Song nó sẽ không khó nếu như chúng tanắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập.Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình họ
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:
Ngày nay việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề được quan tâmhàng đầu Để chất lượng học của học sinh (HS) ngày càng được nâng lên, yêucầu người giáo viên(GV) phải có phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập
đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng HS Toán học là một trong những bộmôn khó ở chương trình phổ thông Song nó sẽ không khó nếu như chúng tanắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập.Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình họcphương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HSTHCS Nhưng khi thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻthêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn
về phương pháp giải loại toán này Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trìnhgiải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn
Trong khi tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc kẻ thêmyếu tố phụ làm cho giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.Thậm chí, có nhữngbài toán cần phải vẽ thêm đường phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên việc
kẻ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải hay và ngắn gọn mới
là vấn đề khiến cho người thầy cần phải đầu tư suy nghĩ
Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đườngphụ khi giải các bài toán hình học.Vì thế khi giải bài toán đòi hỏi HS phải cósuy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệthống và tổng hợp, để từ đó có cách vẽ thêm những đường phụ hợp lý để có thểđưa đến cách giải hay và độc đáo, và vì vậy khi giải một bài toán hình việc xácđịnh phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đóđòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể làtìm hướng giải và phương pháp giải, để làm được điều đó GV cần phải cung cấpcho HS một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7;8”,tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để học tốt loại toánhình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung
1.2 Mục đích nghiên cứu :
Mục đích của đề tài là: - Giúp trang bị cho HS một số kiến thức để học tậpmôn Toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải các bài toánhình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng tốt hơn
- Để HS ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúngtúng, mất hướng giải và mất nhiều thời gian, củng cố niềm tin cho HS khi họcmôn Toán nói chung và "giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ " nóiriêng
- Để các em có ý thức vươn lên học tốt hơn bộ môn Toán, cũng như các mônhọc khác.Từ đó dần dần hình thành năng lực học tập, phát triển tư duy sáng tạo,hình thành kỹ năng vẽ hình, tính cẩn thận, chính xác cho HS
Trang 21.3 Đối tư ợng nghiờn cứu :
Đề tài ỏp dụng đối với HS THCS chủ yếu là HS lớp 7; 8 trong giờ luyện tập,cỏc buổi học thờm ,bồi dưỡng HS mũi nhọn hoặc bồi dưỡng HS giỏi, ụn tập cuốinăm và ụn tập cho cỏc kỳ thi ở trường, thi HS giỏi cỏc cấp, thi vào cấp TPTH
1.4 Cỏc ph ương phỏp nghiờn cứu:
Trong khi nghiờn cứu đề tài , tụi đó sử dụng một số phương phỏp sau:
- Phương phỏp quan sỏt, điều tra, theo dừi thực tế; Phương phỏp nghiờn cứu;Phõn tớch, tổng hợp; Phương phỏp tham khảo thu thập tài liệu; Phương phỏpthực nghiệm; Phõn tớch, tổng kết kinh nghiệm; Kiểm tra kết quả chất lượngHS
Qua đú giỳp cỏc em cú phương phỏp giải đỳng, trỏnh được tỡnh trạngđịnh hướng sai khi giải bài toỏn hoặc cũn lỳng tỳng trong việc chưa tỡm rahướng giải và trỡnh bày lời giải, giỳp cỏc em làm việc tớch cực hơn, say mờ vàham thớch hơn , để từ đó đạt đợc kết quả cao trong cỏc kỳ thi
1.5 Những điểm mới của SKKN:
- Thụng qua SKKN, HS được nõng cao tư duy sỏng tạo, độc lập, phỏt huy tớnh tự giỏc, tớch cực trong học tập, thỳc đẩy cho cỏc em sự say mờ và hứng thỳ học tập tốt hơn.
2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận:
Cỏc bài toỏn hỡnh học cú lời giải phải kẻ thờm đường phụ là những bài
toỏn khú đối với HS THCS Bởi vỡ để giải cỏc bài toỏn dạng này khụng chỉ yờucầu HS nắm vững kiến thức mà cũn đũi hỏi HS cần cú một kỹ năng giải toỏn và
cú sự sỏng tạo nhất định Để chứng minh cỏc định lý phải sử dụng việc kẻ thờmđường phụ thỡ trong SGK đề cập đến khụng đỏng kể Việc làm cỏc vớ dụ về dạngtoỏn này ở trờn lớp cũng khụng nhiều Tuy nhiờn, cỏc bài tập trong SGK lại đưa
ra khỏ nhiều dạng toỏn này và đặc biệt là ở một số bài tập nõng cao khi giải phải
kẻ thờm đường phụ, nếu khụng thỡ việc tỡm lời giải trở nờn khú khăn hơn nhiều.Trờn thực tế,đối với HS khi giải cỏc bài toỏn dạng này cần phải mất rất nhiềuthời gian nghiờn cứu Mà việc đi sõu vào nghiờn cứu và tỡm tũi cỏc cỏch giải bàitoỏn cú kẻ thờm đường phụ đối với HS cũn rất ớt Mặt khỏc, đối với đa số HSviệc nắm vững về mục đớch,yờu cầu khi kẻ cỏc đường phụ cũng như kiến thức
về một số loại đường phụ cũn rất hạn chế Cỏc tài liệu viết rờng về loại toỏn nàycũng rất ớt nờn việc tham khảo đối với HS cũn gặp nhiều khú khăn
Vỡ vậy với nội dung trỡnh bày của đề tài này bản thõn tụi mong muốn đú sẽ làmột nội dung tham khảo cho GV để gúp phần tạo nờn cơ sở cho GV cú thể dạy tốthơn, HS hiểu và làm tốt hơn cỏc bài tập loại toỏn hỡnh cú kẻ thờm đường phụ
2.2
Thực trạng của vấn đề nghiờn cứu
Trong quỏ trỡnh dạy mụn toỏn núi chung, đặc biệt là phõn mụn hỡnh học núiriờng, tụi nhận thấy hầu hết cỏc em HS khụng thớch và rất ngại khi làm cỏc bàitoỏn hỡnh Bởi vỡ cỏc em thấy nú rất khú, cỏc em khụng biết phương phỏp giải vàgiải như thế nào Chớnh vỡ thế đó làm tụi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếp
Trang 3dạy bộ môn toán tôi suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được phươngpháp giải các bài toán hình Từ đó giúp các em khi gặp các bài toán hình các emkhông còn ngại nữa mà trở nên ham thích hơn, say mê và hứng thú hơn trongviệc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hànhđiều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình đối với HS khối 7, 8 tại trườngTHCS nơi tôi đang trực tiếp giảng dạy trong các năm học 2014- 2015, 2015-2016.Kết quả thu được như sau:
Khối Tổng số Số HS giải thành Số HS giải chưa Số HS không biết
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng : Số HS không biết làm, còn lúng túng,
lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình học là rất lớn, trong khi đó chỉ một
số ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này
Từ thực tế trên, bản thân tôi là một GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tạitrường THCS, tôi luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn họcnày và làm thế nào để tạo cho các em có một tâm lý vững vàng, không còn sợsệt khi gặp các bài toán hình nữa.Và SKKN “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8” là một phươngpháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chấtlượng Dạy - Học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán nóichung
có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm
Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm chohình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi
tiến hành kẻ đường phụ, phải luôn đặt ra câu hỏi:”Kẻ đường phụ này có đạt được mục đích mình yêu cầu không ? ”
1.2 Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và phải
Trang 4- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước
- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước
3 Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại toán hình
mà lời giải có sử dụng đường phụ.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường
phụ Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo
ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán
Bài 1: Cho ABC, cóB=C Chứng minh: AB =AC
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc
kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồichứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau
bằng cách chứng minh : ABH = ACH
- Để ABH = ACH ta chỉ cần chứng minh : BAH = CAH
Trang 5- Để chứng minh : BAH = CAH ta chỉ cần dựa vào kiến thức
tổng 3 gúc trong tam giỏc Từ đú, ta giải quyết được bài toỏn B H C
Như vậy, cũng từ một đường phụ kẻ thờm nhưng do cỏch dựng khỏc nhau nờn dẫn đến cỏch chứng minh cũng khỏc nhau Tuy nhiờn, ta nờn lựa chọn cỏch nào nhanh và đơn giản nhất để giải.
Bài 2 Cho tứ giỏc ABCD cú AB // CD; AD // BC
Chứng minh: AB = CD, AD = BC
*Phõn tớch: -Để chứng minh cho AB= CD, AD = BC gợi cho ta nghĩ đến việc cần
tạo ra cặp tam giỏc bằng nhau cú 2 cạnh tương ứng là AB và CD hoặc AD và
BC Từ suy nghĩ đú gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thờm đường phụ như thế nào?
+ Kẻ thờm đường phụ:- Nối A với C (hoặc B với D) A B
+ HD Chứng minh : Ta cú thể chứng minh AB = CD, AD =
BC bằng cỏch chứng minh : ABC = CDA
- Để chứng minh ABC = CDA ta chỉ cần chứng minh : D
BAC = ACD và CAD = ACB ( so le trong)
Đến đõy HS dễ dàng chứng minh được bài toỏn
Như vậy, ta cú thể giải bài toỏn dễ dàng bằng cỏch vẽ thờm đường phụ AC
Bài 3 Cho ABC, vẽ AH vuụng gúc với BC (H BC) Trờn nửa mặt phẳng bờ AH
cú chứa điểm B, dựng AD AB sao cho
AD = AB Trờn nửa mặt phẳng cũn lại dựng AE AC
sao cho AE = AC Nối D với E, AH cắt DE ở M
Chứng minh MD = ME
*Phõn tớch: Từ kết luận của bài toỏn, hỡnh cần tạo ra
là hỡnh nào để từ đú cú thể giải được bài toỏn?
+ Kẻ thờm đường phụ:Từ D hạ DK AH (K AH)
-Từ E hạ EN AH (N AH)
+ HD Chứng minh:
- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh KDM = NEM
- Để KDM = NEM Ta cần chứng minh DK = EN, KDM =NEM (so le trong)
- Để DK = EN ta chứng minh HAB = KDA (cạnh huyền - gúc nhọn)
Và HAC = NEA (cạnh huyền - gúc nhọn)
Vậy, bằng cỏch kẻ thờm đường phụ DK và EN ta cú thể giải bài toỏn dễ dàng Kết luận : Bằng cỏch kẻ thờm đường phụ để tạo nờn cỏc tam giỏc bằng nhau,
từ đó suy ra cỏc cạnh tương ứng (cỏc đoạn thẳng cần chứng minh) bằng nhau
* Bài tập tự luyện: Cho ABC, cúA= 60o Cỏc tia phõn giỏc của B và Ccắtnhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E Chứng minh: ID= IE
Gợi ý kẻ thờm đường phụ : Kẻ tia phõn giỏc của BIC cắt BC tại K (K BC).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đú bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn thẳng cho trước.
* Chứng minh một đoạn thẳng cú độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khỏc
hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta cú thể:
Trang 6Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong méthai đoạn thẳng nàybằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạnthẳng này bằng đoạn thẳng dài
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD cóA= 120o Tia phân giác của góc D đi quatrung điểm I của cạnh AB Kẻ AH CD Chứng minh AH = 12 DI
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh
AH = 12 DI gợi cho ta nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng
nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng 12 DI Từ
sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A dựng AM DI (M DI).
+HD Chứng minh: Để chứng minh AH = 12 DI Ta cần: chứng minh AH = DM.
Vì ADI cân tại A ( hai góc đáy bằng nhau).Mà AM là đường cao, suy ra AM
là trung tuyến DM = 12 DI Để AH = DM ta chỉ cần chứng minh :
ADM = ADH (cạnh huyền-góc nhọn) Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán
Bài 2: Cho ABC vuông tại A, có B = 60 o Chứng minh AB = 1 BC.
2
1
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán AB = 2 BC hay 2AB = BC
gợi cho ta phải nghĩ đến việc tìm cách tạo ra đoạn thẳng nào đó bằng 2AB, rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC và lại có B = 60o nên gợi cho ta nghĩ đến
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AB = 12 BC ta chỉ cần
chứng minh : BC = BD Để chứng minh BC= BD ta chỉ cần D A
chứng minh : ABC = ADC (c-g-c) và BCD là đều
Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán
Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
*Phân tích: Để chứng minh được AM = 1 BC ta cần phải
2chứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải chứng
minh: AM = BM hoặc AM = CM
Vậy để chứng minh AM = BM( hoặc AM = CM).Ta phải chứng minh :
(hoặc AMC) là tam giác cân tại M.Từ sự phân tích đó, để chứng minh
60 o B
AMB
Trang 7AM = 12 BC hay AM =MC ta cần kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
GV lưu ý : §ối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ đường phụ khác nhau Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh vì thế ta nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng minh
dễ hiểu, đơn giản và hay nhất.
* Bài tập tự luyện: Cho ABC,M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳngkhông chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay AC,trên tia đó lấy
điểm E sao cho AE = AC Chứng minh : AM = 12 DE
Gợi ý kẻ đường phụ : Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với haiđáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”
*Phân tích: Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm
đường phụ thì GV cần phải phân tích cho HS: Từ
khái niệm“ đường trung bình” của hình thang gợi
cho ta liên tưởng đến định lí tương tự nào trong
tam giác? Liệu định lí đường trung bình
trong tam giác có thể sử dụng cho lời giải bài toán này không?
Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến thức
đã có để chứng minh bài toán Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?+ Kẻ thêm đường phụ:
- Dựng đoạn thẳng BN
- Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E
+ HD Chứng minh:
Trang 8- Như vậy, ta đã có được MN là đường trung bình của BEC
Do đó MN = 12 EC Mà EC = ED + CD Nên MN = 12 (ED + CD)
- Như vậy để chứng minh MN = 12 ( AB +CD) ta chỉ cần chứng minh AB = ED
- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ABN = DEN (g.c.g)
Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về việc sử
dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài toán Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với mục đích tính chất) Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương pháp
kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2 : Cho ABC vuông cân tại A Lấy một điểm M tuỳ ý trên
cạnh BC (M khác B và C).Chứng minh : MB2 + MC2 = 2 MA2
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến
định lý Py-ta-go Và Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó
Từ phân tích, ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
MB2=NB 2+MN 2=2MN2
áp dụng định lý Py-ta-go đối với PMC vuông cân tại P
MC2 =PM 2+PC2 =2MP2Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật)
Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh
Kết luận: §ể có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp
kẻ thêm đường phụ V× vËy đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi giải một bài toán hình.
* Bài tập tự luyện: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB Trên cùngnửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax, By AB Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax, đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D Chứng minh : CD = AC + BD
Gợi ý kẻ đường phụ : Kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ABC có AB < AC AD là tia phân giác
của BAC (D BC).Chứng minh rằng: CD > BD
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy
nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài
Trang 9bằng BD;CD.Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với hai cạnh ấy Đến đây ta
có thể kẻ thêm đường phụ nào
* Kẻ thêm đường phụ:
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB
Ta được DEC đạt được theo yêu cầu trên Vậy điểm E là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp ta giải được bài toán này
tam giác sao cho ADB > ADC
Chứng minh rằng : DC > DB
*Phân tích: Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo
ra tam giác có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB
Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ?
* Kẻ thêm đường phụ:
-Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx = BAD
- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD Chứng minh :
- Để chứng minh DC > DB ta cần chứng minh
DC > EC ( EC = BD vì DAB = EAC ( c.g.c))
- Để DC > EC ta chứng minh DEC > EDC
- Để chứng minh DEC > EDC ta chỉ cần chứng
minh AEC - AED > ADC - ADE
Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC > ADC và ADE = AED
Bài 3 Cho ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C
Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC
*Phân tích: Từ kết luận,ta suy nghĩ là tạo ra các đoạn
thẳng bằng nhau, và dựa vào quan hệ các cạnh trong
tam giác Vậy đường phụ cần vẽ là đường nào ?
Trang 10Bài 1: Cho ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của A (D BC) Biết AB
=3cm; AD = 12 2 cm
7
Tính độ dài đoạn thẳng BD
*Phân tích: Từ giả thiết ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của A cho ta
BAD = DAC = 45o Từ đó gợi cho ta nghĩ đến kiến thức định lý
Pytago, để tạo ra một tam giác vuông sao cho có một cạnh là BD
và hai cạnh kia dã tìm được độ dài
Từ phân tích trên ta có thể đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: -Từ D dựng DE AB (E AB).
+ HD Chứng minh:
- Để tìm được độ dài BD ta cần tính được ED và BE
- Tính ED dựa vào tam giác vuông cân AED tại E vì có EAD = 45o
- Tính BE = AB - EA
Đến đây HS có dễ dàng tìm ra kết quả Bài 2: Cho
ABC cóA = 120o; AB = 4 cm;AC = 6 cm Tính độ
dài đường trung tuyến AM *Phân tích: Từ kết luận
của bài toán, ta nghĩ đến định lý Pytago Do vậy
phải tạo ra tam giác vuông sao cho có quan hệ với
Từ cách dựng ABH vuông tại H có BAH = 60o
Suy ra: AH = AB/2 = 4/2 = 2 (cm) BH = 2 3 (cm) (áp dụng định lý Pytago),
Gợi ý kẻ thêm đường phụ : - Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm E cùng phía
với A sao cho BEC vuông cân tại E
Dạng 6 : Tính số đo góc.
Nhận thấy dễ dàng tính được số đo các góc của tam giác đều, tam giácvuông cân, tính được các góc của tam giác cân khi biết được một góc của nó,tính được các góc của tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnhhuyền Song chúng ta vẫn cũng gặp không ít các bài toán tính số đo góc phức
Trang 11tạp hơn nhiều Chính điều này đòi hỏi sự tư duy sáng tạo, tìm tòi phát hiện, đi đến việc kẻ thêm đường phụ một cách hợp lý như thế nào ?
Bài 1: Cho ABC cân tại A, có A = 20o Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD= BC.Tính ACD
*Phân tích: Từ kết luận và giả thiết của bài toán
Ta có: BCA - A= 80o -20o = 60o là góc của tam giác đều
Từ đó gợi cho ta nghĩ đến dựng tam giác đều
+ Kẻ thêm dường phụ:- Trên nửa mặt phẳng bờ BC cùng phía
với A dựng tam giác đều BEC - Dựng đoạn thẳng AE
+HD Chứng minh:Bằng cách dựng tam giác đều BEC làm
xuất hiện ECA = DAC = 20o.Suy ra ECA = DAC (c.g.c ) CAE
=ACD.Ta dễ tính được:CAE =10o.Do đó :ACD = 10o
* Đối với bài toán này ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng
cách khác:- Vẽ tam giác đều ADE nằm ngoài ABC (H.1).
- Vẽ tam giác đều ACK nằm ngoài ABC (H.2)
- Vẽ tam giác đều AFB (F và C cùng phía đối với AB ) (H.3)
Bài 2: Cho ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AB = 6cm; AC = 10 cm
AM = 4cm Tính MAB
*Phân tích: Từ các chỉ số 6; 10; 4 gợi cho ta
nghĩ đến định lý Pytago Vậy ta có thể nghĩ đến
việc tạo ra một tam giác có các chỉ số các cạnh
sao cho bình phương một cạnh bằng tổng bình
phương hai cạnh kia Suy ra tam giác đó là tam
giác vuông (định lý đảo của định lý Pytago) Từ kết luận của bài toán ta có thể
kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
AM = MD (M là trung điểm của AD)
+ HD Chứng minh:
- Để tính MAB ta có thể chứng minh ADB là
tam giác vuông tại A
Ta có: AB = 6cm; AD = 2AM = 8cm
BD = AC ( AMC = DMB (c.g.c)) BD = 10cm BD2 = 100
MàAB2+AD2=100 AB2+AD2=BD2
Đến đây HS có thể chứng minh được ADB vuông tại A dựa vào định lý đảo của định lý Pytago Và từ đó có thể suy ra được số đo MAB một cách dễ dàng.
Trang 12* Bài tập tự luyện: Cho ABC đều, một đường thẳng song song với BC cắt AB,
AC ë D và E Gọi G là trọng tâm ADE, I là trung điểm của CD Tính các góccủa GIB
Gợi ý kẻ đường phụ : - Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại K
B 2 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là tạo ra
đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng đó.
Bài 1: Cho ABC ( AB < AC), từ trung điểm M của
BC kẻ đường vuông với tia phân giác của A cắt tia
này tại H, cắt AB tại D và AC tai E
Chứng minh: BD = CE
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán muốn chứng
minh BD = CE ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba
rồi chứng minh BD và CE bằng đoạn thẳng thứ ba
đó Vậy ta cần nghĩ đến vẽ đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường
thẳng song song với AC cắt DE tại F
Như vậy BF là đoạn thẳng thứ ba đó
- Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F
Bài 2 : Cho ABC có B = 60o Hai tia phân giác AD và CEcủa
các góc BAC và ACB (D BC; E AB ) cắt nhau ở I
Chứng minh IE = ID
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán Đoạn thẳng thứ ba cần
kẻ sao cho bằng ID; IE là đoạn thẳng nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AC dựng điểm F sao cho AF = AE
- Nối F với I Ta được IF là đoạn thứ ba cần vẽ
+ HD Chứng minh:- Để chứng minh ID = IE ta cần chứng
minh IF = IE; ID = IF
- Để chứng minh IF = IE ta chứng minh IAE = IAF (c.g.c)
- Để chứng minh IF = ID ta chứng minh DIC = FIC (g.c.g)
Kết luận: Bằng cách vẽ thêm đường phụ IF, HS có thể chứng minh bài toán một cách dễ dàng.
Trang 13* Bài tập tự luyện: Cho ABC cân tại A, có A = 140o Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A, kẻ tia Cx sao cho ACx = 110o Gọi D là giao điểm của các tia
minh đoạn thẳng đó bằng đoạn thẳng AC Từ việc
phân tích trên, việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DA
dựng điểm E sao cho AD = DE
+ HD Chứng minh:- Để AC = 2AD ta cần chứng
minh AC = AE (AE = 2AD)
- Vậy để AC =AE ta chứng minh AME = AMC -
HS dễ dàng chứng minh: AME = AMC (c.g.c)
Bài 2: ChoxAy = 60o Az là tia phân giác củaxAy Từ điểm B trên Ax vẽ
đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C Vẽ BD
vuông góc với Ay (D Ay) Chứng minh: BD = 12 AC
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, để chứng minh
2BD =AC ta cần phải tạo ra một đoạn thẳng bằng hai
lần đoạn BD sao cho đoạn thẳng đó bằng AC Từ sự
phân tích đó,ta có thể kẻ đường phụ nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DB lấy
điểm F sao cho DF = DB
+ HD Chứng minh:- Để chứng minh cho 2BD =AC
ta cần chứng minh BF = AC
- Để BF =AC ta chứng minh ABF = BAC(g.c.g)
Đến đây HS chứng minh khá dễ dàng
* Bài tập tự luyện: Cho ABC Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AC Chứng minh : BC = 2 MN
Gợi ý kẻ đường phụ : - Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng xác định.
Bài 1 Trên cạnh BC của ABC lấy các điểm D, E sao cho BD = CE Qua D và
E vẽ các đường thẳng song song AB cắt cạnh AC ở F và G Chứng minh: DF +
EG = AB