SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số hợp vào giải các bài toán về hàm số

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu, cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu nhưkhông thể thiếu, nhưng đối với học sinh

2.3.1 Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số 5

2.3.4 Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Dạy Toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học Các bàitoán là phương tiện hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinhnắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giảitoán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán Do đó tổchức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán

Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, cóchỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của họcsinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyênnhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việcphát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh

ngay trong các giờ học Toán Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm.

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trongquá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứutìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợpvới kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức được điều đó,tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mớiphương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sángtạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiếnthức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu,

cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu nhưkhông thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT việc khai thác theo hướng trắcnghiệm là vấn đề rộng và khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,tính chất, khả năng phát hiện nhanh kiến thức và một số kỹ năng khác Trongthực tế nhiều học sinh còn nặng nề, máy móc bước giải, công phu nặng tính hànlâm theo hướng tự luận trước kia Vì thế trong quá trình giải quyết vấn đề họcsinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến chọn kết quả sai Qua thực tế giảngdạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của họcsinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành

Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông”

và sự đổi mới thi và đánh giá như kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay tôi nhận thấy

rõ những yếu điểm này của học sinh Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiếnkinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn

điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục”.

khai thác ở mức độ sâu, rộng có những câu ở mức độ vận dụng cao Vì vậy đềtài “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm

số và hướng khắc phục” là sự cần thiết để ôn tập cho học sinh.

Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có)

và rèn luyện kĩ năng phát hiện sai lầm, giải đúng, giải nhanh các bài toán trongcác đề thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

+) Học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định 1.

+) Học sinh lớp 12A2 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng bám vào cơ sở lí thuyết : Dựa trên cơ

sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các nămtrước đây; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phântích, nhận dạng, phát hiện nhanh và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể

Phương pháp xác định, phân tích một số sai lầm rồi đưa hướng khắc phục theo từng nhóm nội dung kiến thức: Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến

phân định rõ theo nhóm nội dung kiến thức Dựa trên từng ví dụ cụ thể để chỉ racác sai lầm thường gặp, phân tích sai lầm, đưa ra hướng khắc phục sai lầm đó

Phương pháp thực hành: Ra bài tập tự luyện cho từng nhóm nội dung

kiến thức; Soạn và thiết kế đề thi trắc nghiệm theo hướng rèn luyện, phát triểnnăng lực học sinh tại lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 và lớp12A2 năm học2018-2019

1.5 Nội dung điểm mới của sáng kiến.

Chỉ ra một số sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số,phân tích nguyên nhân sai lầm, đưa ra hướng khắc phục các sai lầm đó Đặc biệttrong một số dạng toán có khái quát hóa vấn đề, nêu hướng sử lý nhanh phù hợpvới kỳ thi theo hướng trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG hiện nay mà hầu như nộidung này các tài liệu đề cập một cách có hệ thống còn hạn chế

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận

Dựa vào sự khai thác các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia các năm

Dựa vào các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu, cực trị của hàm số trong chương

“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” sách giáo khoa Đại số vàgiải tích lớp 12 nâng cao

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1) Định nghĩa Giả sử K là một khoảng và f là hàm số xác định trên K

+) Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

x1 , x2 K , x1 < x2 f(x1) < f(x2);

+) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu

2) Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f '( x ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số đồng biến trên I

b) Nếu f '( x ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số nghịch biến trên I

c) Nếu f '( x ) 0 với mọi x thuộc I thì hàm số không đổi trên I

3) Định lý (mở rộng định lý trên)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I (I có thể là khoảng, đoạn, nửa

khoảng) Nếu f ' (x ) 0, x I (hoặc nếu f ' (x ) 0, x I ) và f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một

số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

2.1.2 Cực trị của hàm số

1) Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên tập D và x0 D

+) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng a; b sao

+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

* Chú ý Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm

số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) chứa x0 và

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với việc khai thác những bài toán về

tính đơn điệu, cực trị học sinh mắc nhiều sai lầm do không nắm vững kiến thức

cơ bản, bản chất kiến thức toán không được vận dụng nên máy móc, lúng túngtrong chọn đáp án

Khi gặp bài toán ở mức độ đơn thuần thì học sinh có thể giải quyết được.Khi bài toán mức độ khai thác sâu hơn, rông hơn thì học sinh lúng túng vàkhông có định hướng chọn đáp án, giải bài toán một cách chủ động

Từ thực tế đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm, trong quátrình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong việcchọn, nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải Vì vậy tôi xây dựng đề tàinày để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia

2.3 Giải pháp cụ thể.

Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra nhữngsai lầm, bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra cũng như đưa rahướng khắc phục cho một số sai lầm đó:

2.3.1 Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1 Xét tính đơn điệu của hàm số y = 3x 1

+ Vậy hàm số nghịch biến trên ; 1 1;

Nguyên nhân sai lầm:

- Máy móc không nắm rõ khái niệm dẫn tới bước kết luận sai

- Chẳng hạn nếu lấy x1 = - 2 D và x2 = 2 D thì x1 < x2 tuy nhiên f(- 2) = 3 >

f(2) = 73 , mâu thuẩn với định nghĩa.

+ Vậy hàm số nghịch biến trên; 1 và 1;

Ví dụ 2 Xét tính đơn điêu của hàm số y =x 4

Nguyên nhân sai lầm:

- Lời giải trên không chỉ ra tập xác định của hàm số dẫn tới bước kết luận sai

Nguyên nhân sai lầm:

- Máy móc vận dụng định lý điều kiện đủ của tính đơn điệu không đúng dẫn tới sai bước kết luận

Ví dụ 4 Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x – 1 + 4 x2

Lời giải sai

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm trong việc xác định sai điểm tới hạn dẫn tới sai bảng biến

thiên Chẳng hạn 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số

và nghịch biến trên nửa

+) Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2; 2

Nguyên nhân sai lầm:

- Điều kiện f’(x) > 0, x (a; b) là điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b), chứkhông phải điều kiện cần Dẫn tới lập điều kiện bài toán sai

- m + 3 0 m 3.

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm khi xác định: Hàm số đồng biến trên; 1

m 3(x m)2 0,x ; 1

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do không tìm điều kiện của t trên cơ sở điều kiện của x;

- Sai lầm do không chú ý tới điều kiện có nghĩa của hàm số f(t)

Lời giải đúng:

Đặt t x , vì x 4 t

Nếu ad bc 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Nếu ad bc 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

2.3.2 Các bài toán về cực trị của hàm số

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do không nắm vững định lý Đạo hàm có nghiệm x = 0 Tuy nhiên đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm x = 0

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do hiểu sai chú ý sau định lý điều kiện cần: Hàm số chỉ có thể đạt cựctrị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không

+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 64

Nguyên nhân sai lầm:

11

Sai lầm do: Hiểu sai quy tắc 1 Không để ý tới điều kiện xác định của đạo hàm.Dẩn tới chỉ sai điểm tới hạn (Xét dấu sai).

Ví dụ 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x4 + mx đạtcực tiểu tại x = 0?

Lời giải sai:

+) Vậy hàm số trên không có cực tiểu tại x = 0

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 f ' (0) 0 m = 0 +) Với

m = 0 ta có bảng biến thiên sau:

0+) Vậy với m = 0 thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Ví dụ 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = mx4 đạt cựcđại tại x = 0?

Lời giải sai:

+) Ta có f’(x) = 4mx3 và f”(x) = 12mx2

+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:

f ' (0) 0 4m.0 0 ,vo nghiem

f '' (0) 012m.0 0

+) Vậy hàm số không đạt cực đại tại x = 0

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại tại x = x0 khi và chỉ

Lời giải sai:

+) Tập xác định D

+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 và f”(x) = 12x2 + 6mx

13

+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:

f ' (0) 0 4.03 3m.02 0 , vo nghiem

2 6m.0

+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ

Ví dụ 14 Tìm các giá trị của m để hàm số y x 4 (5 2m ) x 2 1 m2 có 1 cực trị.

- Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x

y’= 0 x(2x2 – 5 + 2m) = 0

- Nhận thấy y’ = 0 luôn có nghiệm cố định x = 0 nên hàm số có 1 cực trị khi

phương trình (1) vô nghiệm 5 2m 0 m 5

2

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do chưa hiểu rõ bản chất của quy tắc 1 Đó là hàm số có cực trị tại x 0

khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua x0

- Từ quy tắc 1 trên suy ra để thỏa mãn yêu cầu bài toán khi phương trình 1 phải

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là: ab. 0

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab. 0

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: b 0.

2) Điều kiện để hàm số y ax3 bx2 cx d ,(a 0) có cực trị

Phương pháp: Chỉ ra:y ' 3ax2 2bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt y ' 0

15

+ Điều kiện để hàm số y ax3 bx2 cx d ,(a 0) có cực trị thỏa mãn tính chất K

Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y ' 3ax2 2bx c 0 có 2 nghiệm phân

Bài 2 Xét tính đơn điệu của hàm số y = x 2 .

Bài 3 Xét tính đơn điệu của hàm số y = 25 x2

Bài 4 Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 mx 2 x 1 đồng biến trên .

Bài 5 Tìm m để hàm số y =mx2 đồng biến trên từng

Bài 6 Tìm m để hàm số y x3 3x2 3mx 1 nghịch biến trên R.

Bài 7 Cho hàm số y x3mx2 (4 m 9)x5với mlà tham số Có bao nhiêugiá trị

nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) ?

Bài 8 Cho hàm số y = x3 – 3mx2+ 3(m2– 1)x + m Tìm m để hàm số đạt cựctiểu tại x = 2

Bài 9 Cho hàm số f (x) x33x2mx 1.Gọix1;x2là hai điểm cực trị củahàm

Bài 12 Tim tât ca cac gia tri thưc cua tham sô m đê đô thi cua ham sô y x 3 3mx 2

4m 3 co hai điêm cưc tri A va B sao cho tam giac OAB co diên tich băng 4 vơi O lagôc toa đô

Bài 13 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm sốy x

4 2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Bài 14 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để đồ thị của hàm sốy x 4 2mx2

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

Bài 15 Cho hàm sốy x (m2)x 5với mlà tham số thực Tìm tất cả các giá trị

2.3.4 Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng

Sau đây sáng kiến xin giới thiệu đề kiểm tra áp dụng nội dung sáng kiến

để rèn luyện kĩ năng dưới dạng trắc nghiệm:

Câu 1 Tập giá trị m để hàm số y mx3 mx 2 m 1 x 3đồng biến trên là:

Câu 4 Cho hàm số f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 2

B Giá trị cực đại của hàm số bằng 5

C Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại tại x 5 D.

Câu 8 Cho hàm số y x 4 8 x 2 4 Các khoảng đồng biến của hàm số là:

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị của mđể hàm số:y 2x3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 3

nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3

Câu 18 Cho hàm sốy x3 3 m 1 x 2 9x m Giá trị nào của m sau đây thì hàm

số đã cho có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 :

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

- Trong năm học 2017- 2018 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A2, 12A3

Đề số 1: Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Đề số 2: Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Trong năm học 2018- 2019 tôi làm tương tự như năm học 2017

đối với lớp 12A2 cụ thể kết quả như sau:

19

ít vướng các sai lầm như trước khi áp dụng sáng kiến này Do đó các em hứngthú học tập hơn Trên lớp cũng như làm bài tập về nhà học sinh đã tích cực, chủđộng, sáng tạo, độc lập khi giải toán.

Qua việc nêu đề kiểm tra sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy kết quảhọc tập của học sinh đã tiến bộ rõ rệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nângcao Trong các lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia do trường và một

số trường THPT trên địa bàn tổ chức thì phần đề liên quan đến tính đơn điệu,cực trị của hàm số các em làm bài rất tự tin, đạt hiệu quả cao Điều đó thể hiện

sự thành công trong ứng dụng sáng kiến này

3.2 Kiến nghị

Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học Trong quátrình tham khảo các đề thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018; Các đề minh họacủa các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng

Sự khó khăn lúng túng hay vướng các sai lầm của học sinh khi giải cácbài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số Bản thân tôi suy nghĩ

và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh, khắc phục các sailầm thường gặp, rèn luyện nếp tư duy cho người học Vì vậy, tôi đề xuất đề tài

“Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số

và hướng khắc phục” nhằm định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vậndụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Tôi mong đề tài này được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy vàhọc toán ghi nhận và được giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương phápgiảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự thay đổi căn bản và toàn diện của ngànhgiáo dục

XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2019