Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán ứng dụng thực tế gắn liền với chương trình toán 12

Với mong muốn học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia và áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống thực tiễn tôi đã chọn đề tài là: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Một trong những điểm mới của kì thi THPT Quốc gia 2017 đó là môn toán

sẽ thi theo hình thức trắc nghiệm Với cấu trúc chung của Bộ thì nội dung thi sẽ

là toàn bộ chương trình toán lớp12 được ra theo các mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Điều này khác hẳn với cách học và cách thi theo cấu trúc của các năm học trước, học sinh chỉ tập trung vào các phần học cơ bản mấu chốt Các đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017 khai thác dường như tất cả các kiến thức của toán 12 trong đó phải kể đến các bài toán ứng dụng thực

tế Một trong những dạng toán mà từ trước đến nay rất ít gặp và khai thác trong

đề thi THPT Quốc gia ở các năm trước nên học sinh thường ít quan tâm và ít tập trung ở dạng toán này Mặt khác đây cũng là một dạng toán vận dụng nên số đông học sinh khá lúng túng khi tiếp cận những bài toán này

Bên cạnh đó dạy học toán ở trường THPT theo định hướng gắn toán học với thực tiễn là một trong những xu thế đổi mới trong dạy học hiện nay Nếu

giải quyết tốt vấn đề này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi: Học toán để làm gì?

Toán học có ứng dụng gì trong đời sống? Qua đó học sinh sẽ hứng thú hơn

với môn học vốn khô khan này

Với mong muốn học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia và áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống thực tiễn tôi đã chọn đề tài là:

“Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán ứng dụng thực tế gắn liền với chương trình toán 12”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:

- Giải quyết các bài toán thực tiễn bằng kiến thức toán 12

- Định hướng giải và phân loại các bài toán ứng dụng thường gặp ứng với kiến thức mỗi chương

- Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới dạng trắc nghiệm có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà

- Việc giải các bài toán ứng dụng thực tế giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, tư duy sáng tạo và sự lôgic của toán học, yêu thích môn học và biết vận dụng toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn; đồng thời giúp học sinh có kiến thức về toán thực tế trong kì thi THPT Quốc Gia 2017, và các năm tiếp theo

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Các bài toán thực tế trong chương trình toán 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để thực hiện mục đích chọn đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp quan sát ( quan sát hoạt động dạy và học của học sinh)

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế (khảo sát thực tế học sinh)

- Phương pháp thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.1 MỤC ĐÍCH CỦA DẠY HỌC TOÁN

Mục đích của dạy học toán là cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kĩ năng cơ bản của người lao động, từ đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan nhân sinh quan đúng đắn cho các em Để thực hiện mục đích đó thì mỗi học sinh cần phải hiểu biết về toán

Như vậy với mục tiêu của dạy học toán, thì phần đa học sinh mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán Do đó, với xu hướng đổi mới hiện nay ngoài việc dạy các kiến thức của chương trình học người dạy nên chú trọng khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà học sinh có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường

2.1.2 KIẾN THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH HỌC

Với mỗi chương trong chương trình học đều có những ứng dụng riêng trong đời sống, nhưng ứng dụng nhiều vào đời sống và phù hợp với kiến thức trong đề thi THPT Quốc gia nên tác giả chỉ tập trung kiến thức cơ bản nhất ở một số chương ứng dụng đó là:

- Chương I Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Kiến thức cơ bản là tìm max-min của hàm số bằng phương pháp đạo hàm để tìm ra hiệu quả cao nhất (bài toán tối ưu) trong công việc, trong tiết kiệm nguyên vật liệu để sản xuất ra những vật liệu có cùng thể tích nhưng diện tích xung quanh nhỏ nhất và nhiều ứng dụng khác ở dạng khó là khi hàm số kết hợp với hình học không gian cổ điển để giải bài toán liên quan đến thể tích, diên tích xung quanh, toàn phần Như vậy học sinh phải nhớ được các công thức về diện tích của các đa giác đã học, thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối nón, khối trụ, khối cầu trong chương trình hình học 12 và các lớp dưới

- Chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Kiến thức chủ yếu của chương xét bài toán đưa về dạng hàm số mũ

hoặc phương pháp “lôgarit hóa”: a x b (a0, a 1,b0)x log a b từ đó giải quyết các bài toán thực tế phản ánh qui luật gia tăng trong cuộc sống như gửi tiền ngân hàng, gia tăng dân số, vi khuẩn, phóng xạ, lan truyền,

Kiến thức chủ yếu là công thức tính diện tích, thể tích của vật thể, vật thể tròn xoay, mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm từ đó giải quyết các bài toán về tính diện tích, thể tích, chi phí sản xuất, tính quãng đường,vận tốc Ngày nay với việc sử dụng các loại máy tính cầm tay như Casio fx-570VN PLUS, Casio fx-570ES, Casio fx-570ES PLUS, Casio fx-570MS học sinh dễ dàng tìm max-min của hàm số, tính giá trị lũy thừa, lôgarit, tích phân điều đó phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm kiến thức dàn trải số lượng bài tập nhiều

2

y a x

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Trong những năm học trước đây, khi dạy học sinh về phần toán ứng dụng sau mỗi phần học tôi thấy một số vướng mắc sau đây:

- Trước đây trong đề thi THPT Quốc gia ít đề cập đến các loại toán ứng dụng và vì thời lượng cho mỗi phần học đều phân bố phù hợp nên việc dạy và học các loại bài tập này chưa thật sự nhiều Đa phần giáo viên chỉ giới thiệu và hướng dẫn học sinh tiếp cận được ít những bài toán ứng dụng Học sinh, chỉ một

số ít quan tâm và số đông các em chỉ học những phần liên quan đến đề thi

- Số đông các em khá lúng túng khi sử dụng kiến thức mỗi phần học để làm các bài toán ứng dụng

- Nhận dạng bài toán sử dụng kiến thức ứng dụng chưa nhanh nhạy

- Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải

- Chưa biết hệ thống và phân loại các dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng

- Ít sử dụng, khai thác máy tính cầm tay trong việc giải các bài toán ứng dụng

Từ thực trạng trên, kết hợp với phương pháp đổi mới trong dạy học hướng người học biết sử kiến thức ứng dụng vào thực tế, có kiến thức tốt trong kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia nên trong năm học 2016 – 2017 khi ôn thi cho học sinh lớp 12A8 tôi đã khắc phục bằng cách:

- Nêu rõ tầm quan trọng của các bài toán ứng dụng trong đời sống và trong

kì thi THPT Quốc gia

- Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ ở mỗi phần ứng dụng

- Xây dựng các bước giải bài toán toán ứng dụng, phân loại các dạng bài toán cho mỗi phần có hướng dẫn giải, với hệ thống đáp án dưới hình thức trắc nghiệm và bài toán dưới dạng câu hỏi để các em làm quen với kì thi THPT Quốc gia sắp tới

- Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong bài toán ứng dụng nhằm tiết kiệm thời gian làm bài

- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và sau

đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa

2.3 CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH

Để hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức môn Toán 12 giải quyết các bài toán ứng dụng thực tế tôi đã hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Toán hóa các bài toán ứng dụng thực tế.

Đây là bước quan trọng nhất, từ giả thiết của bài toán, từ các tình huống thực tế và mối liên hệ ta xây dựng, thiết lập dưới dạng toán học như: lập hàm số, lập liên hệ giữa các yếu tố thông qua công thức, biểu thức,

- Bước 2: Sử dụng các công cụ Toán học để khảo sát và giải quyết bài

toán ở bước 1.

Với những kiến thức Toán đã học, ta vận dụng giải quyết bài toán, đặc biệt tôi luôn lưu ý và hướng dẫn các em sử dụng CASIO để tính toán nhanh, chính xác, tiết kiệm thời gian làm toán

- Bước 3: Kiểm tra kết quả thu được ở bước 2 và rút ra kết luận.

Lưu ý: Vì bài toán có đáp án ở dạng trắc nghiệm nên tác giả để trích dẫn

nguồn tài liệu tham khảo ở phần đầu mỗi bài toán.

Dạng 1: Các bài toán ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

(bài toán tối ưu).

Loại 1: Ứng dụng trong chuyển động và quãng đường

Bài toán 1: [5] Một vật chuyển động theo quy luật s 1 t 3

9t 2, vớit (giây)

2

là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng

đường vật đi được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong bao khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn: Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t là: v(t) s'(t) 3 t 2

18t

2 3

Khi đó tìm giá trị lớn nhất của v(t) t 218t trên đoạn [0;10] Đạo hàm, lập

2

bảng biến thiên (hoặc sử dụng máy tính Casio để tìm) ta tìm được v(t) lớn nhất tại t6 , v(6) 54(m/s) Chọn đáp án D

Bài toán 2: [6] Một công ty muốn làm một đường

ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B

trên hòn đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để

xây dựng ống trên bờ là 50.000USD mỗi km và

130.000USD mỗi km để xây dựng dưới nước B' là

điểm trên bờ biển sao cho BB' vuông góc với bờ

biển Khoảng cách A đến B' là 9km Vị trí C trên

B

đoạn AB' sao cho nối ống theo ACB thì số tiền ít

Hướng dẫn: Đặt x B'C (km), x 0;9 Khi đó BC 36 x 2 , AC 9 x

Chi phí xây dựng đường ống là: T (x) 130.000 36 x 2 50.000(9 x) (USD)

Đạo hàm lập bảng biến thiên (hoặc sử dụng máy tính Casio để tìm) ta được

T (x) nhỏ nhất tại x 2,5 (km) Vậy CA 6,5 (km) .Chọn đáp án A.

Loại 2: Ứng dụng gắn liền với Hình học để giải quyết bài toán về: diện tích,

thể tích,

Bài toán 3: [6] Trong lĩnh vực thủy lợi, cần xây dựng nhiều mương dẫn nước

dạng ‘Thủy động học’ (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang là S , là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm nước của

mương được gọi là có dạng thủy động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất)

Cần xác đ ị4nhS, cácy kích thước xcủa 4mươngS,y dẫn nước như thế nào để có dạng thủy

động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật).

C.

x 4S , y 4

x

4

C S D S

x2S , y 4

x 2S , y 2

Hướng dẫn: Gọi x, y (x, y 0) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của mương

Khi đó ta có S xy, 2 y x 2S x Xét hàm số (x) 2S x với x 0 Ta có

'(x) x2 0 x 2S x2S , y 2

(x) đạt giá trị nhỏ nhất Chọn đáp án D.

Bài toán 4: [5] Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành

một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất

A x 3 34 17 2 B x 3 34 19 2

\

Hướng dẫn: Đặt các điểm như hình vẽ Với

miếng phụ Khi đó diện tích sử dụng theo

x, y là chiều rộng và chiều dài của tiết diện ngang là S S MNPQ 4xy

Cạnh của hình vuông MN MP 20 2(cm) Vậy S (20 2 )2 4xy 800 4xy (1)

2

khác: AB2 AD2 BD2 40 2 (2x 20 2) 2 y 2 1600

y 2 800 80x 2y 800 80x 2 4x 2 Thế vào (1) ta được S 800 4x 800 80x 4x 2 800 4 800x 2 80x3 4x 4

Xét f (x) 800x2 80x3 24x 4 , x (0;20 10 2)f '(x) 0x 5 34 15 2 Lập

2

bảng biến thiên ta được x 5 34 15 2

chính là giá trị cần tìm. Chọn C.

2

Bài toán 5: Cần xây dựng một hồ chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật có thể

tích bằng 5003 m 3 Đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công là 700.000 đồng/m2 Kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất và chi phí thấp nhất khi đó là:

A Rộng: 5m, dài: 10m, cao: 10m; chi phí 130.000.000 đồng

B Rộng: 5m, dài: 10m, cao: 10m; chi phí 95.000.000 đồng

C Rộng: 5m, dài: 10m, cao: 10/3m; chi phí 103.000.000 đồng

D Rộng: 5m, dài: 10m, cao: 10/3m; chi phí 105.000.000

đồng Hướng dẫn: Gọi x, y, z (x, y, z0) lần lượt là chiều

rộng, chiều dài của đáy và chiều cao của hồ nước

Ta có y 2x Khi đó diện xây hồ nước là:

S S đ S xq xy 2z(x y) ( S đ : diện tích đáy hồ, S xq:Diện tích

xung quanh của hồ)

Theo giả thiết thể tích của hồ là:

3 z 3250x2

Vậy S 2x2 500

x Xét hàm S(x) 2x2 500 x , x 0 Đạo hàm, lập bảng biến thiên

ta có min S 150(m2 ) tại x 5(m) y 10(m), z 103 (m).

Chi phí sản xuất thấp nhất là: F S.500000 150.700000 105.000.000 (đồng)

Chọn D.

Bài toán 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục

tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất (diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất) Bán kính đáy của vỏ lon là bao nhiêu khi ta muốn có thể tích lon là 500cm3.

A r 3 500cm B r 3 250cm C r 3 125cm D r 3 250cm

Hướng dẫn: Gọi r, h,V lần lượt là bán kính, chiều cao, thể tích của lon sữa bò

hình trụ Khi đó V r2h h V

r2 500

r2 Diện tích toàn phần của lon sữa bò hình trụ được tính theo công thức:

S tp S xq 2S đ 2 rh 2 r 2 1000

r 2 r 2 .

Xét hàm f (r) 1000 2 r 2 , r 0 Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta có

r

S tp f (r) đạt giá trị nhỏ nhất tại r 3 250 cm Vậy chọn B.

Loại 3: Một số ứng dụng khác: trong kinh tế, y học,

Bài toán 7: [6] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu

cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người cho thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công

ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? Khi đó có bao nhiêu căn hộ cho thuê

A Cho thuê 5 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng

B Cho thuê 50 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.000.000 đồng

C Cho thuê 45 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng

D Cho thuê 40 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng

Hướng dẫn: Gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì giá cho thuê căn hộ là

2.000.000 50.000x (đơn vị đồng)

Khi đó thu nhập của công ty là f (x) (2.000.000 50.000x)(50 x)

Xét hàm số f (x) (2.000.000 50.000x)(50 x) , x[0;50] Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta có maxf (x) f(5) 2.250.000

Vậy chọn đáp án C.

[0;50]

Bài toán 8: [5] Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số

người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f (t)

45t 2 t 3 , t 0,1,2, ,25 Nếu coi f là hàm có đạo hàm trên đoạn [0;25]

thì được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t Xác định

thời điểm t mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất

f ' (t)

6

A t 25 B t 30 C t 15 D t 5

Hướngdẫn: Xét hàm số f (t) 45t 2 t 3 , t 0;25

f '(t) 90t 3t 2 , f ''(t) 90 6t 0, f ''(t) 0 t 15

Ta có f ' (0) 0, f '(15) 675, f ' (25) 375 Vậy f ' (t) đạt giá trị lớn nhất tại t 15

Chọn đáp án C.

Dạng 2: Các bài toán ứng dụng hàm số mũ và lôgarit.

Loại 1: Các bài toán lãi suất ngân hàng.

Bài toán 9: [6] (Lãi suất kép- phương thức gửi không kì hạn) Một người gửi

100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 12% một năm Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau

5 năm là bao nhiêu triệu đồng ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn: Gọi a (triệu đồng) là số tiền gửi vào ngân hàng, r (%) lãi suất ngân

hàng, A n là số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau n (năm)

Cuối năm 1, số tiền nhận được là: A1 a ar a(1 r)

Cuối năm 2, số tiền nhận được là: A2 a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2

Cuối năm thứ n, số tiền nhận được là: A n a(1 r) n

Vậy A5 a(1 r)5 100(1 0,12)5 176,23 (triệu đồng).Chọn đáp án B.

Bài toán 10: [6] (Lãi suất kép- gửi theo phương thức có kì hạn) Một người

gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,48% mỗi tháng) Tính số tiền người đó nhận được sau 3 năm ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn: Gọi a (triệu đồng) là số tiền gửi vào ngân hàng, m tháng kì hạn gửi

tiền, r (%) lãi suất ngân hàng mỗi tháng, A n là số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau n tháng là thời gian gửi

Cuối kì hạn thứ 1, số tiền nhận được là: A1 a amr a(1 mr)

Cuối kì hạn thứ 2, số tiền nhận được là: A2 a(1 mr) a(1 mr)mr a(1 mr)2

Cuối kì hạn thứ n, số tiền nhận được là: A n a(1 mr) n

Theo bài ra: 3 năm = 36 tháng, nên ta có 12 kì gửi

Bài toán 11: [6] (Lãi suất kép – gửi định kì) Một người đầu mỗi tháng đều gửi

vào ngân hàng số tiền là 2 triệu đồng tính theo lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng Tính số tiền thu được sau 2 năm ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn: Gọi a (triệu đồng) là số tiền gửi vào ngân hàng hàng tháng, r (%)

lãi suất ngân hàng mỗi tháng, A n là số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau n tháng

7

Cuối tháng 1, số tiền nhận được là: A1 a ar a(1 r) .

Cuối tháng 2, số tiền nhận được là: A2 [a(1 r) a](1 r) a(1 r)2 a(1 r) .

Cuối tháng thứ n, số tiền nhận được là: A n a[(1 r) n (1 r) n1 1 r]

a(1 r) [(1 r) n 1] .

r

Vậy A24 2(1 0,006) (1 0,006)12 1 24,96 (triệu đồng). Chọn đáp án A.

0,006

Bài toán 12: [6] (Vay vốn trả góp) Một người vay 100 triệu đồng từ ngân hàng

với lãi suất 0,7% một tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng số tiền là a và cứ trả hàng tháng như vậy đến 22 tháng thì hết nợ Hỏi

số tiền a mà người đó phải trả nợ cho ngân hàng mỗi tháng là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian người đó trả nợ

Hướng dẫn: Gọi N n (triệu đồng) là số tiền người vay còn nợ sau n tháng, r (%)

lãi suất ngân hàng mỗi tháng, a là số tiền phải trả hàng tháng, A là số tiền vay ban đầu

Cuối tháng 1, số tiền còn nợ là: N1 A(1 r) a

Cuối tháng 2, số tiền còn nợ là: N2 N1 (1 r) a A(1 r)2 a(1 r) a

Cuối tháng 3, số tiền còn nợ là: N3 N2 (1 r) a A(1 r)3 a(1 r)2 a(1 r) a

Cuối tháng n, số tiền còn nợ là: a(1 r) n1 a(1 r) n 2 a

N n N n1 (1 r) a A(1 r) n

A(1 r) n a (1 r) n 1

Ar(1 r) n

Khi trả hết nợ nghĩa là N n 0 a 100.0,007.(1 0,007) 4,92 (triệu

(1 r) n 1 (1 0,007) 22 1

đồng) Chọn đáp án B.

Bài toán 13: (Tăng lương-giảm lương) Sinh viên A đi làm mức lương khởi

điểm 15 triệu/tháng nhưng vì công ty khó khăn nên bị giảm 2% một tháng Sinh viên B đi làm mức lương 3 triệu/tháng nhưng tăng trưởng đều đăn 2% một tháng Sau bao lâu thì mức lương sinh viên A đạt mức của lương sinh viên B ?

A 40 tháng B 50 tháng C 60 tháng D 70 tháng Hướng dẫn: Gọi a (triệu

đồng) là số tiền lương khởi điểm của sinh viên A, r

( tỉ lệ giảm hàng tháng, A n là mức lương số ở tháng thứ n

Tháng 1, mức lương là: A1a ar a(1 r)

Tháng 2, mức lương là: A2 a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2

Tháng n, mức lương là: A n a(1 r) n

Vậy tháng thứ n mức lương của sinh viên A là: 15(1 0,02) n

Gọi a (triệu đồng) là số tiền lương khởi điểm của sinh viên B, r (%) tỉ lệ tăng hàng tháng, A n là mức lương số ở tháng thứ n

Tháng 1, mức lương là: A1 a ar a(1 r) .

Tháng 2, mức lương là: A2 a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2

Tháng n, mức lương là: A n a(1 r) n

Vậy tháng thứ n mức lương của sinh viên B là: 3(1 0,02)n

Theo giả thiết: 15(1 0,02)n 3(1 0,02)n ( 1,02 )n 1 n log 1,02 1 40

Chọn

đáp án A.

Bài toán 14: [2] (Lãi suất kép liên tục) Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào

ngân hàng theo thể thức lãi suất kép liên tục, lãi suất 8%/năm thì sau bao năm số

tiền thu được là 118 triệu đồng

A 1 năm B 2 năm C 3 năm D 4 năm Hướng dẫn: Gọi A là số vốn ban đầu, theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất mỗi năm là r (%) thì sau N năm số

tiền thu được cả vốn lẫn lãi là: S A.e rN

Vậy theo bài ra ta có 118 100.e 0,08.N N ln118 ln100 2 ( năm).Chọn B

0,08

Loại 2: Ứng dụng trong tăng Dân số, Sinh học, Vật lý, Địa lý,

Bài toán 15: [2] Dân số Việt nam năm 2017 là 90 triệu người Tăng trưởng dân

số hàng năm là 1,32% Dự đoán dân số 10 năm sau là ?

A 102,7 triệu người B 102,6 triệu người

C 109,5 triệu người D 110,6 triệu người

Hướng dẫn: Gọi A là dân số của năm lấy làm gốc, S là dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Ta có S A.e rN

Vậy theo bài ra ta có S 90.e0,0132.10 102,7 (triệu người). Chọn A

Bài toán 16: [2] Số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ thành 300

con Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Biết sự tăng trưởng của vi

khuẩn theo công thức S A.e rt (A: số lượng vi khuẩn ban đầu, r: tỉ lệ tăng trưởng ban đầu, t: thời gian tăng trưởng)

Hướng dẫn: Ta có: 300 100.e r5 r ln 3

5 ln 3

Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ là: S 100.e 5 10 900 (con) Chọn đáp án B.

Bài toán 17: [5] Chu kì bán rã của chất phóng xạ radi Ra 226 là 1602 năm (tức là

một lượng Ra 226 sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức S A.e rt , trong đó A lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ

lệ phân hủy hàng năm ( r 0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng vi khuẩn còn lại sau thời gian phân hủy Hỏi 5 gam Ra 226 sau 4000 năm phân hủy sẽ còn bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số phần thập phân)?

Hướng dẫn: Theo bài ra ta có A A.e r1602 r ln 2 .

ln 2

Do đó S 5.e 1602 4000 0,886 (gam). Chọn đáp án B.

Bài toán 18: [6] Động đất ở Việt nam với cường độ 6,75 độ Richte Tính cường

độ động đất ở Mỹ biết năng lượng tỏa ra ở trận động đất ở Mỹ gấp 3000 lần ở

9