SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véc tơ

Tuy nhiên đối với một số bài toán hình học không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh, Kho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

THANH HOÁ NĂM 2019

2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ 5

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về khoảng cách 6

và góc

*BÀI TOÁN 1 Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 6

*BÀI TOÁN 2 Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng 10

Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ 20loại C trở lên

1

1- MỞ ĐẦU:

1.1.Lí do chọn đề tài:

-Trong chương trình toán THPT, “ Hình học không gian” là một bộ môn tươngđối khó , bởi nó đòi hỏi phải vận dụng rất nhiều kiến thức tổng hợp cả trong mặtphẳng - không gian và cả kĩ năng tính toán Hơn nữa để có thể học tốt môn họcnày thì học sinh phải vẽ được hình Tuy nhiên đối với một số bài toán hình học

không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh, Khoảng

cách - góc là một trong những bài toán như vậy

- Trong những năm gần đây, câu hình học không gian trong đề thi Đại học, caođẳng tuy không được đánh giá ở mức độ khó nhưng vẫn là thử thách đối với họcsinh nên các em thường có tâm lí hơi sợ câu hỏi này, đặc biệt là một số em bịhổng kiến thức hình học ở lớp dưới Lí do vì các em này không có kỹ năng tốttrong việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính

- Thông thường các bài toán về khoảng cách -góc giải bằng phương pháp hình

học thuần túy đều đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ trên hình

để tìm ra khoảng cách -góc cần tính Nhưng đây lại là điểm yếu của một bộ phậnkhông nhỏ học sinh

-Phương pháp véctơ có thể giải một số bài toán về khoảng cách - góc mà không cần vẽ thêm đường phụ nào, không phải xác định khoảng cách-g óc trên hình nên có thể giải quyết vấn đề này cho học sinh.

Vì vậy tôi đã chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải một số bài

toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ”.

1.2.Mục đích nghiên cứu:

-Giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm chohọc sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian ,không còn "sợhình" đặc biệt là các bài tâp về góc và khoảng cách

-Giúp học sinh giải được tốt hơn bài tập về khoảng cách - góc mà không cần vẽ thêm đường phụ

-Cung cấp thêm cho học sinh khá giỏi một ứng dụng mới của phương pháp véctơ vì biết một vài phương pháp giải vẫn là chưa đủ Từ đó tạo hứng thú tìm tòi khám phá thêm các cách giải mới cho những học sinh có khả năng

học tốt hơn nhằm phát triển tư duy cho các em

2

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp véctơ và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập

1.4.Phương pháp nghiên cứu:

-Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi tìm tòi đúc rút kinh nghiêm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm

-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình hiệu quả áp dụng cúa SKKN

ĐN: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó.

+Nếu P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) thì

2.2 Thực trạng của vấn đề:

-Trong những năm gần đây,bài toán khoảng cách -góc có mặt trong đề thi đại

học ,cao đẳng tương đối nhiều ,chẳng hạn đề khốiB2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 …-Thời lượng 2 tiết đối với bài "khoảng cách " được quy định trong phân phốichương trình là hơi hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên cũng không cónhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải bài tập về khoảng cách

-Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình không gian lại càng sợ Thêm vào đó

do nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi các bài toán phải vẽthêm đường phụ như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,khoảng cách giữahai đường thẳng chéo nhau là rất lúng túng và thường đầu hàng vô điều kiện.Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học về góc - khoảng cách ,trongmột lớp chỉ có khoảng 10% số học sinh có thể giải được bài tập, 20% -> 25%giải được sau khi có hướng dẫn, gợi ý, còn lại đa số học sinh rất lúng túng,không xác định được phương hướng giải

-Phương pháp véctơ có thể tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phảng

mà không cần dựng được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần vẽ chính xác đoạn vuông góc chung, cũng không cần xác định thêm các khoảng cách trung gian khác như khoảng cách giưã đường thẳng và mặt phẳng song song hay giữa hai mặt phẳng song song…ngoài ra cũng tính luôn được góc giưã chúng mà không phải vẽ thêm đường phụ nào.

Do đó để giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽhình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian về

góc và khoảng cách, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học sinh

giải một số bài toánhình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương

*Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức về véctơ đặc biệt là :

+ Công thức tính độ dài véctơ, góc giữa 2 véctơ

+ Biểu diễn một véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng

4

+ Các phép toán véctơ, đặc biệt là tích vô hướng.

*Tổ chức rèn luyện kỹ năng định hướng giải các bài toán liên quan đến khoảng cách -góc:

+Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Bài toán 1: Tính khoảng cách -góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện:

Nội dung SKKN được triển khai thông qua 3 tiết:

Tiết 1:Ôn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết

+quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ.Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa

+ Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách-góc giữa hai đường thẳng chéo nhau và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa

Tiết 3:+Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập

+Nhận dạng bài toán tính khoảng cách-góc có thể giải được bằng phươngpháp véc tơ (hình đa diện có các góc phẳng ở đỉnh nào đó đã xác định và biết độdài các cạnh của các góc đó)

2.3.3-Nội dung thực hiện:

2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ

Bước 1: Chọn hệ véctơ cơ sở, biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo

ngôn ngữ véctơ

Bước 2 : Thực hiện yêu cầu bài tập thông qua việc biểu diễn các véctơ cần xét

theo hệ véctơ cơ sở, biến đổi các hệ thức theo yêu cầu bài toán

Bước 3: Từ kết quả bằng véctơ suy ra kết quả hình học tương ứng.

Lưu ý:

+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ

chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài) Từ đó tính tích

vô hướng của các véctơ cơ sở dễ dàng

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánvề khoảng cáchvà góc

*BÀI TOÁN 1 Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho mp (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC)

Phương pháp giải:

+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung

gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài)

5

Chẳng hạn :Đặt AB a , AC b ,

AM c

Gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó : MN AN AM ka lb c Do nên (ka lb c )b 0

MN (ABC)

Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).

Cho khối chóp S.ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a,

0

a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a

b,Chứng minh tam giác AMN vuông

Hướng dẫn,phân tíchcâu a:

+Các góc phẳng ở đỉnh S đều biết và tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trướcnên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: SA a , SB b, SC c thì tích vô hướng và độ dài cácvéctơ này đều tính được dễ dàng

+Muốn giải bằng phương pháp véc tơ chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:

Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB)

Vì H là điểm thuộc mp(SAB) nên SH k SA l SB ka lb

2 1

b, Ta có SM 3 b, SN 2c

2Suy ra AM SM SA a 3b ,

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Góc ABC BAD 90 0 , BA=BC=a,AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuônggóc của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn,phân tích:

Các góc phẳng ở A đều biết và bằng 90o ,AB,AD, SA có độ dài cho trước nênnếu chọn hệ véctơ cơ sở là: AB a,AD b, AS c thì tích vô hướng và độ dài cácvéctơ này đều tính được dễ dàng S

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

7

Ví dụ 4 :Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh

SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính khoảngcách từ S đến mp(ABC) của hình chóp

Bài giải:

8

64Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;

mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB 2a 3 và

SBC 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng (SAC) theo a

Bài 2:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

BAD 600 Các cạnh bên SA SC,SB SD a 3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng (SBC)

* BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 Đường thẳng d 1 đi qua A 1 , có véctơ chỉ phương u1 Cho đường thẳng d 2 đi qua A 2 , có véctơ chỉ phương u2 Tính khoảng cách và góc giữa d 1 , d 2

Phương pháp giải:

* Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2

Gọi P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2)

+Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách này ngắn gọn

hơn cách xác định góc trên hình rồi tính bằng hệ thức lượng trong tam giác nhất là với các bài toán cho nhiều đại lượng độ dài như a, b,h …

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BD BC, AB (BCD) AB=1, BC=BD, CD= 2 2

.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính khoảng cách và góc giữa

a.b b.c a.c 0 , a.a b.b 4 , c

Muốn giải bằng phương pháp véc tơ E

chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết

kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:

C

10

+ M là trung điểm của BC => 1

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD và SABE có chung cạnh AB nằm trong 2 mặt

phẳng vuông góc với nhau Biết AB=a Tính khoảng cách và góc giữa AC và

13

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA=a, CB=b,

SA=h vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm của AB

Nhận xét: Do bài toán cho ba đại lượng a,b,h nên tính góc giữa SD và AC theo

cách này đỡ phải tính toán hơn khi xác định góc bằng hình vẽ rồi dùng hệ thứclượng trong tam giác

Bài 4: Cho hình tứ diện đều ABCD M là trung điểm AD, O là trọng tâm tam

giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD

Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN

2.4.Hiệu quả của SKKN:

Trong các năm học từ 2013-2014 đến 2014-2015 ,tôi đã tiến hành thựcnghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệpđánh giá tương đối tốt

Liên tục trong các năm học từ 2015-2016 đến 2018-2019 tôi thực nghiệmvới học sinh trong các tiết dạy tự chọn Sau khi áp dụng phương pháp véctơ vào

15

giảng dạy ở một số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan Với một sốbài toán mà các em không xác định được khoảng cách và góc giữa hai đườngthẳng chéo nhau, áp dụng phương pháp véctơ các em đã có thể giải được Thậmchí một số em còn cảm thấy thích thú với phương pháp này hơn.Cụ thể:

Lớp 11A5 và 11A4 năm học 2015-2016

Lớp 11A3và 11A9 năm học 2016-2017

Lớp12A2;và 11A2 năm học 2017-2018

Lớp11A8và 11A2 năm học 2018-2019

* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra nhưsau:

Bài 1:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

BAD 600 Các cạnh bên SA SC,SB SD a 3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng (SBC)

Bài 2: Cho hình tứ diện đều ABCD M là trung điểm AD, O là trọng tâm

tam giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD

Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN

Tỉ lệ học sinh giải đúng Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm

*Sau khi đã rèn luyện cho học sinh phương pháp véctơ thì vẫn 2 bài tập

đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:

Tỉ lệ học sinh giải đúng Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm

bố trí dạy vào các buổi ôn tập

-Sau khi áp dụng nội dung SKKN trên lớp có thể định hướng cho học sinh giảimột số bài toán khác bằng phương pháp véctơ

16

3.2.Kiến nghị-đề xuất:

-Phương pháp véctơ trong thực tế còn có nhiều ứng dụng rất lớn và có thể giảiđược nhiều dạng toán khác nên tôi cũng mong muốn sau khi học thêm nội dungnày học sinh thấy hứng thú hơn với phương pháp véctơ trong quá trình giải toán.-Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng tronggiảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh họctập tốt hơn Tuy nhiên để đề tài được hoàn chỉnh hơn chắc chắn vẫn còn phảitiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm Vậy tôi rất mong được sự góp ý chântình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!.

XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Hà Thị Nguyệt

17

TÀI LIỆU THAM KHẢO

6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học của các

trường THPT,của các sở GD-ĐT trên cả nước

7 Các đề thi Đại học của Bộ giáo dục và đào tạo

18

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ

C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn

Cấp đánh Kết quả

đánh giá Năm học giá xếp loại

(Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) hoặc C)

1. Phương pháp thể tích giải SỞ

một số bài toán hình học GD&ĐT C 2009-2010

Thanh hóakhông gian

-19