Luận Văn Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2

Do đó, để giải được các phương trình vi phân thông thường người ta thường phải sử dụng các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng.. Trong khóa luận này em xin trình bày một

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học,… đều dẫn đến việc giải các phương trình vi phân Tuy nhiên lớp các phương trình vi phân có thể tìm được nghiệm chính xác rất hẹp Do đó, để giải được các phương trình vi phân thông thường người ta thường phải sử dụng các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng

Do nhu cầu thực tiễn, các nhà khoa học đã tìm ra rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân

Trong khóa luận này em xin trình bày một số phương pháp giải gần đúng bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2

Nội dung chính của khóa luận gồm các chương:

Chương 1: Các kiến thức mở đầu

Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình

vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán Cauchy, phương pháp khử lặp

Chương 3: Ứng dụng vào giải những bài toán cụ thể

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do đặc điểm đề tài, do thời gian và tài liệu nghiên cứu hạn chế nên khóa luận của em chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong được sự chỉ bảo, tham gia đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em hoàn chỉnh hơn

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a*

nhiều Đại lượng : = | a – a*

| gọi là sai số thực sự của a Do không biết a* nên ta cũng không biết  Tuy nhiên, ta có thể tìm được a  0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:

| a – a* |  a (1.1.1) hay a  a *

a   a a Đương nhiên, a thỏa mãn đều kiện (1.1.1) càng nhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là :

Ví dụ 1 :

Giả sử a*

=  ; a = 3,14 Do 3,14a* 3,153,140,01 nên ta có thể lấy  a 0, 01 Mặt khác, 3,14  3,142 0, 002 do đó có thể coi

  

1.1.2 Sai số thu gọn

Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:

1 1

Nếu s = +  thì a là số thập phân vô hạn

Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác chữ số ‘ 0’ và cả chữ số ‘ 0 ‘ nếu

nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữa lại

Ví dụ : a = 0,0030140 Ba chữ số “ 0 “ đầu không có nghĩa

Mọi chữ số có nghĩa j của a (p10p p 110p1 p s10p s )

gọi là chữ số chắc nếu  a .10i trong đó  là tham số cho trước Tham số

Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là j Để j+1 và cả chữ

1.2 Sai số tính toán

Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau :

a) Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế Sai

số này không loại trừ được

b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không

thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể

c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do

đó có sai số Sai số các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu trong §1

d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn

nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại y theo công thức:



f x



 liên tục

và xi khá bé ta có thể coi

' 1 1

y = |1| x1 + |1| x2 + …+ |1| xn

y= x1 + x2 +…+ xn

n i i

Vậy khi tính toán ta phải tránh việc tính các hiệu số của hai số rất gần

nhau nếu không tránh được thì cần phải lấy các số với nhiều chữ số chắc

| | | |

| | 1

Nếu  1 ( phép lũy thừa) thì y x do đó độ chính xác giảm

Nếu 0  1 ta có phép khai căn, khi đó y x hay độ chính xác

tăng

Nếu   1 ta có phép nghịch đảo, y x nghĩa là độ chính xác

không đổi

1.3 Bài toán ngƣợc của lí thuyết sai số

Giả sử đại lượng y tính theo công thức y = f (x1, x2, … , xn) hỏi phải lấy

xi bằng bao nhiêu để y  const cho trước ?

Sau đây là hai phương pháp đơn giản để giải bài toán trên :

1.3.1 Nguyên lí ảnh hưởng đều

f x

x k

f x x

Ví dụ

h phải bằng bao nhiêu để thể tích V được tính chính xác tới 0,1 m3

x x x và nghịch biến theo các biến còn lại xp1, , xn Nếu biết cận

thay đổi của đối số xi   xi x ii;(  1, ) n thì:

Giả sử f là một hàm xác định trên tập X, h > 0 sao cho x + h  X, khi

đó biểu thức f x( ) f x(  h) f x( ) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm

( )

f x tại x

được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x

Tương tự nf    ( n1f ) được gọi là sai phân cấp n của f x ( ) tại x

1.4.2 Tính chất của sai phân

1.4.2.1 Sai phân là một ánh xạ tuyến tính ( toán tử tuyến tính )

1.5 Một số kiến thức về phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định ( đóng vai trò như ẩn số ) và những đạo hàm của hàm

số đó:

' ( )( , ( ), ( ), , n ( )) 0

Hàm số y( )x được gọi là nghiệm của phương trình (1.5.1) nếu thay

( ), ( ), , n ( )

nhất thức

Hàm số y( , ); (x c cR) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5.1) nếu: ( , ) x y D; (D

là miền xác định của phương trình ) ta có thể giải ra đối với c, c ( , )x y Hàm y   ( , ) x c thỏa mãn (1.5.1) khi (x, y) chạy khắp D   c R

1.6 Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường

1.6.1 Một số nghĩa

a) Bài toán Cauchy

Nếu từ phương trình (1.5.1) ta giải ra được đối với đạo hàm cấp cao

n

n n

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.5.2) được phát biểu như sau:

Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.5.2) sao cho khi x = xo thì

Trong trường hợp n = 2 thì bài toán Cauchy được phát biểu như sau:

( , , )

y  f x y y (1.5.3) Trong trường hợp này bài toán Cauchy được phát biểu như sau: Tìm

nghiệm y(x) của phương trình (1.5.3) thỏa mãn các điều kiện ban đầu :

0 0

( )

y x  y , y x'( )0  y10

- Định nghĩa : Cho phương trình vi phân : y( )n  f x y y ( , , , ,' y(n1))





mãn điều kiện Lipsit theo các biến u1, u2, …, un nếu tồn tại hằng số L > 0 (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kì ( , , x u u1 2, , un)  G;



- Định lí : Giả sử trong miền G  Rn1 hàm f x u u ( , ,1 2, , un) liên tục

và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u1, u2, …, un Khi đó với bất kì điểm trong

( , x y y , , y n )  G tồn tại duy nhất nhiệm y = y(x) của phương trình

y x  y y x  y y  x  y  b) Giả sử hàm f (x); fi(x) liên tục trên đoạn [a; b] và fn  0 lập phương trình vi phân tuyến tính

( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

n

i i

gọi là điều kiện biên thuần nhất Phương trình (1.6.1) cùng các điều kiện (1.6.4) lập thành bài toán biên

Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g  0,  và f x( )0 Trong trường hợp khác ta gọi là không thuần nhất đôi khi có thể gọi là bán thuần nhất nếu g  0,  nhưng ( )f x 0 Định nghĩa tổng quát về bài toán

(  0,  , )

Ta thâý rằng ( ) 0 x  thỏa mãn điều kiện bài toán biên thuần nhất

Nghiệm đó được gọi là nghiệm tầm thường

Nếu  1, 2, ,k là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì tổ hợp tùy ý của chúng: c1 1 c22   c kk cũng là nghiệm của bài toán đó

c) Cho phương trình:

' ( )( , ( ), ( ), , n ( )) 0;

F x y x y x y x  a x b (1.6.5) Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.6.6) được đặt ra như sau: Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu đoạn thẳng

Trong đó p(x); q(x); f (x) là những hàm số cho trước   0, 0, 0,

1, 1, 1

   là những hằng số cho trước

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã được xem xét trong giáo trình về phương trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại và duy nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn: |o| + |o| > 0; |1| + |1| > 0

1.6.2 Điều kiện giải được của bài toán biên

Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả, chẳng hạn:

Giả sử biết một nghiệm riêng 0 của phương trình (1.6.1) và hệ nghiệm

cơ bản  1, 2, ,n của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán

biên (1.6.1 ) – (1.6.2) và (1.6.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số

ci trong biểu thức   0 c1 1 c22   c kk sao cho điều kiện (1.6.4)

được thỏa mãn Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma trận:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

n n

Nếu ma trận (1.6.11) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và

có (n r ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m n 

thường khi định thức của ma trận (1.6.11) bằng không Như vậy trong trường hợp m  n hoặc bài toán biên thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2 - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ BÀI

TOÁN CAUCHY, PHƯƠNG PHÁP KHỬ LẶP

2.1 Phương pháp đưa bài toán biên về bài toán Cauchy

là những hằng số cho trước

2.1.2 Các phương pháp đưa bài toán biên về bài toán Cauchy

2.1.2.1 Phương pháp biến thiên hằng số

Ta biết rằng từ giáo trình về phương trình vi phân thì nghiệm của bài toán (2.1.1) có thể viết dưới dạng

Thuật toán mô tả ở trên có nhược điểm cơ bản như sau:

1) Nó chỉ áp dụng để giải các bài toán biên với phương trình vi phân tuyến tính

2) Trong quá trình thực hiện có thể dẫn đến sự thiếu chính xác (chẳng hạn khi Z x tăng nhanh theo biến x còn y(x) lại là đại lượng nhỏ thế thì một 1( )thay đổi nhỏ trong quá trình tính c1, c2 có thể dẫn đến sai số lớn khi tính y x( ))

2.1.2.2 Phương pháp bắn

Khi giải bài toán biên (2.1.1) (2.1.3) có thể sử dụng phương pháp bắn

để giải bài toán Cauchy

Phương pháp bắn có thể khái quát cho trường hợp bài toán phi tuyến nhưng cũng như phương pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số

đối với Z1(x), Z2 (x) với x  [a, b]

2) Sử dụng các giá trị của Z1(x), Z2(x) để tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau:

Nếu o  0 thì quá trình dồn thuận là quá trình giải các bài toán Cauchy:

' 2

0 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,( )

2.2.1 Nội dung phương pháp

Cho bài toán biên:

Phương pháp khử lặp giải hệ trên được tiến hành như sau:

Trước hết ta viết n-1 phương trình đầu tiên của (2.2.3) dưới dạng:

yi2  m yi i1  k yi i  h f2 i;( i  0, n  2) (2.2.5) trong đó :

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

1 1 1

Theo công thức (2.2.6) ta tính giá trị mi , ki Ta tìm được c0, d0 sau đó

áp dụng công thức truy hồi (2.2.10) ta tìm được giá trị ci, di với

i n

2.2.2 Ví dụ

Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình: y''  2 xy'  2 y   4 x

với điều kiện biên:

'

(0) (0) 0(1) 1 3,718

 Chiều thuận

Điền vào bảng các số xi = 0,1i và tính các giá trị mi, ki, fi với i0,8 Tiếp theo ta tìm được :

0 0



  ) Sau đó ta tìm được các giá trị yi ( i =9,8,…,1 ) theo công thức (2.2.12):

1 0

y Ah y

thể tính ra kết quả một cách dễ dàng thông qua một chương trình đơn giản

viết bằng ngôn ngữ Pascal dưới đây :

y9 = 3,2137 y10 = 3,7180

So sánh kết quả này với bảng tính tay ở trên, ta thấy kết quả chênh lệch không đáng kể Như vậy, nếu biết áp dụng tin học vào các phương pháp tính này một cách hợp lý thì chắc chắn hiệu quả sẽ rất cao

Chương 3 ỨNG DỤNG VÀO NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình: y''  2 xy'  2 y   4 x

với điều kiện biên:

' '

và lấy h = 0,1 thì xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình trên và điều kiện biên ta được hệ phương trình sai phân là:

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

và lấy h = 0,1 thì xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình trên và điều kiện biên ta được hệ phương trình sai phân là:

0 10

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình: y''    y x 0 với

và lấy h = 0,1 thì xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình trên và điều kiện biên ta được hệ phương trình sai phân là:

1 0,1

y y y

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

Theo công thức (2.2.11) ta tìm được y10 theo công thức :

n n n

và lấy h = 0,1 thì xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình trên và điều kiện biên ta được hệ phương trình sai phân là:

0 1 0 0 1

2 0

0 1 0 0 1

h c

    Do vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần

( )

phương trình ta đi đến hệ thức sau:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: Z x ( )  c e1 2x  c e2 3x  x2

Vậy phương trình (III) có nghiệm là: Z x2( )  3 e2x  2 e3x

Vậy bài toán có nghiệm là:

    Do vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần

phương trình ta đi đến hệ thức sau:

Suy ra 1; 0; 0

3

( ) 3

1( )

Vậy bài toán có nghiệm là: 3 5

Bài tập yêu cầu

1 Bằng phương pháp khử lặp giải các phương trình vi phân sau:

'' '

'

,0 1(0) (0) 0

Kết luận

Như chúng ta đã biết, các bài toán phát sinh trong thực tế không phải lúc nào cũng tìm được nghiệm chính xác hoặc nếu tìm được cũng phải mất rất nhiều thời gian và nhiều khi đó là không cần thiết Việc xuất hiện các phương pháp gần đúng đối với các bài toán làm tăng thêm khả năng ứng dụng của toán học vào thực tiễn

Trong khóa luận này, ngoài kiến thức cơ bản về sai số, phương trình vi phân thường và bài toán biên đối với phương trình vi phân thường em đã nêu lên hai phương pháp để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường và đã ứng dụng công nghệ thông tin đó là ngôn ngữ Pascal trong quá trình tính toán

Các phương pháp giải gần đúng bài toán biên đối với phương trình vi phân thường rất phong phú nhưng do khuôn khổ của khóa luận và do năng lực của bản thân có hạn nên trong khóa luận này em chỉ nêu được hai trong các phương pháp

Thông qua khóa luận này em rút ra được nhiều điều bổ ích trong việc nghiên cứu khoa học và em thấy việc phát triển các phương pháp gần đúng là rất cần thiết và những ứng dụng to lớn của chúng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội

2 Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn

Tuấn, Nguyễn Tường (2003), Giải tích số, Nxb Giáo Dục

3 Hoàng Hữu Đường (1979), Phương trình vi phân- tập 2, Nxb Giáo Dục

4 Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Phương pháp tính và thuật toán,

Nxb Giáo Dục

5 Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết

ổn định, Nxb Giáo Dục

6 I.a.D.Mamedov (1979), Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi

phân thường, Nxb Maarif.Bacu

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Giải tích trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy giáo - PGS.TS Khuất Văn Ninh đã động viên, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ

để em hoàn thành khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Ngô Thị Tâm