Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kĩ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Người thực hiện: Trịnh Thị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12

KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Trịnh Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017

MỤC LỤC

MỤC LỤC

1.MỞ ĐẦU….….……… …… 3

1.1 Lý do chọn đề tài……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… …….4

1.5 Những điểm mới của sáng kiến ……….……….4

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… …4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 4

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… … 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 17

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….……… ……….……… 18

3.1 Kết luận………18

3.2 Kiến nghị……….18

Qua thực tế giảng dạy chủ đề ứng dụng hình học tích phân, tôi thấy họcsinh gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt, để giải quyết được bài toán này học sinhcần trang bị nhiều kiến thức như tính tích phân, thiết lập hàm số, khảo sát và vẽ

đồ thị, bài toán tương giao…Trong khi đó các em thường vận dụng công thứcmột cách máy móc, chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan, chưa

có sự liên hệ giữa các tình huống thực tế với toán học nên các em hay bị nhầmlẫn hoặc không giải được Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sailầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi vàđạt hiệu quả cao Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lựcsáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác Xuất

phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra một số giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phầngiúp học sinh nắm vững công thức, các phương pháp giải toán và vận dụng linhhoạt các kiến thức đó Thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, gây động cơ đểhọc sinh học tập tích cực từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hìnhchủ đề ứng dụng tích phân ở trường trung học phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12

- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính diện tích hình phẳng bằngtích phân, các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán này và cáchkhắc phục

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tàiliệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy họctoán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổthông, mạng internet,

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của họcsinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu

về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệmtrong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồngnghiệp

- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12Đ, 12E,12G trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017

1.5 Những điểm mới của sáng kiến.

- Phân loại các dạng bài tập tính diện tích hình phẳng theo từng nội dung, chỉ

ra các cách giải khác nhau được sử dụng trong bài toán đó

- Bố sung một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh nhận diện hình phẳng, khắc sâu công thức tính diện tích

- Bổ sung một số bài toán ứng dụng của tích phân trong thực tế

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

- Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f (x ), y

g (x) liên tục trên đoạn a ; b và hai đường thẳng x a , x b ta

- Học sinh thường không giải được hoặc giải sai bài toán tính tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Đối với những hình phẳng mà đề bài chỉ cho giới hạn bởi 2 hoặc 3 đường, học sinh thường lung túng trong việc xác định cận để lấy tích phân

- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hìnhphẳng cần tính diện tích Do đó thường giải sai hoặc không có phương hướng đểgiải bài toán

- Đối với những bài toán đã có sẵn hình ( hoặc học sinh đã vẽ được hình),các em thường vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng một cách máymóc, không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị để xétdấu biểu thức, kĩ năng chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích

- Khi gặp những bài toán có liên hệ thực tế, học sinh thường không nhìnthấy được mối liên hệ giữa diện tích hình phẳng cần tính với tích phân, khôngtìm được hàm số phù hợp với hình phẳng cần tính diện tích

- Xây dựng một hệ thống các ví dụ minh họa có phân tích kèm lời giải chitiết với các cách khác nhau Chỉ ra các sai lầm mà học sinh thường gặp phải Từ

đó rèn luyện cho học sinh tính chính xác, linh hoạt trong quá trình giải toán

- Tăng cường các bài toán có nội dung thực tế để học sinh thấy được ýnghĩa của tích phân trong đời sống, từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi họctập môn toán

- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhậnthức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh

2.3.1 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4

đường y f(x), trục Ox, đường thẳng x a,x b.

Công thức: Nếu hàm số y f(x) liên tục trên đoạn a ; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f(x) , trục hoành và hai đường thẳng

b

x a , x b là S f (x ) dx [1].

a

Một số lỗi học sinh thường mắc:

- Sử dụng sai công thức, không đưa hàm số f(x ) vào trong dấu giá trị tuyệt đối

- Không xét dấu của f(x) trên đoạn a ; b , không tìm nghiệm của phương

trình f(x ) 0 trên khoảng (a;b )

Một số giải pháp:

-Nhắc nhở học sinh sử dụng đúng công thức

-Củng cố lại cho học sinh cách xét dấu của f(x)

Cách 1: Ta có nhận xét: nếu phương trình f(x ) 0 có k nghiệm phân biệt

x1 , x2 , xk trên khoảng (a ;b ) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2 ), (x k ; b) biểu

+) Xét dấu f ( x ) trên từng khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2 ), (xk ; b) để khử dấu giá

trị tuyệt đối và tính tích phân

Một số trường hợp đặc biệt, nếu f(x ) là hàm số bậc nhất ta sử dụng định

lí về dấu của nhị thức bậc nhất; nếu f ( x ) là hàm số bậc hai, ta sử dụng định lí

về dấu của tam thức bậc hai

đồ thị hàm số y f(x ) nằm phía dưới trục hoành

thì f (x) 0, x a ; b Suy ra S f (x) dx f (x)dx.

Các hoạt động củng cố.

Hoạt động 1 Cho học sinh ghi nhớ công thức tính diện tích, nhận diện hình

phẳng thông qua một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan Trích một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan:

Câu 1 Cho hàm số y x2 có đồ thi như hình vẽ Xét hình phẳng H giới hạn

bởi đồ thị hàm số y x2 , trục hoành, hai đường thẳng x 1, x 2 Gọi S H làdiện tích của H.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

đoạn a; b Xét hình phẳng H giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f ( x ), trục hoành, hai

đường thẳng x a, x b (như hình vẽ bên) Gọi

SH là diện tích của hình phẳng H Trong

trên đoạn a; b Gọi D là hình phẳng

b

hoành, hai đường thẳng x a, x b

(như hình vẽ bên) Giả sử SD là diện

Câu 4: Cho hình thang cong H giới hạn

Câu 5 Cho đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy

như hình vẽ bên Gọi S là phần diện tích được tô đậm Mệnh đề nào dưới đây

Hoạt động 2 Rèn luyện kĩ năng tính diện tích thông qua các ví dụ cụ thể.

trục hoành, đường thẳng x 0, x 2 [2].

Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích đã hội tụ đủ bốn đường Vậy để giải

bài toán, ta có ngay công thức tính , chỉ cần xét dấu f ( x ) và sau đó tính tíchphân

Nhận xét: Với bài toán này, hình phẳng được cho giới hạn bởi

Ox , đường thẳng x e.Thực ra đó chính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y x ln x, y 0,x 1, x e Trong đó x 1 chính là hoành độ giao điểm của

y x ln x và y 0.

thẳng x a hoặc y f ( x ), trục Ox ( không đủ 4 đường), ta cần tìm các đường

còn lại từ nghiệm của phương trình f ( x ) 0.

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip: x 2y2

1, a b 0 [1]

Phân tích: Dựa vào tính chất đối xứng của elip, ta nhận thấy hai trục tọa độ chia

elip thành bốn phần bằng nhau Vậy để tính diện tích elip, chỉ cần tính diện tíchcủa một phần đó

Cái khó của bài toán là cần tìm phương trình của bốn đường tạo nên hìnhphẳng cần tính diện tích

Nhận xét: Đối với một số hình phẳng, đặc biệt là các hình giới hạn bởi

đường tròn, elip, hypebol, parabol, ta cần tìm phương trình của đường cong.Với elip, nửa đường cong nằm phía trên trục Ox có phương trình

y b a 2 x2 , nửa đường cong nằm phía dưới trục Ox có phương trình

a

y b a 2 x2

a

Như vậy, với bài toán tính diện tích hình phẳng, cần phải xác định đầy đủ

cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó rồi mới sử dụng công thức tính diện tích

x a , x b.

Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y f ( x ), y g ( x ) liên tục trên đoạn a ; b và hai đường thẳng

trong hai cách như trên

Ví dụ 1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi parabol y 2 x2 và đường thẳng y x.

Phân tích: Hình phẳng trong bài toán bị giới hạn

bởi hai đường có dạng: y f ( x ), và y g ( x ) Vậy

cần xác định phương trình của hai đường thẳng x

a , x b rồi mới sử dụng được công thức tính diện

tích

Lời giải:

Cách 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2

Vậy hình phẳng đang xét giới hạn bởi đồ thị hàm

đường thẳng x y 2, trục hoành và đường thẳng y 2 Khi đó, diện tích cầntìm là:

Như vậy, với một số bài toán, ta có thể coi hình phẳng cần tính diện tích bị giới

hạn bởi các đường x h (y ), x (y), đường thẳng y c , y d (c d) Khi đó

d diện tích cần tìm là: S h (y ) (y )dy.

c

Ví dụ 3 Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 2 4 x 3 , y x 3

( hình vẽ bên dưới) Tính diện tích của H

Phân tích: Ở bài toán này, sau khi tìm được hoành độ giao điểm ta có công thức

Phương trình hoành độ giao điểm:

Nhận xét: Ở các bài tập này, học sinh sẽ lung túng khi giải Cần lưu ý với

các em, khi gặp các bài toán có thể vẽ hoặc phác họa được đồ thị thì việc nhậndiện hình phẳng và tính diện tích sẽ trở nên dễ dàng hơn

Bài tập tương tự: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1.Đồ thị các hàm số y x , y 3 x.

2 Đồ thị các hàm số y x 2 2, y x, đường thẳng x 0 và x 2.[2]

3 Đường cong y 2 4x , trục hoành và đường thẳng y 2x. [2]

4 Hai đường cong x y 3 y2 và x 2y. [2]

2.3.3 Hình phẳng giới hạn bởi ba đường y f (x ), y g (x ), y h (x).

Ví dụ 1 Gọi H là hình phẳng giới hạn y

bởi parabol (P ): y x 2 2x 2 và các 10

tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2 ; 2)

( hình vẽ bên) Tính diện tích của H

Ví dụ 2 Gọi H là phẳng giới hạn bởi các

3 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 2x 2, tiếp tuyến với

parabol tại điểm M (3; 5) và trục tung

2.3.4 Các bài toán thực tế.

Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

8mvà nhận trục bé của elip làm trục đối xứng

(như hình vẽ) Biết kinh phí trồng hoa là

100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu

tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) [3]

Phân tích: Nhận thấy không thể tính diện tích của dải đất bằng các công thức

tính diện tích thông thường Hơn nữa, do elip và dải đất cần tính diện tích có tính đối xứng, có kích thước nên nếu chọn hệ tọa độ một cách hợp lý, ta sẽ xác

định được phương trình của elip và các đường còn lại Do đó sẽ xác định được công thức tính diện tích hình phẳng.

Khi đó dải vườn được xem là hình phẳng giới hạn bởi các đường

88

Ví dụ 2 Một hoa văn trang trí được tạo ra từ miếng

bìa mỏng hình vuông cạnh 10cm bằng cách khoét bỏ

đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như

hình dưới đây Biết AB 5cm, OH 4cm.Tính diện tích

Ví dụ 3 Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác

nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trongnhững đường cong đẹp trong toán học Ở đó có

một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo

thành từ đường Lemniscate có phương trình trong

hệ tọa độ Oxy là 16y 2 x 2 (25 x2 ) như hình vẽ bên

Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng

mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với

chiều dài 1 mét [3]

Lời giải:

Gọi S1 là diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất Ta có: S 4 S1

Nhận thấy, S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

lượt là 100m và 80 m. Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnhcủa trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộng hơn anhnuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi nuôi cágiống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng /m2 và 40.000 đồng /m2.

Hỏi

trong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (Lấylàm tròn đến hàng nghìn) [3].

Bài 5 Một công ty quảng cáo X

muốn làm một bức tranh trang trí

hình MNEIF ở chính giữa của một

bức tường hình chữ nhật ABCD có

một phần của cung parabol có đỉnh I

là trung điểm của cạnh AB và đi qua

hai điểm C, D Kinh phí làm bức

tranh là 900.000 đồng/ m2 Hỏi công

ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức

Bài 2 Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau:trên mỗi cạnh

hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol(P) cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút của cạnhcũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lụcgiác ) [3]

Bài 3 Một người có một mảnh vườn hình vuông

cạnh 6m như hình vẽ, người đó trồng cỏ trong phần

sân tô màu Tính diện tích cỏ người đó phải trồng

Bài 4 Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía

ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng

1

2 và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng

2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên)

Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón 2 2 1 kg phân hữu cơ Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?[3]

Bài 5.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta

dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vàobiết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m [3]

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp :12Đ, 12E, 12G Trong ba lớp có hai lớp theo khối A và một lớp theo khối D, đa

số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học vàgiải toán Tuy nhiên khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng các em rất lungtúng không biết giải thế nào Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mìnhtại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan Hoạt động họctập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng đượcvào giải toán Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các

đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức

Kết quả kiểm tra:

- Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng kiếnkinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để đồngnghiệp tham khảo, học hỏi Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến kinhnghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếusót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xâydựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung

củangười khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trịnh Thị Hiền