SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

I.Mở đầu1.1.Lí do chọn đề tài Trong dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và pháttriển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vậndụng kiến

I.Mở đầu

1.1.Lí do chọn đề tài

Trong dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và pháttriển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vậndụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinhnhững phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rấtcần thiết

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là dạng toán phổbiến và quan trọng trong chương trình phổ thông và là một chuyên đề hay gặptrong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông Có nhiều phương pháp tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thứcCôsi hay Bunhiacopsky Đứng trước bài toán này học sinh phổ thông thườnglúng lúng về phương pháp giải, vì việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiềuvào đặc thù bài toán Việc dùng công cụ hình học tọa độ vào giải quyết các bàitoán đại số là một cách nhìn khá mới mẻ với học sinh THPT Vì vậy để nângcao tính tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đã mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinhnghiệm: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phươngpháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hình học tọa độ, giúp các em

đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này Đặc biệt cho học sinhlớp 12 có thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia Hy vọng đề tài sẽ là tàiliệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi ở lớp

10, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là nhìn bài toán đại số theo quan điểm hình học

Từ đó xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp chohọc sinh cách ứng dụng phương pháp hình học tọa độ vào tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong giải toán, qua đó phát huy tính tư duy sángtạo cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, một sốtài liệu liên quan khác…

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4

- Thực nghiệm sư phạm: tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng

2 Nội dung sáng kiến kinh ngiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải toán:

a) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [1] :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu f ( x ) M

với mọi x0 Dsao cho f x0 M

1 a b a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi avàbcùng hướng

2 a.b a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a vàb cùng phương

c) Các khái niệm và tính chất trong hệ trục tọa độ Oxy

1.Tọa độ của điểm M x, y OM xi y j

a b a1 b1

2

a.b a1b1 a2 b2

+cos a; b a b a 2 b 2a 2b2

1 1 2 2+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 có vectơpháp tuyến là n A, B là : A x x0 B y y0 0

+ Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là: x a 2 y b 2 R2.

Hoặc có dạng x2 y2 2ax 2by c 0 (a 2 b 2 c 0) Trong trườnghợp này mặt cầu có tâm là I(a,b) bán kính R a 2 b 2 c

+ Khoảng cách từ điểm M x0;y0 đến đường thẳng : Ax By C 0 là:

Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d Khi đó độ dài đoạn thẳng MH H d

ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên d

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là mộtvấn đề khó khăn với nhiều học sinh Đặc biệt là với những biểu thức nhiều tham

số Với một số bài toán nếu tinh ý lựa chọn hệ trục hoặc vectơ phù hợp ta sẽ tọa

độ hóa bài toán, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Tuy nhiên trênthực tế, học sinh còn những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:

+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại họcphần này

+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt

+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các dạng toán chưa tốt

Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấychỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng khôngđúng hoặc làm lung tung…và thường bị mất điểm ở những bài tập này

Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và bước đầu thu được kết quả tốt trong năm qua

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

3

Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này chỉ cần chọn hệ trục tọa

độ, hoặc các vectơ phù hợp bà toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Sau đây làmột số bài tập minh họa cho phương pháp này Hi vọng thông qua các bài tậpnày các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) 1 2cos2 x 1 2sin2 x trên

Do u.v u v ta có: 1 2cos2 x 1 2sin2 x 2 2 f x 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng phương

1 a a 1 a 0

Chọn đáp án C Bài 4: Với mọi x ,y , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A 4cos2 x cos2 y sin2 x y 4sin2 x sin2 y sin2 x y Hãy chọn đáp

a b 2 cos x cos y sinx.sin y ;2sin x y 2cos x y ;2sin x y

a 4cos2 x cos2 y sin2 x y

4sin2 x sin2 y sin2 x y b

4cos2 x y 4sin2 x y 2

a b

4cos2 x cos2 y sin2 x y 4sin2 x sin2y sin2 x y 2

Vậy Min A = 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a 0 b 0

x k y l

1 a 2 1 b 2một đáp án đúng trong các đáp án sau:

7

Áp dụng BĐT: x y x y x y z Suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x , y cùng phương, cùng chiều hay trong hai vectơ

ấy có ít nhất một vectơ là vectơ không

8

2 tại x y 12

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x2 y2 x 1 y 2 y 1 x2

Tìm Max của A 3x 4y Hãy chọn một đáp án đúng?

b u Đặt a 3;4 ; x; y =

Đặt u a a;b b ; sinx cosy

10

asinx b cos y a 3 b 3 sin2 x cos2 y c 2 a 3 b3 sin2 x cos2y

Bài 10: Giả sử a,b,c là các tham số làm cho hàm số :

F ( x ) a cos2 x b sin2 x c a sin2 x b cos2 x c m sin 2x xác định với

mọi x Tìm giá trị lớn nhất của F(x) trên R Hãy chọn đáp án đúng ? [3]

a cos2 x b sin2 x c a sin2 x b cos2 x c2 a b 2c

Đặt g(x) = a cos2 x b sin2 x c a sin2 x b cos2 x c suy ra:

max g(x)= 2a 2b 4c khi và chỉ khi

a cos2 x b sin2 x c a sin2 x b cos2 x c cos2x=0 Ta có: F(x)

= g(x) + m sin2x

11

+) Nếu m 0 max F(x) = max g(x) + m = 2a 2b 4c m

+) Nếu m 0 max F(x) = max g(x) - m = 2a 2b 4c m

4sin2x=-1

Vậy max F(x) = 2a 2b 4c m

Chọn đáp án D

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y cos2 x 2cos x 3 cos2 x 4cos x 8 [4]

Hãy chọn đáp án đúng?

A.Max y = 2 13 ; Min y = 5 B.Max y = 3 2 ; Min y =4

C.Max y = 3 13 ; Min y = 5 D.Max y = 6 13 ; Min y =4

Hướng dẫn : Ta có y cosx-1 2 2 cosx 2 2 4

Gọi M(2, 1-cosx); N(4;3) Do 0 1 cosx 2 nên M thuộc đoạn M0 M1 với

M0 2;0 ,M1 2;2

Gọi I là giao điểmcủa ON và M 0 M1 y= OM + MN.

+) y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng Hay M trùng với I Vậy Min y = ON = 32 42 =5

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d Gọi H là hình chiếu của A trên d

Ta có phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và vuông góc với (d) là

Bài 13: Cho a,b là hai số thỏa mãn điều kiện : a2 b 2 16 8 a 6b

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4a+3b Hãy chọn đáp án đúng?

Hướng dẫn:

Ta có: a 2 b 2 16 8a 6b a 4 2 b 3 2 9 Từ đó suy ra nếu a,b là hai số thỏa mãn điềukiện đề bài thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C) tâm O1 (4,3), bán kính bằng3

2

Nối OO1 cắt đường tròn tại M1, M2 Vì M 1, M2 là các điểm trên đường tròn (C)

gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có: OM 1 OM OM 2

Nối O với O1O2 ( hiển nhiên O,O1,O2 thẳng hàng ) cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2)tại N1, N2.

16

Dựa vào đồ thị ta thấy M1N2 và M2N1 là các khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn Như vậy với mọi cặp điểm M,N trên hai

đường tròn ta có: M 2 N1 MN M 1 N2 Do OO1 2; OO2 6 2 nên ta có:

Gọi O1 , O2 , M 1 , M 2 , N1 , N2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của

O1 ,O2 ,M1 ,M2 ,N1 , N2 lên Ox Theo talet ta có: 6 2 1

Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

Suy ra min O M 23.49 5 5 Min P 5 khi và chỉ khi M H

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x – y = 2

(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 2 2 px 2 p 2 x 2 2qx 2q2 Với p, q là

hai số thực cho trước và p q

(Trích bài 157 sách “ Các dạng toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đại số, hàm số, hình học )

Đáp số: min yp q 2 p q 2 x p q q p

19

Bài 3: Cho a,b,c >0 và ab+bc+ac=abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục

+ Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏnhững vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thuđược của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài

+ Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của

đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay

Sau một năm học 2017-2018 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở

4 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4, trong đó có hai lớp thực nghiệm và hailớp đối chứng Kết quả thực nghiệm được tiến hành một cách khách quan trêncác lớp thực nghiệm và đối chứng Kết quả thu được như sau:

Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:

Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp đối chứng

Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp thực nghiệm

20

SL % SL % SL % SL %

2.4.2 Đối với bản thân:

- Giáo viên phải phân tích sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiếnthức liên quan đến bài dạy Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến thức chuyênmôn vững vàng

- Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm,những cách giải quyết vấn đề khácnhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và

xử lí tình huống

2.4.3 Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn

Đây là phương pháp không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được

Và đặc biệt là áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh Nên tôi đã đemphổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đãmạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công

2 Theo phương pháp trên giúp học sinh tiếp thu bài học một cách tíchcực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khoa học Kết quả thu được gópphần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục

đề ra

3 Trong quá trình làm sáng kiến tôi thấy phương pháp tọa độ ngoài ứngdụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn nhiều ứng dụng khác nữa như:chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phươngtrình …Vì vậy tôi khuyến khích các em học sinh tìm hiểu thêm về các ứngdụng khác của phương pháp này

4 Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng

ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu

về những bài toán tương tự Tuy nhiên không phải bất kì bài toán tìm giá trịlớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp tọa độ Ngoài phươngpháp tọa độ nêu trên còn rất nhiều kĩ thuật và phương pháp khác để giải dạngtoán này Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa

độ trong hình học vào giải quyết vào các bài toán đại số là rất mạnh mẽ, làm

cho nhiều bài toán trở nên gọn gàng, sáng sủa hơn rất nhiều.

3.2 Đề xuất và kiến nghị:

Việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán học là nhiệm vụ,trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo Với tinh thần đó tôimong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với các đồngnghiệp Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, tôi rất mong được sự đónggóp, bổ sung của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để sáng kiếnkinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn,đồng thời giúp đỡ tôi tiến bộ vàthành công trong giảng dạy Mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN haygóp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKSN của mình

viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người thực hiện

Lê Thị Phượng

22

PHỤ LỤC

MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO

1 Toán nâng cao hình học THPT- Nhà xuất bản ĐH sư phạm- Nguyễn Vĩnh Cận

2 Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản HN- Phan Huy Khải

3 Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất bản giáo dục

4 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức- Nhà xuất bản Hà Nội - Phan

Huy Khải

5 Các dạng toán về bất đẳng thức , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đại

số, hàm số, hình học- Nhà xuất bản Đà Nẵng - Nguyễn Văn Qúy, NguyễnTiến Dũng, Nguyễn Việt Hà

6 Các phương pháp giải toán sơ cấp đại số 10- Nhà xuất bản Hà Nội- Phan Huy Khải- Nguyễn Đạo Phương

7 Bất đẳng thức, bất phương trình đại số - Nhà xuất bản giáo dục - Nguyến Thế Hùng

[1]: Trích sách giáo khoa Giải tích 12- Nhà xuất bản giáo dục

[2]: Trích đề bài 315 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất bản Hà Nội (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này)

[3] Trích đề bài tập 466 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất bản Hà Nội (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này)

[4] Trích bài 159 – Sách các dạng toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất – nhà xuất bản Đà nẵng