SKKN hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

Trang

I Mở đầu… ……… ………3

1 Lí do chọn đề tài…… ……… ……….3

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu……… … ….3

3 Phương pháp nghiên cứu……… ………… ………4

II Nội dung……… ……….4

1 Cơ sở lí luận……… 4

2 Thực trạng……… 4

3 Giải pháp……….………5

3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức ……….……… 5

3.2Các phương pháp……… ………… ….……… 5

3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ……… 5

3.2.2 Phương pháp xét hàm…… ……… 10

3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……… 14

3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai……….………… 21

3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……… ……….22

3.3Bài tập tự luyện……… 25

III Kết luận……… …………26

1 Kết quả nghiên cứu……….….……… 26

2 Kết luận và kiến nghị……… … 26

Tài liệu tham khảo……….… 26

2

I MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó mộtyếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương phápdạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềmvui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phầnlớn ở chương trình đại học Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụngphương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đãđược coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứngđiều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của BộGD& ĐT Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thimôn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra vớihọc sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọnghơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành côngtrong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cầnphải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán

Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong

số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành

cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó ở bài toán này được đa phầncác thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất

là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắckiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳngthức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinhphổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót,nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh Đây là bài toán mới, được áp dụng vàothi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chếcũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức Việc có một tàiliệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầucấp thiết cho cả thầy cô và học sinh

2 MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức

- Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”.

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các

đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏicủa các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảngcủa một số giảng viên toán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

II NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắmvững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nộidung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cầnthiết Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt

vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi

học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt

Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướngtiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tưduy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức củacấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết Vì tínhchất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong sốphức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, họcsinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biếnđổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo

ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận

và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sựhứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu vàlĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rútngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quảđúng, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó Đây là mục tiêu quantrọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên

2 THỰC TRẠNG

Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng

như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm

với bài toán max, min trong số phức Lí do được các bạn đưa ra là bài toán nàykhó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sửdụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khiđiểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phầnkhó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho họcsinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều này đã dẫn đến

4

một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thitrắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trongkhi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề Từ

thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”.

Phép cộng: (x yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i

Phép trừ: (x yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i

Phép nhân: (x yi).(x' y'i) (xx' yy') (x' y xy')i

Phép chia: x' y'i xx' yy' xy' x' y i

+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết

+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánhgiá max, min

+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn

* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và không cần giải dấu bằng Ta chỉ cần làm hai bước:

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết

+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh

giá max, min

x2 y2 2xy x; y Dấu = xảy ra khix y

Bất đẳng thức Bunhia: (a2 b2 )(c2 d2 ) (ac bd)2 Dấu = xảy ra khi

Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1 i

cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức (x 1) (y 1)i

cho ở giả thiết.

Ví dụ 2: Tìm z max ; z min biết (1 i)z 2i 1 1

Dấu = xảy ra khi z1 z2 z3 1

Ví dụ 10: Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 Tính giá trị

+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z

1 Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNNcủa biểu thức P z 1 z 2 z 1 Khi đó tích M.m ?

11

Dầu = xảy ra khi x 0;y 13 Chọn A

Ví dụ 9 : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện

Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại x 4 f (x) f(4) 45

đường tròn (C) (với M là điểm biểu diễn số phức z1 )

+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max,

min * Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 Tìm số phức z có môđun lớn nhất,

z min OI R 3

z max OI R 7

O 3

M”

I-4

M’

+, z 3 4i 2 (x 3) 2 ( y 4) 2 4

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3; 4); R2

Phương trình đường thẳng OI: 4x 3y0 +,

+, Gọi số phức z x yi (x; y R) có điểm biểu diễn là M

R M 0 M d(M 0 , d)

5 10

Hướng dẫn:

+,z1 5 3i 3 3iz115i 9 3 3iz1 9 15i 9

+, Gọi số phức z x yi (x; y R) có điểm biểu diễn là I (x; y)

+, Từ giả thiết ta có A(2;3); B(5; 2) ;C( 1; 2) lần lượt là điểm biểu diễn các sốphức 2 3i ;5 2i ; 1 2i Ta có AB 34 ; z 1 2i CI

+, Theo giả thiết thì AI BI 34AB I thuộc đoạn thẳng AB

+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

+, Gọi 1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1 , phương trình

1 : 2x y 6 0 , H1 1 d1 H1 5 A1 (2;2)

;1 2

Gọi 2 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d2 , phương trình

Hướng dẫn:

+, Gọi số phức z x yi (x; y R)

khi đó M, N thuộc đường tròn tâm I(3;4); R2 và MN1

+, P z1 z2 2 OM 2 ON2 (OM ON)(OM ON) NM(OM ON)

2NM (OI IJ ) 2NM OI (MN IJ ) 2MN.OI.cos(NM ,OI) 2MN.OI.( 1) 10

Gọi (C) là đường tròn tâm J ( 4; 3);R P 25 +,

Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:

M 20; m 40 20 10 Chọn B

3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai

* Phương pháp

+ Gọi số phức z x yi (x; y R)

+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)

+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y(2)

+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y) trong đó P là tham số

+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận

w 33 13i w 1258

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 ;z2 thỏa mãn z1 1 z1 3 2i và z2 z1 m i ,

m là tham số (m R) Giá trị của m để ta luôn có z2 2 5 là?

+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x, y + Quan

sát phương trình giả thiết và đặt x f(sint)

(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)

+, Đặt z1 2017(cos2x isin 2x) ; z2 2017(cos2y isin 2y)

z1 z2 cos2x isin 2x cos2y isin 2y cos(x y)

A.8 B.10 C.2 5 D.4 5

1 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được chohọc sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơntrong quá trình giải toán Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn tronghọc tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn.Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi

đã được ôn tập những dạng toán cơ bản và phương pháp, học sinh đã tự giảiđược những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử củacác trường THPT Hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt

Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểmchứng qua một số nhóm học sinh có học lực giỏi và khá trong các lớp12 ởtrường tôi như lớp 12A, 12B, 12D năm học 2018- 2019

Với 10 bài toán trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã chọn ra

hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài

viết, thời gian làm bài là 25 phút Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:

Số học sinh có lời Số học sinh có lời

23

Đề tài đã được tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng cả về chấtlượng, nội dung và hình thức, rất mong hội đồng KH nghành xét duyệt và phổbiến rộng rãi giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy vàhọc tập.

Bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồngnghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn, cũng như ứng dụng vàoviệc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học sinh những bàigiảng hay hơn, cuốn hút hơn

nghiệm của mình viết, không sao chép nộidung của người khác

Người viết:

Nguyễn Văn Vương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề thi chính thức và thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ GD & ĐT

2 Tuyển tập tạp chí toán học và tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019

3 Khóa học luyện thi trắc nghiệm môn toán 2018-2019, thầy Mẫn Ngọc Quang

4 Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đoàn Trí Dũng.

5 Tuyển tập đề thi trắc nghiệm môn toán năm 2017, 2018, 2019 của các trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, các trường THPT trong tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,…

6 Tổng ôn chuyên đề cực trị số phức của thầy Phạm Minh Tuấn

7 Chuyên đề giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích của Tạ Đức Huy