SKKN hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia

Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đốivới học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng.. Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình ch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH BÀI TOÁN THIẾT DIỆN TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VÀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trần Thị Chinh

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

1

1.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 3

Kỳ thi HSG cấp tỉnh từ năm 2018 được Sở Giáo Dục và Đào tạo thay đổitheo một hướng mới, khi học sinh tham gia là học sinh khối 11 Trong đề thi mônToán, kiến thức lớp 11 chiếm tỷ trọng lớn Một trong những bài toán khó, có tínhphân hóa cao trong đề thi là bài toán thiết diện.

Ngoài ra trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên toàn quốc,thì bài toán thiết diện xuất hiện nhiều và có mức độ tương đối khó, hoặc khó

Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đốivới học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quanđến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi thử HSGcấp tỉnh và thi thử THPT Quốc gia

Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầungười giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linhhoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều

Với những lý do trên, tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm đề tài: “Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT Quốc gia”.

1.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Thực trạng hiện nay ở các trường trung học phổ thông nói chung và trường THPT Triệu Thi Trinh nói riêng vấn đề dạy toán cho học sinh lớp 11, nhằm chuẩn

bị tốt cho kỳ thi HSG cấp Tỉnh và thi THPT Quốc gia, trước sự thay đổi về

phương thức thi, được đặt lên một cách cấp bách Trong năm học này tôi được nhàtrường giao nhiệm vụ dạy hổ trợ cho giáo viên đứng đội tuyển và lớp chọ Toán của trường

Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không gian,cho rằng rất khó thực hiện được

Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự liên

hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành khó đốivới các em

Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên

đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài toán thiếtdiện, giúp các em định hướng được hướng giải cho dạng bài tập này, vì vậy tôi viếtsáng kiến kinh nghiệm này

1.3 Đối tượng nghiên cứu

3

Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Phương pháp thống kê

2 Giải quyết vấn đề

4

2.1 Một số phương pháp dựng thiết diện (trình bày trong phần phụ lục 1)

2.2 Bài toán liên quan đến thiết diện

Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất

2.2.1 Một số lưu ý:

- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiếtdiện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụngtất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng

- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos

- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụngcác phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy,Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học…

- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a i , i = 1,2,3…

a

1 a 2 a n n a a a , đẳng thức khi a 1 = a 2 =…= a n

2.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của CA, CB P là điểm trên cạnh BD sao cho BP 2PD Tính diện tích Sthiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP

Giải:

Trong mặt phẳng BCD , gọi I là giao điểm của NP với CD Trong mặt phẳng

ACD , gọi Q là giao điểm của AD và MI Suy ra Q là giao điểm của AD với MNP Khi đó, tứ giác MNPQ là thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP

Trong tam giác BCI ta có P là trọng tâm của tam giác suy ra D là trung điểm của CI

Trong tam giác ACI có Q là trọng tâm của tam giác nên QD QA2 .

Ta có IN IP IM IQ 2

3 PQ / /MN .

Suy ra MNPQ là hình thang với đáy lớn MN

Ta có: AQ4a, AM 3a MN ,PQ2a. Áp dụng định lí cosin trong tam giác MAQ ta có:

MQ 2 AM 2 AQ 2 2 AM AQ cos 60 0 16 a 2 9 a 2 12 a 213a 2 MQ a

13

Tương tự ta cũng tính được NP a 13

5

Dễ thấy MNPQ là hình thang cân Do đó:

Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a Trên tia đối của các tia CB, DA lần

lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a , DF a Gọi M là trung điểm của đoạn AB.

Tính diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF

Giải:Trong mặt phẳng ABC , gọi H là giao điểm của ME với AC

Trong mặt phẳng ABD , gọi K là giao điểm của MF và AD

Do đó tam giác MHK là thiết diện của tứ diện cắt bởi MEF

Dễ thấy H ,K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABE và ABF

MH MK Vậy tam giác MHK cân tại M

Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH :

6

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với

AB BC a,AD 2a ; SA ABCD và SA 2a Gọi M là một điểm trên cạnh

AB , α là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB Đặt AM x 0 x a

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi α

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

Thiết diện là tứ giác MNPQ

MQ BC MQ NP nên tứ giác MNPQ là hình thang.

b) Ta có

NP BC

7

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,

SA ABC và SA 2a Gọi α là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC.a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi α

b) Tính diện tích của thiết diện này

Thiết diện là tam giácIBH

b) Do BI SAC IB IH nên ΔIBHIBH vuông tại I A

BI a 23

( đường cao của tam giác đều cạnh a )

B

Hai tam giác CHI và CAS có góc C chung nên chúng đồng dạng Từ đó suy ra

5 5 .

AC2 4a 2 a2 5Vậy S BIH 1 a 3 a 5 a 2 15

8

Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB

đều Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M songsong với SA và SB

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

9

A M

Ví dụ 6: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a M và P là hai điểm di động trênPcác

cạnh AD và BC , sao cho MA PC x , 0 x a Một mặt phẳng qua MP song

song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện C

a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân

b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất

Tương tự ta cũng tính được NP 3x23ax a2 MP NQ Vậy MNPQ là

hình thăng cân Dễ thấy MN x , PQ a x , đường

cao hình thang h 1 8x 2

8ax 3a2.2

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang,

AB 3a , AD CD a Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và

SA 2a , mặt phẳng song song với SAB cắt các cạnh

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân

b) Đặt x AM0 x a Tính x để MNPQ là tứ giác ngoại tiếp

M,N,P,Q

10

được một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó.

Mặt khác SAB cân tại S SASB

MQ NP * * Từ * và * * suy ra MNPQ là hình thang cân.

b) MNPQ là tứ giác ngoại tiếp MQ NP MN PQ

Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối

xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B

a Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)

b Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a

Giải:

a Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng.

11

Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M Tam giác IMN là thiết diện

a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)

b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi

c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M

và AC, qua M kẻ đường thẳng và song

song với AC cắt BC tại N Mặt phẳng M Q

(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường

thẳng và song song với BD cắt AD tại Q

MN MQ AC

AB MB BD

AB MA MB MA BD AC *

Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*)

c Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là

SMNPQ = MN.MQ.sinα = BD.AC

AB2 MA.MB.sinα

Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất

Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay M làtrung điểm AB

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam

giác vuông tại A M là điểm bất kì thuộc AD (khác A D) Xét mặt phẳng (P) qua

M song song SA CD

a Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?

b Tính diện tích thiết diện theo a b với AB = a SA = b và M là trung điểm AB.

a Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung,

(P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song

song với SA cắt SD tại Q Tương tự qua M kẻ

đường thẳng và song song với CD cắt BC tại

N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD P

cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ. A

Ví dụ 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a Gọi

M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi qua M

và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( a

3 3x a

2 3 ) a

Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)

b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x

Tìm x để thiết diện đó lớn nhất

Giải:

13

a Theo giả thiết M thuộc OA’.

Ta có SO (ABC)

SO AA’, tam giác ABC đều nên

BC AA’ Vậy (P) qua M song song

Tương tự kẻ qua M đường thẳng

song song với SO cắt SA’ tại N, qua

N kẻ đường thẳng song song với BC

Ta có thiết diện là tứ giác EFGH.

b Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang cânđáy HG, EF Khi đó: SEFGH = 1

Gọi O là tâm hình lập phương và E là

tâm đáy ABCD Đặt AB = a

Do các mặt đối diện của hình lập phương

song song nên (BD’M) cắt các B' mặt bên theo

các giao tuyến song song Thiết diện là hình

Có BD’ = a 3 Smin MHmin Do BD’ và AA’ chéo nhau nên MH ngắn nhất khi

và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của AA’ và BD’

Cách xác định MH: Ta có AE (BB’D’D) nên AE BD’, AA’ (ABCD) nên AA’

AE Từ O kẻ OF // AE (F AA’) thì OF chính là đoạn vuông góc chung của AA’ vàBD’ Ta có MH OF hay M là trung điểm AA’

Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

tại B AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2 Một mặt phẳng (P)

đi qua điểm A và vuông góc với CA’

a Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P)

b Tính diện tích thiết diện

Mp (P) chứa AE và song song với BH.

Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng qua

A và song song với BH cắt BC tại I, nối

IE cắt BB’ tại F, nối AF ta có thiết diện

là tam giác AEF.

Gọi là góc giữa (AEF) và (ABC) Ta có ABC là hình chiếu vuông góc

của AEF trên mp(ABC) Do vậy: S ABC S AEF cosS AEF S

ABC

cos

Ta có CAE ngoài ra CAE CA' A (cùng phụ với góc A’CA)

15

cos AA' h ; SABC = 1 a

c

A ' C

Ví dụ 14: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường

thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A Lấy S’đối xứng với S qua A gọi M là trung điểm SC Xác định thiết diện tạo bởi mặtphẳng (P) đi qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiết

diện đó khi SA = a 2 .

+ Dựng thiết diện: Trong tam giác SAC

Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC) theo Q

giao tuyến qua N và song song với BC N E

theo giao tuyến qua M và song song với P

BC cắt SB tại Q Thiết diện là tứ giác B

Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giác

SCS’ Xét tam giác ACB vuông cân tại C suy ra AC CB a 2

1 a 2 a 2 a 5 5a2 10

16

Ví dụ 15: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a cạnh bên a 6

Xét đường thẳng d đi qua A và song song với BD Gọi (P) là mặt phẳng qua d vàC’

a Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diệntích thiết diện theo a

b Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu của tứ giác AMC’N trên (ABCD) gọi

là góc giữa (P) và (ABCD) theo công thức diện tích hình chiếu ta có:

H N

(P) là mặt phẳng qua A và song song với BD Trong

tam giác SAC kẻ AH SC, AH cắt SO tại E

Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N Nối AM,

AN, MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN.

*) Do BD (SAC) MN (SAC) MN AH

a Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi (P) qua B’ và vuông góc với A’C

b Tính diện tích của thiết diện nói trên

Giải:

18

a Gọi E là trung điểm AC ta có: A M E C

Gọi E’ là trung điểm A’C’ ta có

(P) (A’B’C’) = B’E’ Gọi M là trung điểm

AE Ta chứng minh E’M vuông góc A’C

Thật vậy: Gọi O là giao điểm EE’ và A’C A' E' C

' B'

Ta có EE’ = A’E’ = a OE’ = ME = a nên A 'E 'O MEE' (cgc)

2

E 'ME ME'E 90

Suy ra: E’M A’C hay (P) (AA’C’C) = E’M

Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB tại N

Thiết diện là hình thang MNB’E’.

b Do BE (ACC’A’) NM (ACC’A’) MN ME Suy ra

MNB’E’ là hình thang vuông chiều cao ME’.

3 KẾT LUẬN

3.1 Kết quả của đề tài:

Tôi đã giới thiệu và áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT Quốc gia” cho học sinh đội

tuyển Toán và các lớp 11B1, 11B2 tôi dạy và cho đồng nghiệp trong trường Kếtquả thu được có thể nói rất khả quan: sau ba tháng đa số các em làm bài có kết quảtốt hơn so với trước khi áp dụng đề tài

Cụ thể: 4 em đội tuyển Toán đều làm tốt phần này, thu được 1 giải 3, 1 kk

- Nhà trường tạo điều kiện tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy.Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên có thể trao đổi chuyên môn, nhiệp vụ, từ đónâng cao tay nghề

- Nhà trường tạo điều kện có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôntập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Nhà trường nên động viên các thầy giáo cô giáo nghiên cứu tìm tòi, trang bịcho đội tuyển học sinh giỏi, cho học sinh nghèo dưới dạng phần thưởng, phầnquà tạo điều kiện để các em học tốt

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKNcủa mình viết, không sao chép của người khác

Trần Thị Chinh

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa hình học lớp 11.

[2] Sách bài tập hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao.

[3] Đề thi học sinh giỏi lớp 11 các trường trong và ngoài tỉnh.

[4] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018.

[5] Các tài liệu trên mạng internet.

21