[Đọc thử ] Sách Phương pháp giải Toán trắc nghiệm lớp 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy CD là hình vuông cạnh a, Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD có tan bằng.. Khoảng cách từ một điểm O tới một đường thẳng d Phương pháp: Dựng trực

137

PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM 29

CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG VỀ GIẢI NHANH TOÁN TRẮC

Bài 1 Kỹ năng bấm máy tính giải Toán trắc nghiệm 29

Bài 3 Phương pháp tư duy đặc biệt hóa – tổng quát hóa 46

Bài 7 Phương pháp tư duy dùng điểm thuận lợi và điểm biên 79

CHƯƠNG II TƯ DUY GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ VÀ CÁC

CHƯƠNG III TƯ DUY GIẢI NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 141

Bài 2 Phương trình – Bất phương trình mũ và lôgarit 243

CHƯƠNG V TƯ DUY GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 270

CHƯƠNG VII TƯ DUY GIẢI NHANH PHẦN SỐ PHỨC 335

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN 353

đó, chúng tôi đã biên soạn bộ sách ôn luyện Toán trắc nghiệm, bộ sách gồm 3 cuốn:

Cuốn 1: Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm – lớp 12, gồm

các phương pháp giải nhanh và các chuyên đề trong chương trình kiến thức lớp 12

Cuốn 2: Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm – lớp 10

và lớp 11, gồm các phương pháp tư duy giải nhanh và các chuyên đề kiến

thức trong chương trình lớp 10 và lớp 11

Cuốn 3: Tuyển tập đề thi và phương pháp giải nhanh Toán trắc

nghiệm bao gồm bộ đề thi được biên soạn theo cấu trúc đề thi THPT quốc

gia và đề thi mở rộng hơn có kết hợp kiến thức lớp 10, 11 cùng các hướng dẫn giải theo phương pháp tư duy giải nhanh

Cuốn Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm – lớp 12

Chúc các em học tốt và thành công!

Tác giả

142

ĐỌC THỬ SÁCH PHẦN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH

VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

143

CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG VỀ GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM

Bài 1 Kỹ năng bấm máy tính giải Toán trắc nghiệm…

Bài 2 Phương pháp tư duy loại trừ…

Bài 3 Phương pháp tư duy đặc biệt hóa – tổng quát hóa…

Bài 4 Tư duy truy hồi

Trong các bài toán như tìm tập xác định, tập giá trị, tìm min – max với các đáp án được cho dưới dạng khoảng, đoạn Ta sẽ mất khá nhiều thời gian với những cách giải thông thường, bởi vậy bằng việc lợi dụng các đầu mút của mỗi khoảng, đoạn ta có thể tìm được đáp án một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn

thường ta đi tìm min – max của hàm

Dùng tư duy truy hồi:

Từ các đáp án ta chọn các đầu mút của các đoạn và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần 0 1 1 1 2

   

144

Ta sẽ xét xem đầu mút nào sẽ thuộc tập giá trị (Một đầu mút a thuộc tập giá trị khi và chỉ khi phương trình xx2   a x x2 a2 có nghiệm thuộc tập xác định)

Cách khác: dùng chức năng bảng TABLE ta nhập hàm X X với 2

START: 0, END:1, STEP: 0.1

Khi đó quan sát bảng giá trị:

Dễ dàng dự đoánmin 0, max 1

Dùng tư duy truy hồi:

Từ các đáp án ta chọn các đầu mút của các đoạn và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần

2 52 2 3 102 5

Ta sẽ xét xem đầu mút nào sẽ thuộc tập giá trị (1 đầu mút a thuộc tập giá trị khi và chỉ khi phương trình a x 1 2 3x có nghiệm thuộc tập xác định)

146

Đáp án: B

Dùng tư duy truy hồi: Ta sắp xếp theo thứ tự tăng dần các đầu mút

Do biên trái của các đáp án là 0 nên ta sắp xếp biên phải theo chiều giảm

Chú ý: Nếu khi ta thay vào mà tất cả phương trình đều vô nghiệm lúc

này chưa thể kết luận được gì và phải chuyển về giới hạn để tìm cận trên và cận dưới của hàm số

3x 2 m1 x 2m 3m2   0, x 2; mất nhiều thời gian

Dùng tư duy truy hồi:

2

x2 x1

Sắp xếp các đầu mút đáp án: 0 1 2

Ta có điều kiện xác định của hàm logarit log ,x y là x0,y0,x1

1 Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt cùng phương với a và b

Để xác định góc ta có 2 cách thường dùng sau:

Cách 1:  a; b (a'; b')trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b

Cách 2:  a; b (a; b')trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng cắt a

và song song với b Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,

Góc giữa hai đường thẳng SD và BC là:

152

B A

Ví dụ 1 Cho h nh cho p CD co đa y CD la h nh vuông cạnh Góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) là:

Hướng dẫn giải

Gọi OACBD SOOD

 SO là hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC)

 góc giữa SD và mặt phẳng là góc hợp bởi SD và SO

1

7

114

27

214

SAC2

2

12

a DO

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy CD là hình vuông cạnh a,

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) có tan bằng

Cách 2 Cho a = 1 và tính trực tiếp trên hình (không trình bày ra giấy quá nhiều)

Có thể dùng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết bài toán theo công thức

23

22

ABC.A' B'C'

o

+ Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng số đo góc giữa hai đường

thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến hoặc góc

giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

Lưu ý: Ta có thể tính góc trực tiếp bằng cách sử dụng hệ thức lượng

trong tam giác vuông hoặc định lý côsin trong tam giác

Định lý hàm số côsin trong tam giác ABC

Ví dụ 1 Cho hình lập phương có cạnh bằng a Khi đó số

đo của góc giữa và là:

A

C C'

+ Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc

của tam giác ’I lên mặt phẳng Gọi φ

310

35

ABC 

ABC AB’I 

ABC AB'I

Scos

S

 

2 0 ABC

A D

C B

H

2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a Một

mặt nón có SA, SB, SC là những đường sinh thì góc ở đỉnh của mặt nón

có giá trị bằng:

3 Cho tứ diện ABCD, I, J, H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD, BD

Trong trường hợp IJHK là hình thoi có đường chéo IH = 3IJ, góc giữa đường thẳng AB, CD là:

5 Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,

AD và AC Cho AB = 2a, CD = 2a 2 , MN = a 5 Góc giữa AB và CD bằng:

3 4

33

157

7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Hình

nón ngoại tiếp hình chóp có góc ở đỉnh bằng:

8 Cho hình chóp đều S.ABC có ba cạnh , , C đôi một vuông góc và một hình

nón ngoại tiếp hình chóp đó Nếu gọi là góc ở đỉnh của hình nón thì:

12 Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’,AC' a, góc giữa C’ và

là 300 Độ dài cạnh đáy hình lăng trụ bằng:

158

16 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

17 Cho hình lăng trụ có tam giác C đều cạnh a, cạnh

Hình chiếu của ’ trên là trung điểm I của BC

Góc giữa ’ và bằng:

18 Hình chóp CD có đáy CD là nửa đáy lục giác đều với AB = BC = CD = a,

AD = 2a, SA⏊ (ABCD) và SA = a Góc giữa SB và (ABCD) bằng:

21 Cho hình chóp , đáy CD là hình thang vuông tại A và D,

CD2a, ABAD2a, SD vuông góc với đáy và tạo với đáy một góc , tan của góc  giữa và đáy theo có giá trị là:

22 Cho hình chóp có đáy ( C) là tam giác vuông cân tại B

29 Cho hình lăng trụ đứng CD ’ ’C’D’ có đáy là hình chữ nhật

Mặt phẳng tạo với một góc và cắt tất cả các cạnh bên Diện tích thiết diện của và lăng trụ bằng:

14

25

160

32 Cho hình chóp CD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD =a 3,

SA vuông góc với mặt (ABCD) và SA=a Góc  giữa (SCD) và (ABCD) có giá trị là:

A 90o B C D

33 Cho hình hộp chữ nhật , đáy CD có = 4, BC = 3

Mặt phẳng tạo với đáy một góc o

60 Chiều cao của hình hộp chữ nhật bằng:

2

34 Cho hình lăng trụ đứng , ABC là tam giác vuông tại C, AB = a, góc B bằng Mặt phẳng tạo với mặt đáy góc Chiều cao của lăng trụ bằng:

4 35

a 34

A

D C S

D A

N I

M B

C

D A

b b

B

C

D A

C A

B

H

B1 A1

C1

C A

B

B S

A O C

C A

B

I B A

C

C' A'

B'

A

B

C S

A

C S

165

E A

D

C B

E

F

N

M P

A

B

C S

D'

D

B' A'

C'

C A

33a

166

H A

C

B

B1 C1

1 1

1 0 1

I

167

Bài 2 Khoảng cách

I LÝ THUYẾT

1 Khoảng cách từ một điểm O tới một đường thẳng d

Phương pháp: Dựng trực tiếp đoạn vuông góc từ O đến d, kết hợp dữ

kiện đề bài tính toán

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc hợp bởi cạnh

bên với mặt đáy bằng

a3

a 32

2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

2.1 Phương pháp tính trực tiếp

Xác định hình chiếu H của M trên ()

Phương pháp chung: Dựng mặt phẳng (P) chứa M và vuông góc với () Giao tuyến d của (P) và (): Kẻ Khi đó Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao của chóp là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau và hình chiếu của đỉnh nằm trong mặt đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy Nếu chiếu của đỉnh nằm ngoài mặt đáy thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn bàng tiếp của đáy (đáy là tam giác) + Mô hình khoảng cách:

2.2 Phương pháp sử dụng công thức đổi điểm

trong đó việc tính là dễ dàng hơn Thường chuyển điểm M

về điểm M’ là chân đường vuông góc Đối với khoảng cách giữa hai mặt, hai đường thẳng và giữa đường thẳng với mặt phẳng thì ta đưa về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Nếu đường thẳng d qua M, N và song song với mặt phẳng () thì

Đặc biệt, nếu N là trung điểm của MI thì d(M,( )) 2d(N,( ))   

Nếu I là trung điểm của MN thì d(M,( )) d(N,( ))  

2.3 Phương pháp sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và

2.4 Phương pháp sử dụng công thức của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau:

Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA OB, OBOC, OCOA) và H là

hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính

bằng công thức:

Chú ý: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

song song sẽ được quy về bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt

Trong tam giác vuông OBC có

Trong tam giác vuông SOK có 1 2 12 1 2 192 57

a OH

b) Trường hợp 2: a chéo b (a và b không vuông góc với nhau)

Dựng mặt phẳng chứa b và song song với a

Dựng hình chiếu vuông góc a’ của a lên (  )

Gọi là giao điểm của b và a’ trong (  )

Từ B kẻ BA vuông góc với a tại điểm A thì

là đoạn vuông góc chung của a và b

Ví dụ 1 Cho hình chóp C có đáy C là tam giác vuông cân tại A; mặt bên

C là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a là:

12a61

56

a 32

a 34

a

b

172

Hướng dẫn giải

Từ S kẻ tại H

, Tam giác ABC vuông cân tại A

1 Cho tứ diện đều cạnh a Khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tới

đường thẳng chứa một cạnh của tứ diện bằng:

2 Một hình lập phương nội tiếp mặt cầu bán kính R Khoảng cách từ tâm mặt

cầu tới mặt phẳng chứa một mặt của hình lập phương bằng:

173

4 Cho hình chóp C có đáy C là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều

bằng Gọi là mặt phẳng qua A, song song với BC, và vuông góc với

mp , I là trung điểm của BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng bằng:

a 24

a 36

a 33

a 577

a 5719

OA, OB, OC

ABC8a

9

7a 1111

3a 1111

5a6

13 Cho hình chóp S.ABC có Tam giác ABC vuông tại B, SA = a,

BC = 2a, AC = 3a Khoảng cách giữa SA và BC bằng:

a2ABCD.A’B’C’D’

a 34

a 32ABCD.A' B'C' D'

BA'C'

a 32

a2

2a3

3

4a3

17 Cho hình lăng trụ C ’ ’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Cạnh bên

của lăng trụ tạo với mặt đáy một góc và hình chiếu của A lên mặt phẳng ( ’ ’C’) trùng với trung điểm của ’C’ Độ dài đoạn vuông góc chung của ’ và ’C’ bằng:

3a4ABCD.A’B’C’D’

176

20 Cho tư die n CD co tam gia c C la tam gia c đe u ca nh a, D vuo ng go c

BC, va khoa ng ca ch tư D đe n C ba ng a Khoa ng ca ch giư a D va

22 Cho tứ diện đều Xét các mệnh đề:

(1) Đoạn nối trung điểm hai cạnh đối diện vuông góc với hai cạnh đó

(2) Đoạn nối từ đỉnh đến tâm mặt đối diện vuông góc với mặt đó

(3) Hai cạnh đối diện vuông góc với nhau

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ có (1), (3) đúng B Chỉ có (3) đúng

C Ba mệnh đề đều đúng D Ba mệnh đề đều sai

23 Đo da i đoa n vuo ng go c chung cu a hai ca nh đo i trong mo t tư die n đe u ca nh

a ba ng:

24 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông CD, vuông tại A

( CD) Độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC bằng:

25 Cho tứ diện OABC có đôi một vuông góc với nhau và

, I là trung điểm của C Độ dài đoạn vuông góc chung của AI và OC bằng:

a 398

a 408ABCD.A’B’C’D’

a 22

a 64

a 53

a 57

Mệnh đề nào đúng?

A (1) đúng và (2) sai B (2) đúng và (1) sai

C (1) và (2) đều đúng D (1) và (2) đều sai

29 Cho hình chóp tứ giác đều có Xét các mệnh đề: (1) Khoảng cách giữa CD và (SAB) bằng khoảng cách từ D đến (SAB) (2) Khoảng cách từ đến (SAD) bằng hai lần khoảng cách từ H đến

(3) Khoảng cách từ H đến bốn cạnh bằng nhau

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ có hai trong ba mệnh đề trên sai

B Chỉ có hai trong ba mệnh đề trên đúng

S.ABCD ACBD H.

SAD

SA, SB, SC, SD

178

30 Cho hình hộp chữ nhật có

Khẳng định nào sau đây là sai?

A Độ dài đường chéo D’ bằng 2 2 2

a b c

B Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

C Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

D Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng b

D

C

B

O I

C

B A

H

B

B C

S

D H

Cách 1: Dùng phương pháp tọa độ hóa

Cách 2: Dễ thấy là tam giác đều, gọi K là chân đường vuông góc hạ từ O thì K là trọng tâm tam giác ABC Dựng hình bình hành AMCI, suy ra :

d(AI,OC) = d(AI,(OMC))= d(K, (OMC))

(3) do tứ diện là tứ diện đều

30 đúng theo công thức tứ diện vuông; C đúng do d( ’, CC’) = C

D đúng do

ABC



2 2

2 2

OKIC

.OKIC(OM C))

1OA

1OK

2AO2

))A'(ACC'd(B,2

(SAD))d(B,

2HD

184