )

11

Tiên đề 3 : Một đường thẳng có điểm phân biệt

thuộc một mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc

mặt phẳng

Tiên đề 4 : Hai mặt phẳng phân biệt có một

điểm chung thì có chung một đường thẳng đi

qua điểm chung ấy

- Cách xác định đường thẳng và mặt phẳng

:

1/ Một điểm được xác định bởi hai đường thẳng

cắt nhau A= a b

2/ Một mặt phẳng được xác định bởi 1 trong các

điều kiện sau :

a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC)b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng (α) = (a, A)

c/ Hai đường thẳng cắt nhau (α) = (a, b) d/Hai đường thẳng song song a//a’ (α) = (a, a’)

Quan hệ song song :

1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung

2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mp (a) thì d song song với

mp (a)3/ Nếu d//a, mặt phẳng nào chứa đường thẳng d vàcắt α theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũngsong song với d

4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng

d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng songsong với d

5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’

6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia

7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của

2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao tuyến mới song song nhau

8/ Nếu α//β thì α song song với mọi đường thẳng nằm trong β

9/ Nếu α chứa hai đường thẳng cắt nhau cúng song song với β thì α//β

12

10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào

cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ

hai và hai giao tuyến song song nhau

Quan hệ vuông góc

1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng

thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt

phẳng

2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì

cũng sẽ vuông góc với mp (P)

3/ Có 2 đường thẳng song song, đường thẳng nào

vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng

vuông góc với đường thẳng thứ hai

4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc

chéo nhau

5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một

mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba

thì song song nhau

6/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau thuộc mp (P) thì d vuông góc với (P)

7/ Có 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào

vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông

góc với mặt phẳng thứ hai

8/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1

đường thẳng thì song song nhau

9/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với

một mặt phẳng thì song song nhau

10/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa

đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng

khác thì song song nhau

11/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song

song,mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì

cũng vuông góc với mặt phẳng

12/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào

nằm trong 1 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyếnthì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

13/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

14/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng sẽ cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song

so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d3/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α là độ dài đoạn OH vuông α

4/ Khoảng cách từ O đến α là ngắn nhất so với cáckhoảng cách từ O đến mọi điểm trên α

5/ Khoảng cách giữa d // α là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên d đến α

6/ Khoảng cách giữa β//α là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên β đến α

13

7/ Khoảng cách giữa 2 đường thằng chéo nhau là

độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường

thằng

8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α là góc

nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống α

9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc

nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai

đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ

10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng ấy

11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi 2 đường

thẳng nằm trong 2 mặt phẳng của nhị diện cùng

vuông góc với giao tuyến

12/ Đoạn vuông góc chung của 2 đừng thẳng chéo

nhau và :

- Dựng mặt phẳng α chứa và song song với

- Tìm hình chiếu d’ của lên α, d’ cắt tại N

- Từ N vẽ đường vuông góc với α tại M

k n

n C

+) f x'  0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f x'  0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

+) Tính f x' 

, giải phương trình f x'  0 tìm nghiệm

+) Lập bảng xét dấu f x' 

.+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x m ,  đơn

điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a b,

x c

x c

a

�

� � �

�+) Để hàm số nghịch biến trên R

+) nếu f x' 0 0 hoặc f x' 

không xác định tại x và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua0

0

x thì x là điểm cực đại của hàm số.0

+) nếu f x' 0 0 hoặc f x' 

không xác định tại x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua0

+) giải phương trình f x'  0 tìm nghiệm.

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x

và kiểm tra từ đó suy kết luận

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

nghiệm phân biệt �  0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu � y' 0hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép � �0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu

A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B.+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được:

  '  

này là y Ax B chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

a b



�

� hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại

+) nếu

00

a b



�

� hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab0 (a và b trái dấu).

+) nếu

00

a b



�

� 

� hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

+) Nếu

00

a b



�

� 

� hàm số có 2 cực đại và 1 cựctiểu

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số

và A Oy� ,

  0; , B, B,  C, C, 0; B

.+) Tam giác ABC luôn cân tại A+) B, C đối xứng nhau qua Oy và,

x  x y  y  y

16

+) Để tam giác ABC vuông tại A:

uuur uuur

+) Tam giác ABC đều: ABBC

+) Tam giác ABC có diện tích S:

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b1

+) Tam giác ABC đều khi b33

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn

ngoại tiếp R khi 0

3 0

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn

nội tiếp r khi 0

2

1 1

b r

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm

2 Hàm số liên tục trên đoạn  a b,

thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này

17

3 Nếu hàm sồ f x 

đồng biến trên  a b,thì max f x   f b , min f x   f a 

y f x là hàm số liên tục trên D thì phương trình

có nghiệm khi min   max  

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là

nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử � bậc của mẫu có

m phân biệt hay

m képhay

x y

+) Để hàm số có 3 cực trị: ab0

- Nếu

00

a b



�

� 

� hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

a b

- Nếu ad bc  hàm số nghịch biến trên 0từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ:

d x c

 

và TCN:

a y c



+) Đồ thị có tâm đối xứng:

;

d a I

VII. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

   0 0

'

y f x x x y

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc

k k d

3 Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành

0

  a�0 a a0 1

20

a b �m

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ

0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n  a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a

có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

II HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Hàm số luỹ thừa yx ( là hằng số)

 = n (n nguyên dương)

n

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

n

yx D = R \ {0}

 là số thực không nguyên yx D = (0; +)

Chú ý:

 

1

0 1

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

lnbloge b (với lim 1 1 2,718281

+ Nếu 0 < a < 1 thìloga bloga c�b c

3 Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:

 log ( ) loga bc  a bloga c 

loga b loga b loga c

log

a b

a

c c

b



haylog loga b b cloga c



1log

1

0

1lim(1 ) lim 1

x x

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính

đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( )

1( ) ( )

VI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

log

a a

A

23

VII HỆ MŨ-LÔGARIT

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng

dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học

1) Bài toán lãi suất

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng

tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại

lượng khác như sau:

; (1 )n

T a

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m

m

a

+

2[(1+m) -1]

m

a

.m =2

[(1+m) -1]

m

a

(1+m)Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi

là Tn:

n n

T m a

n

T m

a n

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

PHÂN TÍCH

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi

là nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )

F x  f x , x  K

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì

họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

1ln

m

a

(1+m)

5) �sin x.dx cos x C

6) �cos x.dx sin x C 

7)

1sin(ax b)dx cos(ax b) C

1

(1 tan ) tancos x dx  x dx x C

10)

2 2

1

(1 cot ) cotsin x dx  x dx  x C

11) 2

tan( )cos (ax b)dx a ax b C



�

13)

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F làmột nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí

hiệu là

b a

f (x)dx

�

b a

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục

và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

b a

S�f (x)dx

2 Tính chất của tích phân



0 0

x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Thể tích của B là:

( )

b a

V �S x dx

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra

khi quay quanh trục Ox:

2( )

b a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình

phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:

(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

là:

2( )

d c

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b�R)

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ur( ; )a b

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi  là căn bậc hai của số phức

w a bi   z2   w

2 22

 Hai căn bậc hai của a < 0 là �a i.

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A,

1) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được

tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai

điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không

giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có

một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung

của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình

đa diện (H) Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo

thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H)

2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa

diện (H) được gọi là khối đa diện (H)

3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không

gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và

miền ngoài của (H) Trong đó chỉ có duy nhất miền

ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy

Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các

điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H)

Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó

1 Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu

đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H) Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diệnlồi

2 Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ

khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối vớimỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó

3 Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện

đều loại { p; q} nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q

mặt

4 Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác

đều và bằng nhau

27

5 Có năm loại khối đa diện đều Đó là các khối đa

diện đều loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại

{5;3}, và loại {3;5}

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa

diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối tứ

diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối

mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều

6 Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh

bằng nhau thì bằng nhau

7 Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng

dạng với nhau

1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện

tích đáy B thì thể tích tính theo công

2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều

cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao

trên đáy

a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính

là cạnh bên

b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường

cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy

c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của

mặt bên vuông góc đáy

d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa

giác đáy

e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh

xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ

4

b) Hình vuông cạnh a: S = a2 (a: cạnh hìnhvuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành ABCD: S = đáy  cao =

�AB.AD.sinBAD

SABC SA'B'C'

S

A'

B' C'

VSABM/VSABC = SA.SB.SM/SA.SB.SC=S M/SC

A

C

B S

M

chiếu của O trên ()

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng ()

tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì

2

+ nếu I là trung điểm của MN thìd(M;( )) d(N;( ))  

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử

OABC là tứ diện vuông tại O (

OAOB,OB OC, OC OA  ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)

u

�

 

uuuur rr với  là đường thẳng đi

qua A và có vectơ chỉ phương u

r

+

u u '.AA 'd( , ')

uur

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

a b c

a a a

+ d((),( ) ) = d(M,( ) ), trong đó M là điểm

bất kì nằm trên ()

+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song được quy về việc tính khoảng cách từ

một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với

a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b

+ Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn

vuông góc chung của a, b

+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng

đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song

song với nó

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó

* Đặc biệt

+ Nếu a thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vàb

vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P)

với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó

d(a, b) IH

+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC

thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là

đoạn vuông góc chung của AB và CD

3) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),

 = (P),(Q)�  Khi đó: S = S.cos

1 Thể tích khối lăng trụ:

V= B.h với B là diện tích đáy, h

là chiều cao

2) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c với a, b, c là ba kíchthước

3) Thể tích khối lập phương:

V = a3

với a là độ dài cạnh

30

xung quanh trục Δ với

góc β không thay đổi

được gọi là mặt nón tròn

xoay đỉnh O (hình 1)

+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt

nón

Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi

là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh

gọi là đường cao và

OM gọi là đường sinh

của hình nón

+ Hình tròn tâm I, bán

kính r = IM là đáy của

hình nón

3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol

IX. HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

1) Mặt trụ tròn xoay

+ Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ

và ℓ song song nhau, cách nhau mộtkhoảng r Khi quay mp(P) quanh trục cốđịnh Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ

+ Đường thẳng Δ được gọi là trục

+ Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh

+ Khoảng cách r được gọi là bán kínhcủa mặt trụ

2) Hình trụ tròn xoay

+ Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đườngthẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đườnggấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ + Đường thẳng AB được gọi là trục

31

+ Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

+ Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là

chiều cao của hình trụ

+ Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn

tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình

trụ

+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần

không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả

+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh

+ Diện tích toàn phần của hình

trụ: Stp=Sxq+Sđ=2πrh+2πr2

+ Thể tích khối trụ: V = Bh = πr2h

4) Tính chất:

+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi

một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường

tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng

chính là bán kính của mặt trụ đó

+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi

một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt

tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một

+ Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường

sinh → thiết diện là hình chữ nhật

+ Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một

đường sinh

+ Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ

X. MẶT CẦU – KHỐI CẦU

I Mặt cầu – Khối cầu:

1 Định nghĩa

 Mặt cầu: S(O; R)M OM R 

 Khối cầu: V(O; R)M OM R� 

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d =

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng  Gọi

Mặt cầu nội tiếp

Hình

đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện

đều nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ

Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy

và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường

tròn đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

 Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặtcầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó

 Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

– Xác định trục  của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

– Giao điểm của (P) và  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II Diện tích – Thể tích

32

I TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ

r rrr

IV. 12 a, ,b c

r r r không đồng phẳng

 a b c 0ٹ�r r r

V. 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:

XIX 3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp

O

z

x

y

y z

x z

x y

XLII d 12uuur1 nuur2

XLIII PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

L. d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện của mặt cầu (S)

LI tại M khi đó n

uur

=IMuuur)

LII 3 Nếu d(I, )<R thì  sẽ cắt mc(S) theo đường tròn

LIII (C) có phương trình là giao của  và (S) Để tìm tâm

LIV Hvà bán kính r của (C) ta làm như sau:

LV a Tìm r = R d I2- 2( , )

LVI b Tìm H: + Viết phương trình đường thẳng  qua I,

LVII.vuông góc với 

LVIII. + H=� (toạ độ điểm H là nghiệm của

LIX hệ phương trình  với )

uuuuur rr

LXV c Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

d(,’)=

0 0[ , '] '[ , ']

u u M M

u u

r ur uuuuuuuuruur ur

LXVI GÓC

LXVII 1 Góc giữa hai véc tơ u v,

r r:

LXIX 2 Góc giữa hai đường thẳng có các

vecto chỉ phương lần lượt là u v,

có các véc tơ pháp tuyến lần lượt là

LXXVII 1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng:

auuur

và M�( )d/ }36

XCIII d = R : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp

điểm, (): tiếp diện)

XCIV d < R : () cắt (S) theo đường tròn có

CXXIV CXXV CXXVI CXXVII CXXVIII CXXIX.

39

CXXXV q1;q2 (C) : độ lớn hai điện tích điểm

- Nguyên lý chồng chất điện trường

- Công của lực điện:

- Thế năng của một điện tích điểm q tại điểm

M trong điện trường:

diện thẳng của vật dẫn trong thời gian t(s)