Tóm tắt luận án tiến sĩ cơ kỹ thuật: Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

Xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể.

VIÊN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam Học viện Khoa học và Công nghệ

Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Phạm Đức Chính

Vào hồi giờ, ngày tháng năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

Tính thời sự và ý nghĩa của luận án

Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hiện nay, có thể thấy vật liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý Từ những thành phần vi mô khác nhau sẽ có những thông số đặc trưng riêng biệt cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô này không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về cấu trúc hình học, tính chất vật liệu cấu thành…

Mục tiêu của luận án

Xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất

vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được

sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể

Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô

• Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các công thức, ma trận tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá Chương trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá

Những đóng góp của luận án

• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể

• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể

• Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa

và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh giá

Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ thể:

Chương 1: Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu

Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua

mô hình vật liệu đặc trưng

Chương 4: Phương pháp số áp dụng cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu

Xây dựng chương trình tính toán số PTHH cho một số bài toán đồng nhất hóa cụ thể, cho bài toán vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hoàn có so sánh với các đánh giá ở hai chương trước

Kết luận chung: trình bày những kết quả chính đã nhận được

trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu

Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element)

của vật liệu tổ hợp Buryachenko [11], Hill [30]; phần tử đặc trưng

phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất

của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước

của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa

Hình 1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) Xét phần tử đặc trưng V của vật liệu tổ hợp, được cấu thành bởi n

thành phần chiếm các không gian V α ⊂V và có các hệ số đàn hồi

k α μ α = … α n Trong trường hợp chọn phần tử đặc trưng V có

tâm trùng với gốc của hệ tọa độ Đề các vuông góc { , , }x x x1 2 3

hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là

đẳng hướng) C(x)=T( ,k α μ α) trong đó T là tenxơ bậc 4 đẳng

hướng

δ là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3

Trường biến dạng ε x ( ) được biểu diễn qua trường chuyển dịch

( )

u x :

1 2 ( )x = ⎡⎣∇ + ∇u ( u) ;T⎤⎦ x∈V

Các điều kiện biên thuần nhất thường được sử dụng

Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau:

Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên

miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) C : eff

Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ

mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V

(trường khả dĩ ε cần là trường tương thích):

Với đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính

xác thì sẽ cho được cận trên và cận dưới của tính chất hiệu quả, một

kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta

không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học vật liệu

1.2 Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu

Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời đó thực hiện

Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu

có dạng đẹp như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI (các hạt cốt liệu xa nhau) Đối với mô hình vật liệu có các thành phần phân bố hỗn độn - hình học pha không hoàn toàn xác định điều này gây khó khăn cho đường hướng giải phương trình trực tiếp thì một số phương pháp mô hình được đề xuất mà tiêu biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) với nội dung tính ứng suất và biến dạng từng bước với pha nền của bước trước chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp cho bước sau

Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải phương trình thì có một cách đi khác cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường lối biến phân, đây

là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng Mặc dù không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ

ta cũng nhận được tương ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính chất vĩ mô của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể

Hashin và Shtrikman (HS) [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, kết quả cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng đã cho thấy tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul khi nó nằm trong đánh giá này

Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính đã xét đến bài toán cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể tích pha, hình học vi mô của các thành phần cấu thành được đặc trưng bởi các tham số hình học bậc ba đã tìm được biên tường minh cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật liệu, trong một số trường hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mô hình hình học

cụ thể)

Để có những đánh giá hẹp hơn so với đánh giá HS sau này các tác giả đã nghiên cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa các hàm ngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các

vật liệu cụ thể Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation

functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định) rơi vào cùng một pha giữa chúng Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và sử dụng trường khả dĩ phân cực HS, Pham đã tìm được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc

ba về hình học pha của vật liệu

Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường khả dĩ động học Tuy nhiên cũng có các trở ngại chính: rất khó để tìm được trường khả dĩ đơn giản trên toàn

bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ phương trình lớn và phức tạp Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế là

các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải thích hợp và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi tính toán phù hợp với khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao Kỹ thuật xấp xỉ phần tử thông minh (element-wise) đã được công nhận ít nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17] Đã có nhiều phương pháp xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Ý nghĩa của phương pháp này là phân vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử Quá trình này được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản

lý tính toán bộ nhớ hiệu quả nhất có thể

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN

ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

Thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng

và sử dụng bởi nhiều tác giả trong đánh giá và xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ

mô của vật liệu tổ hợp Bằng việc đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman giúp cho các đánh giá tính chất vật liệu sát hơn so với những đánh giá trước đó, sử dụng các tham số thông tin bậc ba về hình học của vật liệu mô tả cấu trúc vi

mô của vật liệu tổ hợp

2.1 Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên

lý năng lượng cực tiểu

Để xây dựng đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi vĩ mô keff từ (1.7), ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng:

0 1

Đưa (2.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được:

α = ϕ ϕ∫ là thông tin hình học bậc ba của vật liệu

Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng có ràng buộc (ở đây là tìm cực tiểu) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange, từ đó nhận được:

Từ (1.7) và (2.3), chúng ta xây dựng được đánh giá cận trên cho

mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô keff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần:

trong đó Iαlà chỉ số hình học pha của vật liệu

Đưa (2.5) vào (1.8), biến đổi và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị với các biến aα ta được:

a v d

v k

k

α α=

=∑ là trung bình cộng điều hòa Reuss ,

k d

2.3 Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

2.3.1 Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha

HS DXC 3D

(c) Hình 2.1 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng với

1= 1, μ1= 0.3, 2 = 20, μ2 = 10, 2 = 0.1 → 0.9

nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhau ζ2 = 1 và ζ1= 0, DXC 3D

- Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu

2.3.2 Mô hình quả cầu lồng nhau ngẫu nhiên

Xem xét vật liệu dạng quả cầu không chồng lấn (tách rời) có kích

cỡ bằng nhau phân bố ngẫu nhiên hai thành phần (hình 2.5a) và quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên (hình 2.6a) nằm trong pha nền 1 Biên cho

mô hình này khảo sát trong khoảng

2 = 0.1 → 0.99, k1= 1, 1= 0.3, 2 = 20, 2 = 10,

Hashin-Shtrikman biểu diễn trong hình 2.2b, 2.3b

(a)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1

2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nhận xét: Trên hình 2.2b, cho thấy biên dưới có xu hướng tiệm

cận với biên HS còn biên trên khá cách xa nhau bởi vì kα khá chênh lệch giữa cốt (quả cầu) và nền Hình 2.3b tuy vẫn có xu hướng tiệm cận với biên dưới của HS nhưng biên trên cũng gần với biên trên HS tại đầu mút v =2 0 99

2.3.3 Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha

Đây là dạng vật liệu các quả cầu lồng nhau với các kích thước khác nhau nhưng có cùng tỷ lệ thể tích các pha và điền đầy vùng không gian vật liệu khảo sát Thành phần vật liệu

1 12, 1 8, 2 1, 2 0 3 , 3 30, 3 15

(a)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(b)Hình 2.4 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha khảo sát trong khoảng

Nhận xét: Hình 2.4b thể hiện kết quả tính chính xác với mô hình

quả cầu lồng nhau 3 pha Tuy trong trường hợp quả cầu lồng nhau 2 pha thì biên PDC 1996 hội tụ nhưng trong trường hợp 3 pha thì không thể mặc dù biên của PDC 1996 cũng có xét đến thông tin hình học bậc ba của vật liệu Ở đây ta có kết quả trùng nhau giữa biên trên và biên dưới, một đóng góp mới của luận án khi so sánh kết quả với những công bố trước đó

2.3.4 Mô hình vật liệu tựa đối xứng

Ví dụ này tác giả xem xét đến vật liệu dạng tựa đối xứng (TDX) trong không gian 3 chiều (hình 2.5a) đây là loại vật liệu không có sự phân biệt rõ ràng giữa pha nền và pha cốt liệu (Pham [50], Torquato [77]) k của vật liệu này nằm trong biên Hashin-Shtrikman và đại eff

diện cho các loại vật liệu tổ hợp đẳng hướng tựa đối xứng

(a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

v 1

HS TDX 3D

(b)Hình 2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D), v1=0 1 →0 9 ,v2=v3=0 5 1 ( −v1) với

1 1, 1 0 3 , 2 12, 2 8, 3 30, 3 15

k của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua

nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu hóa các phiếm hàm có các biến tự do ràng buộc

Có thể thấy rằng các trường khả dĩ mà được lựa chọn (chứa N-1 tham số tự do) tổng quát hơn so với trường khả dĩ trong [1] chỉ chứa

1 tham số tự do bởi vậy đánh giá mới là tốt hơn khi N ≥ , như đã 3được so sánh cụ thể trong trường hợp quả cầu lồng nhau 3 pha

Mô hình bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều cho nên kết quả được sử dụng trong các trường hợp mô hình không gian khác nhau, các đánh giá chứa đựng ngoài thông tin về tính chất ( ,kα μ , tỷ lệ thể tích vα) αcủa các thành phần, còn chứa các thông tin bậc 3 về hình học pha của vật liệu Aαβγ Thông tin hình học bậc ba của vật liệu được đưa ra nhằm tính đến ảnh hưởng bởi hình học cụ thể của vật liệu giúp cho kết quả đánh giá tốt hơn

Các kết quả đã áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể như

mô hình quả cầu lồng nhau nhiều thành phần, quả cầu phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn và chồng lấn, quả cầu phân bố dạng tuần hoàn và vật liệu tựa đối xứng nhiều thành phần trong không gian 2 chiều và 3 chiều Để cho rõ ràng, trong tính toán so sánh, tác giả chọn tính chất các vật liệu khác nhau nhiều Khi khác biệt nhỏ đi các đánh giá tiến sát tới nhau cho được giá trị gần đúng tính chất vĩ mô của vật liệu

Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình khoa học 1., 2., 4 và 5

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN

ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và biên dưới của mô đun đàn hồi trượt vĩ mô

3.1 Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên

lý năng lượng cực tiểu

Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μ , eff

3.2 Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên

lý năng lượng bù cực tiểu

Để xây dựng đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μ , eff

trong đó σ = σ0ij 0ij (σ =0ii 0) là ứng suất lệch cho trước

Đưa (3.4) vào (1.8) và tiến hành rút gọn cuối cùng ta có được kết quả đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần:

3.3 Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể

3.3.1 Mô hình vật liệu tựa đối xứng

Trong trường hợp vật liệu tổ hợp đối xứng không có sự khác biệt giữa pha nền và pha cốt liệu [50] trong không gian 3 chiều (hình 3.1a), thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aαβγ,Bαβγ có dạng đặc biệt [50-51]