SKKN phương pháp giải và các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp trong chương trình toán THCS

2.4 Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo d c, v i ệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ ụ ớ

b n thân, đ ng nghi p và nhà tr ả ồ ệ ườ ng ……… 15

1.M Đ U Ở Ầ 1.1 Lí do ch n đ tài: ọ ề

Qua nhi u năm gi ng d y môn Toán tr ề ả ạ ở ườ ng THCS , trong ch ươ ng trình sách giáo khoa không đ c p đ n nhi u các d ng toán “ Tìm giá tr l n ề ậ ế ề ạ ị ớ

nh t, nh nh t c a m t bi u th c” nh ng trong các kì thi HSG b c THCS và ấ ỏ ấ ủ ộ ể ứ ư ậ các kì thi tuy n sinh vào tr ể ườ ng THPT , đ c bi t là thi vào các tr ặ ệ ườ ng THPT chuyên th ườ ng g p nh ng bài toán yêu c u tìm GTLN,GTNN c a m t bi u ặ ữ ầ ủ ộ ể

th c Vì v y các bài Toán c c tr r t có ý nghĩa đ i v i các em HS THCS b c ứ ậ ự ị ấ ố ớ Ở ậ

h c này ch a có lí thuy t đ o hàm nên ph i b ng nh ng cách gi i thông ọ ư ế ạ ả ằ ữ ả minh, tìm ra nh ng bi n pháp h u hi u và phù h p v i ki n th c toán h c ữ ệ ữ ệ ợ ớ ế ứ ọ ở

b c THCS thì HS m i hi u đ ậ ớ ể ượ c.

V i nh ng ý nghĩa nh v y, vi c h ớ ữ ư ậ ệ ướ ng d n cho các em n m đ ẫ ắ ượ c

ph ươ ng pháp gi i, các d ng bài này là đi u vô cùng quan tr ng Qua th c ả ạ ề ọ ự

t gi ng d y, b n thân tôi đã luôn c g ng tìm tòi và nghiên c u tài li u, ế ả ạ ả ố ắ ứ ệ tích lũy đ ượ c m t s kinh nghi m đ vi t nên sáng ki n kinh nghi m v i đ ộ ố ệ ể ế ế ệ ớ ề tài “Ph ươ ng pháp gi i và các d ng toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t ả ạ ị ớ ấ ị ỏ ấ

th ườ ng g p trong ch ặ ươ ng trình Toán THCS”

1.2 M c đích nghiên c u: ụ ứ

Thông qua đ tài, giúp giáo viên nâng cao năng l c t nghiên c u, ề ự ự ứ

đ ng th i v n d ng t ng h p các tri th c đã h c, m r ng, đào sâu, hoàn ồ ờ ậ ụ ổ ợ ứ ọ ở ộ thi n h n v ki n th c chuyên môn ệ ơ ề ế ứ

T đó giúp h c sinh gi i quy t các bài Toán c c tr t d đ n khó Rèn ừ ọ ả ế ự ị ừ ễ ế cho h c sinh kh năng d đoán , tính sáng t o , tính t giác, tích c c ọ ả ự ạ ự ự

1.3 Đ i t ố ượ ng nghiên c u: ứ

-Nghiên c u các ph ứ ươ ng pháp gi i và các d ng Toán tìm giá tr l n nh t , ả ạ ị ớ ấ giá tr nh nh t th ị ỏ ấ ườ ng g p trong ch ặ ươ ng trình Toán THCS.

-Nghiên c u các tài li u tham kh o có liên quan đ n đ tài ứ ệ ả ế ề

-T ng k t kinh nghi m đã gi ng d y h c sinh l p 8,9 ổ ế ệ ả ạ ọ ớ

1.4 Ph ươ ng pháp nghiên c u: ứ

-Đi u tra th c t h c sinh v h ng thú trong h c Toán ề ự ế ọ ề ứ ọ

-Đi u tra m c đ ti p thu c a h c sinh ề ứ ộ ế ủ ọ

-T ng h p, h th ng t vi c d y b i d ổ ợ ệ ố ừ ệ ạ ồ ưỡ ng h c sinh gi i, tài li u tham ọ ỏ ệ

kh o, báo Toán h c tu i tr , Toán tu i th … ả ọ ổ ẻ ổ ơ

- Đi u tra, kh o sát, th nghi m và t ng k t kinh nghi m d y c a giáo viên ề ả ử ệ ổ ế ệ ạ ủ qua các năm gi ng d y ả ạ

2 N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M Ộ Ế Ệ 2.1 C s lí lu n: ơ ở ậ

*Nh ng ki n th c v lí thuy t liên quan đ n đ ữ ế ứ ề ế ế ề

tài: a Giá tr l n nh t , nh nh t c a m t hàm s : ị ớ ấ ỏ ấ ủ ộ ố

Cho hàm s f(x) xác đ nh trên mi n (D) ố ị ề

a)M đ ượ c g i là giá tr l n nh t c a f(x) trên mi n (D) n u nh hai đi u ọ ị ớ ấ ủ ề ế ư ề

ki n sau đ ng th i đ ệ ồ ờ ượ c th a mãn: ỏ

∃ ∈ (x,y, ) (D)

1 f(x,y, ) ≤ M 0 0

, ) (D) sao

cho f(x0, y0 ) = M.

Ký hi u : M = Max f(x,y, ) v i ệ ớ (x,y, ) (D)

2.2 Th c tr ng v n đ tr ự ạ ấ ề ướ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m: ụ ế ệ

Qua k t qu kh o sát ch t l ế ả ả ấ ượ ng th y h c sinh không h ng thú v i ấ ọ ứ ớ

d ng toán này đ c bi t r t ít h c sinh bi t ti p c n d ng toán m t cách ạ ặ ệ ấ ọ ế ế ậ ạ ộ

Ti m năng c a h c sinh v môn toán ch a đ ề ủ ọ ề ư ượ c khai thác h t ế

Th c t ch ự ế ươ ng trình Toán THCS ch a xây d ng hoàn ch nh v n i ư ự ỉ ề ộ dung và ph ươ ng pháp c a m t s d ng Toán khó, th ủ ộ ố ạ ườ ng ch mang tính ỉ

2.3 a Các ph ươ ng pháp c b n đ gi i bài toán tìm giá tr l n nh t, ơ ả ể ả ị ớ ấ giá tr nh nh t c a bi u th c, hàm s : ị ỏ ấ ủ ể ứ ố

Ta có : B 1 = a + b(a−b) = b + (a-b) + b(a−b) b (a−b)

Côsi) B 1 ≥ 3 ⇒ B 1 min = 3 ⇔ b = a-b = b(a−b) ⇔ {a=2¿¿¿¿

1

V y : B ậ 1 min =

2.3.a.2 Ph ươ ng phá p đ t n ph ặ ẩụ :

⇔

2.3.a.3 Ph ươ ng pháp mi n giá tr hàm s : ề ị ố

Trong m t s tr ộ ố ườ ng h p đ c bi t, bi u th c đ i s đã cho ch có th ợ ặ ệ ể ứ ạ ố ỉ ể

có m t ho c hai bi n s và đ a đ ộ ặ ế ố ư ượ c v d ng tam th c b c 2 thì ta có th ề ạ ứ ậ ể

m t giá tr nào đó c a f(x) v i x (D) Đi u này có nghĩa là ph ộ ị ủ ớ ề ươ ng trình

ph ươ ng trình f(x)=y 0 (x là bi n, coi y ế 0 là tham

s ), đi u ki n có nghi m th ố ề ệ ệ ườ ng đ a đ n b t đ ng th c sau: m ≤ y ư ế ấ ẳ ứ 0 ≤M

T đó ừ ⇒ Min f(x) = m v i x ớ ∈ D.

Max f(x) = M v i x ớ D.

⇒ Các ví d minh ho ụ ạ :

∈

2.3.a.4 Ph ươ ng pháp xét kho ng giá tr : ả ị

Có nhi u bài toán n u ta ch s d ng các phép bi n đ i t ề ế ỉ ử ụ ế ổ ươ ng đ ươ ng, các b t đ ng th c c b n ph ấ ẳ ứ ơ ả ươ ng pháp đ i bi n hay bi u th c ph , th m ổ ế ể ứ ụ ậ chí ngay c khi s d ng ph ả ử ụ ươ ng pháp mi n giá tr hàm s , vi c tìm c c tr ề ị ố ệ ự ị

v n g p r t nhi u khó khăn có khi không th tìm đ ẫ ặ ấ ề ể ượ c Nh ng khi ta bi t ữ ế cách xét t ng kho ng h p lý (có s d đoán) thì vi c tìm đ ừ ả ợ ự ự ệ ượ ự c c c tr tr ị ở nên đ n gi n ơ ả

Ta c n ph i ch ng minh công th c (*) đúng v i (n+1) nghĩa là ph i ch ng ầ ả ứ ứ ớ ả ứ

(n+1)2minh : 2n+1 < 1 + 1) 2 < 2 n+1 (1)

Trong các bài toán xét c c tr c a bi u th c đ i s n u bi u th c ự ị ủ ể ứ ạ ố ế ể ứ ở

d ng là t ng hi u c a căn b c hai c a các tam th c thì ta có th đa bài toán ạ ổ ệ ủ ậ ủ ứ ể xét c c tr c a các bi u th c đ i s sang xét đ dài c a các đo n th ng ự ị ủ ể ứ ạ ố ộ ủ ạ ẳ

c) Khi tìm c c tr c a m t bi u th c, có khi ta thay đi u ki n đ bi u ự ị ủ ộ ể ứ ề ệ ể ể

th c này đ t c c tr b ng đi u ki n t ứ ạ ự ị ằ ề ệ ươ ng đ ươ ng là bi u th c khác đ t c c ể ứ ạ ự

D ng 2.1 Bài toán t ng quát: ạ ổ

Cho tam th c: P(x) = ax ứ 2 + bx + c (a, b, c là h ng s , a ằ ố 0 ).

a) Tìm GTLN, GTNN c a P khi a > 0 ủ

b) Tìm GTLN, GTNN c a P khi a < 0 ủ

8

V i d ng toán này ta có th h ớ ạ ể ướ ng d n h c sinh phân tích đ xu t ẫ ọ ể ấ

hi n h ng đ ng th c cũng đ ệ ằ ẳ ứ ượ c nh ng đ i v i đ i t ư ố ớ ố ượ ng h c sinh trung ọ bình ta có th v n d ng bài toán t ng quát thì h c sinh sẽ th c hi n đ ể ậ ụ ổ ọ ự ệ ượ c

d dàng h n t đó các em có th t tin h n b n thân t đó các em sẽ có ễ ơ ừ ể ự ơ ả ừ

h ng thú h n v d ng toán này ứ ơ ề ạ

D ng 2.2 Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c là đa th c nhi u bi n ạ ủ ể ứ ứ ề ế

D ng này khi m i nhìn th y đ ra h c sinh th ạ ớ ấ ề ọ ườ ng th y khó khăn vì ấ

đa th c có nhi u bi n không bi t ti n hành th nào Do đó giáo viên c n ứ ề ế ế ế ế ầ

1 (cy d ) Suy ra GTNN, GTLN c a f(x,y) ( khi x = ủ 2 và y = - q.)

10

minA = 2 khi và chi khi x = 2.

Max A= 4 khi và ch khi x = ỉ 2

11

minA = 2 khi và ch khi x = y = ỉ 2

Cách 2: Bi u th y theo x r i đ a v tam th c b c hai đ i v i x. ể ị ồ ư ề ứ ậ ố ớ

*M t s sai l m th ộ ố ầ ườ ng g p khi gi i bài toán c c tr : ặ ả ự ị

1 Sai l m khi s d ng nhi u b t đ ng th c khác nhau ầ ử ụ ề ấ ẳ ứ

L i có: ạ 2 2 (2 )

13

Ta có : A = 4 + x +y x y+

Khi đó: x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy 1 - 2 = 2 (1)

14

1 1 2 1 2 8 1 25

x 2 y 2 x 2 y2 xy (2) T (1) và (2) =>A 8 + ừ 2+4 = 2

=>Min A = 2 khi x=y =2

3 Sai l m trong ch ng minh đi u ki n 1: ầ ứ ề ệ

Phân tích sai l m: ầ K t qu đúng nh ng l p lu n sai ch cho r ng “ A có ế ả ư ậ ậ ở ỗ ằ

tử không đ i nên đ t GTLN khi m u đ t GTNN” mà ch a đ a ra nh n xét ổ ạ ẫ ạ ư ư ậ

2.4 Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo ệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ

d c, b n thân, đ ng nghi p và nhà tr ụ ả ồ ệ ườ ng :

Sau khi đ a ra nh ng bài toán này h ư ữ ướ ng d n cho h c sinh, tôi kh o ẫ ọ ả sát thu l i k t qu nh sau: ạ ế ả ư

Đ n v ơ ị L p 8;9 ớ H ng thú v i ứ ớ Bi t cách ti p ế ế

d ng toán ạ c n d ng toán ậ ạ

T ng s ổ ố 150 h c sinh ọ 100 h c sinh ọ 80

Qua b ng trên và b ng kh o sát ban đ u ta th y ch t l ả ả ả ầ ấ ấ ượ ng h c sinh ọ

đ ượ c tăng lên m t cách rõ r t: ộ ệ

H ng thú v i d ng toán: tăng t 50 HS lên 100 HS ( 33,3% lên 66.6%) ứ ớ ạ ừ

Bi t cách ti p c n d ng toán: tăng t 30HS lên 80HS ( 20% lên ế ế ậ ạ ừ

15

Thông qua b ng s li u cho th y sáng ki n này có tính ng d ng và ả ố ệ ấ ế ứ ụ mang l i hi u qu cho vi c h c t p c a h c sinh ạ ệ ả ệ ọ ậ ủ ọ

3 K T LU N , KI N NGH : Ế Ậ Ế Ị

3.1 K t lu n: ế ậ

Qua nhi u năm gi ng d y môn Toán THCS nói chung và Toán 8 , 9 nói ề ả ạ riêng tôi nh n th y d ng Toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t là ậ ấ ạ ị ớ ấ ị ỏ ấ

d ng Toán hay, khó, ít ph bi n nh ng th ạ ổ ế ư ườ ng xu t hi n nhi u trong các ấ ệ ề

đ thi HSG Vì v y tôi đã tìm tòi nghiên c u đ a ra m t s ph ề ậ ứ ư ộ ố ươ ng pháp

h ướ ng d n cho h c sinh ti p c n d ng toán này.Tôi nh n th y h c sinh ẫ ọ ế ậ ạ ậ ấ ọ

ng thú h n và h c t p hi u qu h n.

Qua vi c nghiên c u đ tài giúp b n thân nâng cao đ ệ ứ ề ả ượ c ki n th c, ế ứ nâng cao nghi p v , b i d ệ ụ ồ ưỡ ng h c sinh gi i có hi u qu Ngoài ra còn ọ ỏ ệ ả

giúp b n thân nâng cao ph ả ươ ng pháp t h c , t nghiên c u, t b i ự ọ ự ứ ự ồ

d ưỡ ng, đ có th ti p t c nghiên c u các v n đ khác t t h n trong su t ể ể ế ụ ứ ấ ề ố ơ ố quá trình d y h c c a mình ạ ọ ủ

Trong quá trình nghiên c u không tránh kh i s sai sót và nh ng h n ứ ỏ ự ữ ạ

ch mong s chia s và thông c m c a quí b n đ c, mong s góp ý chân ế ự ẻ ả ủ ạ ọ ự thành c a đ ng nghi p đ đ tài ngày càng hoàn thi n h n Tôi xin chân ủ ồ ệ ể ề ệ ơ thành c m n! ả ơ

3.2 Ki n ngh : ế ị

Sau khi ng d ng đ tài trên đ d y h c các l p 8,9 tôi th y ph n ứ ụ ề ể ạ ọ ớ ấ ầ

l n các em đã tr nên h ng thú v i các d ng toán tìm giá tr l n nh t, giá ớ ở ứ ớ ạ ị ớ ấ

tr nh nh t Và nhi u em đã đi sâu tìm hi u và say mê v i môn Toán Vì v y ị ỏ ấ ề ể ớ ậ tôi r t mong đ ấ ượ ự c s góp ý chân thành c a đ ng nghi p và các nhà qu n lý ủ ồ ệ ả giáo d c đ đ tài đ ụ ể ề ượ c hoàn thi n h n, đ có th ph bi n r ng rãi h n ệ ơ ể ể ổ ế ộ ơ cho đ ng nghi p trong t nh cũng nh c n ồ ệ ỉ ư ả ướ c.

Tôi xin cam đoan sáng ki n kinh nghi m c a mình vi t không sao chép ế ệ ủ ế

Tài li u tham kh o ệ ả

1 Toán nâng cao và các chuyên đ đ i s 8 NXB Giáo D c ề ạ ố ụ

2 M t s v n đ phát tri n toán 8 NXB Giáo D c ộ ố ấ ề ể ụ

3 M t s v n đ phát tri n toán 9 NXB Giáo D c ộ ố ấ ề ể ụ

4 225 bài toán ch n l c Đ i s NXB Đ i h c qu c gia ọ ọ ạ ố ạ ọ ố

5 M t s t p chí toán h c tu i th NXB Giáo D c ộ ố ạ ọ ổ ơ ụ

6 Tuy n ch n theo chuyên đ toán h c tu i tr NXB Giáo D c ể ọ ề ọ ổ ẻ ụ

7 Th c hành gi i toán NXB Giáo D c ự ả ụ

8 M t s đ thi h c sinh gi i ộ ố ề ọ ỏ