Hướng dẫn học sinh tiếp cận nhóm bài toán trắc nghiệm trên trường số phức được phát triển từ một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảngdạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TRONG TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Lê Quang Vũ Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC

1 Mở đầu Trang 2

2 Nội dung sáng kiến…… Trang 3.2.1 Cơ sỡ lý luận của SKKN Trang 3.2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN Trang 4.2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết vấn đề Trang 4.2.3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng ……… Trang 4.2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn Trang 10.2.3.3 Các bài toán cực trị liên quan đến đường E-lip Trang 18.2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 19

3 Kết luận, kiến nghị……… Trang 19

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn toánthay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điềunày đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường Để đạtđược điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơbản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếpcận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án.Đây thực sự là một thách thức lớn

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài toánkhó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trongmặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rấtkhó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảngdạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành

tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tàiliệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm mộtphương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trên tập sốphức Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hình học đãhọc để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em pháttriễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh đượchướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phứcvới hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặctrưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức, trước hếtgiáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan Đặc biệtvới riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệgiữa số phức với hình học tọa độ, các công thức chuyển đổi từ số phức sang hìnhhọc Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình, các dữ kiện, yêu cầu thườnggặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi gặp loại toán này.Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán từ bài toán điển hìnhnày cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Một số phép toán mở rộng đối với mô-đun số phức và số phức liên

hợp Cho hai số phức z, w Ta chứng minh được các tính chất sau:[1]1

2.1.2 Biểu diễn hình học của số phức

- Biểu diễn hình học của số phức z x yi với x,y trên mặt phẳng tọa độ là điểm M x; y Khi

với M là trung điểm đoạn AB

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức z

1

,z

Số phức z thay đổi thỏa mãn

z z1 z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực của đoạn AB

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức z

1

,z

Số phức z thay đổi thỏa mãn

z z1 z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

- Cho z

0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay đổithỏa mãn z z 0 R

0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròntâm I bán kính R

- Cho z

0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay đổithỏa mãn z z 0 R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền trong đườngtròn tâm I bán kính R

3

- Cho z 0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay đổithỏa mãn z z 0 R 0thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài đườngtròn tâm I bán kính R

1

z

2

a

thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận A, B

làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a

+ Nếu z

1 z

2 a

thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triễn từ bài toán cựctrị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâuphát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy”trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kếtquả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian đểbiến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phốihợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thìlàm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khácthì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như

là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng.

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

, cho điểm A và đường thẳng d

Điểm

M chạy trên đường thẳng d

sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài AM

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là d

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều

kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng Điều kiện kiểunày khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

D.2 2.

C 2

M là điểm biểu diễn số phức z Từ đề bài ta

M là đường trung trực đoạnAB Quỹ tích

Ví dụ 3: Cho số phức z không phải số thuần ảo thỏa điều kiện z2 4 z z 2i

z thỏa mãn z 2 4i z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z 7 i Như vậybài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

, cho hai điểm phân biệt A , B và đường

thẳng d

Điểm M chạy trên đường thẳng d

AM BM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM BM

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là d

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh yếu tố

hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xácđịnh nhanh vị trí của A, B

5 2i z 3 2i z

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB Điểm

M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM

a Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng AB

Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: điểm H nằm trong đoạn AB

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

nằm về cùng một phía với

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều

kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng Điều kiện kiểu nàychủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB AB .Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số dạng sau:

Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn

miền trong đường tròn, elip Chẳng hạn như:

+ Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường

thẳng, điều kiện còn lại là z z 0 r hoặc z z1 z z 2 2a

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 7: Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7 i 62

Gọi m , M lần lượt làgiá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i

đoạn thẳng AB Gọi I1; 1 thì z 1 i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra

hình chiếu của I lên đường thẳng AB

nằm trong đoạn AB Lại có:

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi A 1; 2 , B 2; 2

2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

cho điểm A và đường tròn C có tâm I

bán kính R Điểm M thay đổi trên đường tròn C

Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

a Hướng dẫn giải:

Ta xét ba trường hợp

Trường hợp 1: điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn C

(C) M

R

AM min AB AI R và AM max AC AI R

Trường hợp 2: điểm A nằm ở trên đường tròn C

(C) M

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là C

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều

kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn Điều kiện kiểu nàykhá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+ Cho số phức z thỏa mãn z z

0 R

với z

0 là hai số phức đã biết

+ Cho số phức z thỏa mãn z z1 k z z2 với z , z là hai số phức đã biết và

nên w max 2AM max 2(AI R) 4 130

Ví dụ 12: Cho sô phưc z , tim gia tri lơn nhât cua | z| biêt răng z thoa man điêu

tâm I 0; 1 bán kính R 1 Dễ thấy điểm O nằm trên

đường tròn C nên z max2 R 2

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z

1 sao cho quỹ tích điểm biểu

diễn nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức z

2 sao cho quỹ tích điểm biểu diễn nó là một đường thẳng

- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z

- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài toán 1 và 3 thì cũng sẽ dễ dàng hình

dung được con đường hình học để giải quyết bài toán này

R Đoạn AB là một đường kính của C

Điểm M thay đổi trên đường tròn C

Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA l MB

(với k l 0

) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này

a Hướng dẫn giải:

14

Ta có : k l 0 kMA lMB l ( MAMB ) lAB

, dấu bằng xảy ra khi M A .

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là C

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được z

A min T 2 5 B min T 2 C min T 5 D MinT 2

Gợi ý: Gọi M là điểm biễu diễn số phức z Theo bài ra z1

nên quỹ tích

điểm M là đường tròn C

tâm O bán kính R1 Đặt A1;0 , B1;0

, vẽ hình trực quan dễ thấy AB là một đường kính của đường tròn C

Khi đó T z 1 2

z 1 MA 2 MB MA MB AB 2 , dấu bằng xảy ra khi M B Suy ramin T 2

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

cho đường tròn C

có tâm I bán kính R .Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm Điểm M thay đổi trên đường

tròn C

Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA l MB (với k 0, l 0

) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị này

với đường tròn tâm B bán kính k 2 l2 .

b Cách tạo và giải một bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một

đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là C

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được z

A. max T 2 5 B max T 2 10 C max T 3 5 D max T 3 2

Gợi ý: Gọi M là điểm biễu diễn số phức z Theo bài ra z

làm trung điểm nên trong MAB ta có

để tổng độ

I

A M

B

là giao điểm của đường tròn tâm M bán kính k

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc hai số phức z

biểu diễn chúng cùng là một đường tròn Chọn một số phức z

0 có điểm biểu diễn nằm ở miền trong đường tròn biểu diễn z

Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được điều kiện

ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z

18

2.3.3 Các bài toán cực trị liên quan tới E-lip

Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip E

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích điểm biểu

diễn của nó là một đường E-lip

- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất mô-đun z z

0 với z

0 là số phức có điểm biểu

diễn là tâm của E-lip

- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của hai số phức z

0

,z

lần lượt là I ,M

Gọi

đường E- lip biểu diễn quỹ tích số phức z là E

Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được điều kiện

ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một E-lip; đồng thời số phức z

Đặt I3; 1 , dễ thấy I là tâm của E-lip và

Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của mình sau khi đọc tài liệunày đã nhìn các bài toán cực trị trên tập số phức với con mắt “ bớt sợ” hơn Những

em khá, ham tìm tòi cũng đã manh nha nghiên cứu những bài toán hình học khác

để thử áp dụng cho các bài toán cực trị khác

Tuy vậy vẫn còn một bộ phận học sinh do những kiến thức còn hạn chế nên vẫnchưa thấy được điểm mạnh của phương pháp, và vận dụng vẫn chưa linh hoạt ở cácdạng đề khác nhau

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận:

Trên đây là một số giải pháp tôi đã triển khai áp dụng tại lớp 12A1 trường THPT Thọ Xuân 5 thu được nhiều kết quả khả quan về kết quả học tập chương số phức của học sinh.

3.2 Kiến nghị:

Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụcho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổimới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của SởGD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo

Tài liệu tham khảo

1 Sách “ Hàm biến phức” của tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Nhà xuấtbản đị học quốc gia Hà Nội năm 2001

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT

đánh giá đạt từ loại C trở lên.

1 SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng điểm cố định của họ đường thẳng để

giải một số bài toán cực trị hình học - Giải C năm 2014

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Lê Quang Vũ