SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 khai thác một số ứng dụng của hệ thức viét 1

Chúng ta không chỉ dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bảntrong sách giáo khoa mà còn phải hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức cơbản đó để khai thác cách giải cho những bài tập

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Hiện nay nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở các trường THCS là rất quantrọng đòi hỏi người giáo viên nói chung và giáo viên dạy toán nói riêng phải trăntrở rất nhiều Chúng ta không chỉ dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bảntrong sách giáo khoa mà còn phải hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức cơbản đó để khai thác cách giải cho những bài tập nâng cao khác

Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mìnhmột nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phương pháp thích hợp cho giảngdạy những vấn đề cụ thể phù hợp với đối tượng thực tế Một trong những chuyên

đề mà tôi tâm quan tâm tìm hiểu là chuyên đề “Hướng dẫn học sinh khai thác một

số ứng dụng của Hệ thức Viét " Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về các ứngdụng của Hệ thức Viét, phần nào các tác giả đã đưa ra những bài toán tương đối đadạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau Để giáo viên có tàiliệu giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi mạnh dạn lựa chọn ra một số bàitoán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm chắc chuyên đề trên Hy vọngrằng hệ thống bài tập về "Một số ứng dụng của Hệ thức Viét " phần nào có thể làmtài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 9 dạy và học, rèn luyện cho họcsinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đưa những dạng bài tậpchưa biết cách giải về dạng quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để

ôn luyện cho học sinh thi học sinh giỏi cũng như thi vào THPT Rất mong được sựquan tâm, góp ý của các đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài này là giúp học sinh nắm chắc Hệ thức Viét, biết cách khai thác các ứng dụng của Hệ thức Viét để giải toán vì đây là nội dung quan

trọng trong chương trình toán THCS và THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các ứng dụng của hệ thức Viét trong chương trình toán THCS

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu nội dung hệ thức Viét trong SGK và SBT

- Nghiên cứu ứng dụng của Hệ thức Viét để giải các dạng toán trong các đề thi vào

10, Đề thi học sinh giỏi

- Nghiên cứu khả năng tư duy, khả năng nhận thức của học sinh

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng vì

nó có khả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ đào tạo ra những con người

“làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năngthực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức kỉ luật, có sức khoẻ và lànhững con người thừa kế xây dựng CNXH vừa hồng vừa chuyên”

- Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tậptốt các môn học khác

1

- Môn Toán có khả năng to lớn phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chấttrí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của bản thân mình,thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực học tập hiệnnay và mãi mãi về sau.

- Môn Toán có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởngtrong cuộc sống và lao động xây dựng cơ sở của thế giới quan khoa học, giáo dụclòng yêu nước, yêu CNXH, rèn luyện nhiều đức tính quý báu như lao động cần cù,sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học, cái đẹp của nhữnglời giải hay

Trong chương trình toán lớp 9 phương trình bậc hai và hệ thức Viét là chủ đềkiến thức hết sức quan trọng nó xuất hiện nhiều trong kỳ thi học sinh giỏi, thi vàoTHPT và thi vào các trường chuyên nhưng kiến thức ở trong sách giáo khoa chỉgiúp học sinh chăm chỉ, khả năng tư duy chưa thật sáng tạo giải được những bàitoán ở mức độ không quá khó Vì vậy việc trang bị cho học sinh phương pháp tưduy, kỹ năng tìm tòi lời giải là một vấn đề hết sức quan trọng đối với mỗi giáo viêndạy toán vì thế tôi đã hướng dẫn học sinh tham khảo các tài liệu nâng cao, học kỹcác kiến thức mở rộng về phương trình bậc hai và hệ thức Viét để học có thêmcông cụ giải toán, góp phần nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế trong quá trình giảng dạy tôi đã phát hiện ra khi đứng trước một vấn đề kiến thức mới học sinh thường chỉ biết vận dụng trực tiếp kiến thức đã học mà chưabiết khai thác triệt để nội dung kiến thức đó vì vậy khi gặp những bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy sáng tạo học sinh học sinh thường bó tay Vì vậy việc hướng dẫn học sinh khai thác triệt để nội dung kiến thức cơ bản là một vấn đề vô cùng quan trọng Đặc biệt Hệ thức Viét là một trong những chủ đề kiến thức trọng tâm của chương trình toán THCS và ứng dụng của nó vô cùng phong phú học sinh còn phải sử dụng rất nhiều trong chương trình THPT.Từ thực trạng trên để giúp học sinh nắm vững và khắc sâu các kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Viét tôi xin trình bày kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh khai thác "Một số ứng dụng của hệ thức Viét "để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THCS,đặc biệt là khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn thi vào lớp 10 THPT

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp thứ nhất

Khơi dậy trong các em tình yêu đối với Toán và sự cần thiết phải học bộ

môn Toán trong mỗi tiết học và trong các hoạt động ngoại khóa

2.3.2 Giải pháp thứ hai

Tổng hợp các kiến thức lý thuyết cơ bản về Hệ thức Viét thông qua bài học

‘Hệ thức Viét và ứng dụng’ trong SGK giáo viên tóm tắt kiến thức cơ bản theo cácnội dung sau

a Hệ thức Viét: Nếu phương trình ax 2 bx c 0( a 0) có hai ngiệm x1 , x2 thì

2

c Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình : x 2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )

2.3.3 Giải pháp thứ ba:

Hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng của hệ thức Viét

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

1 Dạng đặc biệt: Phươngtrình có nghiệm là 1 hoặc -1

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau( Bài tập 26 trang 53SGK)

Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải

a) Phương trình 35 x 2 37 x 2 0 có các hệ số a b c35 37 2 0 nên có hai nghiệm x1 1 ;

Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải

a) Phương trình 3 x 2 (1 3) x 1 0 có các hệ số a b c 3 1 3 1 0 nên có hai nghiệm x1 1 ; x2

33

3

b) Phương trình (2 3) x 2 2 3 x (2 3) 0 có các hệ số

a b c 2 3 2 3 2 3 0 nên có hai nghiệm x1 1 ; x2 2 3 (2 3) 2

3 2

2 Dạng toán tìm giá trị của tham số và nghiệm thứ hai của phương trình

đã cho biết phương trình có một nghiệm x =a

Ví dụ : Dùng hệ thức Viét để tìm nghiêm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m

trong mỗi trường hợp sau ( Bài tập 40 trang 57SBT)

a) Phương trình 4 x 2 3 x m 2 3m 0 biết nghiệm x1 2

b) Phương trình 3 x 2 2( m 3) x 5 0 biết nghiệm x1 13

Nhận xét: ở câu a ta tìm nghiệm x2 theo tổng hai nghiệm vì tổng hai nghiệm không

chứa tham số m sau đó tìm m dựa vào tích hai nghiệm nhưng ở câu b ta lại tìm nghiêm x2 theo tích hai nghiệm vì tích hai nghiệm không chứa tham số m sau đó tìm m dựa vào tổng hai nghiệm

Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải

a) Vì phương trình 4 x 2 3 x m 23m0 có nghiệm x1 2 nên áp dụng hệ thức Viét ta có

( Bài tập 41c trang 58 SBT)

Hướng dẫn giải: Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình : x 2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )

Vì a + b = 5 và ab = 24 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 5 x 24 0 giải

phương trình trên ta được x1

Ứng dụng 3: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 1 Lập phương trình bậc

hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ : Cho x1 3 2 ; x2 3 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

P x1 x2 7

vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 6 x 7 0

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai

nghiệm của một phương trình cho trước:

V í dụ 1: Cho phương trình : x 22 x 1 0 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 , y2

thõa mãn y1 2x1 x2 ; y 2 2x2 x1

Nhận xét: Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình x 2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )

x1 ; x2

5

để lập được phương trình ta cần tính S y1 y2 và P y1 y2 thông qua x1 , x2 Vì

phương trình x 2 2 x 1 0 có ac 1 0 nên có hai nghiệm phân biệt

( Trích tài liệu ôn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018)

Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm của phương trình

Biến đổi biểu thức chứa nghiệm làm xuất hiện x1 x2 ; x1.x2

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2x 1 0

Không giải phương trình, hãy tính x1 x2 ; x1.x2

Học sinh thường mắc sai lầm tính ngay x1 x2 ; x1 .x2 mà không để ý phương trình này

vô nghiệm vì ( 1) 2 4 1 4 3 0 vì vậy giáo viên cần lưy ý cho học sinh trước khi tínhgiá trị của biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình cần chỉ ra hoặc tìmđiều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 4x 6 0 Không giải phương trình, hãy tính

a) x12 x22 b) x x c) x13 x23

( Trích tài liệu ôn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2009-2010)

Hướng dẫn giải: Phương trình x2 4 x6 0 có ac6 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Mà x1 là nghiệm của phương trình x2 2x 5 0 nên B x1 x1 2 x1 5 2016 2016.

Ví dụ 5: Cho biểu thức F( x) x8 12x 12 3x Gọi x0 là một nghiệm củaphương trình x2 x 1 0 Tính giá trị F (x0 )

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

- Áp dụng hệ thức Viét viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các

nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 m 2 x 2 m 1 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức Viét ta có

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

( Bài tập 220 trang 82sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9)

Hướng dẫn: Dễ thấy (4 m1)24.2( m 4) 16m2 33 0 do đó phương trình đã cho luôn

có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

x1 x 2 (4 m 1) 4 m ( x1 x2 ) 1(1) Theo hệ thức Viét ta có x.x 2(m 4) 4 m 2 x x 16(2)

Từ (1) và (2) ta có: ( x1 x2 ) 1 2 x1 x2 16 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 là hệ thức cần tìm

Ví dụ 3: Cho phương trình : m1x 22mx m 4 0 có 2 nghiệm x1 ;x2 Lập hệ thức liên

hệ giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

4 ' 0 m 2 ( m 1)( m 4) 0 5 m 4 0 m

8

Các bước thực hiện:

- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Viét để giải phương trình có ẩn là tham số

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để chọn giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình :

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1 x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l

(thoả mãn điều kiện )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x1

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 là :

10

Chú ý : Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kết hợp (1) và (3) để tìm x1 , x2 theo m rồi thay x1 , x2 vào (2) để tính m

Ở bài 2 giáo viên cũng hướng dẫn học sinh làm cách khác như bài 1

3) - Vì(3m 2) 2 4.3(3m 1) 9 m 2 24 m 16 (3m 4) 2 0 với mọi số thực m nên

phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m (45 m 96) 0 m0 hai giá

trị này đều thoả mãn )

Vậy với m0 hơặc m 1532 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và

thức: 3 x1 5 x2 6

hơặc m 1532 (cả

x2 thoả mãn hệ

Chú ý: Ở bài 2 và bài 3 giáo viên hướng dẫn học sinh làm cách khác như bài 1.

Cách này tuy không linh hoạt nhưng học sinh dễ hiểu, dễ nhớ

Giải phương trình ta được x1 1 x2 4

Thay x1 , x2 vào ta được

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (1) thỏa mãn: (x1 x2 )2 x1 3x2

(Đề thi vào lớp 10 Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2017-2018)

x1 x2 3m 1 3m 1 1.( 4) m 5

3

12

Hướng dẫn:a) Phương trình x 2 (2 m 1) x m2 1 0 có

Kết hợp với điều kiện m 1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Cho hàm số y x2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình

y x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) thoả mãn:

(x2 x1 ) 4 ( y 2 y1 ) 4 18

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013)

Hướng dẫn:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm:

- Tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt thõa mãn

Ví dụ 6: Cho phương trình mx2 x m 1 0 Xác định m để phương trình có hainghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 1 1

x

x

( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2016-2017)

Hướng dấn giải : PT đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) :y a ( x 1) 1 và

parabol P : y x2 Với mọi a 2 , chứng minh d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt, gọi

2 giao điểm đó là A x1 ; y1 , B x 2 ; y2 , tìm tất cả các giá trị của a để

x2 x1 2 y 2 y1 2 9 a2 1

Hướng dẫn giải: Cách làm bài tập này không khó nhưng học sinh cần phải linh hoạthơn khi biến đổi biểu thức để vế trái xuất hiện a21 Phương trình hoành độ giao điểm là: x2 ax a1 0 (1)

PT(1) có ( a 2) 2 0, a 2 , suy ra phương (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Do đó (d

) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với a2

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (1).Suy ra (d) cắt (P) tại hai điểm

A x1 ;a ( x1 1) 1 , B x 2 ;a ( x2 1) 1

Ta có:

Chú ý: Có thể hướng dẫn học sinh giải phương trình (1) để có 2 nghiệm và

thay trực tiếp vào biểu thức

Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0( a 0)

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:

2 x 2 3m 1 x m 2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

Vậy với 2 m 3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Chú ý: Học sinh có thể sử dụng nhận xét: Nếu a và c trái dấu thì phương trình ax 2

bx c 0( a 0) có hai nghiệm trái dấu để giải bài toán nhanh hơn.

Ví dụ 2: Cho parabol (P) y x2 và đường thẳng (d) y2x m6 Tìm m để đường thẳng

(d) cắt Cho parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d):

- Tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân

biệt Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d)là

x 2 2 x m 6 x 2 2 x m 6 0 (*)

(P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt có các hoành độ dương

Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt x1 ,

x1 , x2 , x3 , x4thoa man 1 1 1 1 1

( Bài tập 121trang 13 Tạp chí 45 năm toán học tuổi trẻ)

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ rồi dùng tính chất về dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 để giải Ta

Goi x1, x2la hai nghiêm phân biêt cua phương trinh : x2 4x 4 y1 0

Goi x3, x4la hai nghiêm phân biêt cua phương trinh : x2 4x 4 y2 0

Ap dung đinh ly vi-et cho cac phương trinh (3), (5), (6) ta có

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

của biểu thức sau: B 2 2 x2 1 x2 3

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau: