Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, vì vậy đa số các em học sinh gần như không làm tốt được bài thi về Hình học không gian.Đây là một điều rất đáng tiếc vì phần nà

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vaitrò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ nănggiải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất củacon người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tínhsáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong chương trình giáo dục phổ thông nói chung và trong các kỳ thi chínhthức của các trường THPT và của Bộ Giáo Dục về môn Toán tôi thấy phần Hìnhhọc không gian hay có trong đề thi, do vậy đây cũng là một vấn đề rất đáng quantâm và chú ý

Trong thực tế quá trình giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy học sinh lớp

11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếutính thực tế Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, vì vậy đa

số các em học sinh gần như không làm tốt được bài thi về Hình học không gian.Đây là một điều rất đáng tiếc vì phần này sẽ giúp các em có thêm một lượng điểmtrong bài thi môn toán Và điều tất yếu là không chỉ ảnh hưởng đến kết quả đậu -trượt của học sinh mà còn ảnh hưởng tới tương lai của các em và của gia đình cácem

Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là Hình học không gian lớp 11,các em học sinh đã được tiếp cận với hình học không gian và được biết các mốiquan hệ trong không gian Tuy nhiên trong thực tế các bài toán không gian rấtphong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia,các em sẽ gặp một lớp các bài toán về thể tích, góc, khoảng cách mà chỉ có số ítcác em biết phương pháp và tính được góc, khoảng cách và thể tích; nhất là các bàitoán về khoảng cách Tại sao lại như vậy?

- Lý do chính ở đây là: Trong SGK Hình học lớp 11 nâng cao hiện hành bài

“Khoảng cách” được trình bày ở phần cuối chương III rất là ít và hạn hẹp chỉ có haitiết cả lý thuyết và bài tập Nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thểđưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải chohọc sinh Nhưng trong thực tế, để tính được các loại khoảng cách trong không gianđòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao vàphải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục

+ Từ những thực tế nên trên nên tôi lựa chọn vấn đề này mong muốn phầnnào giúp học sinh có kiến thức và tự tin giải quyết tốt vấn đề về khoảng cách trongkhông gian góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

- Khoảng cách trong không gian

“Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11’’.

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Phương pháp:

- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Tham khảo các tài liệu

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11

- Tham gia đầy đủ các buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CỞ SỞ LÍ LUẬN

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

2

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông

đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết và không thể thiếu trong đời sống của conngười Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đaphần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những kiến thức cơ bản củamôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bàitập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duylogic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứumôn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lýthuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúpcho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán vềkhoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11

Trong giới hạn của SKKN tôi đề cập đến một số giải pháp cụ thể như sau:

- Trong sách giáo khoa Hình học 11 chỉ nêu định nghĩa các loại khoảng cáchtrong không gian, một vài ví dụ minh họa và thời gian thì ít Tuy nhiên khi gặp bàitoán khoảng cách có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợpnhiều kiến thức kĩ năng để đưa các bài toán khoảng cách dạng phức tạp về dạngđơn giản

- Khi giảng dạy phần khoảng cách trong không gian hình học lớp 11cho học sinh tôi nhận thấy:

3

+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt thẳng” thì

học sinh thường lúng túng khi đi xác định hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳngcần tính khoảng cách

+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến

một mặt thẳng song song” thì học sinh thường lúng túng không biết sử dụng điểmnào trên đường thẳng hoặc mặt phẳng để tính khoảng cách tới mặt phẳng còn lại

+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” thì

học sinh không xác định được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéonhau đó hoặc có những bài sử dụng được tính chất thì lại loay hoay đi dựng đườngvuông góc chung dẫn đến mất thời gian và còn tính toán sai

Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõcho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đốivới từng loại toán để được một bài toán đúng, tránh được các tình huống rườm ràphức tạp dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giảiquyết các bài toán về khoảng cách

2.3 CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến củađồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh vớinhững giải pháp cụ thể giúp học sinh giải quyết các bài toán về khoảng cách trongkhông gian

2.3.1 Giải pháp 1:

* Hướng dẫn học sinh nắm được các định nghĩa về khoảng cách.

- Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P).

Kí hiệu: d ( M ; ( P))

- Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với

a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

Kí hiệu: d ( a ; ( P))

- Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Nếu (P)//(Q) thì khoảng giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) kí hiệu:

- Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Nếu a,b là hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng giữa hai đường thẳng a và

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Sau khi học sinh nắm vững các định nghĩa và tính chất về khoảng cách, giáoviên hướng dẫn học sinh tính các loại khoảng cách thường gặp trong không gianthông qua việc phân loại và cách giải cụ thể như sau:

2.3.2 Giải pháp 2:

* Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P).

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt mặt phẳng ta có các cách sau:

Phân tích: Đây là một bài toán quen thuộc tuy nhiên khi gặp học sinh trung bình

thường lúng túng vì không xác định được góc giữa mặt bên và mặt đáy, thêm vào

đó việc xác định hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (SBC) làm cho học sinh khó định hình là điểm H nằm ở đâu Vì vậy để giải quyết bài toán này học sinh cần

5

d ( A,( SBC))

trả lời được câu hỏi: Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc nào? Mặt phẳng nào chứa A và vuông góc với (SBC)? Từ đó sẽ xác định được hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

Phân tích: Đây là dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy Để tính

khoảng cách theo yêu cầu giáo viên chỉ cần đặt câu hỏi gợi mở để học sinh phát

hiện mặt phẳng (SAB) chứa A và vuông góc với (SBC) trong câu a; cũng như mặt phẳng (SAC) chứa A và vuông góc với (SBD) S

D

6

C

Từ (*) và (**) suy ra: BC ( SAB ) BC AH (2)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB

đều, (SAB ) (ABCD)

Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính

d (I ,(SFC)) [3].

Phân tích: Đây là dạng hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy Để tính

khoảng cách theo yêu cầu giáo viên cần đặt vấn đề để học sinh học sinh tìm ra:

Hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy là điểm S

nào? CF và DI có mối quan hệ như thế nào?

Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra mặt phẳng nào

chứa I và vuông góc với (SFC).

Lời giải:

I

A F

H

D

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC

Suy ra: AID DFC AID DFC , ADI DCF

Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3

Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Tính

d ( B ',( A ' BD)) [1].

Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó,

1 1 1 4 CH a 3 + Xét tam giác vuông BCD có: CH2 BC 2 CD 2 3a2 4

d ( B ',( A ' BD )) CH a 3

4Vậy:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

là tam giác đều cạnh a, ( SBC ) ( ABC)

Tính d (C ,( SAB))

[1].

Lời giải:

+ Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật

ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của S

BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

để tính khoảng cách Việc tính theo cách 1 sẽ

phức tạp hơn và khó khăn hơn.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a,

SD ( ABCD) ,SD=a.

MJ 2 a 13 4

3913

S H

A

10

khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc AD đến mặt phẳng (SBC) Vấn đề đặt ra là

sử dụng điểm nào trên AD để khoảng cách tính là đơn giản nhất? Khi đó giáo viên

cần lưu ý cho học sinh thấy được đối với dạng này luôn sử dụng tới đường cao của

hình chóp từ đó học sinh sẽ phát hiện ra điểm cần sử dụng là trung điểm của AD.

Theo giả thiết ta có:

Chứng minh tương tự A’B=A’D=a

Do A’A=A’B=A’D và tam giác ABD đều suy ra

H là trọng tâm tam giác ABD.

600 H

A

D

12

2.3.4 Giải pháp 4:

* Hướng dẫn học sinh cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

d và d’

Cách 1:

+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’

+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung

với A là một điểm bất kỳ thuộc d

Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm

+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB

+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên:

IJAI2 AJ2 3a 32 a 2 a 26 C

13

d ( AB , CD) a 26

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,

14

Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

Trong ví dụ 12 ta đã sử dụng cách 2 để tính khoảng cách Việc tính theo cách

1 sẽ phức tạp hơn và khó khăn hơn Điều này còn thể hiện ở ví dụ 13 đến ví dụ 15.

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD I, J lần lượt

là trung điểm của AD và BC.

SO (ABCD) SO BC BC (SIJ ) IH BC (2)

Theo giả thiết ta có: IJ/ /AB IJ BC

Từ (1), (2) suy ra:

IH ( SBC) hayd(AD,SB ) IH + Xét tam giác SIJ có:

Ví dụ 14 : Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác

SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính d ( SA, BD)

[2].

Phân tích: Ở ví dụ này việc dựng đoạn vuông góc chung khá phức tạp Hơn nữa

trong hình vẽ chưa có sẵn một mặt phẳng nào chứa một đường thẳng và song songvới đường thẳng còn lại trong hai đường thẳng cần tính khoảng cách Nhưng chú ý

rằng ta có thể dựng được một mặt phẳng như vậy dựa vào hình chiếu của S trênmặt phẳng (ABCD).

+ Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần lượt

là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm H

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a,

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa

hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính d ( AB , SN ) [1].

+ Gọi I là trung điểm của BC

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó, IN//

+ Ta có: (( SBC ),( ABC )) SBA 60SA AB tan 60 2 a 3 ; AJ BI a

+ Xét tam giác vuông SAJ có:

17

hình không gian và biết quy lạ về quen Khi đó vai trò của người giáo viên là rấtquan trọng trong việc định hướng giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn và dễ hiểunhất Đáp ứng được với hình thức thi trắc nghiệm khách quan đang áp dụng.

2.3.5 Một số bài tâp:

a 3

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, các cạnh còn lại bằng 2 Chứng

minh: SA SC Tính d ( S ,( ABCD))

Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB=a, AA’=2a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính d(A,(IBC))

d(A,(SBC))

d ( MN , AC)

d ( AM , B ' C)

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 900

BA=BC=a, AD=2a, SA ( ABCD)

đường cao SO=a Tính d(AD,SB)

Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B, BA=BC=a, AA ' a 2

Gọi M là trung điểm của BC Tính

Bài tập 7 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC Chứng minh rằng: MN BD

Tính

Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,

SA^(ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SC và BD b) AC và SD.

Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ^ (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là

nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a.

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

18

c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phảng (P) song song

a 3

với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng 4

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Sáng kiến kinh nghiệm này giúp cho tôi và các đồng nghiệp thực hiện tốtnhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic

kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toánkhoảng cách từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễdàng

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối

11 và khối 12 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy mônToán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bàitoán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể

- Đề tài này tôi đã kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 11, và ôntập cho các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học và THPT Quốc Gia, đã được họcsinh đồng tình và đạt được kết quả cao, nâng cao khả năng giải quyết các bài toánkhoảng cách trong không gian Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp cóhướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học từ trung bình hay trung bình khá trở lên

đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt

- Đợt đầu mới học theo SGK tôi tiên hanh kiêm tra trên ca hai lơp vơi nôi dung như nhau đã có kêt qua thu đươc như sau:

Sau môt thơi gian day theo chuyên đề này tôi tiêp tuc tiên hanh kiêm tra trên

ca hai lơp cũng vơi nôi dung như nhau đã có kêt qua thu đươc như sau: