Các bài toán lớp IX của Nga.. Chứng minh rằng số а và b – là hai số nghịch đảo của nhau.. So sánh góc ВАС và САD.. Bài 7:Tồn tại hay không tam giác vuông có hai trung tuyến vuông góc Bà
Trang 1Các bài toán lớp IX của Nga Thi ngày 9 tháng X/MMX
Đề bài:
Bài 1: Giả sử 5(а – 1) = ) = b + a2 So sánh số а và b.
Bài 2: Cho hai số dương khác nhau а và b thỏa mãn đẳng thức
1
1+a+
1
1+b =
2
1+ √ ab Chứng minh rằng số а và b – là hai số nghịch đảo của nhau.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q và r, sao cho thỏa mãn đẳng thức:
p + q = (p – q) r
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n, sao cho
số А = n3 + 1) = 2n2 + 1) = 5n + 1) = 80 chia hết cho 23.
Bài 5: Trong hinh thang cân AВСD đáy lớn AD và đáy nhỏ ВС bằng 1) = 2 và 6 tương
ứng, còn chiều cao bằng 4 So sánh góc ВАС và САD
Bài 6: Trong tam giác АВС góc В bằng 45, АМ và CN – là đương cao, О – tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác, Н – H là trọng tâm giác
Chứng minh, rằng ОNHМ – hình bình hành.
Bài 7:Tồn tại hay không tam giác vuông có hai trung tuyến vuông góc
Bài 8: Trong hình thang ABCD phâ giác của góc tù B cắt đáy lớn AD tại điểm K – là
trung điểm của nó, M – trung điểm cạnhBC, AB = BC Tính tỷ số KM : BD.
Trang 2Lời giải:
Bài 1: Giả sử 5(а – 1) = ) = b + a2 So sánh số а và b.
Trả lời: а > b.
Biến đổi giả thiết bài toán đã cho về dạng:: b = –a2 + 5a – 5
Xét hiệu а – b Nhận được: а – b = a + a2 – 5a + 5 = (a – 2)2 + 1) = > 0
Suy ra, а > b.
Bài 2: Cho hai số dương khác nhau а và b thỏa mãn đẳng thức
1
1+a+
1
1+b =
2
Chứng minh rằng số а và b – là hai số nghịch đảo của nhau.
Giải:
Phân tích
:
1
1+a+
1
1+b =
2
1
1
1
1 1+ √ ab = 0
√ ab−a
( 1+a ) ( 1+ √ ab ) +
√ ab−b
( 1+b ) ( 1+ √ ab ) = 0
√a( √b−√a)
1+a –
√b( √b−√a)
1+b = 0
( √ b− √ a ) ( 1+a √ a −
√ b
1+b ) = 0.
Nhân tử thứ nhất bằng 0 khi và chi khi а = b, như thế trái với giả thiết
Xét nhân tử thứ hai: а > 0 và b > 0, ta có
:
√ a
√ b
1+b = 0
√ a− √ b+b √ a−a √ b = 0
( √ a− √ b ) ( 1− √ ab ) = 0
Nhân tử thứ hai bằng 0 khi và chi khi а = b hay ab = 1) = , điều phải chứng minh
Trang 3Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n, sao cho số А = n3 + 1) = 2n2 + 1) = 5n + 1) = 80 chí hết
cho 23
Trả lời: n = 1) = 0.
Phân tích đa thức đã cho về dạng:
A= n3 + 1) = 2n2 + 1) = 5n + 1) = 80 = n2(n + 1) = 2) + 1) = 5(n + 1) = 2) = (n + 1) = 2)(n2 + 1) = 5)
Số А chia hết cho số nguyên tố 23, nếu một trong hai nhân tử của nó chia hết
cho 23
Nhân tử thứ nhất chia hết cho 23 khi n= 1) = 1) = , còn nhân tử thứ hai n=1) = 0
Bài 4Tìm tất cả các số nguyên tố p, q và r, sao cho thỏa mãn đẳng thức:
p + q = (p – q) r
Trả lời: p = 5, q = 3, r = 3.
Từ điều kiện của bài toán ta có p + q chia hết p – q, suy ra, (p + q) – (p – q) = 2q cũng chia hết cho p – q
Nếu số p – q – nguyên tố là ước của 2q thì có thể là cac số 1) = , 2, q и 2q
Nếu p – q = 1) = , thì vế trái lớn hơn vế phải
Nếu p – q = q, thì p = 2q, lúc đó р – không là nguyên tố.
Tương tự p – q = 2q, thì p = 3q, trong trường hợp này , р – không nguyên tố
Vậy р – q = 2 Khi đó đẳng thức có dạng:
(q + 2) + q = 2 r q + 1) = = 2 r –1) = q = 2 r – 1) = – 1) =
Cách 1) = Nếu r = 2, thì q = 1) = – không là số nguyên tố.
Nếu r – số lẻ thì (r – 1) = ) – số chẵn lúc đó 2 r – 1) = – 1) = chia hết cho 3
Thât vậy nếu kN, thì 2 2k – 1) = = 4 k – 1) = = (4 – 1) = )(4 k – 1) = + 4k – 2 + +1) = )
Vì thế , q = 3 Khi đó р = 5 và r = 3.
Cách 2 Bởi vì q = 2 r – 1) = – 1) = = ( 2
r−1
2 )2−1 = ( 2
r−1
2 −1 )( 2
r−1
2 +1 ) , thì q có thể là
số nguyên tố trong trường hợp 2
r−1
2 −1=1 Nên ,
r−1
2 =1 r = 3 Khi đó q = 3 và р = 5.
Bài 5: Trong hinh thang cân AВСD đáy lớn AD và đáy nhỏ ВС bằng 1) = 2 và 6
tương ứng, còn chiều cao bằng 4 So sánh góc ВАС và САD
Т
rả lời : góc ВАС lớn hơn góc CAD.
Cách 1) = Bới vì AD || BC,
nên CAD = BCA (xem рис 1) = а) )
Giả sử BH – đường cao hình thang Khi đó
AH =
AD−BC
2 = 3; BH = 4,
Suy ra trong tam giác vuông АВН: AB = 5
Рис 1) = а)
Trang 4Xét tam giác АBC có BC > AB, nên , BAC > BCA (đối diện với canh lớn hơn là góc lớn hơn) Suy ra, BAC > CAD.
Cách 2 giả sử đường thẳng АВ và CD cắt nahu tại Е ( xem hình 1) = б) Bới vì BC
|| AD và BC=1
2AD , nên BC – đường trung bình tam giác АЕD
Tính cạnh của hình thang tương tự như cách giải
trên
АЕ = 2АВ = 1) = 0
Kẻ phân giác AL tam giác АЕD
Theo tính chất của phân giác
LD
AD
12
10 >1 ,
Nên L nằm giữa điểm С và Е
Suy ra, BAC > CAD.
Bài 6: Trong tam giác АВС góc В bằng 45, АМ và CN – là đường cao, О – tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác, Н – H là trọng tâm giác
Chứng minh, rằng ОNHМ – hình bình hành.
Cáh 1) = Kẻ trung trực của cạnh АВ và ВС của tam
giác đã cho cắt nhau tại điểm О (xem hình 2а) )
Vì tam giác vuông BNC có NBC = 45°,
nên BN = NC, suy ra điểm N nằm trên trung trực của
đoạn BC
Khi đó NO || HM
Tương tự với tam giác АМВ, ta cũng có MO || HN
Nên ONHM – hình bình hành( theo định nghĩa).
Cách 2 Khảo sát đường tròn ngoại tiếp tam АВС (xem
hình 2б) Vì tam giác đã cho là nhọn nên tâm O nằm bên
trong tam giác, mà tam giác АОС – cân và AOC = 2ABC
= 90°
Ngoài ra, ANC = AMC = 90°, vì thế N, O và M nằm
trên một đường tròn đường kính AC
Khi đó ONC = OAC = 45°;
ONВ = ÂNC – ONC = 45°
và ÌÀВ = 90° – ÀВМ = 45°
Từ hai góc bằng nhau ONВ và ÌÀВ сsuy hai đường
thàng song song NO và AM
Рис 1) = б
Рис 2а)
Рис 2б
Trang 5Bài 7Tồn tại hay không tam giác vuông có hai trung tuyến vuông góc
Trả lời: Có tồn tại
Giả sử tam giác ABC: С = 90°, CP và BK – trung tuyến, M – là giao điểm của nó
(xem hình 3)
Cách 1) = Ta đặt : BС = a, AC = b, AB = c
Khi đó CP =
1
2 с; CM =
2
3 СР =
1
3 с;
BK2 = а2 +
1
4 b2;
BM2 =
4
9 BK2 =
4
9 a2 + 19 b2
Đoạn CM và BM vuông góckhi và chỉ khi CM2 + BM2 = BC2,
Thì ta có
1
9 ñ2 +
4
9 a2 + 19 b2 = а2
Tính с2 = a2 + b2, ta được:
4
9 a2 = 29 b2, ta có b = a √ 2
Vậy trong tam giác vuông có CB = a và CA = a √ 2
Trung tuyến CP và BK vuông góc.
Cách 2 Giả sử CA=a , CB=b ,
2(CA+CB)=
1
2a+
1
2b ;
2b−a
Ta xét, CP⋅CK = 14b
2
−1
2a
2
−1
4a⋅b =
1
4b
2
−1
2a
2
,
vì a⊥b (а va b – modun tương ứng hai véc tơ)
Suy ra, CP⋅CK = 0 14b
2
−1
2a
2
= 0 b = a √ 2
Bài 8: Trong hình thang ABCD phâ giác của góc tù B cắt đáy lớn AD tại điểm K
– là trung điểm của nó, M – trung điểm cạnhBC, AB = BC Tính tỷ số KM : BD.
Trả lời: KM : BD = 1) = : 2.
Vì ABK = CBK = BKA, nên tam giác ABK – cân
: AK = AB = BC
Khi đó ABCK – hình bvinhf hành (BC = AK, BC || AK),
và vì AB = BC, nên ABCK – hình thoi
vì KD = AK = BC và KD || BC, nên BCDK – hình
bình hành
Рис 3
Trang 6Giả sử O – giao điểm của đường chéo BD và CK, khi đó BO =
1
2 BD
Vì tam giác BCK – cân (BC = CK), nên trung tuyên bàng nhau BO và KM, suy ra, KM =
1
