Để giải được các bài tậpnâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chươngtrình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng.. Vậy muốn nâng ca
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU ……….……… … … 1
1.1 Lý do chọn đề tài……… …… 1
1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu……… ……….2
1.4 Phương pháp nghiên cứu… ……… …….2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …… 3
2.1 Cơ sở lí luận ……… … 3
2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu……… ………… 4
2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… …… 4
2.4 Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…… … ……… … 15
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……… … 17
3.1 Kết luận về vấn đề nghiên cứu 17
3.2 Kiến nghị……… …….… 17
0
Trang 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Phương pháp dạy học hiện nay nói chung và phương pháp dạy học toántrong nhà trường nói riêng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động củangười học và hướng tới phát triển các năng lực tư duy sáng tạo, nhận biết, kháiquát hóa khả năng giải quyết các vấn đề độc lập
Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao độngsáng tạo nghiêm túc Là một giáo viên giảng dạy môn toán Bản thân tôi luôntrăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học sinh, trongquá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất nhiều khó khăn vì cácdạng toán rất phong phú, kiến thức học sinh có hạn Chính vì thế mà dạy và họcnhư thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức một cách có hệ thống
có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán
Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phươngpháp giải thích hợp Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoangay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm chongười học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6 Sau khi các em đượchọc về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ítnhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều Để giải được các bài tậpnâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chươngtrình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiếnthức này không được phân phối trong trong các tiết học nên học sinh ít được vậndụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó Vì vậy khi gặp những bài tậpkhó này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú họcmôn toán nữa
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và khôngchút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này Tôi thấy rằng cần phải giúp các
em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải Từ đógây hứng thú cho các em đồng thời rèn cho các em kỹ năng giải thành thạo dạngtoán
Vậy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán 6 và làm nguồnbồi dưỡng cho học sinh giỏi toán 7, 8, 9 ở trường THCS Đông Cương tôi chọn
đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học
Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể
Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong côngtác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa
Trang 31.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vàotừng dạng bài khác nhau từ đấy rèn cho học sinh các kĩ năng tìm lũy thừa, sosánh lũy thừa vào các bài tập cụ thể và một số các bài tập nâng cao về lũy thừatrong đề thi khảo sát chất lượng học kì của TP Thanh Hóa
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
- Phương pháp thực nghiệm
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Phát triển một số kiến thức nâng cao về phần lũy thừa mà sách giáo khoa không đề cập
- Đề tài được thông qua đồng nghiệp và được đồng nghiệp áp dụng vào dạy học đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương
2
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trên cơ sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” trong sách giáo khoa toán 6 vàcác tài liệu nâng cao toán 6 Qua nhiều năm dạy toán và bồi dưỡng học sinh khá,giỏi toán Tôi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán thìgiáo viên phải dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về lũy thừa, từ đó
mở rộng nâng cao các kiến thức về lũy thừa và đưa ra các phương pháp giải bàitoán về lũy thừa
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.2.1 Thực trạng.
Mặc dù học sinh đã được học và giải các bài toán về lũy thừa của một số
ở lớp 6, bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức Nhưng thực tếhọc sinh khá, giỏi toán ở trường THCS Đông Cương giải đúng và có kỹ nănggiải chiếm tỉ lệ thấp, phần lớn học sinh chưa giải được các bài toán về lũy thừacủa một số hay của một biểu thức hoặc chỉ giải đúng được một vài bước
Từ thực trạng trên, tôi đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi vàthử nghiệm phương pháp riêng của mình và bước đầu đã có những dấu hiệu khảquan
2.2.2 Kết quả của thực trạng.
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toánlớp 6 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường,thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố bản thântôi nhận thấy các em học sinh chưa thành thạo khi làm các dạng bài tập về lũythừa, vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng giải các bàitoán về lũy thừa
Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của 40 họcsinh lớp 6A và 40 học sinh ở lớp 6C Trường THCS Đông Cương năm học 2017-
2018 khi chưa áp dụng đề tài này Kết quả thu được như sau:
Học sinh giải Học sinh giải được Học sinh không
Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp 6 chưa giải được các bài toán
về về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao thì có nhiều nguyên nhân, song theo quan điểmcủa tôi chỉ tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây:
Thứ nhất: Do phần lũy thừa là phần mới đối với học sinh;
Thứ hai: Do các em chưa nắm vững các phương pháp giải các bài toán vềlũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập về phần lũy thừa;
Thứ ba: Do các em chưa đọc và giải nhiều bài tập ở sách nâng cao toán 6
về chủ đề lũy thừa
Trang 52.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Các giải pháp thực hiện.
1 Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa
2 Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số bài tập
và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018
3 Luyện giải các các bài toán nâng cao về lũy thừa trong các đề thi khảo sát chấtlượng học kì TP Thanh Hóa
4 Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa
2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiện.
1 Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa.
1.1 Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.
+ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
a n a.a a *
(n Î N )
n thua so
+ Quy ước: a1 = a; a0 = 1(a ≠ 0)
1.2 Các phép toán về lũy thừa.
*) Với a, b, m, n Î N ta có các phép tính:
+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: am an = am+n; am an ap = am+n+p (p Î N)+ Chia hai lũy thừa cùng cơ số: am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
+ Lũy thừa của một tích: (a.b)m = am bm
+ Lũy thừa của một thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 )
+Lũy thừa của lũy thừa: (am)n = am.n
Trang 62 Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số dạng bài tập và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018.
2.1 Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân chia dưới dạng một lũy thừa.
*Phương pháp: - Biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số
- Áp dụng công thức: am an = am + n;
a m : a n = a m- n
an bn = (a.b)n(a : b)n = an : bn
*Nhận xét: Đối với dạng bài tập này, có rất nhiều cách giải Tuy nhiên để thuận
tiện cho việc tính toán ta thường đưa về lũy thừa của cùng một số nguyên tố
2.2.1 Các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên:
Trang 7* Phương pháp:
- Thực hiện theo thứ tự phép tính và sử dụng các phép tính của lũy thừa để tính
- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Ví dụ 2 Tính giá trị của biểu thức:
a) A45 3 : 5 3 24 6 :12 6
+ Hướng dẫn: Các lũy thừa của 45 và 5 có cùng số mũ là 3 Lũy thừa của 24 và
12 có cùng số mũ là 6 Vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính: Nhân, chia đến cộng, trừ
+Hướng dẫn: Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8, sau đó sử dụng tính chất phân
phối của phép cộng dể thực hiện
+ Phương pháp: Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa Sau đó sử dụng
tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không
+ Hướng dẫn: Đưa tử và mẫu về dạng tích của các lũy thừa có cơ số là các số
nguyên tố Sau đó ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũythừa, tính lũy của lũy thừa, rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau
Trang 8b) C 95.13 39.52
38.258
+ Hướng dẫn: Biểu thức C có tử là một tổng vì vậy ta có thể biến đổi rồi sử
dụng tính chất phân phối viết tử thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn
2.2.3 Biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo quy luật.
* Phương pháp: Làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó có chứa
các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừhai biểu thức
Ví dụ 4 Thu gọn biểu thức sau:
A 1 2 22 23 22018
+ Hướng dẫn:
- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 2 ( 2 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
A có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)
- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 53 ( 53 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)
Trang 9Ví dụ 6 Thu gọn biểu thức: C 13 312 313 3199
+ Hướng dẫn: - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là
lũy thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị Nhân cả hai vế của biểu thứcvới 3
2.3 Dạng 3 So sánh hai lũy thừa.
2.3.1 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số.
- Sử dụng tính chất: Nếu m > n thì a m a n ( a > 1 )
a) + Hướng dẫn:
- Các cơ số 27 và 81 đều là lũy thừa của 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh
2.3.2 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ.
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.
- Sử dụng tính chất: Nếu a > b thì a m bm ( m > 0 )
Trang 10Ví dụ 2 So sánh: 32n và 23n với n N
+ Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n và 3n đều có chung thừa số n nên ta viết hai
lũy thừa trên thành các lũy thừa có cùng số mũ là n, rồi so sánh cơ số
Giải:
8
Trang 11- Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng số mũ.
- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b hoặc a = - b (nếu n chẵn ) a
= b (nếu n lẻ)
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 3 nên ta viết
vế phải thành lũy thừa có số mũ là 3
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 2 cả hai lũy
thừa đều biết số mũ là 2, nhưng cơ số chưa biết Do đó ta sử dụng tính chất bìnhphương của hai lũy thừa bằng nhau khi cơ số của chúng bằng nhau hoặc đốinhau
x 3
2 Z
9
Trang 12* Trường hợp 2:
x – 5 = 3x – 1
2x = -4
x = -2 ZVậy x = -2
2.4.2 Tìm số mũ:
* Phương pháp: - Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng cơ số.
- Áp dụng tính chất: a m a n thì m = n
Ví dụ 3 Tìm số tự nhiên x, biết: a) 5x 625 ; b) 16x < 1284
a)+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở số mũ của lũy thừa có cơ số là 5 nên ta
viết vế phải thành lũy thừa có cơ số là 5
+Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ
số tận cùng vẫn không thay đổi
- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tậncùng vẫn không thay đổi, còn nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lầnlượt là 6 và 1
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6
+Tìm hai chữ số tận cùng: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần
chú ý những số đặc biệt sau:
- Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó
Trang 13- Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
+ Hướng dẫn: Lũy thừa 10092008 ta viết số mũ 2008 dưới dạng 2.1004 ; 8732 viết
số mũ 32 dưới dạng 4.8; 5833 viết dưới dạng 58.5832; còn 47102 viết dưới dạng
47100 472 Và dựa vào kiến thức trên ta dễ dàng tìm được chữ số tận cùng
+ Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét ở trên ta viết 2 100 thành lũy thừa của 220.5, 3 100
thành lũy thừa của 320.5
*Nhận xét: Trong 5 dạng toán về lũy thừa đã giới thiệu ở trên, mỗi dạng có
phương pháp làm cụ thể song trong quá trình làm bài ta gặp các bài toán màphải sử dụng tổng hợp các kiến thức đã làm trong các bài trên như tìm chữ sốtận cùng, so sánh phân số … như các loại bài sau:
Ví dụ 1 Chứng minh rằng: A 9 98 1 chia hết cho 2 và 5
+ Hướng dẫn: - Các số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 2 và 5.
- Do đó ta đi tìm chữ số tận cùng của biểu thức A
Trang 14+ Hướng dẫn: Biểu thức A là tổng các lũy thừa viết theo quy luật, để so sánh A
và B ta phải thu gọn biểu thức A
+ Hướng dẫn: - Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh Để học
sinh hiểu được giáo viên dẫn dắt, gợi mở cho học sinh
- Giáo viên giới thiệu kiến thức: 1 1 1 (n N*)
n.(n 1) n n 1
Trang 16(Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2017-2018)
+) Nếu x - y 2 thì là một số lẻ lớn hơn 1, nên vế trái của (1) chứa thừa
số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố Còn vế phải của ( 1) chỉ chứathừa số nguyên tố 2 (Mâu thuẫn)
Vậy x = 9, y= 8
Vậy để giải một giải bài toán về lũy thừa nào đó có thể có nhiều cách giải, có thể kết hợp nhiều phương pháp giải Vấn đề đặt ra là chúng ta phải lựa chọn phương pháp nào để giải sao cho ngắn gọn và chính xác.
4 Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa.
Khi giải bài toán về lũy thừa học sinh thường hay mắc các sai lầm sau:
- Nhầm lẫn về cách tính một lũy thừa, tìm thiếu nghiệm
- Trình bày dài dòng, chưa lôgic
Sau khi dạy song chủ đề này, tôi đã chỉ ra các lỗi sai mà các em thường mắc phải và sửa lại cho đúng như sau:
(- x)2 yx5(- y)3 = (- x)7 (- y4) = x7y4 (- x)2 yx5(- y)3 = (-1x)2 x5y(-1y)3
= (-1)5x7y4 = - x7y4
2 x y 1
Trang 17Tóm lại khi giải bài toán về lũy thừa thì các em có thể gặp nhiều khó khăn, sai lầm Chẳng hạn như một số sai lầm tôi đã nêu ở trên Về nguyên nhân thì cũng có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên chẳng hạn như
do kỹ năng biến đổi và tính toán của các em chưa tốt hoặc các em chưa nắm vững các kiến thức ở phần trước đó Vấn đề của giáo viên ở đây là khi dạy phần này muốn đạt được kết quả cao thì phải dành nhiều thời gian để giúp học sinh khắc phục những khó khăn, sai lầm Nếu giáo viên làm tốt điều này thì các em sẽ tự tin hơn trong việc tiếp thu các kiến thức của môn toán Từ đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
2.4 Hiệu quả của SKKN:
2.4.1 Với hoạt động giáo dục:
Trong quá trình thực hiện tôi đã thu được kết quả chung:
*Ý thức: Đa số các em có ý thức cao trong học tập.
*Khả năng tiếp thu: Phần lớn các em tiếp nhận kiến thức tốt.
*Khả năng vận dụng: Học sinh đã có khả năng vận dụng những tri thức
thu nhận vào thực tế
*Kết quả thu được: Nhiều học sinh đã vận dụng rất tốt các phương pháp
Tìm nghiệm nguyên mà tôi đưa ra Với cách làm này đã nâng cao chất lượng học sinh giỏi Toán đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương và những học sinh này sẽ làm nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán năm học tới
Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi để có được đề tài “Hướng dẫn học
sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh lớp 6” tôi đưa vào thực
tế giảng dạy lớp 6A, 6C ở Trường THCS Đông Cương, đặc biệt là những tiết bồi
dưỡng học sinh giỏi Năm học 2017- 2018 nghiên cứu và thực hiện đề tài vớiđối tượng học sinh lớp 6 Trường THCS Đông Cương với tổng số 80 em Kết quảthu được đáng mừng, tôi nhận thấy học sinh đã tự tin hơn khi học toán phần lũythừa, các sai lầm và khó khăn thường gặp ở các em giảm hẳn, số bài tập trongsách nâng cao toán 6 phần lũy thừa các em có thể làm được hầu hết, mà khônggặp trở ngại lớn Điều này chứng minh được kết quả bước đầu của đề tài có hiệuquả
15