Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tự luận và TNKQ liên quan đến số phức trong thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Luyện tập ngoàiviệc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp họcsinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệthố

MỤC LỤC

12 Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước 7

15 III Phụ lục: Giới thiệu một số câu hỏi dạng TNKQ và lời giải 17

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có

đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" [1] (Trích văn kiện Đại

hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa

XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ” [2]

Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nộidung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan

2 Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạonhững con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy học khôngchỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập Luyện tập ngoàiviệc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp họcsinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệthống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng độngsáng tạo

3 Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùnglời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành,luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyếttình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có sử dụngmáy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới

4 Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp giảng dạy đểphù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay Trong công tác giảng dạy, tôi đã luôn traudồi, tích luỹ kinh nghiệm qua từng bài học, qua từng tiết dạy cũng như đã dự nhiều tiếtdạy của đồng nghiệp giúp tôi ngày càng hoàn thiện từ đó giúp các em học sinh hăng saytrong tìm tòi nghiên cứu và học tập, các em đã linh hoạt và sáng tạo hơn trong con đườngchiếm lĩnh tri thức của mình

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

2

Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ hệ thống kiến thức về số phức, các phéptoán trên C, biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức, phương trình bậc hai vàmột số phương trình bậc cao đơn giản trên C để hình thành cho học sinh phương phápgiải các dạng toán này một cách chủ động, tự tin và khoa học.

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán liên quan đến số phức như nhân, chia, cộng trừ, khai căn bậc hai, lũythừa hay giải các phương trình trên tập các số phức ở trường THPT thường gặp trong kỳthi THPT Quốc Gia

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách

tham khảo, đề thi THPT Quốc Gia, đề giới thiệu của Bộ GD – ĐT, đề giới thiệu của các

Sở GD – ĐT và các tài liệu liên quan

2 Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học

phần bài tập này

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.

PHẦN HAI: NỘI DUNG

A CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:

Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên

quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người làmtoán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài toánnày hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung:

"Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu”[3].

Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến

thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bàybài toán theo một thể thống nhất Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức màtrong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết chongười làm toán

B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Chúng ta đã biết, Số phức có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh của khoa học, kỹthuật, suốt một thời gian dài chỉ được giảng dạy ở các trường Đại học, Cao đẳng vàTrung học chuyên nghiệp mà không giảng dạy ở phổ thông nên đã gây ra sự thiệt thòicho nhiều học sinh không có điều kiện học tiếp Trước những đòi hỏi khách quan củathời đại bùng nổ thông tin và khoa học kỹ thuật hiện đại ngày nay, Bộ GD – ĐT đã đưaphần Số phức về giảng dạy cho học sinh khối THPT (học sinh lớp 12), và nó đã tạo ra sựhưởng ứng tích cực của đội ngũ thầy cô giáo và các em học sinh

Đây không phải là nội dung khó, song là nội dung mới và có những kết quả khácnhiều so với những gì mà các em học sinh đã biết trước đây trên tập số thực, bởi vậyphần nào cũng làm cho các em có phần bỡ ngỡ nhất định, do vậy khi dạy học sinh học,chúng ta cần làm rõ để học sinh thấy được sự ra đời của Số phức là một thực tế khácquan, nó xuất hiện một cách tự nhiên, đồng thời ta cũng cho các em thấy rõ từng phầntrong kiến thức một cách cẩn thận, chắc chắn

2 Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tàiliệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận cácbài toán về số phức một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần

4

thiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một

trong những vấn đề mới ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tự luận và TNKQ liên quan đến số phức trong thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia” Tôi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm

khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phần số phức chohọc sinh

C CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả

mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Hai số phức bằng nhau.

a a ' Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i; z = z’b b '

3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

Chú ý: 10) z = z z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.

9 Phương trình bậc hai với hệ số phức.

Cho phương trình bậc hai a z 2 b z c 0 với a , b , c

biệt thứcb 2 4ac , Khi đó b i

* Nếu0 thì phương trình có hai nghiệm z1,2

2a

và a 0 Phương trình này có

với là một căn bậc hai của

* Nếu0 thì phương trình có nghiệm kép z1 z 2

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN

6

Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.

1 Thuật toán:

Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = a +b.i (với a, b thực)

Bước 2: Từ các điều kiện ban đầu ta lập hệ phương trình với ẩn là a, b.

Bước 3: Giải hệ phương trình để từ đó tìm a, b.

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Lời giải: Giả sử z a bi ( a,b R ), ta có:

(2) a bi 3a 3bi 9 12i 4i 2 2 i 5 12i 2 i

4 a 2bi 10 24i 5i 12i 2 22 19ia 11 ; b 19 Vậy z 11 19i

Bài 3: (KA-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z2 z2 z (3)

Lời giải Giả sử z a bi ( a,b R ), ta có

Các em cũng có thể gặp bài toán về việc xác định một số phức mà ở đó giả thiết của bài toán có sự xuất hiện của số phức liên hợp hoặc mô đun của nó Ta xét bài toán sau:

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1(TNKQ): Cho số phức z thỏa mãn: z z 1 và z 1 2 Xác định phần thực của z?

Gọi z x yi x, y Phương trình đã cho trở thành

1 2i x yi 2 3i x yi2 2ix 2y 2x y i 2x 3y3x 2y i 2 2i

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C.

1 Kiến thức liên quan :

Căn bậc hai của số phức:

Gọi k' là căn bậc hai của

, nghiệm của phương trình là: z b k

,z b k

2 a 2a

'' , nghiệm của phương trình là: z b'

k'

,z b '

k '

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i [4]

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

Từ bài toán xác định các căn bậc hai của một số phức, ta có thể giải được các phương trình bậc hai trên C Ta hãy xét bài toán sau:

9

Bài 2: Giải phương trình: z2 4 z 7 0 [4]

Lời giải

' 2 2 7 3 3i2các căn bậc hai của'là i 3 Vậy nghiệm của

phương trình là: z 2 3i ,z 2 3i Bài 3: Giải phương trình: z2

Bài 5: Giải phương trình:

Vậy có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2-i

Bài 7: Giải phương trình sau trên tập số phức C: z 4 z 3z2

z 1 0 (1) [5] 2

Lời giải : Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( z2 1 ) (z 1

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1: Giải phương trình z 2 z 1 0 trên tập số phức Chọn phát biểu đúng:

A Phương trình chỉ có 1 nghiệm

B Phương trình này vô nghiệm

C Phương trình này có hai nghiệm z 1 3 i, z 1 3i

Do đó phương trình có 2 nghiệm: z 1 3i, z 1 3i [5]

Bước 3: Từ hệ thức nhận được ta suy ra quỹ tích cần tìm.

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z 2 3i 1(*)

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho số phức u z 2 3i là một số

Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn (x 3)2 ( y 3)2 16 (kể cả

những điểm nằm trên biên)

Nhận xét: Bên cạnh bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta còn gặp bài toán liên quan đến

mô đun nhỏ nhất hoặc lớn nhất của số phức Ta xét bài toán sau:

Bài 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn u( z3i)( z 1 3i ) là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất

của |z|

Lời giải

Giả sử z a bi (a,b R ), ta cóu ( a 3 (b 1)i )( a 1 (b 3)i )

13

a 2 b 2 4 a 4b 6 2( a b 4)i

| z |2 a 2 b 2 (b 4) 2 b 2 2b 2 8b 16 2( b 2) 2 8 8

Dấu = xảy ra khi b 2 a 2 Vậy |z|min z 2 2i

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn: z i 1 z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z ? [6]

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

điều kiện: log 2 z 3 4i 1

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm I 3; 4 bán kính 2 D Đường tròn tâm I 3; 4 bán kính 3

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 3 Lời

giải

Đặt z x yi , ta có z x yi Do đó: z 2 5z 5 z 0 x 2 y 2 5x 5yi 5x 5yi 0

x 5 2 y2 25 Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bánkính bằng 5 và tâm là I 5;0

Chọn C

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện zi 2 i 2

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I 1; 2 bán kính 2

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I 1; 2 bán kính 2

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn: x 1 2 y 1 2 4

Bài 6: Cho số phức z = x +yi, với x, y có điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng

PHỤ LỤC GIỚI THIỆU MỘT CÂU HỎI DẠNG TNKQ VÀ LỜI

GIẢI Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn: 1 2z 3 4i 5 6i 0 Tìm số phức w 1 z ?

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i Tìm số phức z có mô đun nhỏ

z 2 1

Câu 6: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z2 16 z 17 0.

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w iz0 ?

Câu 8: Giải phương trình trên tập số phức: 1 7i

2 iz

Phương trình tương dương: z 5 i 13 13i ; z 3 2i [5]

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn: z 3i a 2 , với a là tham số thực Giá trị nào của a để tồn

tại duy nhất một số phức z thỏa đề và mô đun của số phức z đó là:

1 Kết quả đạt được

Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức khảquan:

Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản

Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạoNhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo.Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành Tinh thầnhọc tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng lên đáng kể, các emhứng thú hơn trong việc tìm tòi, khám phá các lời giải, đồng thời tạo ra một động lực đểthúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần kiến thức khác

Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt Trong các bài thi kiểm tra định kỳ, bài thihọc kỳ, bài thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 môn Toán, có nhiều em đạt kết quả điểmthi THPT với điểm số rất cao

Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tổchuyên môn ,tôi đã tiến hành thực hiện nội dung chuyên đề nêu trên của mình trên banăm liên tục, đó là các lớp 12A3, 12A9, 12A10 (năm học 2014 - 2015), các lớp 12A1,12A5, 12A7 (năm học 2015 - 2016) và các lớp 12A1,12A2, năm học 2016 - 2017), (Tổng

số học sinh bình quân là 90), kết quả thu được trong các kì thi thử THPT ở trường vớibảng số liệu sau:

Số em tham Đạt điểm Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 Đạt trên gia làm bài thi dưới 5,0 đến 6,5 đến 7,5 đến 8,5 8,5

Nắm vững chuyên môn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao quát kiếnthức, có tinh thần trách nhiệm trong công việc.

Trong công tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương pháp phùhợp cho nội dung bài học Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chươngtrình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với khả năng của học sinh, chọnlọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng đượctốt

Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn khôngtránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung đểchuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa Cũng rất mong được sự góp ý củaquý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hoàn thànhtốt nhiệm vụ giáo dục được giao

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2017

viết, không sao chép nội dung của ngườikhác

[3] Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục năm 1995.

[4] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục năm 2005.

[5] Phương pháp ôn luyện thi Đại học cao đẳng, môn toán theo chủ đề, NXB Đại học sư phạm [6] Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số và Giải tích lớp 12, NXB Đại học Quốc gia Hà nội năm 2010.

21