SKKN kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 7

Lí do chọn đề tài:Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản củachương I đại số 7 cũng là nôi dung cơ bản của chương trình Toán 7.. Là người đã giảng dạy

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản củachương I đại số 7 cũng là nôi dung cơ bản của chương trình Toán 7 Trong quátrình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải dạng toán

về tỉ lệ thức Dạng toán này xuất hiện nhiều trong cac đê thi hoc sinh giỏi Toan

7 Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bàitập thì chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dayphân nay giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít khó khăn để biên soạn chohết nội dung của chủ đề Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứuthấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày môt sô kinh nghiêm vê nội dungkiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dang ap dụng trong việc giảng dạy cho họcsinh

Đôi với hoc sinh, thông qua hướ́ng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp họcsinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú tronghọc tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát đồngthời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi lam bai tâp

Trường THCS Xuân Vinh là trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn còn hạn chế

so vớ́i mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và

dự thi học sinh giỏ̉i cấp huyện Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏ̉i môn Toán 7 nhiều năm vớ́i mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán

và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và

viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh đại trà hiêu được kiên thưc cơ bản va vân dụng kiên thưc môt cach linh hoat vao giai bai tâp;

Giúp học sinh giỏ̉i được tiếp cận vớ́i nhiều dạng và nhiều cách giải để không còn thấy khó khăn khi găp phai dang bai tâp nay;

Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạyđược tốt hơn về dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có tính tích cực, tựgiác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòngsay mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏ̉i người giáo viên phải có mộtphương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối vớ́i từng bài dạy

1.3 Đối tượng nghiên cưu:

Đề tài nghiên cứu về việc hướ́ng dẫn học sinh sử dụ ̣ng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán trong chương trình Đại số 7

1.4 Phương pháp nghiên cưu:

- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, tài liệu trên mạng…

- Phương pháp điều tra;

- Phương pháp đối chứng;

- Phương pháp thực nghiệm;

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm…

1

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận

Tí́nh chất 1: Nếu b a d c thì a.d = b.c

Tí́nh chất 2: (Đao lai)

Nếu a.d = b.c vớ́i a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trướ́c số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu

“ - ” trướ́c số hạng dướ́i của tỉ số đó Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho tamột khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trướ́c, ta lập được nhữ̃ng

tỉ số mớ́i bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dướ́i của nó

có dạng thuận lợi để sử dụ ̣ng các dữ̃ kiện của bài toán

2.2 Thực trạng vân đề trước khi á́p dụ ̣ng sá́ng kiến

Qua quá trình công tác giảng dạy và bồi dưỡng phần kiến thức về tỉ lệ thức,của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy:

- Học sinh ( ngay cả giáo viên) gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán Các

em hay sai trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữ̃a dấu “=” vớ́i dấu “=>”;giữ̃a “=” vớ́i dấu “+”, sử dụ ̣ng thiếu dữ̃ kiện bài toán hoặc vận dụ ̣ng tính chấtmột cách tương tự

- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, lười suy nghĩ, lười tư duy dẫn đến mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm tìm tòi, phân dạng để tìm hiểu chuyên sâu từng dạng toán;

- Học sinh sau khi đi tìm được một lời giải đúng thì các em hài lòng và dừng lại

mà không đi tìm cách giải khác, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hếttính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;

- Tài liệu viết về các dạng toán này còn ít, mỗi cuốn chỉ đề cập đến một dạngnhỏ̉ và chưa đưa ra phương pháp giải cụ ̣ thể hoặc phương pháp giải đơn giảnchưa đưa ra được nhiều cách giải để phát triển bài toán…

Trướ́c thực trạng trên đòi hỏ̉i giáo viên phải có các giải pháp trong phươngpháp dạy học sao cho phù hợp Năm học 2016 – 2017 tôi được giao nhiệm vụ ̣dạy Toán 7 Khối 7 có 02 lớ́p vớ́i 56 học sinh Giữ̃a học kì I của năm học, tôi ra

đề khảo sát học sinh như sau: Thời gian 45 phút

Bà̀i 1 (3 điểm): Tìm x, y biết

Bà̀i 3 (3 điểm): Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ Trị giá mỗi

loại tiền trên đều bằng nhau Hỏ̉i mỗi loại có mấy tờ?

Bà̀i 4 (1 điểm): Cho ba tỉ số bằng nhau: a ; b ; c .

Kết quả ban đầu khi chưa áp dụ ̣ng sáng kiến kinh nghiệm này:

3

SL % SL % SL % SL % SL %

Đứng trướ́c thực trạng trên tôi đưa ra một số dạng toán và cách giải giúp các

em không còn sai sót khi trình bày lời giải Các dạng toán đó là:

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước

2 Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.

3 Toán chia tỉ lệ.

4 Tính giá trị của biểu thức

2.3 Giải phá́p và̀ tổ chức thự̣c hiện

Để học sinh vận dụ ̣ng kiến thức giải bài tập một cách chính xác, nhanhnhất, ngắn nhất giáo viên cần giúp các em xác định kiến thức, phương pháp cơbản cần dùng để giải từng dạng toán cụ ̣ thể Muốn khắc sâu kiến thức cho họcsinh, giáo viên cần chọn nhữ̃ng bài tập có tính chất cơ bản và mang tính pháttriển các kiến thức ở mọi khía cạnh, hướ́ng dẫn học sinh giải các bài tập theonhiều cách khác nhau Qua đó giúp học sinh vừa nắm được kiến thức cơ bản vừaphát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài, tạo hứng thú và yêu thíchmôn học

2.3.1 Dạ ̣ng 1: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương phá́p giải: Tìm cách biến đổi tỉ lệ thức ban đầu để trở về đẳng

thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trướ́c bằng một hằng số k nào đórồi biến đổi các vế của đẳng thức cần chứng minh theo hằng số k

Bà̀i 1.1 (Bài 102a/ tr50/ SGK):

Cho a c (a, b, c, d 0,ab, cd ) Chứng minh rằng: a b c d

Hướ́ng dẫn: Đối vớ́i bài toán này ta có thể biến đổi tỉ lệ thức cho trướ́c đểtrở thành đẳng thức cần chứng minh hoặc đặt b a d c k rồi biến đổi hai vế củađẳng thức cần chứng minh theo k

- Giao viên trinh bay ki cho hoc sinh bôn cach giai

Cách 4: b a d c b a 1 d c 1 a b b c d d (đpcm)

Giao viên kêt luân: Như vây đê chưng minh ti lê thưc dạng: b a d c , ta

thương dung hai phương phap chinh:

Phương phap 1: Chưng tỏ tich ad băng tich bc

Phương phap 2: Chưng tỏ hai ti sô co cung gia tri Nêu trong đê bai đa cho

trước môt ti lê thưc khac, ta co thê đăt gia tri cua môi ti sô ơ ti lê thưc đa cho

băng k, rôi tinh gia tri cua môi ti sô trong ti lê thưc phai chưng minh theo k (cach

2) cung co thê dung cac tinh chât cua ti lê thưc như hoan vi cac sô hang, tinh

chât day ti sô băng nhau, tinh chât cua đăng thưc… đê biên đôi ti lê thưc đa cho

đên ti lê thưc phai chưng minh (cach 1, 3)

Kinh nghiêm khi day bai tâp dạng 1.1 giao viên nên đưa ca 4 cach giai trên

đê hoc sinh đươc biêt, tuy nhiên giao viên nên cho hoc sinh nhân xét tưng cach

giai, phân tich cach giai, chon cach giai tôi ưu cho bai toán va chon cach giai

phu hơp với cac bai tâp dang tương tư như bai tâp 1.1

Giao viên kêt luân: Cach 2 có thê ap dung được cho nhiều bai toán

chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Bà̀i 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:

Hướ́ng dẫn: Từ a2 = bc ta suy ra được tỉ lệ thức nào? ( a c hoặc a b ) b a

c c

Hướ́ng dẫn: - Ở câu a làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?

- Ở câu b từ b a d c làm thế nào để xuất hiện a2, b2?

- Tính chất nâng cao của dãy tỉ số bằng nhau cho ta biết gì?

Nhận xét: Trong câu a và b thì cách 1 ngắn gọn hơn tuy nhiên khó hơn, còn

cách 2 tuy dài hơn nhưng dễ̃ hơn

Bà̀i 1.5: (Nguồn internet, hệ quả của bài tập 55/ tr21/ Sách nâng cao và các

chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2)(đk: b;d ≠ 0) thì b a d

Hướ́ng dẫn: Ở bai toan nay đê bai cho cac đăng thưc, tư cac đăng thưc ta phảichưng minh ti lê thưc, giao viên co thê hướng dân hoc sinh suy luân ngươc nhưsau:

Muôn co b a d c a.d = b.c ………… (a + c)d = c(b + d) Căn cư vào(1) va (2) ta đưa ca hai vê của (1) cung băng 2bd Vây tư a + c = 2b ta nhân ca hai vê với d Ta co thê trinh bay bài giai như sau:

Giải:

Ta có: a c 2b a c d 2bd 3

Từ (2) và (3) suy ra: c( b+ d) = ( a+c)d cb + cd = ad + cd

cb = ad b a d c (đpcm)

Bà̀i 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):

Biết: bz cy cx az ay bx (vớ́i a, b, c 0) Chứng minh rằng: x y z

- Khi đó: 2x13y1 2004 + 2x2 3y22004 + .+ 2x20053y2005 2004 như thế nào? ( 0)

- Từ đề bài suy ra điều gì: 2x1 3y12004 + 2x2 3y22004 + .+ 2x20053y20052004 =0

- Vận dụ ̣ng bài 1.6 giải tiếp bài toán

Nhận xét: Từ bài 1.7 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như sau:

Phương phá́p giải: Đối vớ́i từng bài thì có phương pháp giải riêng tuy

nhiên chủ yếu dùng các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Vận dụ ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Á́p dụ ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y 21 3

Cách 2: Đặt ẩn phụ ̣: Đặt 2x 5y k , suy ra: x = 2k, y = 5k

Theo giả thiết: x + y = -21 nên: 2k + 5k = -21 7k = -21 hay k = -3

Do đó: x = - 6 và y = -15

Cách 3: Phương pháp thế: Từ: 2x 5y x 2 y

mà x + y = - 21 suy ra: 75y = -21 nên y = -15

Do đó: x = - 6

Nhận xét: Trong ba cách giải trên thì cách 1, 2 hay dùng nhất còn cách 3 thì ít

sử dụ ̣ng vì kĩ năng biến đổi theo phương pháp thế của học sinh lớ́p 7 còn hạn chế

Bà̀i 2.2 (Bài 61/ Tr31/ SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng: 2x3y; 4y 5z

và x + y – z = 10

Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa có một dãy tỉ số bằng nhau Vậy để xuất

hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thế nào? Ta thấy ở tỉ số 3y và 4y có hai sốhạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dướ́i (tatìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quyđồng hai tỉ số này

Hướng dẫn: - Câu a là sự kết hợp của bài 2.2 và bài 2.3

- Câu b, ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sốnghạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x; 3y; 4z, làm thế nào để các số hạngtrên chỉ còn là x; y; z Ta sẽ tìm BCNN (2; 3; 4) = 12 và khử các hệ số của tử đểcác số hạng trên chỉ còn là x; y; z

Từ đó dễ̃ dàng suy ra: a1 = a2 = a3 = = a8 = a9 =10.

Nhận xét: Ngoai cach trên, trong qua trinh day cho hoc sinh tôi còn hướ́ng

dẫn hoc sinh các cach khac, đo la:

suy ra: a1 = 9k+1; a2 = 8k +2; a3 = 7k +3; a9 = k+ 9 rồi thế vào (1) tìm k

Bà̀i 2.6 (Đề thi HSG lớ́p 7 Huyện Thọ Xuân năm học 2015 - 2016):

11

a 2c5a

0 0

Vớ́i k = 3 suy ra: x = 5.3 = 15; y = 7.3 = 21; z = 3.3 = 9

Vớ́i k = -3 suy ra: x = 5.(-3) = -15; y = 7.(-3) = -21; z = 3.(-3) = -9

Suy ra: x2 = 9.25 = 225 x = 15 hoặc x = -15

Vớ́i x = 15 thay vào (1) ta tìm được y = 21; z = 9

Vớ́i x = -15 thay vào (1) ta tìm được y = -21; z = -9

Lưu ý: Vớ́i dạng bài tập này học sinh thường mắc các sai lầm sau:

- Theo cách 1: Từ k2 = 9 học sinh chỉ suy ra k = 3 do đó thiếu trường hợp k = -3

- Theo cách 2: Từ x2 = 225 học sinh chỉ suy ra x = 15 do đó thiếu trường hợp

x = -15 hoặc các em hiểu sai tính chất nên vận dụ ̣ng: x y z x 2 y 2 z 2

( Ở đây dấu = sau tỉ số 3z là sai)

Bà̀i 2.8 (Bài 62/ Tr31/ SGK –Toán 7 tập 1):

Tìm hai số x và y, biết rằng 2x 5y và xy=10.

Phương phá́p giải: Giả sử phải tìm hai số x, y biết a x b y và x.y = P

Đặt a x b y k suy ra: x = k.a, y = k.b.

do đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2 k 2 ab P Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.

Lưu ý: vớ́i bài này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:

- Vớ́i cách 1: Khi k2=1 k 1 ( rất nhiều học sinh chỉ suy ra k = 1)

- Vớ́i cách 2: Học sinh sai lầm khi áp dụ ̣ng tương tự: 2x 5y 2x..5y 1010 1

hoặc từ x = 2 suy ra y = 5 dẫn đến kết luận sai bài toán

Bà̀i 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7):

Nhận xét : Dạng toán như bài 2.8; 2.9 không khó khi ta nắm được các bướ́c giải

và có thể mở rộng cho nhiều biến Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trongtrường hợp số mũ của k là số chẵn thì phải xé́t đủ các trường hợp của k

2.3.3 Dạ ̣ng 3: Toán chia tỉ lệ

Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễ̃n các đại lượng cần tìm (hoặc các đại lượng liên quan) bằng

các chữ̃ cái (gọi là ẩn) Chú ý điều kiện và đơn vị của ẩn

Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện ràng buộc của các ẩn Bước 3: Tìm các thành phần chưa biết của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau Bước 4: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.

Bà̀i 3.1 (Bài 77/ Tr13/ Sách 500 bài toán chọn lọc):

Ba lớ́p 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 1020 cây Số cây lớ́p 7B trồng được bằng

Bà̀i 3.3 (Bài 120/ Tr39/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):

Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ nhất vớ́i số thứ 2 là 95 , của số thứ nhất vớ́i số thứ ba là 107

Hướng dân: - Gọi ba số cần tìm lần lượt là: x; y; z, chúng tỉ lệ vớ́i ba số nào?

- Tim môi quan hê giữ̃a ba sô với BCNN cua chung

( TMĐK) Vậy 3 số nguyên dương cần tìm lần lượt là 50; 90; 35

Bà̀i 3.4 (Bài 49b/ Tr40/ Sách Đại số nâng cao 7 THCS):

Một hình chữ̃ nhật có các cạnh tỉ lệ vớ́i nhau theo 4 : 7 và có diện tích là 112 m2.Tính các cạnh của hình chữ̃ nhật đó

Hướng dẫn: - Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ̃ nhật đó lần lượt là x, y

Do x, y là chiều rộng và chiều dài của hình chữ̃ nhật nên x = 8 và y =

14 Vậy chiều rộng hình chữ̃ nhật: 8(m); chiều dài hình chữ̃ nhật: 14(m)

Bài 3.5 (Bài 24/ Tr 32/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):

Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội theo tỉ lệ 7 : 6 : 5.Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ vớ́i 6 : 5 : 4.Như vậy có một đội làm nhiều hơn so vớ́i dự định là 6m3 Tính số đất đã phânchia cho mỗi đội

15

Hướng dẫn: Ở bai toan nay ta phải tìm ra đội nào làm nhiêu hơn dự định 6m3

bằng cách tì̀m số đất của mỗi đội phả̉i làm so với số đất dự̣ đị ̣nh của ba đội.

Giai:

Gọi tổng số đất của ba đội là x (m3 ) ( x > 0)

Số đất dự định chia cho 3 đội lúc đầu lần lượt là: a, b, c

So sánh (1) và (2) ta có: a’ > a; b = b’; c’< c nên đội 1 làm nhiều hơn lúc đầu

Vây: a’ – a = 6 hay 6x - 7x = 6 x = 540 (TMĐK)

Vớ́i x = 540 a, 6.

15 540 216 ; b, 5.540 15 180 ; c, 4.540 15 144Vậy số đất đã chia cho 3 đội lần lượt là 216(m3 ); 180(m3 ); 144(m3 )

2.3.4 Dạ ̣ng 4: Tính giá trị của biểu thức:

Phương pháp giải: Vận dụ ̣ng kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số

bằng nhau để tìm giá trị của biến từ đó tính giá trị biểu thức

Bà̀i 4.1 (Bai 54/ Tr18 / Sach nâng cao va phat triên toan 7):

Cho tỉ lệ thức 3 x y 3 Tính giá trị của tỉ số x

Nhận xét: Với hai cách trên thì̀ cách 1 học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu hơn cách 2

Bà̀i 4.3: (Đề thi HSG Toán lớ́p 7 Huyện Hoằng Hóa năm học 2011 – 2012)

b c d a c d a b d a b c

Tính giá trị của biểu thức M = a b b c c d d a

c d a d a b b c

Phương pháp: Ta nhận thấy: Tử 1 + mẫu 1 = tử 2 + mẫu 2 = tử 3 + mẫu 3, từ

đó ta biến đổi các tỉ số ban đầu về dạng các tỉ số có cùng tử và xé́t các trườnghợp xảy ra

( Đê thi hsg Toan 7 huyên Ngoc Lăc năm hoc 2013-2014)

Hướ́ng dẫn: Tử 1 - mẫu 1 = tử 2 - mẫu 2 = tử 3 - mẫu 3, biến đổi về 4.3

Bà̀i 4.4: ( Nguồn internet)

Cho a, b, c đôi một khác nhau và thỏ̉a mãn a b b c c a