Câu 8: Cho khối chóp có chiều cao bằng a , đáy của khối chóp là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2a , chiều dài bằng 3a.. Thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng là đa g
Trang 1Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7xcos7x là
A 7 cos 7x7sin 7x B 7 cos 7x7sin 7x
Câu 8: Cho khối chóp có chiều cao bằng a , đáy của khối chóp là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2a
, chiều dài bằng 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng
Trang 2ACB Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng
Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P :ax by cz qua điểm 7 0 A2; 0;1, vuông
góc với mặt phẳng Q : 3x và tạo với mặt phẳng y z 1 0 R :x y 2z một góc 1 0
o
60 Tổng a b c bằng
A 10 B 0 C 14 D 12
Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đường cao SA4a Biết đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B với ABBC3a , AD Gọi a M trung điểm cạnh AB và là mặt phẳng qua M
vuông góc với AB Thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng là đa giác có diện tích bằng:
A
252
a
272
Trang 3Câu 26: Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một
đường thẳng chứa một cạnh của tam giác đó có thể tích bằng
A
38
a
336
a
34
a
3312
a
Câu 27: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1),C(2; 1;3), D(0; ;0)m
Tổng tất các các giá trị của tham số m để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 là
A 5
2 D 0
Câu 28: Cho hình chóp đều S ABCD có ABa, cạnh bên hợp với đáy góc 45 Diện tích xung quanh 0
của hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông bằng
A
22
a
234
a
24
a
D 2 a 2
Trang 4Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB4 ,a AD3a, các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a Thể tích khối chóp S ABCD bằng
A 3a3 B 10 3a3 C 9 3a3 D 10a3
Câu 30: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
2
yx mx cắt trục hoành tại một điểm duy nhất là
A 3; B 0; C ; D ;1
Câu 31: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABa, BC 2a và
mặt bên ACC A là hình vuông Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, CC và H là hình chiếu của A lên BC( Tham khảo hình vẽ bên )
Thể tích khối chóp A HMN'. bằng
A
3
34
a
3
932
a
Câu 32: Giả sử phương trình 25x15x 6.9x có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng
,logb logb
Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Các mặt bên SAB , SAC lần
lượt tạo với đáy các góc 60 và 30 Biết chân hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC nằm trên đoạn BC Thể tích khối chóp S ABC bằng
A
33.16
a
33.32
a
3.32
a
3.16
e
f x dx x
A 2
3 3 13
C 3 1
3
D 3
Trang 5A ;0 B 1
;1 \ 03
Trang 6Câu 43: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SBC và mặt phẳng
đáy bằng 60 Nếu ABC là tam giác đều cạnh a 3 thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 44: Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của 1 cạnh góc vuông và cạnh
huyền luôn bằng hằng số dương s ?
A
229
s
29
s
2
39
s
2
318
Câu 49: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên abcdef có 6 chữ số đôi một
khác nhau mà mỗi số đều thỏa mãn d + e + f – a – b – c = 1?
Trang 721.D 22.B 23.A 24.D 25.A 26.C 27.B 28.B 29.B 30.A
31.D 32.A 33.B 34.B 35.D 36.B 37.A 38.C 39.A 40.B
Gọi R h, lần lượt là bán kính đáy và chiều cao, V , 1 V là lượt là thể tích của khối trụ và khối 2
nón
Ta có:
2 1
2 2
31
Suy ra tỉ số thể tích của khối trụ và khối nón bằng 3
Câu 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu , 2 2 2
( ) :S x y z 2x2y 2 0 có tâm ( ; ; ).I a b c Giá
trị a 2b 3c bằng
Lời giải Chọn A
Trang 8Giá trị nhỏ nhất của hàm số yxlnx trên khoảng 0; bằng 1
e
Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7xcos7x là
A 7 cos 7x7sin 7x B 7 cos 7x7sin 7x
Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7xcos7x là: 1cos 7 1sin 7
Ta có y 3x26x; y 0 0
2
x x
Bảng biến thiên hàm số yx33x22:
+
0+
+
+
Trang 9Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và 2; , nghịch biến trên khoảng 0; 2
Câu 8: Cho khối chóp có chiều cao bằng a , đáy của khối chóp là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2a
, chiều dài bằng 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng
Thể tích khối chóp đã cho là: 1 3
.3 2 23
Trang 10x
e x
1
b n b
Trang 11Ta có giá trị lớn nhất của hàm số là y 2 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là y 6
Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 2
Câu 16: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2 , thoả 2
ACB Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng
Trang 12Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P :ax by cz qua điểm 7 0 A2; 0;1, vuông
góc với mặt phẳng Q : 3x và tạo với mặt phẳng y z 1 0 R :x y 2z một góc 1 0
o
60 Tổng a b c bằng
A 10 B 0 C 14 D 12
Lời giải Chọn C
Do mặt phẳng P qua điểm A2; 0;1 nên ta có: 2a c 7 c 2a 7 1
Mặt phẳng P , Q , R có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
Trang 13Với a 7 b 14,c 7 a b c 14
Vậy a b c 14
Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đường cao SA4a Biết đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B với ABBC3a, AD Gọi a M trung điểm cạnh AB và là mặt phẳng qua M
vuông góc với AB Thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng là đa giác có diện tích bằng:
A
252
a
272
M
S
Trang 14Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x0 là 3
Phương trình tiếp tuyến là: y24x 2 7 24x41
Câu 21: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2 2 3 7
TXĐ: D Khi đó: 2
f x mx mx m TH1: m 0 f x Suy ra hàm số đồng biến trên 7 0, x m 0 thỏa mãn
m m
Vậy 0 mà m nên m 7 m 0,1, 2, , 7 có 8 giá trị m nguyên thỏa mãn
Câu 22: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực
trị?
A 4 B 5 C 2 D 6
Lời giải
Trang 15Từ đồ thị hàm số y f x suy ra được đồ thị hàm số y f x như sau:
Dựa vào đồ thị, Hàm số y f x có 5 điểm cực trị
Câu 23: Cho cấp số cộng u n gồm 100 số hạng Biết
1 2 100
1
u u u và u15u8612 Giá trị của tổng
Trang 16Câu 26: Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một
đường thẳng chứa một cạnh của tam giác đó có thể tích bằng
A
38
a
336
a
34
a
3312
a
Lời giải Chọn C
Giả sử tam giác ABC đều cạnh a có H là trung điểm AC
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối tròn xoay có thể tích bằng 2 lần thể
tích hình nón tạo thành khi quay tam giác AHB quanh trục AH, do đó thể tích cần tìm bằng
2
3 2
Câu 27: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1),C(2; 1;3), D(0; ;0)m
Tổng tất các các giá trị của tham số m để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 là
A 5
2 D 0
Lời giải Chọn B
Trang 17Câu 28: Cho hình chóp đều S ABCD có ABa, cạnh bên hợp với đáy góc 45 Diện tích xung quanh 0
của hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông bằng
A
22
a
234
a
24
a
D 2 a 2
Lời giải Chọn B
r HDSH h l r h 2
34
a
S
Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB4 ,a AD3a, các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a Thể tích khối chóp S ABCD bằng
A 3a3 B 10 3a3 C 9 3a3 D 3
10a
Lời giải Chọn B
Trang 18A 3; B 0; C ; D ;1
Lời giải Chọn A
Dựa vào BBT, ta thấy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 3
Câu 31: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABa, BC 2a và
mặt bên ACC A là hình vuông Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, CC và H là hình chiếu của A lên BC( Tham khảo hình vẽ bên )
Thể tích khối chóp A HMN'. bằng
A
3
34
a
3
932
a
Lời giải
Trang 19V V HE S Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH
Có
2 2
Cạnh hình vuông ACC A bằng a 3, vậy
1 3 9 9
Trang 20Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Các mặt bên SAB , SAC lần
lượt tạo với đáy các góc 60 và 30 Biết chân hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC nằm trên đoạn BC Thể tích khối chóp S ABC bằng
A
33.16
a
33.32
a
3.32
a
3.16
a
Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu của S lên ABC Vì H nằm trên đoạn BC nên đặt BH xBC với
Trang 21f x dx x
A 2
3 3 13
3 3 1
.3
Trang 22
2 2
x f
t thì mỗi giá trị của t sẽ cho ta một giá trị của biến x Khi đó phương trình trở
thành: 9t9t f t sẽ cho ta năm nghiệm t phân biệt nên phương trình 1 sẽ cho ta năm
nghiệm x 2t phân biệt
Trang 23t thì mỗi giá trị của t sẽ cho ta một giá trị của biến x Khi đó phương trình trở
thành: 9t9t f t sẽ cho ta năm nghiệm t phân biệt nên phương trình 1 sẽ cho ta năm
nghiệm x 2t phân biệt
Do phương trình 9t 9 t
f t
có nghiệm t 0 nên 2t 2t Vậy nên hai phương trình 1
và 2 mỗi phương trình đều cho ta năm nghiệm phân biệt không trùng nhau Suy ra phương
Từ đây ta suy ra a+b=31815+6060=37875
Câu 38: Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình
Trang 24A'
Trang 25A ;0 B 1
;1 \ 03
Lời giải Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là 4 2
m
Câu 41: Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 4m 1 x 2m2 3
cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt , ,A B C sao cho B là trung điểm của AC?
Lời giải Chọn D
Trang 26m m m
Ta có AB 5 AD BC, CD13,BD5 2, AC12
Vậy tam giác ABD cân tại A, tam giác CBD cân tại C. Gọi I là trung điểm của BD , ta có tứ
diện chỉ có một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng IAC
Câu 43: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SBC và mặt phẳng
đáy bằng 60 Nếu ABC là tam giác đều cạnh a 3 thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
I
D B
Trang 27Câu 44: Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của 1 cạnh góc vuông và cạnh
huyền luôn bằng hằng số dương s ?
A
229
s
29
s
239
s
2318
s
Lời giải Chọn D
Gọi tam giác cần tìm là tam giác ABC vuông ở A
Trang 28Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là
2
318
Với x ta có 1 3 2
2.1 3 1 1 6 1 3 1
y m m m hay A1;3m 1 Với x ta có m 3 2 2 3 2
y m m m m m m hay 2 3
;3
B m m m Suy ra phương trình đường thẳng AB là 2 2
1
y m xm m Mặt khác đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2nên 2
Ta có
Trang 29x x
Trang 30Câu 49: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên abcdef có 6 chữ số đôi một
khác nhau mà mỗi số đều thỏa mãn d + e + f – a – b – c = 1?
Lời giải Chọn B
Trường hợp 1: (a;b;c) là hoán vị của bộ số (0;2;5), hoặc (a;b;c) là hoán vị của bộ số (0;3;4)
Có tất cả 2.2.2.3! = 48 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 1
Trường hợp 2: (a;b;c) là hoán vị của bộ số (1;2;4)
Có tất cả 3!.3! = 36 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 2
Như vậy, có tất cả 48 + 36 = 84 số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
m x m x x x m x x đúng ∀x ∈ R Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
