phương pháp dạy học môn toán quan hệ vuông góc trong không gian

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o - Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

NHÓM 8

Họ và tên các thành viên : Phạm Thị Thu Hà

Lưu Thị Giang Trần Thị Lan Anh

Tạ Thị Hà

HÀ NỘI - 2019

2

HỆ THỐNG CÂU HỎI BÀI TẬP

A TỰ LUẬN

I LÝ THUYẾT

Câu 1 Hãy nêu định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông

góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trả lời:

- Góc giữa hai đường thẳng a và blà góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng

đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

90o

- Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

Câu 2 Lấy ví dụ trong thực tế về hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng

vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc (mỗi cái lấy tối thiểu 3 ví dụ)

Trả lời:

- Hai đường thẳng vuông góc:

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: cột cờ vuông góc với sân trường, cạnh dọc cửa cánh cửa và trần nhà, chân giường vuông góc với nền nhà

- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau: sàn nhà và trần nhà, mặt bàn và trần nhà, hai bức tường đối diện nhau

Câu 3 Hãy cho biết các khẳng định sau là đúng hay sai Nếu sai hãy sửa lại để được mệnh đề đúng

a Hai đường thẳng vuông góc luôn cắt nhau

b Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

c Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt thứ ba

Câu 4 Hãy điền từ còn thiếu vào chỗ trống

1 Nếu hình hộp có mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương

2 Có đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một mặt phẳng cho trước

3 Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì (Q) với (P)

4.Góc giữa hai đường thẳng luôn 90

5 Có đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

6 Có đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước

6 duy nhất một ( nếu học sính trả lời là một cũng chấp nhận được)

7 một điểm bất kỳ ( hoặc một đường thẳng bất kỳ)

8 giao tuyến của hai mặt phẳng

9 độ dài

Câu 5 Hãy nêu mối quan hệ giữa góc của hai đường thẳng và góc của hai

vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó

Trả lời: Hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là u và v ( , )a b   , ( , )u v   Khi đó nếu 0    90 thì    , nếu90    180 thì

180

   

Câu 6 Dựa vào kiến thức đã học hãy giải thích tại sao khẳng định : Qua một

điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước đúng

Trả lời:

a Hai mặt phẳng cắt nhau thì chỉ cắt nhau tại một giao tuyến duy nhất, mà qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng

Cách 1: Dựng đường thẳng    d'  P ,    d''  Q Góc giữa hai mặt phẳng

   P , Q là góc giữa hai đường thẳng    d' , d''

Cách 2: Dựng đường thẳng      d'  P , d' d,      d''  Q , d'' d Góc giữa hai mặt phẳng    P , Q là góc giữa hai đường thẳng    d' , d''

Cách 3: Đa giác A A1 2 A n nằm trong mặt phẳng  P có diện tích là S Hình chiếu vuông góc của A A1 2 A n lên mặt phẳng  Q là ' ' '

Câu 9 Hãy nêu cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,

khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ,khoảng cách từ một đường thẳng

Câu 10 Một học sinh tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo

nhau như sau:

Bước 1: Lấy điểm A bất kỳ thuộc a

Bước 2: Từ A dựng đường thẳng vuông góc với b, cắt đường thẳng b tại B Bước 3: Tính độ dài AB, khoảng cách giữa a và b chính là độ dài của AB Học sinh trên làm như vậy là đúng hay sai? Nếu sai hãy giải thích tại sao sai? Hãy nêu các tính của em để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trả lời:

- Cách làm của bạn là sai Vì với cách dựng hình như trên thì chưa chắc

ABa

- Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1 Chọn mặt phẳng   chứa đường thẳng a và song song với b Khi

đó d a b, d b , ( )  

Cách 2 Dựng hai mặt phẳng song song vầ lần lượt chưa hai đường thẳng a b, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách giữa hai đường thẳng a b,

7

II BÀI TẬP

I Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⟂ (ABC)

8

Theo c) SB ⟂ (ADE) ⇒ AF ⟂ SB (8) Từ (7) và (8) suy ra: AF ⟂ (SAB) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, (SAB) ⟂ (ABCD) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và

AD Chứng minh rằng: FC ⟂ (SID)

Hay CF ⟂ ID (2) Từ (1) và (2) suy ra:

FC ⟂ (SID) Điều phải chứng minh

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

SA ⟂ (ABCD), AD = 2a, AB =BC = a Chứng minh rằng: ∆SCD vuông

Giải

Ta có:

Mặt khác, ∆CID là tam giác vuông

cân tại I nên: (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

hay AC ⟂ CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

CD ⟂ (SAC) ⇒ CD ⟂ SC

Hay ∆SCD vuông tại C

Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và

Từ (1), (2) suy ra: BP ⟂ (AMN) ⇒ BP ⟂ AM

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =

a , SA ⟂ (ABCD) Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và

BM Chứng minh rằng: (SAC) ⟂ (SMB)

Giải

Ta có

Hay BM ⟂ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BM ⟂ (SAC)

mà BM ⊂ (SAC) nên (SAC) ⟂ (SMB)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⟂ (BCD) Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O Trong mp(ACD) vẽ DK ⟂ AC Gọi H là trực tâm của tam giác ACD

a) Chứng minh (ACD) ⟂ (ABE) và (ACD) ⟂ (DFK)

b) Chứng minh OH ⟂ (ACD)

Giải

a) Chứng minh: ( ACD) ⟂ (ABE)

O là trực tâm của tam giác BCD

 BE là đường cao ∆BCD

→ BE ⟂ DC (1)

 SA ⟂ (ABC) → SA ⟂ DC (2)

Từ (1) và (2) ⇒

a) CMR: BC ⟂ (SAB), CD ⟂ (SAD), BD ⟂ (SAC)

b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra 3 đường thẳng

AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng

c) CMR: HK ⟂ (SAC) Từ đó suy ra HK ⟂ AI

Do qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước

Từ (1) và (2) → AH, AK, AI cùng nằm trên một mặt phẳng

c) Ta có: (theo (1)) ⇒(AKH) ⟂( SAC) ⇒ HK ⟂ (SAC)

⇒ HK ⟂ AI

Bài 2: Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi

H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC) Chứng minh rằng:

Từ (*) và (**) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

c) Ta có (theo câu a) → OA ⟂ OD ⇒ Tam giác OAD vuông tại

O có OH là đường cao của tam giác:

(3) Mặt khác do (OAH) ⟂ BC ⇒ OD ⟂ BC ⇒ Tam giác OBC vuông tại O có

OD là đường cao của tam giác:

Thay vào (3) ta được:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là tam giác đều và Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD

15

Có H là trung điểm của AB

⇒ AH là đường cao của tam giác đều

Tương tự ta chứng minh được: AE ⟂ SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra SC ⟂ (AEF) ⇒ (SAC) ⟂ (AEF)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh và có góc A bằng , cạnh SC = và SC ⟂ (ABCD)

a) Chứng minh (SBD) ⟂ (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⟂ SA tại K Tính độ dài IK

c) Chứng minh rằng góc và từ đó suy ra (SAB) ⟂ (SAD)

Giải

Xét trong mp(SAC) từ C kẻ CH ⟂ SA

Xét tam giác vuông CHA:

Mặt khác do SC ⟂ (ABCD) ⇒ SC ⟂ CA → tam giác SAC vuông tại C ta có

⇒

c) Ta có: I là trung điểm của BD ⇒

18

Xét trong tam giác BKD có

⇒ ∆BKD vuông tại K hay

Lại có BK ⟂ KD (do ∆BKD vuông tại K) suy ra (SAD) ⟂ BK ⇒ (SAD) ⟂ (SAB)

II Các dạng toán về góc

Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a , SA ⟂

BC Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB =CD =2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Giải

19

Gọi I là trung điểm của BD Ta có:

Xét tam giác IMN có:

IM =IN = a, MN = a Do đó,

Vậy: (AB, CD) =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

20

Vậy cos(SM, DN) =

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAC) (ABCD), H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, SA= a Tính sin của góc giữa:

22

b) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH SB (H ∊ SB) Theo a) BC (SAB)

AH BC nên AH (SBC) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC)

= Xét tam giác vuông SAB có: = + = AH = a

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)

23

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

(ABCD) và SA= Tính góc giữa

24

tan = = = = arctan(

= acrtan( c) Gọi F là giao điểm AC và BD

26

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân

AB=AC=a, º, BB’=a, I là trung điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC), và (AB’I)

Giải:

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) Theo công thức hình chiếu ta có: cos φ =

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a, SA = SB = SC = SD = a Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD)

29

= - cos =

III Các dạng toán về khoảng cách

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với

đáy một góc α Tính d(A,(SBC)) theo a và α

31

BD (SAC) BC AK (2)

Từ (1) và (2) ta có: AK (SBD) hay d(A,(SBD)) =AK

Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: = + = AK= Vậy d(A,(SBD)) =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác

SAB đều, (SAB) (ABCD) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính d(I,(SFC))

32

SI FC (*) Mặt khác, xét hai tam giác vuông AID và DFC có:

AI = DF, AD = DC Suy ra, ΔAID = ΔDFC = , =

Bài 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

AD = a Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Tính d(B’,(A’BD))

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì B’C // A’D nên B’C // (A’BD)

Do đó d(B’,(A’BD)) = d(B’C,(A’BD)) = d(C,(A’BD))

33

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH BD, (H ∊ BD) (1) Mặt khác A’O (ABCD) A’O (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH (A’BD) d(B’,(A’BD)) = CH

Xét tam giác vuông BCD có: = + = CH =

Vậy d(B’,(A’BD)) = CH =

Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a Tính d(AB,CD)

Giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB

Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên:

CD AI, CD BI CD (AIB) CD IJ (1) Mặt khác, ΔACD= ΔBCD nên tam giác AIB cân tại I Do đó, IJ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD

34

Ta có:

Vậy d(AB,CD) =

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH (ABCD), SH= a Tính d(DM,SC)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’

Ta có: AB // (CA’B’) d(AB,CB’) = d(AB,(CA’B’)) = d(I,(CA’B’))

Trong mặt phẳng (CIJ) kẻ IH CJ(1), (H ∊ CJ)

36

Ta có: A’B’ (IJ) ( vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và IC A’B’( vì ΔABC là tam giác đều ) nên A’B’ (CIJ) A’B’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra IH hay d(AB, CB’) = IH

Xét tam giác vuông CIJ có:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO (ABCD) SO BC

Vì AD // (SBC) d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) = 2 d(O,(SBC)) Gọi H là trung điểm của BC ,

37

Gọi I là hình chiếu của O lên SH

Ta có: BC SO, nên BC (SOH)

Vận dụng

Vận dụng cao Tổng

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song song ( hoặc trùng với )

B Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song song

C Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn

D Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

Câu 2: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt Khẳng định nào sau đây là sai?

A Nếu và cùng vuông góc với thì //

B Nếu // và thì

39

C Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì //

D Nếu và cùng nằm trong // thì góc giữa và bằng góc giữa

và

Câu 3: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai

B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với

B Cho ba đường thẳng vuông góc với nhau từng đôi một Nếu có một đường thẳng vuông góc với thì song song với hoặc

C Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng song song với đường thẳng thì vuông góc với

D Cho hai đường thẳng và song song với nhau Một đường thẳng vuông góc với thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại

B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

C Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau

D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia

Câu 7: Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm Qua có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ∆ cho trước?

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt và và mặt phẳng , trong đó

Mệnh đề nào sai ?

A Nếu thì //

B Nếu // thì