XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU HOẶC CỰC TRỊ HÀM SỐ TỪ BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA ĐẠO HÀM

Trong giải tích, đạo hàm là công cụ rất mạnh để giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Hàm số và đạo hàm của nó có mối liên hệ chặt chẽ, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Trong các đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây, người ra đề khai thác khá sâu về mối liên hệ này. Trong các đề thi, đạo hàm của hàm số không chỉ được khai thác ở dạng công thức mà còn được cho dưới dạng bảng biến thiên hoặc đồ thị. Trong đề thi cũng xuất hiện nhiều bài toán khó có giả thiết là bảng biến thiên hoặc đồ thị của đạo hàm và yêu cầu xác định tính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số ban đầu. Từ kỳ thi THPT quốc gia năm 2017, các dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Tuy nhiên, khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các dạng toán này của học sinh còn hạn chế. Vì vậy, tôi đầu tư viết chuyên đề này trình mày một số cách tiếp cận và giải quyết các dạng toán nêu trên với mục đích giúp học sinh có tài liệu tham khảo để ôn thi tốt hơn, đồng thời cũng là tài liệu để tôi giảng dạy trong nhà trường.

GIỚI THIỆU VỀ CHUYÊN ĐỀ

Dự kiến số tiết: 3 tiết

Trong giải tích, đạo hàm là công cụ rất mạnh để giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đếnphức tạp Hàm số và đạo hàm của nó có mối liên hệ chặt chẽ, đặc biệt là tính đơn điệu và cựctrị của hàm số Trong các đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây, người ra đề khai thác khásâu về mối liên hệ này Trong các đề thi, đạo hàm của hàm số không chỉ được khai thác ở dạngcông thức mà còn được cho dưới dạng bảng biến thiên hoặc đồ thị Trong đề thi cũng xuất hiệnnhiều bài toán khó có giả thiết là bảng biến thiên hoặc đồ thị của đạo hàm và yêu cầu xác địnhtính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số ban đầu

Từ kỳ thi THPT quốc gia năm 2017, các dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các

đề thi Tuy nhiên, khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các dạng toán này của học sinhcòn hạn chế Vì vậy, tôi đầu tư viết chuyên đề này trình mày một số cách tiếp cận và giải quyếtcác dạng toán nêu trên với mục đích giúp học sinh có tài liệu tham khảo để ôn thi tốt hơn,đồng thời cũng là tài liệu để tôi giảng dạy trong nhà trường

PHẦN I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

A TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Định nghĩa: Cho hàm số yf x( ) xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặcnửa khoảng

1 Hàm số yf x( )được gọi là đồng biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( )2

2 Hàm số yf x( )được gọi là nghịch biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( )2

3 Đồ thị hàm số đồng biến trên D có hướng đi lên tính từ trái qua phải, đồ thị hàm số nghịch

biến trên D có hướng đi xuống tính từ trái qua phải

II Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng D

1 Nếu hàm số yf x( ) đồng biến trên D thì f x'( ) 0,   x D

2 Nếu hàm số yf x( ) nghịch biến trên D thì f x'( ) 0,   x D

III Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng D

1 Nếu f x'( ) 0,   x D và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồngbiến trên D

2 Nếu f x'( ) 0,   x D và f x '( ) 0chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịchbiến trên D

3 Nếu f x'( ) 0,   x D thì hàm số không đổi trên D

B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Định nghĩa: Cho hàm số yf x( )xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (có thể a là  ; b

gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

* Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm tại điểm x0, Khi

đó, nếu yf x( ) đạt cực trị tại x0 thì f x '( ) 00 Điều ngược lại không đúng

III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

1.Định lý 1 (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số - Sử dụng bảng biến thiên)

Giả sử hàm số yf x( )liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0và có đạo hàm trên các khoảng

( , ) và ( , )a x x b ( Có thể không có đạo hàm tại x0) Khi đó:

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

Minh họa bằng đồ thị

Hàm số f đạt cực đại tại x c

Hàm số f đạt cực tiểu tại x c

2

2.Định lý 2 (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số - Không sử dụng bảng biến thiên)

Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0, ( Phải có đạo hàm tại x0)0

'( ) 0

f x  và f x ''( ) 00 Khi đó:

+ Nếu f x ''( ) 00 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

+ Nếu f x ''( ) 00 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số yf x( )

Phương pháp giải: Đây là dạng toán cơ bản, từ giả thiết ta xét dấu của f x ( ) rồi kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số yf x( )

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  liên tục và xác định trên  Biết f x  có

đạo hàm f x'  và hàm số yf ' x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào

sau đây đúng?

A Hàm số f x  đồng biến trên 

B Hàm số f x  nghịch biến trên 

C Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng 0;1

D Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 0; 

Lời giải Chọn C Trong khoảng 0;1 đồ thị hàm số yf ' x nằm phía dưới trục

hoành nên hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0;1

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y= f x¢( ) có đồ thị như

hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x 1. B Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x 1

C Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x  2. D Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x  2

x y

Dạng 2: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số yg x f ax b(  )

g x   f ax b    ax b D  từ đó suy ra tập các giá trị của x để g x  0

Ví dụ 3: (Câu 35 – mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x  như sau:

Dạng 3: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số yg x  f u x   trong đó u x  là một đa thức bậc n.

- Từ đó kết luận về tính đơn điệu hoặc cực trị của hàm số yg x 

Ví dụ 4 (Câu 46– mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x  như sau

Số điểm cực trị của hàm số yf x 2  2x là

Lời giải Đáp án C

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình  1 vô nghiệm Các phương trình      2 ; 3 ; 4 mỗi phương trình có 2 nghiệm Các nghiệm đều phân biệt nhau.

Vậy phương trình y 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số yf x 2  2x có 7 điểm cựctrị

Dạng 4: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số yg x mf x( ) h x 

- Kết luận về tính đơn điệu hoặc cực trị

Chú ý rằng: Nếu đồ thị hàm số yf x  nằm phía trên đồ thị hàm số y g x   thì

   

f x g x

Nếu đồ thị hàm số yf x  nằm phía dưới đồ thị hàm số y g x   thì f x  g x .

Chú ý: Ngoài cách giải trên, đối với các bài tập trắc nghiệm khách quan ta có thể tính

  ( )  

g x mf x h x rồi thử các phương án trong đề bài để loại bỏ các đáp án nhiễu

Ví dụ 5: Cho hàm sốyf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ dưới

Đặt     1 2

2018.

2

g x f x  x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số g x  đồng biến trên 1; 3 B Hàm số g x  đồng biến trên 3; 0

C Hàm số g x  đồng biến trên 0; 3 D Hàm số g x  nghịch biến trên 0; 3

Lời giải Chọn A

Ta có: g x  f x  x 1

Xét: g x  0 f x    x1 1

Dựa vào đồ thị hàm số yf x  và đồ thị y x 1 ta thấy:

Đồ thị hàm số yf x  nằm “phía trên” đồ thị yx 1 khi x     ; 3  1; 3

Do đó:  1  x    ; 3  1; 3

Vậy hàm số g x  đồng biến trên   ; 3 và 1;3.Vậy khẳng định đúng là A.

Ví dụ 6: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạohàm f x'  Hỏi hàm số g x f x 3x có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải Chọn B

Ta có ( )g x¢ =f x¢( )+ 3; g x¢( )= Û 0 f x¢( )=- 3. Suy ra số nghiệm của phương trình ( )g x¢ = 0 chính

là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số ( )f x¢ và đường thẳng y=- 3.

8

Dựa vào đồ thị ta suy ra ( )

1 0

1 2

x x

g x

x x

é ê

=-ê = ê

ê = ê

Ta thấy x=- 1, x= 0, x= 1 là các nghiệm đơn và

2

x = là nghiệm kép nên đồ thị hàm số ( )g x = f x( )+ 3x có 3 điểm cực trị Chọn B

Dạng 5: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y g x  mf ax b(  ) h x  (am 0)

Phương pháp giải:

- Tính g x ma f ax b (   ) h x 

Cách 1: Xét dấu của g x 

Tuỳ các biểu thức cho trong từng bài ta có thể có cách xét dấu khác nhau

Cách 2: Thử trực tiếp các phương án để loại bỏ phương án sai

Ví dụ 7: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y3f x 2 x33x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B   ; 1 C 1;0 D 0;2

Lời giải Chọn C

Vậy ta chọn đáp án C

Ví dụ 8: Cho hàm số yf x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y3f x 3 x312x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A 2;  B 1;0 C 1;5 D   ; 1

Lời giải Chọn A

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng 4; 2  và 2; 

Dạng 6: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x ( ) vàyg x ( ) suy ra tính đơn điệu của hàm số y h x   m f ax b.   n g cx d.   

Phương pháp giải:

- Tính y h x  am f ax b   cn g cx d   

- Dựa vào đồ thị hai hàm số yf x ( ) vàyg x ( ) suy ra dấu của của h x  và kết luận

Ta cũng có thể thử trực tiếp và loại phương án nhiễu

10

Ví dụ 9 [Câu 50 - mã đề 101 - đề thi THPT quốc gia 2018] Cho hai hàm số yf x ,

Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số yf x  tại A a ;10, a 8;10 Khi đó ta có

Câu 1:(THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Hình bên là đồ thị

của hàm số yf x  Hỏi đồ thị hàm số yf x  đồng biến trên khoảng nào dướiđây?

A 2;  B 1;2 C 0;1 D 0;1 và

2; 

Lời giải.

Chọn A

Dựa vào đồ thị f x  ta có f x  0 khi x 2;  hàm

số f x  đồng biến trên khoảng 2; 

Câu 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'  xác định, liên tục trên

 và f x'  có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là

Câu 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  xác định, liên tục trên

 và f x'  có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là

Câu 4 Cho hàm số yf x  liên tục và xác định trên  Biết f x  có

đạo hàm f x'  và hàm số yf ' x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định

nào sau đây đúng?

A Hàm số f x  đồng biến trên 

B Hàm số f x  nghịch biến trên 

C Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng 0;1

D Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 0; 

Lời giải Chọn C Trong khoảng 0;1 đồ thị hàm số yf ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0;1

Câu 5: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y= f x¢( ) có đồ thị như

hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x 1. B Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x 1

C Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x  2. D Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x  2

O

y

x

1

x y

Câu 6: Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ thị của hàm số

Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng

Câu 7 Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ thị hàm số f x'  là đường cong trong hình

bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1  B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1  D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Lời giải Chọn D

Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số yf ' x ta có bảng biến thiên như sau:

14

Trên khoảng 0; 2ta thấy đồ thị hàm số yf ' x nằm bên dưới trục hoành.

Câu 8 Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ thị của hàm số f x  như hình vẽ Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  ĐB trên khoảng    ; 2 ; 0;   B Hàm số yf x  NB trên khoảng  2;0 

C Hàm số yf x  ĐB trên khoảng  3; . D Hàm số yf x  NB trên khoảng   ;0

Lời giải Chọn C

Trên khoảng  3;  ta thấy đồ thị hàm số f x  nằm trên trục hoành

Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và xác định trên ¡ Biết

( )

f x có đạo hàm f x'( ) và hàm số y= f x'( ) có đồ thị như

hình vẽ Xét trên (- π π; ), khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (- π π; ).

B Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng (- π π; ).

C Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ;

2

π π

Trong khoảng (0;π) đồ thị hàm số y= f x'( )nằm phía trên trục hoành nên hàm số f x( ) đồngbiến trên khoảng (0;π).

Câu 10 Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên  Biết đồ thị của

hàm số f x( ) như hình vẽ Tìm điểm cực tiểu của hàm số yf x( ) trên

đoạn [0;3]?

A x  và 0 x 2 B x  và 1 x 3

C x 2 D x 0

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số f x  cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua

2

x=

Mức 2 ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ

Câu 1 Cho hàm số yf x . Hàm số yf x'( ) có đồ thị như

hình bên Hàm số y g x   f(2 x) đồng biến trên khoảng

A 1;3 B 2; 

C  2;1 D    ; 2

Lời giải Chọn C

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số ( )g x = f(3 2 - x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A (0;2 ) B ( )1;3 C (- ¥ - ; 1 ) D (- +¥ 1; ).

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 0 2 2.

Cách 2 Ta có ( ) ( ) theo do thi ' ( )

5 2

é

ê = ê

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của ( )g x¢ được xác định như sau: Ví dụ ta chọn 0 1; ,1

Nhận thấy các nghiệm của ( )g x¢ là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số ( )g x =f(1 2 - x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A (- 1;0 ) B (- ¥ ;0 ) C (0;1 ) D (1; +¥ ).

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 0 1 .

x

é = ê

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D

Chú ý: Dấu của ( )g x¢ được xác định như sau: Ví dụ chọn x = Î2 1;( +¥ ), suy ra 1 2 - x=- 3

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số y= f x¢( )

được cho như hình vẽ bên Hàm số 1

A x 2. B x 4. C x 3. D x 1.

Lời giải Chọn B

hàm số yf ' x theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị

Đồ thị hàm số g x'  f x'  1 cắt trục hoành tại các điểm có

hoành độ x 2;x 4;x 6 và giá trị hàm số g x'  đổi dấu từ

dương sang âm khi qua điểm x 4

Câu 6 Hàm số yf x  liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số yf ' x trên Knhưhình vẽ Tìm số cực trị của hàm số g x f x  1 trên K?

Lời giải Chọn B

Ta có g x'  f x'  1 có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số yf ' x theo phương trụchoành sang trái 1 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số g x'  f x'  1 vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm

Câu 7 Cho hàm số f x  có đồ thị f x  của nó trên khoảng K

như hình vẽ Khi đó trên K, hàm số yf x  2018 có bao nhiêu

điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Câu 1 Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số yf x 2 đồngbiến trong khoảng

Đặt g x f u u x ,  2  0thì g x  2 x f u  nên

 

 

00

x x

B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f u  và x ta được như bảng trên

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên Hỏi hàm số g x( )= f x( )2

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A (- ¥ - ; 1 ) B (- +¥ 1; ). C (- 1;0 ) D (0;1 )

Lời giải Chọn C

x x

Cách 2 Ta có ( ) ( ) ( )

2 theo do thi '

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của ( )g x¢ được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (1;+¥)

Câu 3 Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y f x 2 có bao nhiêu khoảng nghịch biến

Lời giải Chọn B

00

x

f x y

Ta có ( ) ( ) ( )

2 theo do thi '

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của ( )g x¢ được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+¥)

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

Hỏi hàm số g x( )= f x( 2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên Hỏi hàm số

( ) (1 2)

g x =f - x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

22