Tuyển chọn 46 đề thi môn Toán vào lớp 10 chuyên

Tài liệu tổng hợp tuyển chọn 46 đề thi môn Toán vào lớp 10 chuyên từ khắp cả nước từ năm 2014 đến năm 2017. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để củng cố, rèn luyện kiến thức môn Toán, vượt qua kì thi tuyển vào lớp 10 trường chuyên với kết quả như mong đợi.

M c L c ụ ụ

Đ  s  1. Chuyên B c Ninh. Năm h c 2014­2015ề ố ắ ọ

Câu I. ( 1, 5 đi m )  ể

Cho phương trình  (1) , v i  n x , tham s  m .ớ ẩ ố

1) Gi i phả ương trình (1) khi m = 1

2) Xác đ nh giá tr  c a m đ  phị ị ủ ể ương trình (1) có hai nghi m xệ 1 , x2 sao cho  nh  nh t.ỏ ấ

1) M t ngộ ười đi xe đ p t  đ a đi m A đ n đ a đi m B , quãng đạ ừ ị ể ế ị ể ường AB dài 24km . Khi đi t  B tr  v  A ừ ở ề

người đó tăng v n t c thêm 4km so v i lúc đi , vì v y th i gian v  ít h n th i gian đi 30 phút . Tính v n ậ ố ớ ậ ờ ề ơ ờ ậ

t c c a xe đ p khi đi t  A đ n B .ố ủ ạ ừ ế

2 ) Gi i phả ương trình 

Câu IV . ( 3,0 đi m ) ể

Cho tam giác ABC có ba góc nh n và ba đọ ường cao AA’ , BB’ ,CC’ c t nhau t i H .V  hình bình hành ắ ạ ẽBHCD . Đường th ng qua D và song song v i BC c t đẳ ớ ắ ường th ng AH t i M .ẳ ạ

1) Ch ng minh r ng năm đi m A, B ,C , D , M cùng thu c m t đứ ằ ể ộ ộ ường tròn

2) G i O là tâm đọ ường tròn ngo i ti p tam giác ABC .Ch ng minh r ng BM = CD và góc BAM = góc ạ ế ứ ằOAC 

3) G i K là trung đi m c a BC , đọ ể ủ ường th ng AK c t OH t i G . Ch ng minh r ng G là tr ng tâm c a ẳ ắ ạ ứ ằ ọ ủtam giác ABC

Câu V .( 2, 0 đi m ) ể

1) Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c P = aị ỏ ấ ủ ể ứ 2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 

2) Có 6 thành ph  trong đó c  3 thành ph  b t k  thì có ít nh t 2 thành ph  liên l c đố ứ ố ấ ỳ ấ ố ạ ược v i nhau . ớ

Ch ng minh r ng trong 6 thành ph  nói trên t n t i 3 thành ph  liên l c đứ ằ ố ồ ạ ố ạ ược v i nhau.ớ

D a vào đ  th  ta có giao đi m c a d và (P) là 2 đi m M ( 1 ; 1); N ( ­2 ; 4 )ự ồ ị ể ủ ể

2) Do đ  th  ∆ c a hàm s  y = ax + b song song v i (d) y = ­x + 2ồ ị ủ ố ớ

G i x ( km /h ) là v n t c ngọ ậ ố ười đi xe đ p t   A ­> B ( x > 0 ) .ạ ừ

V n t c ngậ ố ười đó đi t  B­> A là: x + 4 (km/h)ừ

Th i gian ngờ ười đó đi t  A ­> B là:ừ

Th i gian ngờ ườ ối đ  đi t  B v  A là:ừ ề

Theo bài ra ta có:

=> x = 12 ( t/m ) . KL : V y v n t c c a ngậ ậ ố ủ ười đi xe đáp t  A đ n B là 12 km/h.ừ ế2) ĐKXĐ 0 ≤ x ≤ 1 Đ t 0 < a = ặ

=> t  giác ABMD n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính AD.

Ch ng minh tứ ương t  ta có t  giác AMDC n i ti p đự ứ ộ ế ường tròn đường kính AD

=> A, B ,C,D , M n m trên cùng m t đằ ộ ường tròn

2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD

+ Theo ph n 1) và BC//MD => góc BAM =góc OACầ

3)Ch ng minh OK là đứ ường trung bình c a tam giác AHD => OK//AH và OK = AH hay  (*)ủ

+ Ch ng minh tam giác OGK đ ng d ng v i tam giác HGA => , t  đó suy ra G là tr ng tâm c a tam giác ứ ồ ạ ớ ừ ọ ủABC

+ Xét thành ph  A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành ph  còn l i thì có ít nh t 3 thành ph  liên l c ố ố ạ ấ ố ạ

được v i A ho c có ít nh t 3 thành ph  không liên l c đớ ặ ấ ố ạ ược v i A ( vì n u s  thành ph  liên l c đớ ế ố ố ạ ược 

v i A cũng không vớ ượt quá 2 và s  thành ph  không liên l c đố ố ạ ược v i A cũng không vớ ượt quá 2 thì ngoài 

A , s  thành ph  còn l i cũng không vố ố ạ ượt quá 4 ) . Do đó ch  x y ra các kh  năng sau :ỉ ả ả

 Kh  năng 1 :ả

s  thành ph  liên l c đố ố ạ ược v i A không ít h n 3 , gi  s  B,C,D liên l c đớ ơ ả ử ạ ược v i A . Theo đ  bài trong 3 ớ ềthành ph  B,C,D có 2 thành ph  liên l c đố ố ạ ược v i nhau . Khi đó 2 thành ph  này cùng v i A t o thành 3 ớ ố ớ ạthành ph  đôi m t liên l c đố ộ ạ ược v i nhau .ớ

 Kh  năng 2 :ả

s  thành ph  không liên l c đố ố ạ ược v i A , không ít h n ,gi  s  3 thành ph  không liên l c đớ ơ ả ử ố ạ ược v i A là ớD,E,F . Khi đó trong b  3 thành ph  ( A,D,E) thì D và E liên l c độ ố ạ ược v i nhau ( v ì D,E không liên l c ớ ạ

được v i A )ớ

Tương t  trong b  3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên l c đự ộ ạ ược v i nhau , F và D liên l c đớ ạ ược v i nhau ớ

và nh  v y D,E,F l à 3 thành ph  đôi m t liên l c đư ậ ố ộ ạ ược v i nhau .ớ

V y ta có ĐPCMậ

Đ  s  2. Chuyên B n Tre. Năm h c: 2014­2015ề ố ế ọ

Câu 1: (2,5 đi m)ể

a) Rút g n bi u th c sau: ọ ể ứ

b) Cho bi u th c:  v i ể ứ ớ

i) Rút g n bi u th c B ọ ể ứ

ii) Tìm các giá tr  nguyên c a x đ  B nh n giá tr  nguyênị ủ ể ậ ị

Câu 2: (2,5 đi m)ể

Cho h  phệ ương trình v i là tham s ớ ố

a) Gi i h  v i m = 3. ả ệ ớ

b) Gi i và bi n lu n h  theo m. ả ệ ậ ệ

c) Tìm m nguyên đ  h  có nghi m là s  nguyên.ể ệ ệ ố

Câu 3: (2 đi m)ể

Cho phương trình b c hai:  (1), v i m là tham s ậ ớ ố

i) Gi i phả ương trình (1) khi m = 4

ii) Tìm các giá tr  c a m đ  phị ủ ể ương trình (1) có hai nghi m  th a mãn h  th c ệ ỏ ệ ứ

b) Cho AD=2R.Tính di n tích c a t  giác ABDC theo R ệ ủ ứ

c) G i O là tâm đọ ường tròn đường kính AD.Hãy tính di n tích hình viên phân gi i h n b i cung AMB và ệ ớ ạ ởdây AB theo R. d) G i K là giao đi m c a AB và MD,H là giao đi m c a AD và MC.Ch ng minh ba ọ ể ủ ể ủ ứ

đường th ng AM,BD,HK đ ng quy.ẳ ồ

+ m = –3: (I) có vô s  nghi m x ố ệ ∈  , y =ℝ

+ m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghi m duy nh t ệ ấ

c) Theo câu b, (I) có nghi m ệ ⇔ m ≠ 2

Khi m = –3, (I) có nghi m nguyên ch ng h n x = 1, y = 2ệ ẳ ạ

Khi m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghi m nguyên ệ ⇔∈   ℤ ⇔ m – 2 là ướ ủc c a 1

V y t p nghi m c a (1) là {1;3}ậ ậ ệ ủ

ii) Phương trình (1) có hai nghi m ệ

a) Vì B và C thu c độ ường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90o

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung c nh huy n AD, hai c nh góc vuông AB và AC b ng nhau ạ ề ạ ằ(do ∆ ABC đ u)ề

⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (c nh huy n – c nh góc vuông)ạ ề ạ

c) V  OI ẽ ⊥ AB t i I. Xét tam giác vuông OIA ta có:ạ

T  giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là t  giác n i ti pứ ứ ộ ế

⇒ KHA = 180o – KMA = 180o – 90o = 90o

⇒ KH ⊥ AD

T  (4) và (5), theo tiên đ   –clít v  đừ ề Ơ ề ường th ng song song, ta có J, K, H th ng hàng.ẳ ẳ

V y AM, BD và KH đ ng quy t i J.ậ ồ ạ

Câu 4.(1,5 đi m) ể Cho a,b,c là các s  th c dố ự ương abc=1 .Ch ng minh r ngứ ằ

Câu 5 (3đi m) ể Cho hình vuông ABCD v i tâm O .G i M là trung đi m AB các đi m N, P thu c BC, CD ớ ọ ể ể ộsao cho MN//AP.Ch ng minh r ngứ ằ

1.Tam giác BNO đ ng d ng v i tam giác DOP và góc NOP=45ồ ạ ớ 0

2.Tâm đường tròn ngo i ti p tam giác NOP thu c OC.ạ ế ộ

3.Ba đường th ng BD, AN, PM đ ng quyẳ ồ

Câu 6.(1 đi m) ể Có bao nhiêu t p h p con A c a t p h p{1;2;3;4;….;2014} th a mãn đi u ki n A có ít ậ ợ ủ ậ ợ ỏ ề ệ

Hướng d nẫ

ĐKXĐ : 

Áp d ng B t đ ng th c ta có đúng v i m i A,Bụ ấ ẳ ứ ớ ọ

K t h p v i GT ta có D u “=” x y ra khiế ợ ớ ấ ả

Câu 3. (1,5 đi m) ể Ch ng minh r ng v i m i s  nguyên n ≥ 6 thì s :ứ ằ ớ ỗ ố ố

( Do ta áp d ng b t đ ng th c Cô si cho 3 s  dụ ấ ẳ ứ ố ương:

Nhân theo v  2 b t đ ng th c trên, ta đế ấ ẳ ứ ược:

Khi đó Ta có

D u “=” x y ra khiấ ả

Câu 5 (3đi m) ể Cho hình vuông ABCD v i tâm O .G i M là trung đi m AB các đi m N, P thu c BC, CD ớ ọ ể ể ộsao cho MN//AP.Ch ng minh r ngứ ằ

1.Tam giác BNO đ ng d ng v i tam giác DOP và góc NOP=45ồ ạ ớ 0

1. Đăt AB = a ta có AC = a Ch ng minh Tam giác ADP đ ng d ng tam giác NBM (g.g) suy ra  mà OB.OD ứ ồ ạ

= 

tam giác DOP đ ng d ng BNO (c.g.c). t  đó tính đồ ạ ừ ược 

2.Tâm đường tròn ngo i ti p tam giác NOP thu c OC.ạ ế ộ

Theo a ta có  góc PON = góc ODP=450

tam giác DOP đ ng d ng ONP (c.g.c). suy ra góc DOP= góc ONPồ ạ

nên DO là ti p tuy n c a đế ế ủ ường tròn ngo i tiêp tam giác OPNạ

3.Ba đường th ng BD, AN, PM đ ng quyẳ ồ

Đ t giao đi m cua MN và BC là Qvà AP là K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APDặ ể

 ta có. Gi  s  MP c t AN t i I . K I c t MN t i H Áp d ng đ nh lí ta lét ả ử ắ ạ ắ ạ ụ ị

T  (1) và (2) Suy ra Q trùng H, v y BD, PM, AN đ ng quyừ ậ ồ

Câu 6.(1 đi m) ể Có bao nhiêu t p h p con A c a t p h p{1;2;3;4;….;2014} th a mãn đi u ki n A có ít ậ ợ ủ ậ ợ ỏ ề ệ

nh t 2 ph n t  và n u x ấ ầ ử ế ∈ A, y ∈ A, x > y , thì : 

Hướng d nẫ

V i m i t p A là t p con c a S = {1;2;3; ;2014} th a mãn đ  bài, g i a và b l n lớ ỗ ậ ậ ủ ỏ ề ọ ầ ượt là ph n t  nh  ầ ử ỏ

nh t và l n nh t c a A (a, b ấ ớ ấ ủ ∈ S, a < b)

Ta ch ng minh b ≤ 2a, th t v y, gi  s  b > 2aứ ậ ậ ả ử

Theo gi  thi t Mà b > 2a => b – a > a > 0 => c =  , mâu thu n v i a là ph n t  nh  nh t c a A.ả ế ẫ ớ ầ ử ỏ ấ ủ

V y b ≤ 2aậ

G i d là ph n t  l n nh t c a t p B = A\{b}. Ta ch ng minh b ≥ 2d. Th t v y gi  s  b < 2d, theo gi  ọ ầ ử ớ ấ ủ ậ ứ ậ ậ ả ử ảthi t thìế

 mà b < 2d => 0 < b – d < d => e >

Suy ra e ∈ A nh ng e ư ∉ B ⇒ e = b ⇒

(mâu thu n vì VP là s  chính phẫ ố ương, VT không là s  chính phố ương)

V y b ≥ 2d ậ ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a. Mà a ≤ d (a và d l n lầ ượt là ph n t  nh  nh t và l n nh t c a B) nên a ầ ử ỏ ấ ớ ấ ủ

Cho Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7 gi  sáng m t xe máy đi t  A đ n B. Đi đờ ộ ừ ế ược  xe b  h ng ph i ị ỏ ả

d ng l i 10 phút đ  s a r i đi ti p v i v n t c kém v n t c lúc đ u 10km/h. Bi t xe máy đ n B lúc 11h40ừ ạ ể ử ồ ế ớ ậ ố ậ ố ầ ế ế  phút tr a cùng ngày. Gi  s  v n t c xe máy trên  quãng đư ả ử ậ ố ường đ u không đ i và v n t c xe máy trên  ầ ổ ậ ốquãng đường còn l i cũng không đ i .H i xe máy b  h ng lúc m y gi  ?ạ ổ ỏ ị ỏ ấ ờ

Câu 3 (1,5 đi m)ể

Trong m t ph ng t a đ  Oxy cho Parabol (P) : y=xặ ẳ ọ ộ 2 và đường th ng (d) :  (m là tham s  )ẳ ố

1.Ch ng minh r ng v i m i giá tr  c a m đứ ằ ớ ỗ ị ủ ường th ng (d) c t (P) t i 2 đi m phân bi t .ẳ ắ ạ ể ệ

2. G i ọ x1 ; x2 là là hoành đ  các giao đi m (d) và (P),đ t ộ ể ặ

CMR: 

Câu 4 (3 đi m)ể :

Cho t  giác ABCD n i ti p đứ ộ ế ường tròn (O) đường kính AC = 2R .G i g i K,M theo th  t  là chân các ọ ọ ứ ự

đường vuông góc h  t  A và C xu ng BD, E là giao đi m c a AC và BD, bi t K thu c đo n BE ( ạ ừ ố ể ủ ế ộ ạ K  B ; 

K  E) .Đường th ng đi qua K song song v i BC c t AC t i P.ẳ ớ ắ ạ

1.Ch ng minh t  giác AKPD n i ti p đứ ứ ộ ế ường tròn

2.Ch ng minh KP ứ  PM

3. Bi t ế ABD   60o và AK=x .Tính BD theo R và x

Câu 5: (1 đi m) ể Gi i phả ương trình

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­H t­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ế

H  và tên thí sinh s  báo danh ọ ố

HƯỚNG D N GI I Đ  THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN SP HÀ N I VÒNG 1Ẫ Ả Ề Ộ

Ngày 5/6/2014Câu 1

Câu 2

G i v n t c trên  quãng đọ ậ ố ường ban đ u là x (km/h) x>10ầ

Thì v n t c trên   quãng đậ ố ường sau là x­10 (km/h)

Th i gian đi trên   quãng đờ ường ban đ u là   ầ

Th i gian đi trên    quãng đờ ường sau là  

Vì th i gian đi c  2 quãng đờ ả ường là 11h40 phút – 7h­ 10 phút =

Nên ta có PT:

Gi i ra x=30 th a mãn đi u ki n. Th i gian đi trên  quãng đả ỏ ề ệ ờ ường ban đ u ầ

V y xe h ng lúc 10 hậ ỏ

Câu 3 a) xét h  ph ng trình ệ ươ

PT(1) có h  s  a và c trái d u nên luôn có 2 nghi m phân bi t m i m nên (P) và (d ) luôn c t nhau t i 2 ệ ố ấ ệ ệ ọ ắ ạ

đi m phân bi t v i m i m.ể ệ ớ ọ

b) Theo Vi ét 

Ta có

Nên 

Câu 4

1 Ta có   PAD   PKD

( cùng b ng ằ  CBD đ ng v  ) nên t  giác AKPD n i ti p ( qu  tích cung ch a góc)ồ ị ứ ộ ế ỹ ứ

2.Theo ph n 1 thì DP vuông góc AC nên MDCP n i ti p suy ra: ầ ộ ế  MPD   MCD mà   MCD   ACB ( cùng ph  2 ụ  MDC   ACB ) mà   APK   ACB ( đ ng v  ) nên ồ ị  MPD   APK Ta có   MPD   MPE   90 0   APK   MPE   90o  suy ra KP   PM

3.ta có  Pitago tam giác vuông AKD vuông t i K tính đạ ược  tam giác BAK vuông t i K có góc ABK=60ạ 0

Đ  s  5. Chuyên  Hà Tĩnh. Năm h c: 2014­2015ề ố ọ

Bài 1: Cho bi u th c  v i x > 0; x ể ứ ớ  9

a) Rút g n bi u th c Pọ ể ứ

b) Tìm các giá tr  c a x đ  ị ủ ể

Bài 2: Cho ph ng trình    (m là tham s )ươ ố

a) Gi i phả ương trình khi m = ­1

b) Tìm m đ  phể ương trình có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2 th a mãn ỏ

Bài 3: a) Gi i ph ng trình ả ươ

Bài 3: a) ĐKXĐ: x   ­1. Ph ng trình t ng đ ngươ ươ ươ

V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình x = 3

b)ĐKXĐ: y   1

T  phừ ương trình (1) c a h  ta có ủ ệ

Xét x = ­2 thay vào (2) được(v i y ớ  2)

Xét x=y2­1 thay vào (2) được 

Đ t =>y=aặ 2+1

Đ i chi u ĐKXĐ ta có  là nghi m c a h  phố ế ệ ủ ệ ương trình đã choBài 4:

 a) Ta có BOC= 2.BAC= 2.45o =90o (Góc n i ti p, góc   tâm cùng ch n cung BC)ộ ế ở ắ

Do đó BFC=BOC=BEC= 90o suy ra đ nh F, O, E cùng nhìn BC dỉ ưới góc 90o nên B, F, O, E, C cùng thu c ộ

m t độ ường tròn đường kính BC (Bài toán cung ch a góc) ứ

Hay t  giác BFOC n i ti pứ ộ ế

Ta có FOB= FCB  (Cùng ch n cung BF)ắ

EOC= EBC  (Cùng ch n cung EC)ắ

Mà FCB + EBC= 90o –ABC+ 90o ­ACB

 180o ­ ( ABC+ ACB)= BAC= 45o => FOB+ EOC =45o

Hay EOF= 135o . M t khác vì I đ i x ng v i O qua EF nên EIF= EOF= 135ặ ố ứ ớ o=> EIF+ BAC= 180o

Do đó t  giác AEIF n i ti p đứ ộ ế ường tròn (T ng hai góc đ i b ng 180ổ ố ằ 0)

b)Theo câu a t  giác BFEC n i ti p nên AFE =ACB (Cùng bù v i EFB) ứ ộ ế ớ AFE  ACB (g – g)

=> (Vì  AEB vuông cân t i E)ạ

Bài 5: D  dàng nh n th y x = 0 không ph i là nghi m c a phễ ậ ấ ả ệ ủ ương trình

Gi  s   là nghi m c a phả ử ệ ủ ương trình đã cho. Chia 2 v  c a phế ủ ương trình cho  được

Đ t ặ

Do đó ta có phương trình:

Áp d ng BĐT Bunhia đụ ược 

V y . D u “=” x y ra khi và ch  khi ậ ấ ả ỉ

Bài gi iả : Nguy n Ng c Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đ c Th  ­ Hà Tĩnhễ ọ ứ ọ

Đ  s  6. Chuyên Khánh Hòa. Năm h c: 2014­2015ề ố ọ

Bài 1: (2,00 đi m)ể

1) Không dùng máy tính c m tay, tính giá tr  bi u th c: ầ ị ể ứ

2) Rút g n bi u th c  v i a>0; 4ọ ể ứ ớ

Cho n a đử ường tròn (O) đường kính AB = 2R. V  đẽ ường th ng d là ti p tuy n c a (O) t i B. Trên cung ẳ ế ế ủ ạ

AB l y đi m M tùy ý (M khác A và B), tia AM c t d t i N. G i C là trung đi m c a AM, tia CO c t d t i ấ ể ắ ạ ọ ể ủ ắ ạD

a)Ch ng minh r ng: OBNC n i ti p.ứ ằ ộ ế

b)Ch ng minh r ng: NO ứ ằ ⊥ AD

c)Ch ng minh r ng: CA.CN = CO .CD.ứ ằ

d)Xác đ nh v  trí đi m M đ  ( AM AN) đ t giá tr  nh  nh t.ị ị ể ể ạ ị ỏ ấ

­­­H T­­­Ế

b)Vì A ∈ (P) có hoành đ  xộ A=­2 nên yA=2 . V y A(­2; 2)ậ

L y M(xấ M; 0) b t kì thu c Ox,ấ ộ

Ta có: |MA­MB|AB (Do M thay đ i trên O và BĐT tam giác)ổ

D u “ =” x y ra khi đi m A, B, M th ng hàng khi đó M là giao đi m c a đấ ả ể ẳ ể ủ ường th ng AB và tr c Ox.ẳ ụ

­ L p pt đậ ường th ng AB:ẳ

G i phọ ương trình đường th ng AB có d ng: y = ax +bẳ ạ

Do A, B thu c độ ường th ng AB nên ta có:ẳ

V y phậ ương trình đường th ng AB là: ẳ

­ Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng AB và O (y = 0)=> x = 4 => M(4;0)ẳBài 4 (4,00 đi m)ể

a)Ch ng minh r ng: OBNC n i ti pứ ằ ộ ế

Ta có OC ⊥ AM => OCN=90o

Đường th ng d là ti p tuy n c a (O) t i B nên OBN=90ẳ ế ế ủ ạ o

V y T  giác OBNC n i ti p có OCN+OBN=180ậ ứ ộ ế o

b)Ch ng minh r ng: NO ứ ằ ⊥ AD

Trong ∆AND có hai đường cao là AB và GC c t nhau t i O.ắ ạ

Suy ra NO là đường cao th  ba hay: NO ứ ⊥ AD

3) G i ọ M là hình chi u vuông góc c a ế ủ O trên BC. Đường th ng ẳ BB1c t (ắ O) t i giao đi m th  hai là ạ ể ứ

E, kéo dài MB1c t ắ AE t i ạ N. Ch ng minh r ng ứ ằ

Bài 4: (1,0 đi m ể ): Tìm các s  nguyên ố x; y th a mãn ỏ

Bài 5: (1,5 đi m ể ):

1) Trên b ng ghi m t s  nguyên dả ộ ố ương có hai ch  s  tr  lên. Ngữ ố ở ười ta thi t l p s  m i b ng cách ế ậ ố ớ ằxóa đi ch  s  hàng đ n v  c a s  đã cho, sau đó c ng vào s  còn l i 7 l n s  v a b  xóa. Ban đ u ữ ố ơ ị ủ ố ộ ố ạ ầ ố ừ ị ầtrên b ng ghi s  6ả ố 100. H i sau m t s  bỏ ộ ố ước th c hi n nh  trên ta có th  thu đự ệ ư ể ược 1006 hay không ? 

2)Cho các s  th c dố ự ương x, y, z th a mãn . Ch ng minh r ng:ỏ ứ ằ

Vì x, y, z d ng, áp d ng BĐT Cô­si ta có:ươ ụ

T  (1) và (2) => :ừ

Tương t : ự

G i đ  th  hàm s   y=xọ ồ ị ố 2 là parabol (P), đ  th  hàm s  y=(m+4)x­2m­5 là đồ ị ố ường th ng (d).ẳ

a. Tìm giá tr  c a m đ  (d) c t (P) t i hai đi m phân bi t.ị ủ ể ắ ạ ể ệ

b. Khi (d) c t (P) t i hai đi m phân bi t A và B có hoành đ  l n lắ ạ ể ệ ộ ầ ượt là x1;x2 Tìm các giá tr  c a m ị ủsao cho 

D là đi m đ i x ng c a B qua O, C là giao đi m c a PD và để ố ứ ủ ể ủ ường tròn (O)

a.Ch ng minh t  giác BHCP n i ti p.ứ ứ ộ ế

Pt hoành đ  giao đi m c a (d) và (P) là: ộ ể ủ

Đ  (d) c t (P) t i hai đi m phân bi t khi Pt (1) có hai nghi m phân bi t khi ể ắ ạ ể ệ ệ ệ  0

V y: v i m > 2 ho c m < ­2 thì (d) c t (P) t i hai đi m phân bi t.ậ ớ ặ ắ ạ ể ệ

=> PO cũng là đường cao, trung tuy n ế ABP .

Xét t  giácBHCP ta có ứ BHP   900 (Vì PO  AB)

=> MH là trung bìnhABQ

=> M là trung đi m c a AQể ủ

Bài 5: (1,0 đi m)ể

1. Cho hai phương trình:  (trong đó x là  n, b và c là các tham s ).ẩ ố

Bi t phế ương trình (1) có hai nghi m xệ 1 và x2, phương trình (2) có hai nghi m xệ 3 và x4 th a mãn đi u ki n .ỏ ề ệ  Xác đ nh b và c.ị

2. Ch ng minh r ng n u p là s  nguyên t  l n h n 3 thì (p + 1)(p – 1) chia h t cho 24.ứ ằ ế ố ố ớ ơ ế

Câu 4 (3,0 đi m).ể

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) c t nhau t i hai đi m phân bi t A và B. T  m t đi m C thay đ i ắ ạ ể ệ ừ ộ ể ổtrên tia đ i c a tia AB, v  các ti p tuy n CD, CE v i đố ủ ẽ ế ế ớ ường tròn tâm O (D, E là các ti p đi m và E n m ế ể ằtrong đường tròn tâm O’). Hai đường th ng AD và AE c t đẳ ắ ường tròn tâm O’ l n lầ ượ ạt t i M và N (M và 

N khác A). Đường th ng DE c t MN t i I.ẳ ắ ạ

ĐÁP ÁNCâu 1

a) Vì DAEB là t  giác n i ti p nên ứ ộ ế DAB= DEB

Vì ABNM là t  giác n i ti p nên ứ ộ ế DAB= BNI 

b) Vì ABNM là t  giác n i ti p nên ứ ộ ế BAE =BMI  (1)

Vì DAEB và DMIB là các t  giác n i ti p nênứ ộ ế

ABE =ADE  và MBI= ADE =>ABE =MBI (2)

T  (1) và (2) ừ ⇒tam giác BAE đ ng d ng v i tam giác BMI (g.g)ồ ạ ớ

c) Ta ch ng minh ứ AD. BE =AE. BD 

Vì CD là ti p tuy n c a (O) nênế ế ủ

CDA =CBD

=>tam giác CDA đ ng d ng v i tam giác CBD (g.g)ồ ạ ớ

Ch ng minh tứ ương t  ta có ự

Mà theo tính ch t ti p tuy n ta có CD = CE nên ấ ế ế

 Ta ch ng minh DE đi qua đi m K là giao hai ti p tuy n t i A và B c a (O)ứ ể ế ế ạ ủ

G i Kọ 1, K2 l n lầ ượt là giao đi m c a DE v i ti p tuy n c a (O) t i A và B.ể ủ ớ ế ế ủ ạ

Đ  s  10. Chuyên Năng Khi u HCM. Năm h c: 2014­2015ề ố ế ọ

Câu I. Cho ph ng trình  v i m là tham s ươ ớ ố

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghi m phân bi t. Ch ng minh r ng khi đó t ng c a hai ệ ệ ứ ằ ổ ủnghi m không th  là s  nguyên.ệ ể ố

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghi m xệ 1;x2 th a mãn đi u ki nỏ ề ệ

Câu II. 1) Gi i h  ph ng trình ả ệ ươ

2) Cho tam giác ABC vuông t i A v i các đạ ớ ường phân giác trong BM và CN. Ch ng minh b t đ ng th c ứ ấ ẳ ứCâu III. Cho các s  nguyên d ng a, b, c sao cho ố ươ

a) Ch ng minh r ng a + b không th  là s  nguyên t ứ ằ ể ố ố

b) Ch ng minh r ng n u c > 1 thì a + c và b + c không th  đ ng th i là s  nguyên tứ ằ ế ể ồ ờ ố ố

Câu IV. Cho đi m C thay đ i trên n a đ ng tròn đ ng kính AB = 2R ( C ≠ A, C ≠ B). G i H là hình ể ổ ử ườ ườ ọchi u vuông góc c a C lên AB; I và J l n lế ủ ầ ượt là tâm đường tròn n i ti p các tam giác ACH và BCH. Các ộ ế

đường th ng CI, CJ c t AB l n lẳ ắ ầ ượ ạt t i M, N

a) Ch ng minh r ng AN = AC, BM = BC.ứ ằ

b) Ch ng minh 4 đi m M, N, J, I cùng n m trên m t đứ ể ằ ộ ường tròn và các đường th ng MJ, NI, CH ẳ

đ ng quy.ồ

c) Tìm giá tr  l n nh t c a MN và giá tr  l n nh t c a di n tích tam giác CMN theo R.ị ớ ấ ủ ị ớ ấ ủ ệ

Câu V. Cho 5 s  t  nhiên phân bi t sao cho t ng c a ba s  b t k  trong chúng l n h n t ng c a hai s  ố ự ệ ổ ủ ố ấ ỳ ớ ơ ổ ủ ốcòn l i.ạ

a) Ch ng minh r ng t t c  5 s  đã cho đ u không nh  h n 5.ứ ằ ấ ả ố ề ỏ ơ

b) Tìm t t c  các b  g m 5 s  th a mãn đ  bài mà t ng c a chúng nh  h n 40.ấ ả ộ ồ ố ỏ ề ổ ủ ỏ ơ

H t ế

a) Phương trình (1) có h  s   nên là phệ ố ương trình b c hai  n x. Do đóậ ẩ

Phương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ

Đ t  , đi u ki n a ≥ 0, b ≥ 0. H  (I) tr  thànhặ ề ệ ệ ở

L y (1) tr  (2) ta đấ ừ ược:

Thay a = b vào (1) ta có

V y h  phậ ệ ương trình có nghi m ệ

2)

Vì BM, CN l n lầ ượt là phân giác góc ABC, ACB nên theo tính ch t đấ ường phân giác, ta có:

Áp d ng đ nh lý Pi–ta–go cho tam giác vuông ABC và BĐT Cô–si cho hai s  không âm, ta có:ụ ị ố

Câu III

a) Ta có: 

Gi  s  a + b là s  nguyên t , khi đó t  (*) ả ử ố ố ừ ⇒ ab ⋮ (a + b) ⇒ a ⋮ (a + b) ho c b ặ ⋮ (a + b)

Đi u này mâu thu n do 0 < a < a + b, 0 < b < a + b.ề ẫ

Do đó a + c = b + c = 3c, không là s  nguyên t  v i c > 1 (mâu thu n v i gi  s )ố ố ớ ẫ ớ ả ử

V y a + c và b + c không th  đ ng th i là s  nguyên t ậ ể ồ ờ ố ố

Suy ra CAN= ANC ⇒ ∆ ACN cân t i A ạ ⇒ AC = AN

Ch ng minh tứ ương t  ta có BC = BM.ự

b) Vì CM, CN l n lầ ượt alà phân giác c a góc ACH và BCH nênủ

Tam giác ACN cân t i A có AI là phân giác k  t  đ nh A, nên cũng là trung tr c c a đáy CN.ạ ẻ ừ ỉ ự ủ

⇒ IC = IN

⇒ ∆ ICN cân t i I.ạ

Tam giác ICN cân t i I có ICN=45ạ o nên là tam giác vuông cân t i Iạ

⇒ CI ⊥ IN

Ch ng minh tứ ương t  ta có CJ ự ⊥ MJ

T  giác MIJN có MIN=MJN=90ứ o nên là t  giác n i ti pứ ộ ế

⇒ B n đi m M, I, J, N cùng thu c m t đố ể ộ ộ ường tròn

Vì CH ⊥ MN, MJ ⊥ CN, NI ⊥ CM nên CH, MJ, NI đ ng quy t i tr c tâm c a ∆ CMN.ồ ạ ự ủ

c) Đ t ặ

Theo câu a, ta có AN=AC= b; BM=BC=b

Do đó a+b=AN+BM=BC+MN=>MN=a+b­BC=a+b­2R

Ta có:

D u b ng x y ra khi và ch  khi a = b ấ ằ ả ỉ ⇔ CA = CB ⇔ C là đi m chính gi a n a để ữ ử ường tròn

Vì C thu c n a độ ử ường tròn đường kính AB nên CH ≤ R

Do đó 

D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ C là đi m chính gi a n a để ữ ử ường tròn

V y giá tr  nh  nh t c a MN là  và giá tr  nh  nh t c a di n tích tam giác CMN là ậ ị ỏ ấ ủ ị ỏ ấ ủ ệ

đ u x y ra khi và ch  khi C là đi m chính gi a n a đề ả ỉ ể ữ ử ường tròn đường kính AB

Câu V

a) G i 5 s  t  nhiên đã cho là a, b, c, d, e.ọ ố ự

Do chúng đôi m t phân bi t nên có th  gi  s  a < b < c < d < e.ộ ệ ể ả ử

Theo gi  thi t ta có a + b + c > d + e ả ế ⇒ a + b + c ≥ d + e + 1

Đ  s  11. Chuyên Ngo i Ng  DHQG Hà N i. Năm h c: 2014­2015ề ố ạ ữ ộ ọ

Cho tam giác nh n ọ ABC (AB < AC) n i ti p độ ế ường tròn (O). K  đẻ ường cao AH c a tam giác ủ ABC. G i ọ

P, Ql n lầ ượt là chân c a đủ ường vuông góc k  t  ẻ ừ H đ n các c nh ế ạ AB, AC

1. Ch ng minh r ng ứ ằ BCQP là t  giác n i ti p.ứ ộ ế

2. Hai đường th ng ẳ PQ và BC c t nhau t i ắ ạ M. Ch ng minh r ng ứ ằ MH2= MB.MC

3. Đường th ng ẳ MA c t đắ ường tròn (O) t i ạ K (K khác A). G i ọ I là tâm c a đủ ường tròn ngo i ti p t  ạ ế ứgiácBCQP. Ch ng minh r ng ba đi m ứ ằ ể I, H, K th ng hàng.ẳ

Câu 5. (1,0 đi m)ể

Ch ng minh r ng:ứ ằ

ĐÁP ÁNCâu 1

1. Ta có:

K t h p v i ĐKXĐ, ta cólà đi u ki n c n tìm.ế ợ ớ ề ệ ầ

Câu 2

Suy ra BPQC là t  giác n i ti p.ứ ộ ế

2. Vì BPQC là t  giác n i ti p nênứ ộ ế

MBP= MQC

Vì APHQ là t  giác n i ti p nên: ứ ộ ế MQH =BAH 

Mà BAH= MHP (cùng ph  v i ụ ớ PBH )

nên MQH= MHP 

T  (1) và (2) ừ ⇒MH2 =MB .MC

3. Vì AKBC là t  giác n i ti p nênứ ộ ế

K t h p v i k t qu  ý 2, ta cóế ợ ớ ế ả

⇒ HK là đường cao c a tam giác vuông AHM.ủ