SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 sửa những sai sót thường gặp khi áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng

Trong qua trình giảng dạy việc rèn luyện cho học sinh biết sử dụng linhhoạt các tính chất của các phép toán là cần thiết .đặc biệt là tính chất phân phốicủa phép nhân đối với phép cộng m

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong nhà trường THCS, môn Toán giữ một vai trò đặc biệt quan trọng.Những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trongtoán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác, là công cụ của nhiềungành khoa học và đời sống thực tế Trong dạy học toán thì việc tìm ra nhữngphương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh là một yếu tố rất quantrọng đòi hỏi giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt các phương pháp giảngdạy Việc lựa chọn những ví dụ điển hình mang bản chất lý thuyết, hệ thống cácbài tập minh hoạ, áp dụng khắc sâu và nâng cao là rất cần thiết

Bên cạnh việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản chúng tacũng rất cần quan tâm đến việc kiểm tra đánh giá, phát hiện khắc phục kịp thờinhững sai sót của học sinh Đặc biệt là học sinh lớp 6 các em mới tiếp cận với sựthay đổi về môi trường cũng như phương pháp học tập thì việc tạo niềm tin cũngnhư có biện pháp động viên, phát hiện và ân cần chỉ bảo uốn nắn kịp thời nhữngsai sót cho các em sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng cơ bản khi làm toán tạoniềm đam mê và yêu thích môn học

Trong qua trình giảng dạy việc rèn luyện cho học sinh biết sử dụng linhhoạt các tính chất của các phép toán là cần thiết đặc biệt là tính chất phân phốicủa phép nhân đối với phép cộng một trong những tính chất cơ bản mà học sinhđược sử dụng nhiều trong nhiều dạng bài tập Để kết quả giảng dạy tốt hơn đồngthời giúp học sinh tự tin vào chính mình thông qua hướng dẫn giải bài tập củagiáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồidưỡng hứng thú trong học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phánđoán, khái quát của học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi lambai tâp, tránh được những sai sót cơ bản và có cách giải linh hoạt sáng tạo Làmột giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 6 , bằng kinh nghiệm giảngdạy nhiều năm kết hợp với nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, tìmhiểu học sinh với mong muốn giúp học trò yêu thích môn toán, học tốt hơn môntoán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán , tôi đã nghiên cứu

và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6

sửa những sai sót thường gặp khi áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng vào giải toán”.

2 Mục đích của sáng kiến:

Giúp học sinh đại tra hiêu được kiên thưc cơ bản va vân dung kiên thưcmôt cach linh hoat vao giai bai tâp

Giúp học sinh đi thi học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiềucách giải bài toán để không còn thấy khó khăn khi găp phai dang bai tâp nay

Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảngdạy được tốt hơn các bài tập về các dạng toán khi biến đôi làm xuất hiện nhân tửchung

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tíchcực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có mộtphương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

Và mong muốn hơn nữa là khi học sinh học lên các lớp 7,8 9 áp dụngthành thạo tính chất này vào trong nhiều dạng toán có sử dụng biến đổi biểuthức không còn thấy khó khăn.

3 Đối tượng nghiên cứu:

- Hoc sinh cua lơp 6A1+ 6A2 trương THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học 2018-2019

- Giúp học sinh nghiên cứu cơ sở lý thuyết và phương pháp giải các bài tập

về các dạng toán có sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phépcộng và sau này mở rộng lên các lớp 7,8,9 đối với dạng tìm nhân tử khó hơn

4.Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được viết dựa trên cơ sở thực tế hướng dẫn học sinh giải toán sửdụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Từ bài toán cụ thể điphân tích, biến đổi tìm ra thừa số chung, hoặc các tích của tổng và từ đó xâydựng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

- Nghiên cưu từ các tai liêu và sách tham khảo có liên quan

- Thông qua cac tiêt day trưc tiêp trên lơp, các tiết dạy phụ đạo, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề tính chất phân phối củaphép nhân đối với phép cộng trong số tự nhiên , số nguyên , phân số , chốt lạicác vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giảnđến phức tạp

-Triên khai nôi dung đê tai, kiêm tra va đôi chiêu kêt qua hoc tâp cua hoc sinh tư đâu năm học đên giữa học kì II

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2 Thực trạng vấn đề

Mặc dù tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng học sinh đãhọc từ Tiểu học, Nhưng việc vận dụng tính chất này vào giải toán còn nhiềulúng túng, nhất là đối với những bài tập nâng cao phải vận dụng tính chất này đểgiải Bên cạnh đó trong một lớp học trình độ học sinh không đồng đều Đồng

thời các em chưa có thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sáng tạo Vì vậy khigặp các bài toán phải qua các phép biến đổi mới áp dụng được tính chất thì họcsinh gặp khó khăn.

- Phần đông các em học sinh áp dụng kiến thức được học một cách máy móc, chưa chính xác, chưa có sự sáng tạo linh hoạt

- Ý thức tự học, tự nghiên cứu chưa cao Đặc biệt một số em sử dụng máytính cầm tay một cách tùy tiện không chịu suy nghĩ, áp dụng tính chất phép toán

7 =7.1 để các em áp dụng tính chất một cách nhanh chóng và chính xác Ngoài ra, trong quá trình làm các bài tập nâng cao có sử tính chất này học sinh vẫn chưa nhanh chóng tìm ra thừa số chung nhất là khi thừa số chung

là biểu thức.

Kết quả khảo sát đầu năm:

1 Tính nhanh, tính hợp lí

2 Các bài toán so sánh mà không thực hiện phép tính.

3 Các bài toán về tìm nghiệm nguyên

4 Các bài toán về lũy thừa

5 Các bài toán về phân số

Từ thực trạng trên để nâng cao kết quả giảng dạy đồng thời giúp học sinhtránh được những sai sót cơ bản và biết cách trình bày lời giải bài toán tôi đãthực hiện theo các giải pháp sau

3 Giải phá́p và̀ tổ chứ́c thự̣c hiện

Từ bài toán cụ thể đi phân tích, biến đổi tìm ra thừa số chung, hoặc các tích củatổng và từ đó xây dựng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

3

Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải bài tập một một cách chính xác,nhanh nhất ,ngắn nhất giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức,phương pháp cơ bản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể Để khắc sâu kiếnthức giáo viên cần chọn những bài tập mang tính chất cơ bản và mang tính pháttriển các kiến thức ở mọi khía cạnh Qua đó giúp học sinh vừa nắm được kiếnthức cơ bản vừa phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài tạo hứngthú yêu thích môn học.

3.1) Dạ ̣ng 1: Tí́nh nhẩm, tí́nh nhanh :

Đối với dạng toán này phần lớn các em có học lực từ khá trở lên thì việcthực hiện khá đơn giản Tuy nhiên đối với học sinh khi mới gặp các bài tập nàynhiều em còn gặp khó khăn và thường mắc sai sót

Cụ thể: Khi yêu cầu các em nhắc lại lý thuyết thì đa số các em nêu đúngtính chất và viết được dạng tổng quát Nhưng đến khi thực hiện làm bài tập thìphần lớn các em thực hiện thiếu chính xác

Ví dụ 2: Tí́nh nhanh

7.99 7Đối với bài tập này đa phần học sinh làm theo hướng như sau:

Hướng 1: 7.99 7 7 99 0 7.99 693

Hướng 2: 7.99 7 7 99 7 7.106 742

Như vậy đối với bài toán này sai lầm học sinh mắc phải đó là không phântích được 7 = 7 1 để từ đó ứng dụng tính chất phân phối giữa phép nhân vớiphép cộng mà chỉ sử dụng tính chất một cách cảm tính và dùng máy tính tính rađáp số

Cách khắc phục: Khi dạy học tôi đã nhấn mạnh và chú ý cho học sinhhiểu một số a luôn viết được a = a 1 Cụ thể vào bài toán đó là: 7 = 7 1

Vậy lời giải đúng như sau:

7.99 7 7.99 7.1 7 99 1 7.100 700Sau khi học sinh làm song giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

7 25 75 7 100 107

Sở dĩ học sinh mắc sai sót như trên là do học sinh chưa hiểu rõ và đồngnhất a b c với b c a mà nhầm hiểu rằng b c a b c.a Vì vậy khi dạy học cần làm rõcho học sinh hiểu thực chất đó là tính chất giao hoán của phép nhân và hiểuđúng bản chất của tính chất trên bằng việc hướng dẫn cho học sinh làm các bàitập sau:

Bài 1 Tính và so sánh: 5.4 5.7 và 4.5 7.5Bài 2 Tính và so sánh: 5 4 7 và 4 7.5Sau khi làm các bài tập trên cùng với sự hướng dẫn của giáo viên thì đa phần học sinh hiểu rõ bản chất hơn và tự tin hơn

Ví dụ 4: Tí́nh một cá́ch hợ̣p lí́:

Hướng 1: Chưa hiểu và mở rộng được tính chất a b c ab ac

ab ac a b c sang ab ac ad a b c d Học sinh chỉ thực hiện đối với hai tích đầu rồiđược bao nhiêu cộng với 113, cách tính này cũng đúng nhưng không nhanh

Hướng 2: Học sinh hiểu nhưng không phân tích được 113 113 1 nên khi áp dụng

giải như sau:

54 113 45 113 113

113 54 45 0 113 99

Biện pháp khắc phục:

- Trang bị lý thuyết cho học sinh trong việc mở rộng tính chất a.(b + c) =a.b + a.c sang: a b + a c + a d = a (b + c + d) và mở rộng tính chất cho tổngcùng dạng nhưng nhiều hạng tử hơn

- Lưu ý học sinh chú ý lại tính chất a = a 1 để học sinh áp dụng cho: 113

đã làm được như sau:

341.67 341.16 659.13 341 67 16 659.83 341.83 569.83

Nhưng khi làm đến đây rồi nhiều học sinh vẫn tính từng tích rồi cộng lại vớinhau, cách tính đúng nhưng không nhanh Đến đây giáo viên yêu cầu học sinhquan sát tiếp tổng các tích mới lại có nhân tử nào chung, khi đó học sinh pháthiện ra vấn đề và tiếp tục làm như sau: 83 341 659 83.1000 83000

Bài tập này muốn nói khi các em là cần tư duy lô gic và có sự liên tục khinào chúng ta không còn tính được nhanh mới dừng lại để củng cố dạng bài tậpnày cho học sinh làm bài tập sau: Tính hợp lí: 42.53 47.156 47.114

+) Ở câu c đây là bài toán thuộc diện nâng cao, đa phần học sinh lúng túng trongviệc điền thừa số thích hợp để áp dụng cho tính chất đã học

Biện pháp khắc phục:

Khi giảng dạy tôi cho học sinh quan sát đề bài, dẫn dắt để học sinh tìmthừa số chung trong bài tập trên bằng việc phân tích từng hạng tử của tổng:

4.14.6 4.6.14 24.14

2 12 17 24 17 3.19.8 3.8.19 24.19Qua đó học sinh phát hiện thừa số chung là 24 và áp dụng tính chất đểgiải

Lời giải đúng cho bài tập trên là:

a) 54.113 45.113 113

113 54 45 1 113.100 11300b)

Tuy nhiên sau khi cho học sinh làm song cần cho học sinh phát hiện

nhanh vấn đề ở bài tập sau:

Trong quá trình làm bài có những bài ban đầu người ta chưa cho thừa

số chung nhưng qua các phép biến đổi ta có thể tìm ra được thừ số chung

Để là được các dạng toán này các em cần có sự tư duy, quan sát phân tích thìmới nhanh chóng nhận ra thừa số chung

ý để học sinh tách các thừa giống như trên

Lời giải:

Với bài này các em sai ở phép biến đổi, sai ở cả dấu của phép biến đổi

khi dạy cho học sinh tôi phải dạy đi dạy lại rất nhiều lần học sinh mới không vấp

phải những sai sót sau khi làm các bài tương tự

Nhận xét các số hạng trong biểu thức có mối liên quan đến nhau nếu sửdụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có thể đơn giảnđược biểu thức

Lời giải cụ ̣ thể như sau: 34.(15 –10) – 15.(34 –10)

= 34.15 - 34.10 - 15.34 + 15.10

= (34.15 – 15.34) – (34.10 – 15.10)

= 0 -10.(34 - 15)

= -10.19 =-190

Trong nhiều bài toán ta phải đổi dấu để làm xuất hiện thừa số

chung Ví́ dụ ̣ 7: Tính hợp lí: 23 36 23 63 23

Nhận xét đối với bài này học sinh cũng dẽ nhận ra cách là xuất hiện nhân tửchung là -23 bằng cách đổi hai thừa số trong tích thì tích không đổi

Ta có lời giải cụ ̣ thể sau:

23 36 23 6323 23.36

23 63 23 1

23 36 63 123.100 2300

3.2) Dạ ̣ng 2: Cá́c bà̀i toá́n về̀ so sá́nh

Ví́ dụ ̣ 1: (BT: 60 - SBT Toán 6 Tập 1, Tr10)

So sánh a và b mà không tính cụ thể giá trị của chúng

a = 2002 2002; b = 2000 2004

Nhận xét: Đối với bài toán này khi kiểm tra vở bài tập làm ở nhà của học sinh,

tôi phát hiện ra rằng các em chủ yếu đặt phép nhân hoặc dùng máy tính để tính

ra đáp số rồi so sánh mà không để ý đến yêu cầu cụ thể của đề bài Vì vậy trongtiết luyện tập tôi đã phân tích, hướng dẫn cho học sinh áp dụng tính chất phânphối giữa phép nhân đối với phép cộng để làm xuất hiện các tích chung rồi mới

Giáo viên nhắc thêm học sinh có thể biến đổi B về A và yêu cầu học

Để làm bài tập này giáo viên hướng dẫn học sinh tách theo hướng của ví

dụ 1 sau đó áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng rồi sosánh A với B và đưa ra kết luận:

Cụ thể giáo viên hướng dẫn tách: 1995 = 1991 + 4 và 1999 = 1995 + 4 hoặc tách 1995 = 1999 – 4 và 1991 = 1995 – 4

Lời giải sơ lượ̣c:

Cách 1: Ta c ó A = 1995 ( 1991 + 4) = 1995.1991 + 4.1995

B = 1991 (1995 + 4) = 1991.1995 + 4 1991

V ì 1995 > 1991 nên 4.1995 > 4.1991Suy ra A > B

Cách 2: Ta có: A = 1995 ( 1999 – 4) = 1995.1999 – 1995 4

B = ( 1995 – 4) 1999 = 1995 1999 - 1999.4

V ì 1995 < 1999 nên 1995.4 < 1999.4Suy ra A > B

Ở bài này giáo viên lưu ý thêm học sinh tính chất nếu a > b thì m - a< m - bvới a,b,m là số tự nhiên

Ví́ dụ ̣ 4: (Bài tập 6.7 * sách bài tập toán 6 T17)

So sánh: A 1718 1 và B 1717 1

17191 17181Nhận xét: ta có A 1718 1 1 ta sử dụng tính chất

1719 1

a 1 thì a a m

vậy đối với A 1718 1

ta phải cộng cả tử và mẫu với số nào để có 17 là thừa số 17 19 1chung

Hướng dẫn cụ ̣ thể như sau:

9

Cách 2: Ta nhận thấy tử có lũy thừa là 17 mẫu có lũy thừa 18 , 18 hơn 17 là 1 ta

có thể biến đổi nhân biểu thức A với 10 ta làm cho tử xuất hiện biểu thức ở mẫusau đó ta chuyển về biểu thức phần nguyên cộng với phần phân sau đó ta sosánh phần phân số:

Hướng dẫn c thể như sau: ụ̣ thể như sau:

Ta có 16 1719 1 16 1718 1 nên 17A 17B Hay A < B

Sau khi học sinh làm song cho học sinh làm bài tập tương tự sau:

So sánh: C 98991 và D 9898 1

98891 98881

3.3) Dạ ̣ng 3: Dạ ̣ng toá́n tìm nghiệm nguyên

Ví́ dụ ̣ 1: Tìm x, y nguyên biết: 2 x 3 y 2 3 y 2 55

Nhận xét : ở bài toàn tìm giá trị nguyên này ta phải biến đổi đẳng thức về một vếchứa một tích, một vế chưa một số , khi biến đổi về tích thừa số chung khôngphải là một số mà là một biểu thức nên giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi vàtìm biểu thức chung ở bài toán này học sinh có thể nhận ra ngay thừa số chung

Lời giải cụ ̣ thể như sau:

Ví́ dụ ̣ 2: (Đề thi học sinh giỏi cấp huyện của Ngọc Lặc năm học 2018-2019)

Tìm các số tự nhiên x,y biết: 2xy - 5x + 2y = 148

Đối với bài này khó hơn nhiều so với ví dụ 1, ta phải biến đổi một vế vềtích các biểu thức chứa x,y và một vế chỉ chứ số đã biết, tuy nhiên để biến đổiđược như vậy là cả một vấn đề, học sinh phải biết phân tích nhận xét, tìm ranhân tử chung Cụ thể xét hai số hạng 2xy - 5x có nhân tử chung là x ta biến đổinhư sau: 2xy - 5x = x (2y - 5) vậy còn lại số hạng 2y vậy muốn xuất hiện nhân

tử chung (2y - 5) ta phải biến đổi xuất hiện nhân tử 2y -5

Lời giải cụ ̣ thể như sau:

2xy - 5x + 2y = 148(2xy - 5x) + 2y = 148x(2y - 5) + (2y – 5) = 148 –

Nhận xét: một phân số là số nguyên khi và chỉ khi tử phải chia hết cho mẫu vậy

ta phải biến đổi biểu thức A về dạng tổn phần nguyên và phân phân với phânphân số chỉ chứa số nguyên ở tử như vậy ta phải phân tích A về dạng biểu thứcchứa thừa số ở mẫu mà ở lớp 6 chúng ta cũng không thể biến đổi về dạng n 2 9 n

3 được vậy ta phải chọn phương pháp n n 3 n 3

Lời giải cụ thể như sau:

3.4) Dạ ̣ng 4: Một số́ bà̀i toá́n liên quan đế́n luỹ thừa.

Ví́ dụ ̣ 1: Thu gọ ̣n tổng sau: A 1 3 32 33 3 100

Nhận xét: Đối với bài toán này nếu chưa được hướng dẫn lần nào thì học sinh vôcùng lúng túng thậm chí không có hướng đi.

Hướng dẫn : Ta nhân cả biểu thức A với 3 có nghĩa là ta nhân 3 với từng hạng

tử trong biểu thứa A khi đó mỗi hạng tử của biểu thức A tăng lên 3 lần hay 31 lầnsau đó ta lấy 3A- A

Lời giải cụ thể như sau: A 1 3 32 33 3 100

Ví́ dụ ̣ 2: : (Bài tập 210 – Trang 27 - SBT Toán 6 )

Tổng sau có chia hết cho 3 không ?

A = 2 22 23 210

Nhận xét: Đối với bài tập này ngoài những hạn chế về các kiến thức liên quan

đến luỹ thừa thì học sinh còn hạn chế rất lớn trong việc tư duy để nhóm cáchạng tử và sử dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng đã học

để tìm ra lời giải Thậm chí ngay cả khi giáo viên hướng dẫn các em vẫn rất dèdặt trong việc áp dụng tính chất này nhiều lần trong một bài toán

Để khắc phục hạn chế này tôi đã dẫn dắt, hướng dẫn các em trong việcnhóm các hạng tử phù hợp là xuất hiện nhân tử chia hết cho 3, từ đó vận dụngtính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng để giải và lưu ý cho các

em rằng trong nhiều bài tập khi cần thiết chúng ta phải sử dụng tính chất nàynhiều lần để đưa đến đáp số tuy nhiên với bài toán này thuộc toán nâng cao giáoviên cần lưu ý cho học sinh khi nhóm mấy số hạng thành một tổng thì phải tính

số hạng của tổng cói số số hạng của tổng có chia hết cho số số hạng của mỗinhóm không

Lời giải sơ lượ̣c :

212 2312 2512 2712 2912 2.3 23.3 29.3 3 2 23

29 3

Vậy A chia hết cho 3

Tiếp theo để củng cố và khắc sâu kiến thức cho học sinh tôi đã yêu cầu làm thêm các ví dụ sau:

Ví́ dụ ̣ 3: Chứng minh rằng:

a , S 5 52 53 599 5100 S có chia hết cho 6, chia hết cho 31 không ?

b, 165 215 chia hết cho 33

c , 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 ( với n N* )

* Lời giải sơ lượ̣c:

a, Nhận xét tổng S có 100 số hạng , ta biến đổi S như sau:

+) Chứng minh S chia hết cho 6

S 51 5 531 5 .5991 5

S 65 53 599 6

+) Chứng minh S chia hết cho 31 Ta nhận thấy 31 = 1 + 5 + 25 vậy taphải nhón 3 số hạng mà 100 chia cho 3 dư 1 vậy khi nhóm thừa ra một số hạngvậy ta phải chọn số hạng nào đó để nhìn và biết nó có chia hết cho 31 haykhông, thường các em làm và để lại số hạng cuối cùng , hoặc không xem xét 100

có chia hết cho 3 hay không nên dẫn đến sai sót Nếu để lại số cuối cùng 5100 thìphải chứng minh số này chia hết cho 31 hay không mà chứng minh thì khó hơnnhiều, vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho hs chọn số hạng đầu tiên nhỏ và nhìnvào biết nó có chia hết cho 31 hay không:

Lời giải như sau: