NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ

Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i Nhóm các phương pháp giải tích tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương, trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS Lưu Xuân Hùng

2 GS TSKH Nguyễn Đông Anh

Hà Nội – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được bảo vệ ở bất kỳ học vị nào

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn, các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả luận án

Nguyễn Cao Thắng

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy hướng dẫn khoa học, TS Lưu Xuân Hùng và GS.TSKH Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học, chỉ bảo tôi nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án

Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Viện Cơ học, Học Viện Khoa học và Công nghệ, các thầy cô đã tạo điều kiện đã giúp đỡ tôi ngay từ những ngày đầu làm luận án

Tôi xin cám ơn các đồng nghiệp, TS Nguyễn Như Hiếu, TS Nguyễn Văn Hải và nhiều người khác đã hỗ trợ, động viên tôi trong nhiều lúc khó khăn

Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong suốt thời gian làm luận án

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN I LỜI CÁM ƠN II MỤC LỤC III DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT VI DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ IX DANH MỤC CÁC BẢNG X

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 6

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất 6

1.2 Quá trình ngẫu nhiên 8

1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt 11

1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên 16

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 19

1.6 Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên 25

Kết luận chương 1 28

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ 29

2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển 29

2.2 Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến 36

2.2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng 37

2.2.2 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh 38

2.2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu 39

2.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) 40

Kết luận chương 2 49

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO 50

3.1 Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến 50

3.1.1 Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng 50

3.1.2.Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng 52

3.1.3 Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng 54

3.2 Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) 57

3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba 57

3.2.2 Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên 60

3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên 63

3.2.4 Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên 66

3.2.5 Dao động của tàu thủy 70

Kết luận chương 3 72

CHƯƠNG 4 ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO 73

4.1 Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do 73

4.2 Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 80

4.2.1 Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 80

4.2.2 Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 83

4.2.3 Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 86

Kết luận Chương 4 88

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90

DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC 100

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GLOMSEC (GL) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion)

LOMSEC (L) tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa

phương (Local Mean Square Error Criterion)

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên 9

Hình 1.2 Các hàm mật độ xác suất chuẩn 14

Hình 3.1 Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, (  =0.1, 1, 10, 100) 52

Hình 3.2 Đồ thị hàm PDF p x x ,  của hệ cản phi tuyến, ( =0.1, 1, 10, 100) 54

Hình 3.3 Đồ thị hàm PDF p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, ( =0.1, 1, 10,  ,  100) 56

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Các giá trị của a phụ thuộc theo  51 Bảng 3.2 Các giá trị của a phụ thuộc theo  53 Bảng 3.3 Các giá trị của a phụ thuộc theo  55 Bảng 3.4 Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với

Bảng 4.3 Mô men bậc hai của đáp ứng với ,2,S,,2f 1và  thay đổi 85

Bảng 4.4 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing có cản với

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài:

Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò rất quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như kéo dài tuổi thọ của các công trình, máy móc Hạn chế hay loại bỏ những dao động không mong muốn, hoặc tạo

ra một mức độ dao động mong muốn là những mục tiêu chung của kỹ thuật dao động Để nghiên cứu các hiện tượng dao động, cần phải mô tả chúng bằng các phương trình toán học, theo đó, các hệ dao động được gọi là tuyến tính hay phi tuyến tùy theo phương trình vi phân mô tả dao động ấy là tuyến tính hay phi tuyến

Hầu hết các bài toán dao động đều liên quan đến việc xác định chuyển động của một hệ gây ra bởi tải trọng kích động Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu

kỳ, hoặc theo một cách nào đó mà được mô tả đầy đủ như là một hàm của thời gian (và vị trí) và nếu vị trí hay chuyển động ban đầu của hệ được biết thì đáp ứng của hệ

ở một thời điểm tùy ý sẽ hoàn toàn được xác định Loại dao động như vậy được gọi

là dao động tiền định

Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất thường) và gây ra các đáp ứng cũng thay đổi bất thường làm cho các công trình, thiết bị máy móc làm việc không hiệu quả, chóng hư hỏng, hoặc bị phá hủy đột ngột Chẳng hạn như: nhiễu động của gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên công trình cao tầng, tháp, cầu; tác động của sóng biển lên tầu biển, công trình biển; lực do nhấp nhô của mặt đường tác động lên ô tô; tác động của động đất đến các công trình, v.v là các dạng kích động ngẫu nhiên Về bản chất, giá trị của đại lượng ngẫu nhiên ở một thời điểm bất kỳ là không thể dự báo được, thậm chí nếu có mối liên hệ nào đó giữa cường độ của đại lượng ngẫu nhiên và thời gian mà đo được trong một khoảng thời gian nhất định thì nó cũng không bao giờ lặp lại một cách chính xác ở khoảng thời gian khác Do đó, các công cụ quen thuộc trong phân tích dao động tiền định sẽ không thể áp dụng được cho dao động ngẫu nhiên Bởi vậy, việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên bằng các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên

có ý nghĩa khoa học và ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật

Trong hơn nửa thế kỷ qua, đã có những phát triển quan trọng về cơ học ngẫu nhiên và dao động ngẫu nhiên, đặc biệt cùng với sự phát triển và đóng góp quan

trọng của kỹ thuật máy tính Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực của cấu trúc được mô hình hóa bằng các phương trình tuyến tính thì các thống kê đáp ứng có thể được phân tích một cách thỏa đáng Tuy nhiên, trong thực tế, những trường hợp như vậy chỉ là thiểu số, phổ biến hơn cả là các cấu trúc phi tuyến Việc phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến là rất khó khăn, phức tạp và chỉ một số trường hợp đặc biệt cho phép nhận được lời giải chính xác Bởi vậy, cần xây dựng những phương pháp phân tích xấp xỉ dễ ứng dụng hơn và cho phép nhận được kết quả có độ chính xác hợp lý

Về cơ bản, có thể phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ như sau: i) Nhóm các phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương, trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss và đóng không Gauss, hàm mật độ xác suất xấp

xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm các phương pháp số (Runge Kutta, phần tử hữu hạn, ); iii) Mô phỏng Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực nghiệm

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên được Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân tích các hệ dao động ngẫu nhiên Nội dung của phương pháp dựa trên sự thay thế phương trình phi tuyến của hệ bởi phương trình tuyến tính tương đương chịu cùng một kích động ngẫu nhiên Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận được theo tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa phương trình phi tuyến gốc và phương trình tuyến tính tương đương Đây là một phương pháp hữu hiệu đối với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể và cần thiết phải phát triển những tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24] Năm 1995, N Đ Anh và Di Paola đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC)

[15] dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân

trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất

hiện nhiều nhất (r là số dương, x là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên x) Tiêu chuẩn này đã được Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển trong luận án tiến sĩ [7] Độ chính xác của phương pháp này được cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền thống của Caughey Có thể thấy được ưu điểm của LOMSEC là: Trước hết, bằng cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo ra hàng loạt lời giải xấp xỉ; trong đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển chỉ là một trường hợp đặc biệt khi miền tích phân là vô cùng; thứ hai LOMSEC cũng chứa đựng sự tồn tại của một miền tích phân mà về nguyên tắc cho phép nhận được lời giải chính xác, trong khi điều này là không thể đối với tiêu chuẩn kinh điển Tuy nhiên, nhược điểm chính của LOMSEC là: đối với một hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp

(giá trị r) lại là một ẩn số, vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra ẩn số này Gần đây,

quan điểm đối ngẫu đã được đề xuất để nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [20] và đã được phát triển trong [21-24] Một ưu điểm quan trọng của quan điểm đối ngẫu là sự xem xét hai khía cạnh khác nhau của một vấn đề, điều này cho phép nghiên cứu trở nên phù hợp hơn Năm 2012, dựa trên quan điểm đối ngẫu, N Đ Anh, L.X Hùng và L Đ Việt [24] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho các hệ ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (SDOF) bằng cách kết hợp hai phạm vi địa phương và tổng thể Những giá trị mới thu được của các hệ số tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa địa phương

Trước đây, hệ SDOF có thể được sử dụng làm mô hình toán học khi khảo sát một số hệ, nhưng hiện nay, hệ nhiều bậc tự do (MDOF) phải được sử dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên Đây chính là cơ sở hình thành ý tưởng của luận án, đó là: áp dụng quan niệm đối ngẫu để khắc phục nhược điểm đã nêu của LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error

Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự do (MDOF)

2 Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên

3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các hệ dao động phi tuyến

thường gặp trong các lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, một bậc tự do và nhiều bậc tự do chịu kích động ồn trắng và ồn màu Đại lượng được quan tâm chủ yếu là mô men bậc hai của đáp ứng

4 Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số,

mô phỏng Monte - Carlo Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể Cụ thể là: dựa trên nhược điểm còn tồn tại của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (chưa khép kín về mặt giải tích khi xác định giá trị các hệ số tuyến tính hóa khu vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa, làm cơ sở để xây dựng tiêu chuẩn mới Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến một và nhiều bậc tự

do Mô phỏng Monte – Carlo để tìm nghiệm mô phỏng các dao động phi tuyến làm

cơ sở để đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa

5 Bố cục của luận án

Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục

Chương 1 Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và

quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết

Chương 2 Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương

sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Các phát triển của phương

pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu Đặc biệt, trong luận

án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do

Chương 3 Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ

một bậc tự do Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được

so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do

Chương 4 Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ

nhiều bậc tự do Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác, nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do

Kết luận chung: Trình bày các kết quả chính và mới đã thu được trong luận

án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp

Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 6 bài báo,

trong đó có 1 bài trên Tạp chí quốc tế, 1 bài trên Tạp chí ISI, 1 bài trên Tạp chí Vietnam Journal of Mechanics, và trong các hội nghị khoa học quốc tế và quốc gia

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU

NHIÊN PHI TUYẾN

Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết Một số kết quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng được trình bày

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất

Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung của những hiện tượng ngẫu nhiên Một biến cố có thể xảy ra, hoặc có thể không xảy ra gọi là biến cố ngẫu nhiên Một biến cố chắc chắn sẽ xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố tiền định Nếu mọi điều kiện thử nghiệm được giữ nguyên mà các kết quả thu được lại khác nhau, thì biến cố như vậy được gọi là biến cố ngẫu nhiên

Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]:

Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M,

ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn

nlim f (M) P(M)

Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho

a) tập hợp X  x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,

b) xác suất của biến cố X =   bằng không

Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x,

Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất sau [29,69]:

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất F(x) của nó

liên tục Đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất gọi là hàm mật độ xác suất,

ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]:

và chúng có các tính chất sau:

1 2

Hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và Y tương ứng

được ký hiệu là p 1 (x) và p 2 (y) và thu được bằng phép tích phân:

Nếu hai thành phần X và Y độc lập nhau, thì

p(x,y) = p 1 (x)p 2 (y) và F(x,y) = F 1 (x)F 2 (y) (1.12) Tương tự ta có thể mở rộng các khái niệm này cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại mỗi giá trị cho trước của đối số (thời gian t) là một đại lượng ngẫu nhiên Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên ta dùng các thể hiện Mọi thể hiện đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể này được gọi là một hàm mẫu (xem Hình 1.1) Các đặc trưng xác suất của quá trình ngẫu nhiên là năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng toán, phương sai, hàm tương quan, và mật độ phổ

Hình 1.1 Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên

Hàm mật độ xác suất

Tại mỗi giá trị t=t 1 cố định thì quá trình ngẫu nhiên là một đại lượng ngẫu nhiên x(t1) Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc một là p[x(t 1 )] hoặc đơn giản là p(x), thì xác suất để mẫu nằm giữa a và b theo (1.13) sẽ là

Tương tự, đối với hai giá trị t1 và t2, thì cặp giá trị x(t1) và x(t2) có thể được coi như

biến ngẫu nhiên hai chiều Nếu gọi p(x 1 ,x 2 ) là hàm mật độ xác suất kết hợp ta có

trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng một chiều p(x) được

định nghĩa như sau [3,29,30]

Mô men bậc nhất (hay Kỳ vọng toán)

Mô men bậc 2 (hay đại lượng trung bình bình phương) của quá trình ngẫu nhiên

(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]

t 2

t 1

Mô men bậc 2 quy tâm hay còn được gọi là phương sai của quá trình ngẫu nhiên

(dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30]

Mô men bậc 2 quy tâm (hay Phương sai)

Đại lượng x  D x( ) phản ánh mức độ phân tán của quá trình ngẫu nhiên X(t) so

với giá trị trung bình của nó, gọi là độ lệch chuẩn

Một cách tổng quát mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng)

X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, … xm) được định nghĩa như sau [3,29,30]

Hàm tự tương quan và hiệp phương sai

Gọi t1 và t2 là hai giá trị của t với t2 = t1 +  và ký hiệu x 1 và x 2 là các tổng thể của

các mẫu x(t 1 ) và x(t 2 ) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x 1 , x 2 ) Khi đó kỳ

Xét hàm số bằng trung bình tích độ lệch giữa x(t) và trung bình của nó tại hai thời điểm

gọi là hiệp phương sai hay hàm tương quan của quá trình x(t)

Khi x 1 và x 2 có trung bình zero thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương quan Khi t 1 = t 2 thì hiệp phương sai trùng với phương sai và hàm tự tương quan trùng với

Khi đó hai đại lượng ngẫu nhiên x 1 và x 2 không tương quan Như vậy, mô men

tương quan (hiệp phương sai) đặc trưng cho mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu

nhiên hay giữa các giá trị x 1 và x 2 của một quá trình ngẫu nhiên tại hai thời điểm

khác nhau Các mô men bậc hai của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều x 1 , x 2 có thể mô

tả bằng ma trận hiệp phương sai sau đây:

1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Quá trình ngẫu nhiên dừng

Quá trình ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu tổng thể các thống kê của nó không đổi theo thời gian [27-29]

Quá trình ngẫu nhiên Ergodic

Xét một mẫu x(j) là hàm f(t) trong khoảng thời gian T của quá trình x(t) Lấy trung bình theo thời gian dọc theo mẫu này [29-31]

T T x

trong đó Sx() là biến đổi ngược Fourier của hàm Rx()

Khi đó Sx() được gọi là mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Để hiểu ý nghĩa vật

lý của Sx(), ta xét trường hợp tới hạn với  = 0

Nghĩa là, trung bình bình phương của quá trình ngẫu nhiên bằng tổng tất cả các tần

số Sx()d Do vậy, Sx() chính là mật độ phân phối của trung bình bình phương dọc theo trục tần số

Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss

Trong hầu hết các bài toán ứng dụng nhiều quá trình ngẫu nhiên là lực kích động lên

hệ dao động được coi một cách gần đúng là quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss

Đó là quá trình mà hàm tương quan (hay mật độ phổ) cho đủ thông tin để xây dựng tập hợp vô hạn các phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu nhiên chuẩn n chiều có dạng [29-31]

n n

n

i j ij

2 1

1 1

2σ2πσ

Hình 1.2 Các hàm mật độ xác suất chuẩn

Tham số σ đặc trưng cho mức độ phân tán của phân phối quanh tâm phân phối Khi tăng, mật độ xác suất tại tâm phân phối giảm, còn lại những điểm cách xa tâm phân phối sẽ tăng Tham số h =1/σ được gọi là độ đo độ chính xác (xem hình 1.2)

Quá trình ồn trắng

Quá trình ngẫu nhiên dừng chuẩn f(t) (thường được ký hiệu là (t)) có mật độ phổ không đổi được gọi là quá trình ồn trắng Mật độ phổ của quá trình này đồng đều trên tất cả các tần số, tương tự như ánh sáng trắng trải một cách đều đặn trên toàn phổ nhìn thấy được Khi đó hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan tương ứng là [29, 30, 31]:

Gọi f là một quá trình ồn màu dải hẹp có thể thu được bằng cách qua một bộ lọc tuyến tính bậc hai với tần số trung tâm trong đó phương trình vi phân cho bộ lọc là

2 2

f f  f  w

trong đó w là quá trình ồn trắng có mật độ phổ S Theo [29], hàm mật độ phổ của

f được xác định theo công thức

Quá trình ngẫu nhiên X(t), t > 0 gọi là quá trình Wiener nếu:

1) số gia độc lập X(t) - X(s) là dừng Nghĩa là các biến ngẫu nhiên X(t) - X(s) và X(t+h) - X(s+h) có cùng phân phối xác suất p

2) đối với t > 0, thì X(t) có phân phối chuẩn

1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên

Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là các công cụ hữu hiệu để phân tích dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên Ngày nay, các phương pháp số làm cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được Tuy nhiên, phương pháp số chỉ cho kết quả ở dạng số thiếu tính quy luật tổng quát Việc sử dụng các phương pháp giải tích gần đúng là cần thiết để phân tích các

hệ phi tuyến Ta sẽ lần lượt điểm qua một số phương pháp giải tích gần đúng sau đó

sẽ lựa chọn một vài phương pháp liên quan đến luận án để trình bày chi tiết [29-31]

Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé)

Một trong những phương pháp xấp xỉ được sử dụng phổ biến là phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé) Xuất phát từ việc áp dụng cho dao động tiền định, phương pháp nhiễu được Crandall [25] sử dụng để đánh giá các mô men đáp ứng của hệ một và nhiều bậc tự do chịu kích động dừng Gauss Ý tưởng cơ bản của phương pháp là khai triển nghiệm của dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi lũy thừa

của tham số bé, thường là hệ số phi tuyến của hàm phi tuyến Phương pháp này phù hợp cho hệ có số hạng phi tuyến dạng đa thức, và hữu ích khi tính toán các mô men của đáp ứng Tuy nhiên, khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng lên theo bậc của tham số khai triển, trong khi để đơn giản trong áp dụng thực

tế, thường chỉ sử dụng đến bậc nhất Do vậy, phương pháp nhiễu chỉ có hiệu quả cho hệ phi tuyến yếu với nhiễu nhỏ Một số áp dụng của phương pháp này được trình bày trong [25, 26]

Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)

Phương pháp này được sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên khi phương pháp đưa bài toán ngẫu nhiên về việc giải một phương trình đạo hàm riêng [77, 78] Phương pháp phương trình FPK cho nghiệm chính xác cho một số dạng dao động

cụ thể, được sử dụng để làm cơ sở đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần đúng Phương pháp phương trình FPK có lẽ là phương pháp duy nhất cho nghiệm chính xác tuy nhiên các lời giải chính xác rất hạn chế Một số phương pháp đã được

để xuất để tìm nghiệm của phương trình FPK Tuy nhiên việc xấp xỉ này đòi hỏi khá nhiều thời gian tính toán và mới chỉ dừng lại ở bài toán bốn chiều với kích động ngoài thường là ồn trắng Gauss; còn việc xấp xỉ giải tích cũng chỉ dừng lại đối với một lớp hệ phi tuyến có tải trọng tuần hoàn và chịu kích động ngẫu nhiên

Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

Dựa trên phương pháp trung bình áp dụng cho các hệ tiền định của Bogoliubov và Mitropolski [58] Stratonovich chứng minh đáp ứng của hệ một bậc tự do có cản yếu chịu kích động băng rộng có thể được xấp xỉ bằng quá trình khuếch tán Markov, nghĩa là hàm mật độ xác suất có thể xác định được bằng phương trình FPK Phương pháp này được Roberts và Spanos [29] tổng quát hóa cho hệ nhiều bậc tự do, được Lin [70] áp dụng hệ có kích động không dừng Mặc dù có thể áp dụng cho hệ chịu kích động ngoài cũng như kích động tham số, nhưng phương pháp này thường chỉ áp dụng được cho hệ một bậc tự do có cản yếu vì bị giới hạn bởi việc giải phương trình FPK nhiều chiều

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là thay thế hệ phi tuyến ban đầu bằng một hệ tuyến tính tương đương có cùng kích động [9-19] Trong hệ tuyến tính tương đương, các hàm phi tuyến được thay thế bằng các hàm tuyến tính với hệ số tuyến tính hóa được lựa chọn tối ưu theo một tiêu chuẩn xác suất nào đó Các tiêu chuẩn của Caughey đề nghị điều kiện cực tiểu trung bình bình phương của sai số phương trình, còn được biết đến với các tên gọi khác như tiêu chuẩn kinh điển [9,10] Các tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho hệ một bậc tự do hay nhiều bậc tự do, hệ dừng hay không dừng, hệ có trễ với quy trình tính toán khá đơn giản, rất có hiệu quả khi áp dụng để phân tích mô men bậc hai Tuy nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của tiêu chuẩn kinh điển là độ chính xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng Phương pháp tuyến tính hóa tương đương sẽ là công cụ nghiên cứu chính của luận án nên sẽ được trình bày chi tiết và sâu hơn trong chương sau

Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên

Ý tưởng của phương pháp này là thay thế hệ phi tuyến ban đầu bằng một hệ phi tuyến tương đương thuộc lớp hệ phi tuyến có nghiệm chính xác [77, 78, 81] Phương pháp này chỉ thích hợp để áp dụng cho hệ một bậc tự do vì các hệ phi tuyến

có hàm mật độ xác suất nhiều chiều chính xác rất hạn chế [77, 78, 81]

Trong các phương pháp giải tích đề cập ở trên, mỗi phương pháp có một lợi thế riêng Phương pháp phương trình FPK là phương pháp giải tích chính xác Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên đều sử dụng các xấp xỉ giải tích để tìm hàm mật độ xác suất bằng phương pháp phương trình FPK nên được dùng kết hợp với phương pháp này Phương pháp nhiễu, mặc dù có thể áp dụng cho bài toán nhiều chiều, nhưng chỉ phù hợp với hệ phi tuyến yếu và khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng theo bậc của khai triển xấp xỉ Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên thường được sử dụng nhất hiện nay để phân tích dao động ngẫu nhiên trong nghiên cứu và trong ứng dụng kỹ thuật Lý do là phương pháp này có thể áp dụng đối với

hệ nhiều bậc tự do hay bài toán nhiều chiều vốn rất phổ biến trong thực tế, trong khi các phương pháp khác như đã liệt kê đều bị giới hạn bởi số chiều của bài toán

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể được coi là phương pháp thông dụng, được các tác giả sử dụng phổ biến nhất để tìm đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên Tuy nhiên phương pháp tuyến tính hóa tương đương vẫn tồn tại một số nhược điểm cơ bản cần phải giải quyết, một là không ước lượng được mức độ chính xác của nghiệm xấp xỉ, hai là sai số của nghiệm xấp xỉ tăng khi mức độ phi tuyến tăng, ba là chỉ cho kết quả dưới dạng mô men bậc hai của đáp ứng

Đối với nhược điểm thứ nhất của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cần xác định liên hệ toán học giữa tiêu chuẩn tuyến tính hóa được đề xuất với sai số của nghiệm xấp xỉ, nhưng hiện nay vẫn chưa có chứng minh lí thuyết cho một tiêu chuẩn cụ thể nào về sự liên hệ này, do đó để đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ cần phải dựa trên các hệ có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số Để giải quyết nhược điểm thứ hai, một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa mới đã được đề xuất theo các cách tiếp cận dựa trên các tiêu chuẩn về năng lượng hay mô men xác suất, nhưng vẫn chưa có tiêu chuẩn nào được khẳng định là thay thế hoàn toàn tiêu chuẩn kinh điển Nhược điểm thứ ba xuất phát từ giả thiết phân bố xác suất của đáp ứng xấp xỉ

là Gauss với trung bình không nên chỉ cần biết mô men bậc hai là xác định được toàn bộ các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng, do đó một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa đề xuất sử dụng phân bố của đáp ứng khác Gauss, tuy nhiên dạng của phân bố phải giả thiết nên cũng chỉ phù hợp cho một số hệ phi tuyến nhất định Cho đến nay vẫn chưa có cách tiếp cận nào có thể giải quyết đồng thời ba nhược điểm cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương Trong luận án sẽ dùng các lời giải chính xác để so sánh với các lời giải gần đúng của luận án, do vậy dưới đây ta trình bày chi tiết phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và liên quan đến phương pháp này là phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

Để áp dụng phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kongomorop (FPK) ta sẽ sử dụng kiến thức về quá trình ngẫu nhiên Markov đã được trình bày ở mục 1.3 của chương này Khi đó hàm phân bố nhiều chiều đều có thể biểu diễn qua phân phối hai chiều theo công thức (1.39), trong đó hàm mật độ xác suất có điều kiện còn

được gọi là hàm mật độ xác suất chuyển tiếp Hàm mật độ xác suất p(X,t) và hàm

mật độ xác suất chuyển tiếp p X t X t , 0, 0 của quá trình Markov thoả mãn phương trình thuận Kongomorop được gọi là phương trình FPK [70,77]:

2

1( , ) [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]

trong đó các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán của quá trình Markov X(t)

được xác định theo công thức:

từ đó xác định hàm mật độ xác suất p(x,t) của quá trình ngẫu nhiên x(t) của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.42) Các quá trình Wiener k( )t (1.43) tương đương với những đặc trưng của véc tơ ồn trắng có giá trị trung bình zero và các hàm tương quan

Giá trị dương k/2 gọi là cường độ của quá trình ồn trắng  k( ) t1 Và phương trình

(1.43) có thể viết lại dưới dạng

Hệ có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng

Ta xét hệ một bậc tự do có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng [26]

2

02

- Các đáp ứng dịch chuyển x(t) và vận tốc x t  ( ) thường không là quá trình Gauss

- x(t) và x t  ( ) có thể là các quá trình độc lập khi lực cản tuyến tính

- x(t) và x t  ( ) là các quá trình không độc lập khi dao động có giảm chấn phi tuyến

Phương trình vi phân ngẫu nhiên bậc cao

Phương pháp phương tŕnh FPK có thể áp dụng hiệu quả cho phương trình vi phân ngẫu nhiên bậc cao dạng sau [27,28]:

Xét phương trình của hệ dao động phi tuyến yếu chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng như sau:

 

2 2

xỉ bởi phương trình FPK trung bình như sau:

có thể tìm được nghiệm dừng, là nghiệm của phương trình [70, 77]:

với C là hằng số chuẩn hóa

1.6 Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên

Dao động ngẫu nhiên là loại dao động mà không thể dự đoán được giá trị của nó tại bất kỳ thời điểm nào Trái ngược với dao động hình sin, dao động ngẫu nhiên không

có chu kỳ xác định rõ ràng Sự khác biệt chính giữa dao động hình sin và dao động ngẫu nhiên là dao động ngẫu nhiên có nhiều tần số và có thể được kích thích cùng một lúc [26-29]

Đối với nhiều tải trọng tác động trong tự nhiên, chúng ta thường có thông tin hạn chế về chúng thu được từ các dữ liệu ghi lại hoặc quan sát, chẳng hạn như tải trọng động đất và sóng biển Các ví dụ khác có thể là tải trọng gió lên các tòa nhà và tháp cao tầng, cầu dây văng Động đất xảy ra định kỳ trong các khu vực địa chấn với các thông tin không biết rõ và sóng biển diễn ra liên tục với sự biến động ngẫu nhiên của bề mặt biển.Thông tin mà chúng ta có được dựa trên trải nghiệm của các lần xuất hiện trong quá khứ mà từ đó chúng ta có thể dự đoán thông tin về đáp ứng cấu trúc theo cách tiếp cận xác suất Một quá trình ứng xử như thế liên quan đến dao động ngẫu nhiên và các đặc trưng của nó có thể được xác định bằng cách sử dụng lý

thuyết thống kê và phương pháp xác suất Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu trong một thời gian dài và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa [26–33], và được công bố trong rất nhiều bài báo [34–43]

Hầu hết các hiện tượng trong thế giới của chúng ta về cơ bản là phi tuyến và được

mô tả bằng các phương trình phi tuyến Chúng ta có thể đơn giản hóa các hiện tượng phi tuyến như các hiện tượng tuyến tính để làm cho chúng dễ hiểu hơn; tuy nhiên, để nắm sâu về các hiện tượng phi tuyến ta phải xét các mô hình phi tuyến

Do đó, việc nghiên cứu các vấn đề phi tuyến là rất quan trọng không chỉ trong tất cả các lĩnh vực vật lý mà còn trong kỹ thuật và trong các lĩnh vực khác Việc phân tích dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp thích hợp Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính tương đương ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ phi tuyến gốc Phương pháp này đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42, 43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29], [44] và [70] Về hiệu quả và tính linh hoạt của phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Elishakoff và Crandall đã viết: Phương pháp này cho phép có được lời giải gần đúng của hệ phi tuyến khi không có lời giải chính xác Trái ngược với kỹ thuật nhiễu (phương pháp tham số bé), việc thực hiện phương pháp tuyến tính hóa tương đương không yêu cầu sự tồn tại của tham số bé; mặt khác, không giống như mô phỏng Monte Carlo, phương pháp tuyến tính hóa tương đương không đòi hỏi chi phí tính toán lớn Mặc dù độ chính xác của của phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể không cao, nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43] Canor et al [45] cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát

để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn Phương pháp tuyến tính hóa tương đương đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu Một cách tuyến tính hóa tương đương dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến Hệ dao động phi tuyến của thiết diện cánh được nghiên cứu trong [48,49] bằng cách sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương Một phương pháp dựa trên phương trình tuyến tính hóa

tương đương được đề xuất trong [50] để xác định gần đúng lời giải tối ưu của bộ giảm chấn động lực ba phần tử thiết kế cho hệ kết cấu chính có cản Jalali [51] đã đề xuất áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để tuyến tính hóa lực đàn hồi phi tuyến trong đó các kết quả mô phỏng số cho thấy phương pháp được đề xuất

có hiệu quả trong việc phân tích hệ thống trễ phi tuyến yếu Silva-Gonzlez và cs [52] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên để nghiên cứu

hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn Su và cs [53] đã phát triển một quy trình hiệu quả dựa trên phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên không dừng Kỹ thuật tuyến tính hóa tương đương cũng đã được sử dụng trong [54] để nghiên cứu bức xạ nhiệt của các vệ tinh nhỏ theo mô hình một nút Một kỹ thuật tương đương mới cho phương pháp tuyến tính hóa sử dụng mô hình phân bố hỗn hợp Gaussian đã được phát triển trong [55] cho

hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên

Tại Việt Nam trong những năm gần đây dã có một số luận án phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên Luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4]

đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số Trong Luận án tiến sĩ của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương [6] Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞,

+∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung của đáp ứng của hệ xuất hiện nhiều nhất Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai

số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một

và nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên chuẩn Trong việc phát triển

này sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn

[-rx , + rx]

Kết luận chương 1

Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết Một số kết quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo Đặc biệt đã giới thiệu chi tiết về các luận án phát triển các tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Trong các tiêu chuẩn đối ngẫu đã đi sâu vào tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế

tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] Trong luận án do nghiên cứu sinh thực hiện sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu

để tiếp tục hướng nghiên cứu này, cụ thể sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC)