SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

Lý do chọn đề tài: Nguyên hàm và tích phân là một trong những phần rất quan trọng củachương trình toán ở trường phổ thông.. Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú vàcông cụ

I Các dạng toán cơ bản dùng định nghĩa, công thức để tìm nguyên hàm và 4tích phân

III Phương pháp lấy tích phân từng phần, nguyên hàm từng phần 7

VI Tích phân các hàm số lượng giác, hàm số chứa căn thức 13

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Nguyên hàm và tích phân là một trong những phần rất quan trọng củachương trình toán ở trường phổ thông Nó có mặt trong tất cả các đề thi từ kỳ thiTHPT Quốc gia đến các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Vì thế nguyên hàm và tíchphân là một chuyên đề được nhiều người rất quan tâm Làm thế nào để dạy phầnnguyên hàm và tích phân một cách hiệu quả là vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toánrất trăn trở suy nghĩ Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú vàcông cụ để giải chúng rất đa dạng Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm vàtích phân, học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, cáckiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năng được rèn luyện, tư duy

và khả năng sáng tạo được phát huy, bởi vì các phương pháp giải toán nguyên hàm

và tích phân không theo một khuôn mẫu nào cả Có thể nói nguyên hàm và tíchphân là một công cụ sắc bén của toán học

Để giải bài toán về nguyên hàm và tích phân có thể xuất phát từ nhiều kiếnthức khác nhau, bằng nhiều hướng đi khác nhau Vì vậy, nếu không phân tích đượcđầy đủ và chi tiết các dữ kiện và điều kiện của bài toán, nếu khả năng tổng hợpkém, khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa không được rèn luyện thì việc địnhhướng và tìm lời giải cho bài toán nguyên hàm và tích phân sẽ rất khó khăn

Trên quan điểm hoạt động, trong đề tài này tôi muốn nghiên cứu, hướng dẫnhọc sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề raphương pháp giải điển hình

Tuy nhiên các phương pháp trên không phải thích hợp cho mọi bài toán vềnguyên hàm và tích phân Tuy vậy số lượng bài tập có thể áp dụng các phươngpháp này không phải là ít Các ví dụ minh họa trong đề tài này chứng tỏ điều đó

Với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình.

2 Mục đích:

- Rèn luyện kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp

- Rèn luyện tư duy logic, khả năng sáng tạo, tính cẩn thận chính xác, tính kỷ luật cho học sinh

- Ôn tập các kiến thức về nguyên hàm và tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân trong chương trình toán phổ thông.

- Nghiên cứu thực trạng dạy học và giải bài tập phần nguyên hàm và tích phân

4 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh ôn thi THPT Quốc gia và xết tuyển đại học, cao đẳng trường THPT

2.1 Định nghĩa: Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích

phân của f(x) trên [a,b] được xác định bởi

b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) b a

2.2 Các tính chất cơ bản và kết luận quan trọng

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DÙNG ĐỊNH NGHĨA - CÔNG THỨC ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.

1 dx

1.

I =

0x 1 x2Đặt x = cost dt = - sintdt

và I - J = sint cos tdt d(sint cos t

0 sint cost 0 sint cost

= - ln sint + cost / 2 0 I=J

3 x = 3 thì t = 4

Khi đó: I = 0

34 x2 dx do f(x) = 3 4 x2 không liên tục trên [0,3]

Nên không đổi biến x = 2 sint để tính được Do đó trước khi đổi biến nênchú chú ý liên tục của hàm số Hoặc với hàm số f(x) = sin22x + 1 do t=tgx thì t k'

ct trên t 0, /2J, nên không tính được

3.1 Nguyên hàm: u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì.

u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u'(x)dx

I1 = 1/44e x dx

I3= 1e xlnx

dxx

HD: u = x2 u' = 2x

v'(x) = exsinx v = 12 ex (sinx - cox).

IV PHƯƠNG PHÁP CẶP ĐÔI:

2Với x = 0 Þ t = p/2 ; x = p/2 Þ t = 0

0 sin5 2 t dt / 2 cos5 tdtKhi đó: I = -

23x 1 (x 1)(2x 1)2x

A B 0 ABD0

Đối với dạng R(sinx, cosx)dx trong đó R là hàm hữu tỉ

ĐB: Có thể dùng phép thế cosx = t nếu R lẻ đối với sinx &sinx = t

Nếu k là d với cosx, tgx = t nếu k chẵn với sinx &cosx

đối với I1 dùng phép thế: x = asint hoặc x =acost

I2 dùng phép thế: x = atgt hoặc x = acotgt

Hàm dưới dấu tích phân là chẵn đối với sinx & cosx nên đặt tgx = t

Þ I5= - (1 - t2) t-4/3dt = = 3cosx 5cosx cos x C

Ví dụ 6 sin2 xcosxdx 1 (1 cos4x)dx 1x 1 sin4x C

Phép thế lượng giác với hàm số vô tỉ

thì đổi biến x = Acost hoặc x = Asint

0

2 / 2

2

22

2 2 u2 1 u 1 u2

Ví dụ 3: I4 = xsin

x

dx Đặt x = p - t Þ dx = - dt; x = 0 thì t = p2

Trong đề tài này, tôi đã trình bày một số ý kiến về vấn đề Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình.

Những kết quả nghiên cứu của đề tài cho phép tôi tin rằng bồi dưỡng chohọc sinh khả năng phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thựctiễn, giáo viên đã góp phần thực hiện các mục đích yêu cầu của việc dạy học theohướng phát triển năng lực cá nhân, đặc biệt phát triển năng lực trí tuệ của học sinh,rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt và khả năng sáng tạo

Song đề tài cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sựgóp ý chân thành từ các đồng nghiệp Tôi xin cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018

Tôi cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của

người khác

Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà

xuất bản Giáo dục;

[2] Bài tập Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục;

[3] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh,

Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất bản Giáo dục;

[4] Bài tập Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn

Xuân Liêm - Nhà xuất bản Giáo dục;

[5] Các bài giảng luyện thi môn toán - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy,

Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất bản Giáo dục;

[6] Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn

Vĩnh Cận - Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;

[7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;

[8] Đề thi tuyển sinh môn Toán Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải

-Nhà xuất bản Giáo dục;

[9] Các đề thi đại học các năm trước;

[10] Các đề thi thử đại học các năm trước;

[11] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10, 11, 12 của các tỉnh những năm trước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH NHẬN DẠNG VÀ ĐỀ RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH

Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Hiệu trưởng

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ- NĂM 2018.