SKKN phân tích một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán trắc nghiệm và hướng khắc phục

Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian đểkiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu củachương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳthi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từhình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi đã tạo nênnhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ônluyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đềmới so với hình thức thi tự luận

Kỳ thi quốc gia 2018 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT

và xét vào đại học, cao đẳng Đề thi năm 2018, môn Toán thời gian làm bài 90phút ( với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán lớp 11chiếm 20%, lớp 12 chiếm 80%) Năm 2018 là năm thứ 2 môn Toán được thibằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, nên quá trình giảng dạy giáoviên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắcnghiệm môn Toán Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian đểkiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu củachương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệmkiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phântích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắcnghiệm sao cho hợp lý

Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà khôngđảm bảo chất lượng Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được nhữngnhững kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tựmình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toánnâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quảcủa đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn

đề tài nghiên cứu cho mình là: “ PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM

THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC”.

2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó:

- Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Toán học.

- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán

và cách khắc phục

- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo.Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê

môn Toán hơn Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu.

- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của họcsinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức củahọc sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

4 Phương pháp nghiên cứu.

4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài

4.2.Phương pháp điều tra thực tế:

+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan

+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khaithác các bài toán có nội dung thực tiễn

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra

2

B NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận.

Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đếncái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểmquá trình nhận thức của học sinh

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếusót của mình" Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịpthời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm vềmặt tư duy cho bản thân mỗi người

Các kiến thức căn bản về Toán học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đãđược học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mấtgốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức đọ nhận biết hay thông hiểu thì cũng

sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm

lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm raphương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn,đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phântích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy

ra là điều tất yếu Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của ngườikhác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quátrình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duylogic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó pháthiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đềkhắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũngchỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứngthú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi

ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải

Thực tế trong kì thi quốc gia 2017 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạtđiểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù các câu trong đề thi không quá khó, số câunhận biết và thông hiểu là 50%.

3 Các giải pháp.

Trong môi câu hỏi trăc nghiêm thương găp hiên nay, có 4phương án gôm

1 phương án đúng và 3phương án nhiêu Phương án nhiêu thương đươc xâydưng dưa trên các sai lâm của học sinh Vìvây, học sinh phải năm chăc kiên thưcmơi cóthê quyêt định chọn phương án nào trong môt thơi gian rât ngăn Sau đâytôi sẽ trình bày môt sô sai lâm màhọc sinh cóthê găp khi giải toán trăc nghiêm

3.1 Nhầm lẫn các loại điêu kiện, các khái niệSm:

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số

Phương án B: Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm số

Phương án C: Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm số

Lời giải đúng: Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại

x 0, y CD 5; hàm số đạt cực tiểu tại x 4, y CT 3 Do đó phương án đúng là D

Chú ý: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực

đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số, kí hiệu là f CD (f CT ), còn điểm M x0 ;f x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?

A y 2 x 3 x 21 B y x 2 x 3 x 12 .

1

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS hiểu rằng

Phương án B: Sai do HS hiểu rằng limy

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng

a, , ;b hoặc ; ) Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS hiểu rằng 1 dx ln 2x 1 1

Lời giải đúng: Ta có 1 dx ln x 21 Hơn nữa trên đoạn 2; 1 thìx< 0 nên một

Ví dụ 4: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình log 3 x 2 3 x 5 2 là khoảng

a; b Giá trị của biểu thứca2 b2 bằng

Lời giải : Ta có log 3 x 2 3 x 5 2 x 2 3 x 5 9 x 2 3 x 4 01 x 4

Suy ra a 1; b 4 Do đó

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS giải đúng được a 1; b 4 nhưng lại tính sai

hoặc do HS giải sai bất phương trình Cụ thể:

log 3 x 2 3 x 5 2 x 2 3 x 5 8

x 2 3 x 3 0 3 21 x 3 21

3 2

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp có đỉnh S 2;3;5

và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng P : 2 x y 2 z 3 0 , có diện tíchbằng 12 Tính thể tích của khối chóp đó

Phân tích phương án nhiễu.

a 2 b2 15

a 2 b2 17 Chọn D

6

Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp Cụ thể:

Lời giải đúng: Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d S , P 2 .

Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V 1 12.2 8 Chọn C

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS nhầm số hạng chứa x5 với hệ số của số hạng chứa x5 Phương án C: Sai do HS viết sai số hạng chứa x5 Cụ thể là

Ví dụ 7: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.

7

B Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng

kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau

C Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với

nhau

D Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với

nhau

Phân tích phương án nhiễu

Phương án B: do không nhớ điều kiện 2 đường thẳng đó phải cắt nhau Phương án C: do quên điều kiện hai mặt phẳng phải phân biệt

Phương án D: do nhớ “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song vớiđường thẳng thứ ba thì song song với nhau” nên nghĩ nếu là hai mặt phẳng thìcũng vậy

Lời giải đúng: Hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: song song, trùng nhau,

cắt nhau nên nếu hai mặt phẳng đó phân biệt (không trùng nhau) và không cắtnhau thì song song Chọn A

Vídụ 8:Xét các khăng định sau:

i) Nêu hàm sô y f(x ) xác định trên R thỏa mãn f ( 1) f (0) 0 thì ôđ thị của hàm sô y f ( x ) vàtrục hoành cóít nhât 1 điêm chung.

ii) Nêu hàm sô y f ( x ) xác định trên R thỏa mãn f ( 1) f (0) 0 và

f (0) f (1) 0 thì ôđ thịcủa hàm sô y f(x ) vàtrục hoành cóít nhât 2 điêm chung.

Phát biêu nào sau đây làđúng?

A Khăng định i) đúng vàkhăng định ii) đúng.

B Khăng định i) đúng vàkhăng định ii) sai.

C Khăng định i) sai vàkhăng định ii) đúng.

D Khăng định i) sai vàkhăng định ii) sai.

Đây làmôt câu hỏi khó,học sinh cóthê liên tương đên định lívê giátrịtrunggian của hàm liên tục khi đọc các giảthiêt ơ hai khăng định này Tuy nhiên, cácgiảthiêt thiêu môt điêu kiên rât quan trọng làhàm sô liên tục Ta cóthê chỉra

nhưng tình huông đê thây các khăng định i) vàii) đêu sai.

Xét hàm 1 khi x R \ 0

Hàm sô này không liên tục tại 0

f x 1 khi x 0

Ta có f ( 1) f (0) 0, f (0) f (1) 0 và ôđ thịcủa hàm sô không có iêmđ chung

vơi Ox Chọn D.

3.2 Xét thiêu trường hơp hoặc quên điều kiệSn

Vídụ 9:Tâp hơp cac sô thưc m đê ham sô y mx

Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm ' 0 m

Phương án C: Học sinh quên không lấy kết quả m=0

Phương án D: Học sinh quên không lấy kết quả m=0 và nhầm ' 0 m

Vi du 10: Với giá trị của tham số m thì phương trình 9 x 2 m 1 3 x 6 m 3 0

có hai nghiệm trái dấu?

t2

Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh thiếu điều kiện phương

trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương

9

Phương án B: Học sinh nhầm điều kiện 2 nghiệm ẩn x trái dấu thành 2nghiệm ẩn t trái dấu- tức là chỉ giải: 6 m 3 0 m 1

2 , đây là sai lầm mà tương đối

nhiều học sinh mắc phải

Phương án C: Tương tự phương án B, đồng thời nhớ sai điều kiện 2 nghiệm thành cùng dấu.

Ví dụ 11: Sô đương tiêm cân đưng cua đô thi ham sô y x 3 2 sin x la

x 3 2 sin x x 3 2 2 sin x sin1

x 2 x x 1 x 3 2 x 1 x 4

Chọn C

Chú ý: Đối với hàm phân thức thì x=a là nghiệm của mẫu thức nhưng không

là nghiệm của tử thức, khi đó đường thẳng x=a mới là tiệm cận đứng của đồ thị

Vi du 12: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

y x 3 3 x 2 3 m 2 1 x 3m2 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thờikhoảng cách giữa các điểm cực trị đó không vượt quá 30 13 Số phần tử của tập

hợp S là

Lời giải: Ta có y ' 3 x 2 6 x 3 m2 1

Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình

y ' 0 có hai nghiệm phân biệt

Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì

Phương án A: Sai do HS không đối chiếu điều kiện m 0

Phương án B : Sai do HS giải sai bất phương trình m 2 9 0 m 3 và không đối chiếu

với điều kiện m0 nên tìm ra được 4 phân tử Hoặc sai do HS hiểu sai

điều kiện không vượt quá thành AB 30 13 và có đối chiếu với điều kiện m 0

Phương án D: Sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành AB 30 13 vàkhông đối chiếu với điều kiện m 0

Ví dụ 13 : Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng ACB một số tiền

như nhau với lãi suất 0,45%/tháng Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thayđổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi một

lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng ACB để sau 3 năm

gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng

gửi tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng.

Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề

bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu

đồng nên tìm được T = 25 523 000.

Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn T = 9 492 000.

Lời giải: Xet ham sô y = 3-x - 3

Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh nghĩ rằng chỉ cần y’ âm,

đây là sai lầm mà rất nhiều học sinh mắc phải

Phương án B: Học sinh có suy nghĩ tốt hơn, xong lại quên điều kiện mẫu

số khác không

Phương án D: Học sinh lấy điều kiện chặt( dẫn đến sai)

Chú ý: Cho hàm số y f (u(x )) xác định trên K, hàm số t u (x) xác định trên J, có tập giá trị T Nếu hàm số t u (x ) đồng biến trên J, thì hàm số y f (u(x)) đồng biến(nghịch biến) trên K khi hàm số y f (t) đồng biến(nghịch biến) trên T Nếu hàm số t u (x) nghịch biến thì ngược lại

Vi du 15: Sô nghiêm thưc cua phương trinh log2 (x2 3x) 2 0 la

vây phai chon phương an A.

Ví dụ 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số

Hàm số y1

3 x3 mx2 ( m2 4)x 3 có y' x2 2mx m2 4 và y'' 2x 2m Điều kiệncần để hàm số đạt cực đại tại x 3 là

Thử lại: với m 1 thì y '' 3 2.3 2 4 0 nên hàm số không đạt cực đại tại x 3 Với m 5 thì

y'' 3 2.3 10 4 0 nên hàm số đạt cực đại tại x3. Vậy giá trị

mcần tìm là m 5.

Phương án nhiễu A: Học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại

x0 là y ' x0 0 mà không dùng điều kiện đủ để kiểm tra lại

Phương án nhiễu B, D: Học sinh không biết cách giải quyết nên chọn bừa.

Ví dụ 17: Tìm m để phương trình 1 + 3sin 2 x cos 2 x - m cos 2 2 x = 0có nghiệm

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án B: nhầm lẫn giữa chọn mút và không;

Phương án C: nhầm giữa và x nên tìm điều kiện phương trình t + 3t 1 m

Phương án D: chỉ dùng điều kiện ³ 0

Ví dụ 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình

log 3 ( x2 +3) + m log 3 = 6 có hai nghiệm?

13

m = 9 , suy ra có 5 giá trị m thỏa đề bài, chọn C.

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án D: HS chỉ hiểu đơn giản để (1) có hai nghiệm Û (2) có hai nghiệm

Û >0;

Phương án A: biết đến điều kiện t >1 nhưng chưa nắm được quan hệ giữa sốnghiệm t và số nghiệm x ;

Phương án B: giống phương án A nhưng điều kiện t³ 1

Vi du 19: Sô nghiêm thưc cua phương trinh 2log 2 3x 2 log2 x2 la

Vi co hê sô 2 ơ vê trai nên hoc sinh co thê nghi ngay đên công thưc log 2 x 2

2log2 x khix dương, hoc sinh biên đôi vê 3 x 2 x x 1 Gia tri nay không thoa manđiêu kiên đê co thê thưc hiên đươc công thưc log 2 x 2 2log 2 x, hoc sinh co thêkêt luân phương trinh đa cho vô nghiêm

Sai lâm ơ đây la hoc sinh đưa ra điêu kiên mơi x > 0 đê biên đôi va lam mât

nghiêm Lơi giai đung như sau:

Chon B Hoc sinh cân phai canh giac vơi nhưng biên đôi dân đên phương

trinh mơi co tâp xac đinh khac tâp xac đinh cua phương trinh ban đâu

Ví dụ 20: Cho a là một số thực dương và b là một số nguyên, bao nhiêu cặp số a,b thỏa mãn

điều kiện logb a2018 logb a2018 ?

2 b 200 Hỏi có