SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích12

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁNCỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1.. Lý do chọn đề tài Trong chương trình Hinh hoc giai tích lớp 12, bên canh cac dang toan quenthuộc như

MỤC LỤC

Tran g

1.Mở đầu 3

1.1 Lý do chọn đề tài … 3

1.2 Nhiệm vụ của đề tài……… ……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

1.4 Phạm vi nghiên cứu 3

2.Nội dung … 4

2.1 Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học 2.1.1 Nhắc lai một sô dang toan hay đươc sử dung 2.1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))……….4

2.1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:………… 4

2.2 Áp dụng trong thực tế dạy học Các dạng bài tập thường gặp……… ………….5

2 2.1 Các bai toan cưc trị liên quan đên tim một điểm thỏa điêu kiên cho trước 2 2.2 Cac bai toan cưc trị liên quan đên vị trí cua đương thẳng, măt phẳng…15 2.3 Hiệu quả của sáng kiến……… 23

3.Kêt luận 24

3.1.Kết luận 25

3.2.Kiến nghị ̣ 25

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Hinh hoc giai tích lớp 12, bên canh cac dang toan quenthuộc như: viêt phương trinh măt phẳng, phương trinh đương thẳng,… Ta còn găpcac bai toan tim vị trí cua điểm, đương thẳng hay măt phẳng liên quan đên một điêukiên cưc trị Đây la dang Toan khó, chỉ có trong chương trinh nâng cao va sử̉ dụnglàm câu hỏ̉i VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiêu hoc sinh bị mât kiên thưc cơ bantrong hinh hoc không gian, không nắm vững cac kiên thưc vê hinh hoc, vec tơ,phương phap độ trong không gian Đặc biệt khi nó́i đến các bài toán về cực trị ̣trong hình học thì các em rất “e ngại” kể̉ cả đối vớ́i học sinh khá, giỏ̉i

1.2 Nhiệm vụ của đề tài

Trong qua trinh trưc tiêp giang day va nghiên cưu tôi thây đây la dang toankhông chỉ khó ma còn kha hay, lôi cuôn đươc cac em hoc sinh kha giỏi Nêu ta biêtsử dung linh hoat va kheo leo kiên thưc cua hinh hoc thuần túy, vectơ, phươngphap toa độ, hình học giai tích thi có thể đưa bai toan trên vê một bai toan quenthuộc

Vớ́i đề tài này, tôi cố gắ́ng xây dựng cơ sở kiến thức vữ̃ng chắ́c, hệ thống bàitập và ví́ dụ logic giú́p học sinh tiếp thu vấn đề mộ̣t cách thuận lợi nhất, quy lạ vềquen để̉ bài toán cực trị ̣ trong hình học giải tí́ch không cò̀n luôn luôn là bài toánhó́c bú́a, khó́ giải

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Từ kiến thức cơ bản và các ví́ dụ dễ hiể̉u, sau đó́ phát triể̉n dầ̀n thành các bàitoán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào mộ̣t số bàitoán cực trị ̣ hình học cụ thể̉ trong hình học giải tí́ch lớ́p 12

1.4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hình học giải tí́ch trong chương trình SGK cơbản và nâng cao hình học lớ́p 12 đang được lưu hành Tập trung chủ yếu vào cácbài toán ở mức độ̣ VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Vớ́i tinh thầ̀n yêu thí́ch bộ̣ môn, nhằm giú́p các em hứng thú́ hơn, tạo cho các

em niềm đam mê, yêu thí́ch môn toán, mở ra mộ̣t cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang cho cac học sinh tự học, tự nghiên

cứu.Tôi đã manh dan viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lơp 12 giải môt sô bai toán cực trị trong hình hoc giai tích”.

2 NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học

2.1.1 Nhắc lai môt sô dang toán hay đươc sử dung.

2.1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))

- Goi H la hinh chiêu vuông góc cua M lên (α).α).)

- Viêt phương trinh đương thẳng MH(α).qua M

va vuông góc với (α).α).))

- Tim giao điểm H cua MH va (α).α).)

*Nêu yêu cầu tim điểm M’ đôi xưng với Mqua

măt phẳng (α).α).) thi ta vẫn tim hinh chiêuH cua M

lên (α).α).), dùng công thưc trung điểm suy ra toa độ

M’

2.1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

-Viêt phương trinh tham sô cua d

- Goi H dcó toa độ theo tham sô t

- H la hinh chiêu vuông góc cua điểm M lên d khi

u d MH 0

-Tim t, suy ra toa độ cua H

2.2 Áp dụng trong thự̣c tế dạy học

Cá́c dạng bài tập thường gặp

2.2.1 Cá́c bai toán cực trị liên quan đên tìm môt điểm thỏa điêu kiên cho trươc.

Bai toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0

và đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt

Lời giải:

-Tim điểm I thỏa k 1 IA 1 + k 2 IA 2 + + k n IA n 0

-Biên đôi : k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn = (α).k1 + k2 + + kn )MI = k MI

Tim vị trí cua M khi MI đat gia trị nhỏ nhât

Ví du 1: Cho măt phẳng (α).α).): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điể̉m A 1;0;1 , B -2;1;2 ,

C 1;-7;0 Tim điểm M trên măt phẳng (α) sao cho :α) sao cho :) sao cho :

1) MA + MB MC có gia trị nhỏ̉ nhất

2) MA -2MB 3MC có gia trị nhỏ̉ nhất

G(α).0;-2;1)1) Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC =3 MG có gia trị

nhỏ̉ nhất khi M la hinh chiêu vuông góc cua G lên măt phẳng (α).α).)

MG nhân n = (2; -2; 1) lam vecto chỉ phương

x = 2tPhương trinh tham sô MG y = -2-2t

z = 1+3tToa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

4t – 2(α).-2- 2t) + 3(α).1+3t)+ 10 = 0 17t 17 0 t 1 Vây với

M(α).-2; 0; -2) thi MA + MB MC có gia trị nhỏ nhât

2) Goi I(α).x; y; z) la điểm thỏa IA -2IB 3IC 0

Ta có (α).1- x; -y; 1-z) - 2(α).-2-x; 1-y; 2-z) + 3(α).1-x; -7-y; -z) = (α).0;0;0)

x = 4+2t

23Phương trinh tham sô MI: y = 2 -2t

z = 32 +3tToa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

17 ) thi MA -2MB 3MC đat gia trị nhỏ nhât.

Bai toán 2: Cho đa giác A 1 A 2 …. A n và n số thực k 1 , k 2 , …., k n thỏa k 1 + k 2 + ….+ k n

k 2 MA22 k n MA n2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

= kMI 2+k1IA12 k2 IA22 knIA2n

Do k1IA12 k2 IA22 knIA2n không đôi, Biểu thưc T nhỏ nhât hoăc lớn nhât khi MI nhỏ nhât hay M la hinh chiêu vuông góc cua I lên măt phẳng hay đương thẳng

1) Tim M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA2 + MB2 có gia trị nhỏ nhât

2) Tim M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có gia trị lớn nhât

Giả̉i:1) Gọi điểm I(α).x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thi I la trung điểm AB va I(α).2; 3

2 ; 3

2 )

Ta có: MA2 + MB2 = (α).MI + IA)2 +(α).MI + IB)2

IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(α).IA + IB) = IA2 + IB2 +2MI2

Do IA2 + IB2 không đôi nên MA2 + MB2 nhỏ nhât khi MI2 có gia trị nhỏ nhât, hay M

la hinh chiêu vuông góc cua I lên (α).α).)

Đương thẳng IM qua điểm I va có vtcp n α) (α).1; 2; 2)

x = 2+t3Phương trinh tham sô MI: y = 2 + 2t

z = 32 +2tToa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

2 t 2(α) 3

22t) 2(α) 3

2 2t) 7 0 9t 9 0 t 1M(α).1; 1

2 ; 7

2)

vuông góc của I lên (α)α)).

2)Goi J(α).x; y; z) la điểm thỏa JA - JB -JB = 0

Do JA2 JB2 JC2 không đôi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhât khi MJ nhỏ nhât hay M

la hinh chiêu cua J trên măt phẳng (α).α).)

Đương thẳng JM qua điểm I va có vtcp n α) (α).1; 2; 2)

x = 3+tPhương trinh tham sô MJ: y = -3+ 2t

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

M(α).23

9; 35

9; 9 8)Vây với M(α) 23

9 ;359 ; 8 9) thi MA 2 - MB 2 – MC 2 có gia trị lớn nhât.

Ví du 2: Cho đương thẳng d có phương trinh: x

1-3 va cac điểm

A(α).0; 1; -2), B(α) 2; -1; 2), C(α).4; 3; 3) Hay tim điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có gia trị lớn nhât2) MA2 + MB2 + MC2 có gia trị nhỏ nhât

Ta có MA2 - 2MB2 = (α).MI + IA)2 2(α).MI + IB)2

IA2 2IB2 MI2+ 2MI(α).IA 2 IB) IA2 2IB2 MI2

M d M(α).1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M la hinh chiêuvuông gó́c của I lên d nên IM.u 0 6 t 4 0 t 2

3) thi MA2 - 2MB2 có gia trị lớn nhât

2) Goi điểm G(α).x; y; z) la điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thi G la trong tâm tam giac ABC va G(α).2; 1; 1)

2 ;1; 5

2) thi MA2 + MB2 + MC2 có gia trị nhỏ nhât

Bai toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm

A,B không thuộPc (α)α)) Tìm điểm M trên (α)α)) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Ví du 1: Trong không gian với hê toa độ Oxyz, cho măt phẳng (α).α).) có

phương trinh:x – 2y – 2z + 4 = 0 va hai điểm A(α).1; 1; 2), B(α).2; 0; 2) Tim điểm

M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA + MB có gia trị nhỏ nhât

Giải:

Thay toa độ cua A va B vao phương trinh (α).α).) ta thây hai điểm năm vê hai phía cua (α).α).).

Ta có MA + MB có gia trị nhỏ nhât khi M la giao điểm cua AB va (α).α).)

Đương thẳng AB qua điểm B, nhân AB (α).1; 1;0) lam vecto chỉ phương

x 2 t

Phương trinh tham sô cua AB: y t

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh: 2 + t – 2(α).-t)- 2.2 + 4 = 0

Hay M(α).4

3 ;2

3 ; 2) la điểm cầ̀n tim

Ví du 2: Cho măt phẳng (α).α).) có phương trinh: x – y + 2z = 0 va ba điểm A(α).1;

2;-1), B(α).3; 1; -2), C(α).1; -2; -2) Hay tim điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có gia trị nhỏ nhât2) MA - MC có gia trị lớn nhât

Phương trinh tham sô AA’: y 2 t

Toa độ hinh chiêu vuông góc H cua A trên (α).α).) ưng với t cua phương trinh

A’B có vtcp A'B (α).1;0; 3)

Phương trinh tham sô A’B: y 1

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

2 + t – 1 + 2(α).1 – 3t) = 0 5t 3 0 t 3

hay M(α) 13 ;1; 4 )

13 4

Vây với M(α) 5 ;1; 5) thi MA + MB có gia trị nhỏ nhât

2) Thay toa độ cua A va C vao phương trinh (α).α).) ta thây hai điểm năm vê hai phía cua (α).α).).Vây nên A’ va C năm cùng một phía đôi với (α).α).)

Ta thây MA - MC MA' - MC A'C Nên MA - MC đat gia trị lớn nhât khi M thuộc A’Cnhưng ơ phía ngoai đoan A’C, tưc M la giao điểm cua A’C va (α).α).) Đương thẳng A’C có vtcp A'C (α) 1; 3; 3)

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trinh:

4 ; 5

4 ; 5

4) thi MA - MC có gia trị lớn nhât.

Bai toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộPc d Tìm

điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

- Đưa phương trinh cua d vê dang tham sô, viêt toa độ cua M theo tham sô t

- Tính biểu thưc MA + MB theo t, xet ham sô f(α).t) = MA + MB

- Tính gia trị nhỏ nhât cua ham sô f(α).t), tư đó suy ra t

- Tính toa độ cua M va kêt luân

Ví du 1: Cho đương thẳng d : x-1 =y + 2 =z-3 va hai điểm C(α).-4; 1; 1), D(α).3; 6;

-3) Hay tim điểm M trên d sao cho MC + MD đat gia trị nhỏ nhât

Xet măt phẳng (α).P) qua CD va vuông góc với d

(α).P) qua điểm C(α).-4; 1; 1) va nhân u (α).2; 2;1) lam vecto phap tuyên

Phương trinh (α).P): 2(α).x +4) – 2(α).y -1) + 1(α).z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đat gia trị nhỏ nhât khi M la giao điểm cua d va mp(α).P)

Toa độ M ưng với t la nghiêm cua phương trinh:

2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 9t + 18 0 t 2

Vây M(α).-3; 2; 1) thi MC + MD đat gia trị nhỏ nhât băng: 2 2 17

Bai toán 5: Cho hai đường thẳng d 1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M d 1 , N d 2 là

chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.

Lời giải:

- Lây M d1 va N d2 (α) toa độ theo tham sô)

- Giai hê phương trinh MN.u1 0 va MN.u2 0 (α) u1, u2 la cac vectơ chỉ phương cua d1 va d2 )

- Tim toa độ M, N va kêt luân

Ví du 1: Cho hai đương thẳng

1) Chưng minh d1, d2 cheo nhau

2) Tim điểm M d1 va N d2 sao cho độ dai MN ngắn nhât

1)d1 qua M1(α).5; -1; 11), có vtcp u1 (α).1; 2; 1)

d2 qua M2(α).-4; 3; 4), có vtcp u2 (α) 7; 2;3)

Ta có [ u1, u2 ] M 1M2 = (α).8; 4; 16)(α).-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0

Hay d1 va d2 cheo nhau

2) M d1 va N d2 sao cho độ dai MN ngắn nhât khi va chỉ khi MN la độ daiđoan vuông góc chung cua d1 va d2

Phương trinh tham sô cua hai đương thẳng

- Lây điểm M trên d, Goi H la hinh chiêu vuông

góc cua M lên AB

- Tam giac MAB có diên tích S = 1

2 AB.MH đatgia trị nhỏ nhât khi MH nhỏ nhât, hay MH la

đoan vuông góc chung cua AB va d

13

Ta thây d qua M1(α).2; 4; -2), có vtcp u (α).1;1;0)

AB qua A(α).1; 2; 3) va AB (α).0; -2;-2) = 2u1

với u1 (α).0;1;1) la vec tơ chỉ phương cua AB

Vây M(α).-1; 1; -2), H(α).1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2

Diên tích S MAB 1 AB.MH 6

2

x 0

Ví du 3: Cho đương thẳng d: y t Trong cac măt cầu tiêp xúc

z 2 t

với ca hai đương thẳng d va truc Ox, hay viêt phương trinh măt cầu

(α).S) có ban kính nhỏ nhât

Giải:

Gia sử măt cầu (α).S) có tâm I, ban kính R tiêp xúc với d tai M, tiêp xúc với Ox tai N

Ta thây 2R = IM + IN ≥ MN, do đó măt cầu (α).S) có đương kính nhỏ nhât la 2R =

MN khi va chỉ khi MN nhỏ nhât hay MN la đoan vuông góc chung cua d va Ox.Đương thẳng d qua M(α).0; 0; 2), có vtcp u (α).0;1; 1)

Ox qua O(α).0; 0; 0), có vtcp i (α).1;0;0)

[u, i ] OM = (α).0; 0; -1)(α).0; 0; 2) = -2 0 nên d va Ox cheo nhau

Măt cầu (α).S) có tâm I (α).0; 1 ;1 ) , ban kính R =MN 2

Phương trinh măt cầu (α).S): x2(α) y 1 ) 2(α) z 1) 2 1

2.2.2 Các bai toán cực trị liên quan đên vị trí cua đương thẳng, măt phẳng.

Bai toán 1:Cho hai điểm phân biệt A,B Viết

phương trình mặt phẳng (α)α)) đi qua A và cách B

một khoảng lớn nhất.

Lời giải:

Hoi H la hinh chiêu vuông góc cua B lên măt phẳng

(α).α).), khi đó tam giac ABH vuông tai H va khoang

cach d(α).B; (α).α).)) = BH ≤ AB Vây d(α).B; (α).α).)) lớn nhât

băng AB khi A ≡ H, khi đó (α).α).) la măt phẳng đi qua

A va vuông góc với AB

Ví du 1: Viêt phương trinh măt phẳng (α).α).) đi qua điểm D(α).1; -2; 3) va cach điểm

I(α).3; -1; -2) một khoang lớn nhât

Giải:

( cach điểm I(α).3; -1; -2) một khoang lớn nhât khi (α).α).) la măt phẳng đi qua D va vuông góc với DI

( nhân DI (α).2; 1; -5) lam vecto phap tuyên

Phương trinh măt phẳng(α).α).): 2(α).x -1) + 1(α).y +2) – 5(α).z -3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = 0

Ví du 2: Cho hai điểm A(α).2; 1; 3), B(α).1; -1; 1), goi (α).α).) la măt phẳng qua B

Trong cac măt cầu tâm A va tiêp xúc với (α).α).), hay viêt phương trinh măt cầu

(α).S) có ban kính lớn nhât

Giải:

Măt cầu (α).S) có ban kính R = d(α).A; (α).α).)) lớn nhât khi (α).α).) qua B va vuông góc với

AB BA (α).1; 2; 2) la vectơ phap tuyên cua (α).α).)

R = AB=3

Phương trinh măt cầu (α).S): (α).x -2)2 + (α).y -1)2 + (α).z – 3)2 = 9

Bai toán 2 : Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình

mặt phẳng (α)α)) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α)α)) lớn nhất

Lời giải:

Goi H la hinh chiêu vuông góc cua A lên măt phẳng

(α).α).),

K la hinh chiêu vuông góc cua A lên ∆

Ta có d(α).A; (α).α).)) = AH ≤ AK lớn nhât thi H≡ K,

khi đó (α).α).) la măt phẳng đi qua ∆ va vuông góc

với AK Hay (α).α).) qua ∆ va vuông góc với mp(α).∆, A).

Ví du 1: Cho ba điểm A(α).2; 1; 3), B(α).3; 0; 2); C(α).0; -2; 1) Viêt phương

trinh măt phẳng (α).α).) đi qua hai điểm A, B va cach C một khoang lớn

(α).ABC) có vectơ phap tuyên n [ AB, AC] (α) 1; 4; 5)

(α).α).)cóvectơphaptuyên n [ n, AB] (α) 9 6; 3) 3(α).3; 2;1) Phương

trinh (α).α).): 3(α).x– 2) + 2(α).y – 1) + 1(α).z – 3) = 0

3x + 2y + z – 11 = 0

Bai toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), lấy B không thuộc (α)α)) Tìm

đường thẳng ∆ nằm trong (α)α)) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Goi H la hinh chiêu cua B lên ∆ ta

thây d(α).B; ∆) = BH ≤ AB

Vây khoang cach tư B đên ∆ lớn nhât khi

A ≡ H hay ∆ la đương thẳng năm trong

(α).α).) va vuông góc với AB

Goi K la hinh chiêu vuông góc cua B lên (α).α).) khi đó d(α).B; (α).α).)) = BH ≥ BK