SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁNTrong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiêu hoc sinh bị mât kiên thưc cơ bantrong hình hoc không gian, không nắm vững các kiên thưc vê

MỤC LỤC

Tran g

A.Mở đầu 3

1 Lý do chọn đề tài … 3

2 Nhiệm vụ của đề tài……… ………3

3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

4 Phạm vi nghiên cứu 3

B.Nội dung … 4

1 Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học 1.1 Nhắc lai một sô dang toán hay đươc sử dung 1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))……….4

1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:………… 4

2 Áp dụng trong thực tế dạy học Cá́c dạng bài tập thường gặp……… ………….5 2.1 Các bai toán cưc trị liên quan đên tìm một điểm thỏa điêu kiên cho trước 2.2 Các bai toán cưc trị liên quan đên vị trí cua đương thẳng, măt phẳng… 15

3 Hiệu quả của sá́ng kiến……… 23

C.Kêt luận 24

Kiến nghị ̣ 25

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiêu hoc sinh bị mât kiên thưc cơ bantrong hình hoc không gian, không nắm vững các kiên thưc vê hình hoc, vec tơ,phương pháp độ trong không gian Đặc biệt khi nó́i đến cá́c bài toá́n về cực trị ̣trong hì̀nh học thì̀ cá́c em rất “e ngại” kể̉ cả đối vớ́i học sinh khá́, giỏ̉i

2 Nhiệm vụ của đề tài

Trong quá trình trưc tiêp giang day va nghiên cưu tôi thây đây la dang toánkhông chỉ khó ma còn khá hay, lôi cuôn đươc các em hoc sinh khá giỏi Nêu ta biêtsử dung linh hoat va khéo léo kiên thưc cua hình hoc thuần túy, véctơ, phươngpháp toa độ, hì̀nh học giai tích thì có thể đưa bai toán trên vê một bai toán quenthuộc

Vớ́i đề tài này, tôi cố gắ́ng xây dựng cơ sở kiến thức vữ̃ng chắ́c, hệ thống bàitập và ví́ dụ logic giú́p học sinh tiếp thu vấn đề mộ̣t cá́ch thuận lợi nhất, quy lạ vềquen để̉ bài toá́n cực trị ̣ trong hì̀nh học giải tí́ch không cò̀n luôn luôn là bài toá́nhó́c bú́a, khó́ giải

3 Đối tượng nghiên cứu

Từ kiến thức cơ bản và các ví dụ dễ hiểu, sau đó phát triển dần thành các bài toán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào một số bài toán cực trị hình học cụ thể trong hình học giải tích lớp 12

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hì̀nh học giải tí́ch trong chương trì̀nh SGK cơbản và nâng cao hì̀nh học lớ́p 12 đang được lưu hành Tập trung chủ yếu vào cá́cbài toá́n ở mức độ̣ VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Vớ́i tinh thầ̀n yêu thí́ch bộ̣ môn, nhằm giú́p cá́c em hứng thú́ hơn, tạo cho cá́c

em niềm đam mê, yêu thí́ch môn toá́n, mở ra mộ̣t cá́ch nhì̀n nhận, vận dụng, linh hoạt, sá́ng tạo cá́c kiến thức đã học, tạo nền tang cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi đã manh dan viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lơp 12 giải môt sô bai

toán cực trị trong hình hoc giai tích”.

B NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học

1.1 Nhắc lai môt sô dang toán hay đươc sử dung.

1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))

- Goi H la hình chiêu vuông góc cua M lên (α).α).)

- Viêt phương trình đương thẳng MH(α).qua M

va vuông góc với (α).α).))

- Tìm giao điểm H cua MH va (α).α).)

*Nêu yêu cầu tìm điểm M’ đôi xưng với Mqua

măt phẳng (α).α).) thì ta vẫn tìm hình chiêuH cua M

lên (α).α).), dùng công thưc trung điểm suy ra toa độ

M’

1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

-Viêt phương trình tham sô cua d

- Goi H dcó toa độ theo tham sô t

- H la hình chiêu vuông góc cua điểm M lên d khi

u d MH 0

-Tìm t, suy ra toa độ cua H

2 Áp dụng trong thự̣c tế dạy học

Cá́c dạng bài tập thường gặp

2.1 Các bai toán cực trị liên quan đên tìm môt điểm thỏa điêu kiên cho trươc.

Bai toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0

và đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) sao cho k1MA1k2 MA2 k n MA n có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

-Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k2 IA2 + + kn IAn 0

-Biên đổi : k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn = (α).k1 + k2 + + kn )MI = k MI

Tìm vị trí cua M khi MI đat giá trị nhỏ nhât

Ví du 1: Cho măt phẳng (α).α).): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điể̉m A 1;0;1 , B -2;1;2 ,

C 1;-7;0 Tìm điểm M trên măt phẳng (α) sao cho :α) sao cho :) sao cho :

1) MA + MB MC có giá trị nhỏ̉ nhất

2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ̉ nhất

Giải: Goi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G la trong tâm cua tam giác ABC va

G(α).0;-2;1)1) Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC =3 MG có giá trịnhỏ̉ nhất khi M la hình chiêu vuông góc cua G lên măt phẳng (α).α).)

MG nhân n = (2; -2; 1) lam vecto chỉ phương

x = 2tPhương trình tham sô MG y = -2-2t

z = 1+3tToa độ M ưng với t la nghiêm phương trình:

4t – 2(α).-2- 2t) + 3(α).1+3t)+ 10 = 0 17t 17 0 t 1 Vây với

M(α).-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ nhât

2) Goi I(α).x; y; z) la điểm thỏa IA -2IB 3IC 0

Ta có (α).1- x; -y; 1-z) - 2(α).-2-x; 1-y; 2-z) + 3(α).1-x; -7-y; -z) = (α).0;0;0)

x = 4; y = - 23

2 ; z = - 3

2 , vây I(4; 23

Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(α).MI IC) = 2MI có giá trị nhỏ̉ nhất khi M lahình chiêu vuông góc cua I lên măt phẳng (α).α).)

x = 4+2t

23Phương trình tham sô MI: y = 2 -2t

34 ; 135

17 ) thì MA -2MB 3MC đat giá trị nhỏ nhât.

Bai toán 2: Cho đa giác A 1 A 2 …. A n và n số thực k 1 , k 2 , …., k n thỏa k 1 + k 2 + ….+ k n

= k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) hay đường thẳng) sao cho tổng T = k1MA12

k 2 MA22 k n MA n2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

1) Tìm M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhât

2) Tìm M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhât

Giả̉i:1) Gọi điểm I(α).x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I la trung điểm AB va I(α).2; 3

2 ; 3

Ta có: MA2 + MB2 = (α).MI + IA)2 +(α).MI + IB)2

IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(α).IA + IB) = IA2 + IB2 +2MI2

Do IA 2 + IB 2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhât khi MI2 có giá trị nhỏ nhât, hay M

la hình chiêu vuông góc cua I lên (α).α).)

Đương thẳng IM qua điểm I va có vtcp n α) (α).1; 2; 2)

2 ; 7

2)

Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + AB

22 , do AB 2 không đổi nên MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)α)).

2)Goi J(α).x; y; z) la điểm thỏa JA - JB -JB = 0

Do JA2 JB2 JC2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhât khi MJ nhỏ nhât hay M

la hình chiêu cua J trên măt phẳng (α).α).)

Đương thẳng JM qua điểm I va có vtcp n α) (α).1; 2; 2)

x = 3+tPhương trình tham sô MJ: y = -3+ 2t

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trình:

M(α).23

9; 35

9; 9 8)Vây với M(α) 23

9 ;359 ; 8 9 ) thì MA 2 - MB 2 – MC 2 có giá trị lớn nhât.

Ví du 2: Cho đương thẳng d có phương trình: x

1-1 =y

2-2= z

1-3 va các điểm

A(α).0; 1; -2), B(α) 2; -1; 2), C(α).4; 3; 3) Hay tìm điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhât

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhât

Ta có MA2 - 2MB2 = (α).MI + IA)2 2(α).MI + IB)2

IA2 2IB2 MI2+ 2MI(α).IA 2 IB) IA2 2IB2 MI2

M d M(α).1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M la hình chiêu vuông gó́c của I lên d nên IM.u 0 6 t 4 0 t 2

3 M(α) 1

3 ; 2

3 ; 7

3)Vây với M(α) 1

3 ; 3 2 ; 7

3) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhât2) Goi điểm G(α).x; y; z) la điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G la trong tâm tam giác ABC va G(α).2; 1; 1)

2 ;1; 5

2) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhât

Bai toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm

A,B không thuộPc (α)α)) Tìm điểm M trên (α)α)) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Ví du 1: Trong không gian với hê toa độ Oxyz, cho măt phẳng (α).α).) có

phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 va hai điểm A(α).1; 1; 2), B(α).2; 0; 2) Tìm điểm

M trên măt phẳng (α).α).) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhât

Giải:

Thay toa độ cua A va B vao phương trình (α).α).) ta thây hai điểm năm vê hai phía cua (α).α).).

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhât khi M la giao điểm cua AB va (α).α).)

Đương thẳng AB qua điểm B, nhân AB (α).1; 1;0) lam vecto chỉ phương

x 2 t

Phương trình tham sô cua AB: y t

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trình: 2 + t – 2(α).-t)- 2.2 + 4 = 0

Hay M(α) 4

3 ; 23 ; 2) la điểm cầ̀n tìm.

Ví du 2: Cho măt phẳng (α).α).) có phương trình: x – y + 2z = 0 va ba điểm A(α).1;

2;-1), B(α).3; 1; -2), C(α).1; -2; -2) Hay tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhât

2) MA - MC có giá trị lớn nhât

Phương trình tham sô AA’: y 2 t

Toa độ hình chiêu vuông góc H cua A trên (α).α).) ưng với t cua phương trình

A’B có vtcp A'B (α).1;0; 3)

Phương trình tham sô A’B: y 1

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trình:

2 + t – 1 + 2(α).1 – 3t) = 0 5t 3 0 t 3

hay M(α) 13 ;1; 4 )

Vây với M(α).5;1; 5) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhât

2) Thay toa độ cua A va C vao phương trình (α).α).) ta thây hai điểm năm vê hai phía cua (α).α).).Vây nên A’ va C năm cùng một phía đôi với (α).α).)

Ta thây MA - MC MA' - MC A'C Nên MA - MC đat giá trị lớn nhât khi M thuộc A’Cnhưng ơ phía ngoai đoan A’C, tưc M la giao điểm cua A’C va (α).α).) Đương thẳng A’C có vtcp A'C (α) 1; 3; 3)

Toa độ M ưng với t la nghiêm phương trình:

4) thì MA - MC có giá trị lớn nhât

Bai toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộPc d Tìm

điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

- Đưa phương trình cua d vê dang tham sô, viêt toa độ cua M theo tham sô t

- Tính biểu thưc MA + MB theo t, xét ham sô f(α).t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhât cua ham sô f(α).t), từ đó suy ra t

- Tính toa độ cua M va kêt luân

Ví du 1: Cho đương thẳng d : x-1 =y + 2 =z-3 va hai điểm C(α).-4; 1; 1), D(α).3; 6;

-3) Hay tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đat giá trị nhỏ nhât

Xét măt phẳng (α).P) qua CD va vuông góc với d

(α).P) qua điểm C(α).-4; 1; 1) va nhân u (α).2; 2;1) lam vecto pháp tuyên Phương

trình (α).P): 2(α).x +4) – 2(α).y -1) + 1(α).z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đat giá trị nhỏ nhât khi M la giao điểm cua d va mp(α).P)

Toa độ M ưng với t la nghiêm cua phương trình:

2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 9t + 18 0 t 2

Vây M(α).-3; 2; 1) thì MC + MD đat giá trị nhỏ nhât băng: 2 2 17

Bai toán 5: Cho hai đường thẳng d 1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M d 1 , N d 2 là

chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.

Lời giải:

- Lây M d1 va N d2 (α) toa độ theo tham sô)

- Giai hê phương trình MN.u1 0 va MN.u2 0 (α) u1, u2 la các véctơ chỉ phương cua d1 va d2 )

- Tìm toa độ M, N va kêt luân

Ví du 1: Cho hai đương thẳng

d1 : x-5 =y+1 =z -11 , d2 : x+ 4 =y-3 =z - 4

-1

1) Chưng minh d1, d2 chéo nhau

2) Tìm điểm M d1 va N d2 sao cho độ dai MN ngắn nhât

1)d1 qua M1(α).5; -1; 11), có vtcp u 1 (α).1; 2; 1)

d2 qua M2(α).-4; 3; 4), có vtcp u 2 (α) 7; 2;3)

Ta có [ u 1 , u 2 ] M 1M2 = (α).8; 4; 16)(α).-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0

Hay d1 va d2 chéo nhau

2) M d1 va N d2 sao cho độ dai MN ngắn nhât khi va chỉ khi MN la độ daiđoan vuông góc chung cua d1 va d2

Phương trình tham sô cua hai đương thẳng

- Lây điểm M trên d, Goi H la hình chiêu vuông

góc cua M lên AB

- Tam giác MAB có diên tích S = 1

2 AB.MH đatgiá trị nhỏ nhât khi MH nhỏ nhât, hay MH la

đoan vuông góc chung cua AB va d

13

Ta thây d qua M1(α).2; 4; -2), có vtcp u (α).1;1;0)

Vây M(α).-1; 1; -2), H(α).1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2

Diên tích S MAB 1 AB.MH 6

2

x 0

Ví du 3: Cho đương thẳng d: y t Trong các măt cầu tiêp xúc

z 2 t

với ca hai đương thẳng d va truc Ox, hay viêt phương trình măt cầu

(α).S) có bán kính nhỏ nhât

Giải:

Gia sử măt cầu (α).S) có tâm I, bán kính R tiêp xúc với d tai M, tiêp xúc với Ox tai N

Ta thây 2R = IM + IN ≥ MN, do đó măt cầu (α).S) có đương kính nhỏ nhât la 2R =

MN khi va chỉ khi MN nhỏ nhât hay MN la đoan vuông góc chung cua d va Ox.Đương thẳng d qua M(α).0; 0; 2), có vtcp u (α).0;1; 1)

Ox qua O(α).0; 0; 0), có vtcp i (α).1;0;0)

[u, i ] OM = (α).0; 0; -1)(α).0; 0; 2) = -2 0 nên d va Ox chéo nhau

Măt cầu (α).S) có tâm I (α).0; 1 ;1 ) , bán kính R =MN 2

Phương trình măt cầu (α).S): x2(α) y 1 ) 2(α) z 1) 2 1

2.2 Các bai toán cực trị liên quan đên vị trí cua đương thẳng, măt phẳng.

Bai toán 1:Cho hai điểm phân biệt A,B Viết

phương trình mặt phẳng (α)α)) đi qua A và cách B

một khoảng lớn nhất.

Lời giải:

Hoi H la hình chiêu vuông góc cua B lên măt phẳng

(α).α).), khi đó tam giác ABH vuông tai H va khoang

cách d(α).B; (α).α).)) = BH ≤ AB Vây d(α).B; (α).α).)) lớn nhât

băng AB khi A ≡ H, khi đó (α).α).) la măt phẳng đi qua

A va vuông góc với AB

Ví du 1: Viêt phương trình măt phẳng (α).α).) đi qua điểm D(α).1; -2; 3) va cách điểm

I(α).3; -1; -2) một khoang lớn nhât

Giải:

( cách điểm I(α).3; -1; -2) một khoang lớn nhât khi (α).α).) la măt phẳng đi qua D va vuông góc với DI

( nhân DI (α).2; 1; -5) lam vecto pháp tuyên

Phương trình măt phẳng(α).α).): 2(α).x -1) + 1(α).y +2) – 5(α).z -3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = 0

Ví du 2: Cho hai điểm A(α).2; 1; 3), B(α).1; -1; 1), goi (α).α).) la măt phẳng qua B

Trong các măt cầu tâm A va tiêp xúc với (α).α).), hay viêt phương trình măt cầu

(α).S) có bán kính lớn nhât

Giải:

Măt cầu (α).S) có bán kính R = d(α).A; (α).α).)) lớn nhât khi (α).α).) qua B va vuông góc với

AB BA (α).1; 2; 2) la véctơ pháp tuyên cua (α).α).)

R = AB=3

Phương trình măt cầu (α).S): (α).x -2)2 + (α).y -1)2 + (α).z – 3)2 = 9

Bai toán 2 : Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình

mặt phẳng (α)α)) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α)α)) lớn nhất

Lời giải:

Goi H la hình chiêu vuông góc cua A lên măt phẳng

(α).α).),

K la hình chiêu vuông góc cua A lên ∆

Ta có d(α).A; (α).α).)) = AH ≤ AK lớn nhât thì H≡ K,

khi đó (α).α).) la măt phẳng đi qua ∆ va vuông góc

với AK Hay (α).α).) qua ∆ va vuông góc với mp(α).∆, A).

Ví du 1: Cho ba điểm A(α).2; 1; 3), B(α).3; 0; 2); C(α).0; -2; 1) Viêt phương

trình măt phẳng (α).α).) đi qua hai điểm A, B va cách C một khoang lớn

(α).ABC) có véctơ pháp tuyên n [ AB, AC] (α) 1; 4; 5)

(α).α).)cóvéctơpháptuyên n [ n, AB] (α) 9 6; 3) 3(α).3; 2;1) Phương

trình (α).α).): 3(α).x– 2) + 2(α).y – 1) + 1(α).z – 3) = 0

3x + 2y + z – 11 = 0

Bai toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), lấy B không thuộc (α)α)) Tìm

đường thẳng ∆ nằm trong (α)α)) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Goi H la hình chiêu cua B lên ∆ ta

thây d(α).B; ∆) = BH ≤ AB

Vây khoang cách từ B đên ∆ lớn nhât khi

A ≡ H hay ∆ la đương thẳng năm trong

(α).α).) va vuông góc với AB

Goi K la hình chiêu vuông góc cua B lên (α).α).) khi đó d(α).B; (α).α).)) = BH ≥ BK

Vây khoang cách từ B đên ∆ nhỏ nhât khi K ≡ H hay ∆ la đương thẳng đi qua hai

điểm A, K

Ví du 1: Cho măt phẳng (α).α).): 2x – 2y + z + 15 = 0 va điểm A (α).-3; 3; -3).

Viêt phương trình đương thẳng ∆ năm trên (α).α).), qua điểm A va cách điểm B(α).2;3; 5)một khoang :

Giải:

Ta thấy (α).α).)có́ vé́ctơ phá́p tuyến n (α).2; 2;1)

1) Goi H la hình chiêu vuông góc cua B lên (α).α).)

∆ có véctơ chỉ phương u [ AB, n ] (α).16;11; 10)

Phương trình cua ∆: x+3

x 1 t

Ví du 2: Cho hai điểm A(α).2; 1; -1), B(α).-1; 2; 0) va đương thẳng d: y 0 z t

1) Viêt phương trình măt phẳng (α).α).) đi qua d va B

2) Viêt phương trình đương thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoang cách từ

A đên ∆1 lớn nhât

3) Viêt phương trình đương thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoang cách từ

A đên ∆2 nhỏ nhât

Giải: